Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

Transkript

1 Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. Lösning till tentamen i 5B116 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl Tentamensskrivningen består av 4 moment, svarande mot kursens olika delmoment. Varje moment innehåller tal à 4 poäng. Så totalt kan man få 48 poäng. För godkänt betyg krävs att man klarat samtliga moment. Man blir godkänd på ett visst moment antingen genom att ha klarat motsvarande kontrollskrivning eller genom att ha minst 6 poäng på det momentet i tentan. För högre betyg krävs godkänt plus följande antal poäng: 4 poäng = betyget 4, poäng = betyget 5. Moment 1 1. I triangeln ABC är sidan BC = 6 cm och sidan AC = 15 cm. Undersök om triangeln för något eller några värden på vinkeln C kan få arean (a) 15 cm, (b) 196 cm. Areasatsen säger att arean = sin C = 1 15 sin C. I (a)-uppgiften får man 1 15 sin C = 15 sin C = 1 1 C 5 eller C 1. I (b)-uppgiften fås istället 1 15 sin C = 196 sin C = > 1 : går inte!

2 . Triangeln ABC är inlagd i ett koordinatsystem så att A = (4, 7), B = (6, 1) och C = (, ). (a) Beäkna triangelsidornas längder. (b) Bestäm vinkeln A. Sidlängderna fås med Pythagoras sats: Vinkeln A fås med cosinussatsen: AB = =, AC = = 5, BC = = 997. BC = AB + AC cos A AB AC = cos A = AB + AC BC AB AC = A 69, 9. = Bestäm det eakta värdet av sin 75 genom omskrivningen sin 75 = sin( + 45 ). sin 75 = sin( + 45 ) = sin cos 45 + cos sin 45 = = 1 + = 4 (1 + ). Moment 1. Lös ekvationen sin = sin. sin = sin = { + n π π + n π { = n π 4 = π + n π = n π och = π/4 + π/, där n =, ±1, ±,....

3 . Bestäm det största värdet för y = 5 sin + 1 cos genom att först skriva y på formen y = m sin( + v). Definiera vinkeln v med hjälp av en rätvinklig triangel där motstående kateten är = 5, närliggande kateten är = 1 och hypotenusan enligt Pythagoras är = 1. Då är cos v = 5/1, sin v = 1/1, så att ( ) 5 1 y = 5 sin + 1 cos = 1 sin cos = 1 (sin cos v + cos sin v) = 1 sin( + v). Eftersom det största värdet för sinus är = 1, så följer det häur att största värdet av y är 1.. Lös ekvationen sin cos =, 5. sin cos = 1/ sin cos = 1 sin = 1 = π/ + n π = π 4 + n π, där n =, ±1, ±,... Moment 1. Bestäm ekvationen för två tangenter med lutningen, 5 till kurvan y = sin. Visa sedan ditt resultat i en figur. y = cos =, 5 = ±π/ + n π; låt oss betrakta fallen = ±π/. (1) = π = sin = = tangentlinjen y = 1 ( π ) y = + π 6. () = π = sin = y = + π 6. = tangentlinjen y + = 1 ( + π )

4 . Låt Bestäm f (e). f() = ln. f() = ln = f () = ln 1 = f (e) = 1 1 =. (ln ) 1. Två icke-negativa tal har summan N. Bilda summan S av talens kvadrater. Bestäm sedan det största respektive det minsta värdet av S. Låt talen vara och N, där och N, det vill säga o N. Summan S() av talens kvadrater är då Derivering ger S() = + (N ) = N + N. S () = 4 N = 4 ( N/), så S () < då < N/ och S () > då > N/. Härur följer att S() är avtande då < N/ och väande då > N/, vilket betyder att minsta värdet är S(N/) = N / och det största är S() = S(N) = N. Moment 4 1. Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna y = och y = e / samt linjerna = 1 och =. Arean = 1 (e / ) d = [4e / /] 1 = 4e 8/ (4e 1/ + 1/) = 4e 4 e. 4

5 . Tillväthastigheten för en djurpopulation är (5 + 5) individer per år