Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm"

Transkript

1 Kapitel a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm a) tan(v )= 7 4 v = 7 4 = 33 b) cos(v )= v = 44 cos 1 56 = 38 c) sin(v )= v = 50 sin 1 73 = 43 d) tan(v )= 3 30 v = 3 30 = a) tan(v )= v = = 33 b) sin(3.5 )= 73 F F = 73 sin(3.5 ) = 508N c) cos(3.5 )= 48 F F = 48 cos(3.5 ) = 507N a) Om v är minsta möjliga, dvs 64, blir sträckan s: cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m 9 Om vinkeln istället är den maximala blir sträckan: cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m Vi börjar med att beräkna ABC vinkeln. 116 tan(b )= B = = 16 På liknande sätt kan vi beräkna ADC och från den är CDB enkelt att finna. tan(d )= d = = 6 D = 180 d = 154 ACB beräknar via vinkelsummeformeln: C = = 10 d) F = = 508N Kommentar: Att c:s svar skiljer sig beror på att jag har använt tre siffror för att beskriva vinkeln. Hade jag använt fler hade även c varit 508N Vi är intresserade av den vänstra rätsidiga triangeln och därför hälften av AB sträckan tillsammans med CM. tan(v )= CM AB / v = tan =

2 4109 a) Först räknar vi ut sträckan D genom att beräkna AD och DB sträckan. tan(4 )= 1 AD AD = 1 tan(4 ) = 13 tan(57 )= DB DB = 1 tan(57)= 18 1 Vilket ger arean: Area = 1 (13+18) = 186 Kommentar: Skillnaden mot facits svar är att jag har avrundat För 30 och 60 vinklarna tittar vi på den halva liksidiga triangeln medan vi tittar på halv kvadraten för 45 vinklarna. v tan(v) sin(v) cos(v) b) Nu måste vi beräkna AC och CB sträckan innan vi kan få fram omkretsen. sin(4 )= 1 AC AC = 1 sin(4 ) = 18 cos(57 )= 1 CB CB = 1 cos(57 ) = 16 Omkretsen blir därför: Omkrets = = 65m Kommentar: Skillnaden mot facits svar är att jag har avrundat a) sin(45 ) cos(45 )= 1 1 = 1 b) sin(60 ) tan(45 )= 3 1= 3 c) sin(45 )+ cos(45 )= = d) sin (30 )+ cos (30 )= = = Vi vill att den motstående kateten ska varan mindre än den närmre, därför måste v < Om cos(v) är en halv så säger Pythagoras sats att den andra a) tan(α )= sin(v) cos(v) = b / h a / h = b a kateten måste vara roten ur tre eftersom: = och därför är sin(v)= Ett sätt att räkna ut h på är att subtrahera den delen av radien som är ovanför vattnet från hela radien. Hela radien är hälften av 60. Och den delen som är över vattnet kan vi räkna ut med hjälp av sinusformeln: sin(35 )= r över 30 r över = 30 sin(35)= 17.cm Vattenhöjden blir därför: h = r r över = = 1.8cm sin(v)= b h b) cos(90 v)= b sin(v)= cos(90 v) h 4117 = = 1

3 4118 a) Först räknar vi ut sträckan D genom att beräkna AD och DB sträckan. tan(45 )= AD AD = tan(45 ) = tan(60 )= DB DB = tan(60)= 3 Vilket ger arean: Area = (+ 3) = + 3a.e b) Nu måste vi beräkna AC och CB sträckan, med hjälp av Pythagoras, innan vi kan få fram omkretsen. AC = + = 8 CB = +( 3) = 16 = 4 Omkretsen blir därför: Omkrets = Först tittar vi på sträckorna: Eftersom vinkeln vid F är 60 är sträcka BF 3 och FC 3. Eftersom vinkeln vid D är 45 är sträcka BD 3 och DC 3. Vilket gör att DF = Cirkeln beskrivs av: 9 = (x +1) + y, vi testar ifall punkten uppfyller ekvationen. ( +1) +1 = 10 > 9 vilket betyder att punkten har en större radie och därför ligger utanför cirkeln. 415 Först beskriver vi cirkeln, därefter låter vi y vara noll och ser för vilka x-värden som ekvationen uppfylls. 10 = (x ) + (y + 5) Nu låter vi y vara noll. 100 = (x ) + 5 = x 4x x 4x 71 = 0 x = ± + 71 x 1 = 6.7, x = Här byter vi ut y:et i cirkelns ekvation mot linjens y och kollar ifall det finns något x som uppfyller den nya ekvationen. 16 = (x 3) + ((x 7) 1) = x 6x x 16x + 64 = x x + 73 x 11x + 57 = 0 x = 11 ± x = 4.18, x = Ja linjen skär cirkeln vid två punkter. Vinklarna: Vinkel DCF = DCB FCB = = 15. Vinkel CFD = 180 BFC = = 10. Vinkel CDF = a) r = (x x) +( y y) 36 = (x + ) +( y 5) 417 Här gör vi samma sak som i uppgiften innan. Skillnaden kommer i slutet då vi bestämmer r så att vi endast får ett möjligt x. r = x + ((x +1) ) = x + x x +1 x x +1 r = 0 x = 1 ± 1 1 r 1 1 r = 0 r = 1 = b) r = (x x) +( y y) 36 = x +( y +1) 4130 a) v = sin 1 (0.81) = 55., v = = r = 5 r = 5, (x, y) = ( 4,1) b) v = cos 1 (0.81)= a) Cirkeln beskrivs av: 1 = x + y, vi testar ifall punkten uppfyller ekvationen. 1 = = = 1 OK! c) v = sin 1 (0.043) =.5, v = = d) v = cos 1 ( 0.94) = b) Här utnyttjar vi tangens. tan(v ) = v = = a) v = cos 1 ( 0.560) = 14.1 b) v = sin 1 ( 0.560) har ingen reell lösning. c) v = sin 1 (0.333) = 19.5, v = = d) v = cos 1 (1.03) har ingen reell lösning.

4 a) Eftersom det är 90 vinkel mellan de två punkterna och origo kommer Q ha ( b, a) som koordinater. b) Att man kan gå mellan sinus och cosinus genom att addera vinkeln istället för att subtrahera den: sin(v) = cos(90 + v) och cos(v) = sin(90 + v). a) sin(v) är lika med ett då den motsatta kateten och hypotenusan är lika långa, vilket betyder att vinkeln måste vara 90. b) cos(v) är lika med minus ett då den närliggande kateten och hypotenusan är lika långa samt att vinkeln är över 90, vilket betyder att vinkeln måste vara 180. c) cos(v) är lika med noll då den närliggande kateten är noll, vilket betyder att vinkeln måste vara 90. d) sin(v) är lika med noll då den närliggande kateten och hypotenusan är lika långa, vilket betyder att vinkeln är antingen 0 eller Vi använder oss av areasatsen: Area = 8 sin(105) = 98cm 404 Den sista vinkeln är =30. Areaformeln ger: Area = sin(30) = 495m 405 a) Areaformeln ger: 15= 7 6 sin(v) b) 15= sin(v) 30 v = sin 1 4 = v = sin = De står givna som punktens x- och y-koordinat x = cos(61 ) = 0.48, y = sin(61 ) = a) Först beräknar vi mellanliggande vinkeln, = 4. Nu använder vi areaformeln: Area = sin(4) = 33.5m 4135 a) v = = 14, v = 56 b) Endast den simpla 100 c) Ingen eftersom sinus aldrig kan ge ett negativt värde inom intervallet. d) v = = Att man kan gå mellan sinus och cosinus, dvs: sin(v) = cos(90 v) och cos(v) = sin(90 v). b) Den sista vinkeln är = 40 och den andra sträckan är också 70 eftersom triangeln är likbent. Med areaformeln får vi fram: Area = 0 0 sin(40) = 18.6m 407 Eftersom vinkeln c inte är med i areaformel, utan endast den för vinkeln a kommer inte arean att påverkas = sin(a) Eller ,8 = 143, 48 A = sin = 36.8

5 409 a) Vi utnyttjar areasatsen och letar efter ett värde på A mellan 0 och = 11 8 sin( A) Eller = A = sin = 65.4 b) Vi deriverar uttrycket med avseende på vinkeln för att hitta det maximala värdet: 11 8 sin( A) f( A)= f '( A)= cos( A)= 0 A = 90 F(90 )= = 154cm 410 Vi utnyttjar areaformeln och löser andragradsfunktionen som uppstår tack vara likbenhet: 5= x x sin( ) x = 411 Areaformeln ger: 4 = a (a + 4) sin(150) 48 a = sin(150) = 8 50 sin(150) = 10cm 48 a + 4a sin(150) = a) = 61 b) Sinussatsen ger: AB sin(1) = 34 sin(1) AB = 34 sin(61) sin(61) = 13.9cm 417 Vinkeln C är = 80. Med den och sinussatsen får vi fram de andra sträckorna: AB sin(80) = 36 sin(80) AB = 36 sin(30) sin(30) = 70.9cm BC sin(70) = 36 sin(70) BC = 36 sin(30) sin(30) = 67.6cm Och med dem kan vi beräkna omkretsen: Omkretsen = = 174.6cm 418 Vi har två vinklar och en motstående sträck. Därför utnyttjar vi sinussatsen: AC sin(38) = 6 sin(38) AC = 6 sin(115) sin(115) = 17.7cm BC sin( ) = 6 sin(7) BC = 6 sin(115) sin(115) = 13.0cm 41 Vi utnyttjar areaformeln för att bestämma k. Area = sin(v) a = k a och i en liksidig triangel är alla vinklar 60 grader vilket ger: k = sin(60) = Den totala arean kan beskrivas av: Area 1 + Area + Area 3 = 3 sin(v) 6.5 = sin(v) (3+6+10)= 6.5 v = sin sin(v) 19 = sin(v) = 415 Här använder vi oss av sinussatsen: AB sin(40) = 8 sin(40) AB = 8 sin(30) sin(30) = 36cm

6 Vi utnyttjar sinussatsen: sin(7) sin( A) = 4 1 A = sin 1 sin(7) 1 4 = a) Vi utnyttjar sinussatsen: sin(49) = sin(b) B = sin 1 sin(49) = 71 Men skulle även kunna vara = 109. Givet är att Q = 57,6 och sträckan Med dessa kan vi direkt ta fram B och q: tan(57.6)= 5000 B B = 5000 tan(57.6) = 3173m q = 180 Q = 1.4 b Nu vill vi använda oss av sinusformeln: sin(a) = h sin(q) Men fört måste utrycka a och h i form av b. Vi börjar med den lättare, h: h = (b+ 3173) För att kunna uttrycka a i form av b måste vi först uttrycka c 5000 med b. c = tan 1 b och 5000 a =180 q c = tan 1 b Nu kan vi återvända till sinusformen: b sin(a) = h sin(q) b 5000 sin 57.6 tan 1 b = (b+ 3173) sin(1.4) Problemet är att detta blir väldigt bökigt så antagligen har författarna glömt att skriva ut någon information. 46 Beskrivs väl i facit. 47 a) Sinussatsen ger: sin(b) 7 = sin(40 ) 6 och = 131 b) sin(b) 7 48 = sin(40 ) 8 a) Vi utnyttjar sinusformeln: b = sin 1 sin(40 ) 7 6 = 49 b = sin 1 sin(40 ) 7 8 = 34 sin(v) 50 = sin(30) 130 v = sin 1 sin(30) = 74 Men vi ser att vinkeln är trubbig och därför måste v vara: v = = 106. b) Vi använder sinusformeln: sin(30) = 130 sin( ) F 1 = 130 sin(44) F 1 sin(30) = 180.6N 40 Vi utnyttjar areasatsen men först måste vi bestämma AB. AB sin(75) = 13 sin(75) AB = 13 sin(40) sin(40) = 19.5 Area satsen ger: Area = sin( ) = 115km En kvadrat med sidan 100 meter har arean 10000m eller 0,01 km eller 1 ha. Vilket betyder att 115km är lika med hektar. 49 Eftersom BC är större än AB kommer A eller B vara den största vinkeln. Det räcker därför att hitta B, men det lättaste sättet att göra det är genom att först hitta C. sin(43.6) 0 = sin(c) 15 C = sin 1 sin(43.6) 15 0 = 31. Vilket ger: B = 180 A C = = Vi gör som i den tidigare uppgiften: sin(4) 9 = sin(c) 10 C = sin 1 sin(4) 10 9 = 48 Men C kan även vara = 13. Vilket betyder att båda kan ha rätt, givet den informationen vi har fått.

7 431 Vi använder sinusformeln flera gånger om, först för att hitta vinkeln C: sin(40) 50 Vinkel B: = sin(c) 36 C = sin 1 sin(40) = 5.6 B = 180 A C = = Sträckan AC: sin(40) = sin(114.4) AC AC = 50 sin(114.4) = 70.8cm sin(40) Vi använder sinusformeln för att först räkna ut vinkeln C: sin( 7.6 ) 15 = sin(c) 1 C = sin 1 sin(36.) 1 15 = 8. Och med vinkelsumma formeln får vi fram B: B = 180 A C = = Vi använder sinusformeln för att räkna ut vinkeln A som måste vara spetsig för att B ska kunna vara trubbig: sin(30) 1. = sin(a) Vilket ger vinkeln B: A = sin 1 sin(30) 1. = 56.4 B = 180 A C = = Eftersom en sådan triangel är omöjlig. Att A är trubbig betyder att sträckan BC är den längsta men AC sägs vara längre. 435 b) Sinusformeln vinkeln: sin(67) = sin(v 1) v = 1 sin 1 sin(67) = 35.3 a) Med den tidigare beräknade vinkeln kan vi få fram den sista: v = = 87.7 Och med den kan vi beräkna F R. sin(35.3) 108 = sin(87.7) F R = 108 sin(87.7) F R sin(35.3) = 186N 436 Först beräknar vi vinkeln A: sin(95) 740 = sin(a) 40 A = sin 1 sin(95) = 34.4 Nu beräknar vi B och använder den för att hitta AC: B = = 50.6 sin(95) 740 = sin(50.6) AC 437 AC = 740 sin(50.6) = 574m sin(95) Först bestämmer vinkeln D (=B): D = = 116 Nu använder vi sinusformeln: sin(40) = sin(116) AC sin(116) AC = 16 sin(40) =.4m Det första man måste inse är att D ligger mellan A och B. Därefter vill du bestämma AC: tan(5) = AC AC = 1 tan(5) = 15.4cm 1 Du kan nu använda tan igen för att hitta AD. tan( ) = AD AD = 8.cm 15.4 Och BD: BD = AB AD = 1 8. = 3.8cm 439 Vi börjar med att räkna ut vinkeln B: =105, Vilket gör att DBC vinkeln är: , = 74,8 Eftersom DBC triangeln är likbent är Vinkeln vid C densamma som vid D, mer specifikt är dem: BDC = = 5.6 Nu söker vi bara BC innan vi kan få fram CD: sin(3.3) 1 sin(5.6) = sin(4.5) BC = 1 sin(4.5) BC sin(3.3) = 15.cm = sin(74.8) CD Vi utnyttjar cosinus satsen: BC = sin(74.8) CD = 15. sin(5.6) = 18.4m cos(140) = 44cm 443 Vi ser direkt att A är den minsta vinkeln och beräknar därför den: A = cos = 8

8 444 Vi ser även här att A är den minsta vinkeln eftersom 19 är större än både 17 och 18. A = cos = Cossinussatsen ger oss: F = cos(15) = 974N 446 Vi är intresserade av den vinkel som är på motsatt sida som den sträckan som är 400. Cossinussatsen ger oss därför: A = cos = Först måste vi bestämma triangelns sträckor med hjälp av Pythagoras sats: AC = 4 +7 = 5, BC = = 31.6 och AB = (4 6) +(7 31) = 30 vilket ger cossinusformeln: A = cos = Maximalt en vinkel kan vara trubbig och om det är någon så är det C eftersom den är på motsatt sida från den längsta sträckan. Vi beräknar därför C: C = cos = 9 > 90 C är därför trubbig. 447 Vi utnyttjar cosinussatsen på de två första och sen faktumet att summan av de tre vinklarna ska vara A = cos = B = cos = 57.1 C = 180 A B = Det räcker att bestämma två sidor eftersom de andra två är motsvarande långa. Diagonalerna skär varandra efter att de har färdats halvvägs till andra sidan, vilket gör att vi kan skriva upp cossinusformeln för höjdsträckan i parallellogramet: H = cos(60) = 13.1cm För längden behöver vi vinkeln, vilken är v = = 10 och därför blir längden: L = cos(10) = 1cm 45 Vi skriver upp cossinusformeln och löser därefter ut a. 35 = 30 + a 30 a cos(60) a 30a = 0 a = = Vi utnyttjar cossinussatsen här med. Därför räknar vi ut de olika sträckorna: AB = = 34, AB = = 45 och AB = 6 +5 = 61. Med dessa finner vi A: A = cos = Vi utnyttjar cossinussatsen här med. Därför räknar vi ut de olika sträckorna: PQ = = 44, QR = 8 +1 = 08 och PR = = 164. Med dessa finner vi Q: Q = cos = Därför att en sådan triangel finns inte eftersom AB är mindre än BC + AC.

9 456 För att kunna beräkna A måste vi först beräkna triangelns tre sträckor. Det gör vi genom att använda Pythagoras flera gånger om. Vi börjar med att titta på sträckan AC. Vi vet att det är 74 mm i höjdskillnad mellan dem men vi vet inte hur lång den andra sträckan är. Därför använder vi Pythagoras för att beräkna den: 135 s AC = + 40 = 138mm Nu använder vi den för att hitta AC: AC = s AC +74 = 156mm Vi gör på liknande sätt för AB: s AB = ( 135) + 40 = 181mm AB = s AB + 74 = 184mm Vi gör på liknande sätt för BC: s BC = BC = ( 40) = 49mm s BC + 74 = 5mm Med dessa sträckor kan vi nu beräkna vinkeln A: A = cos = a) Först måste vi bestämma den vinkeln som står emot x vilket vi gör genom att först beräkna den andra okända vinkeln och därefter använda att vinkelsumman i en triangel är 180. sin(v 35 ) = sin(45) v 35 = sin 1 sin(45) = 66.4 v x = = 68.6 Nu kan vi använda denna vinkel för att hitta x: x sin(68.6) = 7 sin(45) sin(68.6) x = 7 = 35.6cm sin(45) Sträckan skulle även kunna beräknas = x sin(158.6) = 7 sin(158.6) x = 7 =13.9cm sin(45) sin(45) b) Här kan vi använda vinkeln vi räknade ut i a): x = cos(68.6) = 35.6cm Sidan BC beräknas enklast med hjälp av cosinusformeln: BC = cos(3.8) = 4.3cm Nu kan vi beräkna B och C med sinussatsen: sin(b) 6 = sin(3.8) 4.3 c = sin 1 sin(3.8) = 34.3 Men vi ser att C är trubbig därför är C = = Eftersom kroppen är en kub är alla sidor lika långa, vi kallar den x. Det betyder att: BC = x, BM = AM = AN = x, AC = x + x Med dessa kan vi beräkna: NM = AM + AN = x + x CM = BC + BM = x + x 4 = x 4 = 5x CN = AC + AN = x + x + x 4 = 3 x Med dessa sträckor och cossinusformeln kan vi bestämma CMN: 3x MN = cos 1 5x 5x x x = 9x 5x x = cos 1 5 x = 9 5 cos 1 5 =108.4 b) Vi gör likadant som i uppgiften innan. Sidan BC beräknas enklast med hjälp av cosinusformeln: BC = cos(11) = 9.1cm Nu kan vi beräkna B och C med sinussatsen: sin(b) 5 sin(c) 6 46 = sin(11) 9.1 = sin(11) 9.1 B = sin 1 sin(11) = 30.6 c = sin 1 sin(11) = 37.7 Här kommer använda sinus- och cosinusformeln om vart annat: S 96 sin(96) = 30 sin( ) S 96 = 30 sin(96) sin(57) = 35.6m S 7 = S S cos(7) = 16.m I den mindre triangeln använder vi nu sinusformeln: S sin(180 96) = S 7 sin(90) S 84 = S 7 sin(84) sin(90) = 16.m

10 463 Ja, eftersom triangeln är rätvinklig kan Marco använda definitionen av sinus. 464 Tänk att vi drar ett streck från toppen av triangeln som skär basen med 90. Vi har då skapat två rätvinkliga trianglar. Med hjälp av definitionen av sinus kan vi bestämma triangelns höjd: sin(59) = h h = 34 sin(59) = 9.1m 34 Nu ska vi bestämma basen med hjälp av cosinusformeln men innan vi kan göra det måste vi bestämma de två andra vinklarna med hjälp av sinusformeln och triangelsumman. sin(v 34 ) 34 = sin(59) 5 v B = = 86.9 v 34 = sin 1 sin(59) 34 5 = 34.1 B = cos(86.9) = 60.6m Slutligen beräknas arean av triangeln: Area = B h = = 881.7m 465 Den längre diagonalen kan vi beräkna direkt med hjälp av cosinusformeln: D = cos(118) = 3.9m För att kunna beräkna den kortare diagonalen kommer vi använda cosinusformeln för att bestämma halv vinkeln mellan de två 1,5 sidorna v 3 = cos = 43.7 Vi kan nu använda vinkeln med definitionen av sinus för att bestämma halva den mindre diagonalen. d sin(v 3 ) = 1.5 d = 3 sin(v 3) =.1m 466 Om vi delar in fyra området i två trianglar en som är rätvinklig och längst ner till höger och sen den andra. Den längst ner till vänster kan beräknas genom: T V = = 600m Den sista sidan, den vi inte vet om, beräknas genom Pythagoras sats d = = 50. Och den andra triangeln beräknar vi med hjälp av Herons formel. T H = 60 (60 50) (60 5) (60 45) = 561m Den totala arean blir därför: T = T V + T H = 1161m Vilket gör att totala priset blir: P = = kr 467 För att bestämma v använder vi cosinusformeln v = cos = 4. Med hjälp av definitionen av sinus kan vi nu bestämma h. sin(v) = h h = 0.4 sin(v) = 13.7m 0.4 Arean blir därför: Area = B h = = 79.5m 468 Vi utnyttjar Herons formel. Först beräknar vi halva omkretsen: O = = 45.m Nu utnyttjar vi formeln och får: T = 45. ( ) ( ) ( ) = 81.8m Kommentar: Svaren skiljer sig p.g.a. avrundningar.

11 469 Här kommer vi använda Herons formel igen, men innan vi kan göra det delar vi upp 5-hörningen i fem lika stora delar genom att dra kanter från cirkelns mitt till de fem punkterna. Varje sträcka blir då halva diametern d.v.s 5 cm. Det sista benet i triangeln kan vi räkna ut med cosinusformeln eftersom vi vet att mittenvinklarna är 360/5 =7. B = cos(7) = 5.9m Halva omkretsen blir därför: O = = 7.9m 47 c sin( A) sin(b) Vi börjar med: h = sin(c) Där sin(c) är extra svår att hantera eftersom den inte är en del i en rätvinklig triangel, därför byter vi ut den: sin(c)= sin(180 A B)= sin( A + B) Nu kan vi använda sinusformeln för att byta ut: c sin(c) = a vilket gör att vi nu har: h = a sin(b) sin( A) Och genom att byta ut sin(b) får vi: h = a h a Och Arean: T = 7.9 (7.9 5) (7.9 5) ( ) = 11.5m Den totala arean blir: 5T = 57.6m 470 Om v antar att klippans höjd är h och sträckan mellan A och där h skär den horisontella axeln med 90 är x kan vi ställa upp följande samband: (1) : tan(31) = h +1, () : tan() = h x x (1) () tan(31) h +1 tan() = x = 1+ 1 h h h = 1 = 4.6m tan(31) x tan() Här använder vi cosinussatsen och Pythagoras sats flera gånger om för att få fram sträckorna och därefter kunna beräkna CAB. Vi börjar med att beräkna BC-sträckan med Pythagoras: BC = (6. 4.) = 4.03m Nu beräknar vi AB-sträckan med Pythagoras: AB = = 10.5m Sist beräknar vi AC sträckan genom att använda Pythagoras två gånger: s AC = = 9.48m AC = s AC = 10.11m Med dessa sträckor kan vi nu beräkna vinkeln CAB: BC AB AC v = cos 1 AB AC =.4

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61. Föreläning 8 Problem hämtade från boken idan 15 A 510 a) Rätvinklig triangel med vinkel och katet given. Mottående katet efterfråga. tan4 = x 5 x = 5tan 4 Svar:.6 cm x.6 A 510 b) Vinkel och hypotenuan

Läs mer

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32 6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning 3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Föreläsning 1 5 = 10. alternativt

Föreläsning 1 5 = 10. alternativt Föreläsning 1 101 a) Beräkna 5 + ( 8) = ( ) Kommentar: Vi använder parenteser för att förtydliga negativa tal, här ( 8) och ( ). 101 b) Beräkna 9 16 = 5 Kommentar: Egentligen borde man skriva 9 som ( 9),

Läs mer

Repetition inför tentamen

Repetition inför tentamen Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891 KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden

Läs mer

9 Geometriska begrepp

9 Geometriska begrepp 9 Geometriska begrepp Rita figurer som visar vad vi menar med... 261 a) 4 cm och 4 cm 2 b) 5 cm och 5 cm 2 262 Rita två olika figurer som båda har arean 8 cm 2 263 Rita tre olika figurer som alla har arean

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri 8 3.1 Euklidisk geometri........................... 8 3.1.1 Kongruens och likformighet..................

Läs mer

Facit åk 6 Prima Formula

Facit åk 6 Prima Formula Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

geometri ma B 2009-08-26

geometri ma B 2009-08-26 OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:.. Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman

Läs mer

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1: Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten

Läs mer

LNC Lösningar

LNC Lösningar LNC022 2013-05-27 Lösningar 1. (a) På en vägskylt står det att vägens lutning är 12 %. Om detta innebär att höjdskillnaden är 12 % av den körda vägsträckan, vilken är då vägens lutningsvinkel? (Rita figur.)

Läs mer

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. Lösning till tentamen i 5B116 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, 5-1-19, kl. 8 1. Tentamensskrivningen består av 4 moment, svarande mot kursens olika

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC. Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Bestäm den sida som är markerad med x.

Bestäm den sida som är markerad med x. 7 trigonometri Trigonometri handlar om sidor och inklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans trigonon (tre inklar) och métron (mått). Trigonometri har anänts under de senaste 2000 åren inom astronomi,

Läs mer

Arbetsblad 3:1. Hur stor är vinkeln? 1 Vilken eller vilka av vinklarna är. 2 Uppskatta (gör en bra gissning) hur stora vinklarna är.

Arbetsblad 3:1. Hur stor är vinkeln? 1 Vilken eller vilka av vinklarna är. 2 Uppskatta (gör en bra gissning) hur stora vinklarna är. Arbetsblad :1 Hur stor är vinkeln? 1 Vilken eller vilka av vinklarna är a) rät b) spetsig c) trubbig A C D F E G 2 Uppskatta (gör en bra gissning) hur stora vinklarna är. A C D E F G Mät vinklarna och

Läs mer

Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag

Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart

Läs mer

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2 17 Trigonometri Övning 17.1 En likbent triangel har arean 10 cm. De båda lika långa sidorna i triangeln är 0 cm. estäm vinkeln mellan dessa sidor. Här är det dags för areasatsen = s1 s sin v där v ligger

Läs mer

Planering Geometri år 7

Planering Geometri år 7 Planering Geometri år 7 Innehåll Övergripande planering... 2 Bedömning... 2 Begreppslista... 3 Metodlista... 6 Arbetsblad... 6 Facit Diagnos + Arbeta vidare... 10 Repetitionsuppgifter... 11 Övergripande

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

5. Sfärisk trigonometri

5. Sfärisk trigonometri 5. Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill använda den sfäriska trigonometrin för beräkningar på storcirkelrutter längs jordytan (för sjöfart och luftfart). En storcirkel är en cirkel på sfären vars medelpunkt

Läs mer

2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.

2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt. Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas

Läs mer

Övningsuppgifter omkrets, area och volym

Övningsuppgifter omkrets, area och volym Stockholms Tekniska Gymnasium 01-0-0 Övningsuppgifter omkrets, area och volym Uppgift 1: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. 4 7 Uppgift : Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan

Läs mer

NpMa3c vt Kravgränser

NpMa3c vt Kravgränser Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter 2018

Intromatte för optikerstudenter 2018 Intromatte för optikerstudenter 018 Rabia Akan rabiaa@kth.se Av Robert Rosén (01). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist, Simon Winter och Rabia Akan (01-017). Kursmål Efter intromatten

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Finaltävling i Umeå den 18 november 2017

Finaltävling i Umeå den 18 november 2017 KOLORNA MATEMATIKTÄVLING venska matematikersamfundet Finaltävling i Umeå den 18 november 017 1. Ett visst spel för två spelare går till på följande sätt: Ett mynt placeras på den första rutan i en rad

Läs mer

FACIT Ö1A Ö1B. 1 a 25 b 40 c 50 d 500. 2 a 24 b 36 c 40 d 400. 3 a 70 90 110 b 700 900 1100 c 200 250 300 d 100 125 150 e 120 150 180.

FACIT Ö1A Ö1B. 1 a 25 b 40 c 50 d 500. 2 a 24 b 36 c 40 d 400. 3 a 70 90 110 b 700 900 1100 c 200 250 300 d 100 125 150 e 120 150 180. FACIT Ö1A 1 a 25 b 40 c 50 d 500 2 a 24 b 36 c 40 d 400 3 a 70 90 110 b 700 900 1100 c 200 250 300 d 100 125 150 e 120 150 180 Ö1B 1 a 3311 b 2042 2 a 2468 b 3579 c 1953 3 a 5566 b 7432 c 9876 4 a 1205

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, 0-0-08, kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006

Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006 Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006 (Enligt "nytt format" : fler och lättare uppgifter jämfört med hittills rådande tradition se sid.5. Alla uppgifter värda lika mycket.) 1. Lös

Läs mer

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,

Läs mer

Pangea Matematiktävling FRÅGEKATALOG. Finalomgång 2016 Årskurs 9

Pangea Matematiktävling FRÅGEKATALOG. Finalomgång 2016 Årskurs 9 FRÅGEKATALOG Finalomgång 2016 Årskurs 9 Pangea Regler & Instruktioner Svarsblankett -Vänligen fyll i förnamn, efternamn och årskurs på svarsblanketten. -Vi rekommenderar deltagarna att använda en blyertspenna

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

MA0021, MA0022, MA0023

MA0021, MA0022, MA0023 Bastermin MA00, MA00, MA00 vt del, 0-08- Hjälmedel: Penna, suddgummi, linjal och gradskiva! oäng/delugift. Skriv tydligt och skriv tydliga svar! Motivera väl! Endast svar acceteras ej! Förenkla alltid

Läs mer

skalas bort först och sedan 4. Då har man kvar kärnan som är x.

skalas bort först och sedan 4. Då har man kvar kärnan som är x. Ge inte upp om inte ditt svar stämmer med facit. Du kan ha tänkt helt rätt, men bara räknat fel. Prova en gång till. Om ditt svar ändå inte stämmer med facit, klicka på Hjälp?, eller be din lärare om hjälp

Läs mer

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas

Läs mer

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning . Trigonometri Inledning Trigonometri betder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet Elementa Årgång 21, 1938 Årgång 21, 1938 Första häftet 957. En cirkel, en punkt A på cirkeln och en punkt B på tangenten i A äro givna. Att konstruera den punkt P på cirkeln, för vilken AP + BP är maximum.

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:

Läs mer

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x. TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Trigonometri. π 8. Derivatan av f (x) = sin x. 48 Fourieranalys (Historia)..55

Trigonometri. π 8. Derivatan av f (x) = sin x. 48 Fourieranalys (Historia)..55 Trigonometri. Sinus och cosinus för alla vinklar... Tangensfunktionen.9. Trigonometriska kurvor.. 4. Tre viktiga satser.. 5. Samband mellan trigonometriska funktioner... 6. Trigonometriska ekvationer..8

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

8F Ma Planering v2-7 - Geometri

8F Ma Planering v2-7 - Geometri 8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

Kvalificeringstävling den 26 september 2017

Kvalificeringstävling den 26 september 2017 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer

markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart

markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart PLANERING MATEMATIK - ÅR 9 Bok: Z (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Geometri Kapitel : 4 Samband och förändring Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE

Läs mer

Problemlösning med hjälp av nycklar

Problemlösning med hjälp av nycklar Problemlösning med hjälp av nycklar I denna problemavdelning finns förutom ett antal geometriproblem även förslag på ett arbetssätt som avser underlätta för elever att komma igång med problemlösning och

Läs mer

Läxa 9 7 b) Dividera 84 cm med π för att få reda på hur lång diametern är. 8 1 mm motsvarar 150 / 30 mil = = 5 mil. Omvandla till millimeter.

Läxa 9 7 b) Dividera 84 cm med π för att få reda på hur lång diametern är. 8 1 mm motsvarar 150 / 30 mil = = 5 mil. Omvandla till millimeter. LEDTRÅDAR LÄXOR Läa Förläng så att du får ett heltal i nämnaren. Använd division. Varje sekund klipper Karin, m =, m. Läa 0 ml = 0,0 liter Använd sambandet s = v t. Räkna ut hur mycket vattnet väger när

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 6, 9 Första häftet 575. En normalkorda i en parabel är given till längd och läge. Bestäm enveloppen för parabelns styrlinje. 576. Att genom en given punkt draga en sekant till två givna cirklar

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

7F Ma Planering v2-7: Geometri

7F Ma Planering v2-7: Geometri 7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Sidor i boken Figur 1: Sträckor

Sidor i boken Figur 1: Sträckor Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005 KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans

Läs mer

9E Ma Planering v2-7 - Geometri

9E Ma Planering v2-7 - Geometri 9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1 Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

4 Dividera höjningen (0,5 %) med räntesatsen från början (1 %). 7 Du kan pröva dig fram till exempel så här: Från Till Procent- Procent enheter

4 Dividera höjningen (0,5 %) med räntesatsen från början (1 %). 7 Du kan pröva dig fram till exempel så här: Från Till Procent- Procent enheter ledtrådar LäOr Läa 8 Räkna först ut hur mycket tiokronorna och enkronorna är värda sammanlagt. Läa 8 Räkna först ut hur mycket allt vatten i hinken väger när den är full. Läa MGN = 8 Tänk dig att näckrosen

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 43, 1960 Första häftet 2244. Vilka värden kan a) tan A tanb + tan A tanc + tanb tanc, b) cos A cosb cosc anta i en triangel ABC? 2245. På en cirkel med centrum O väljes en båge AB, som är större

Läs mer

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt

Läs mer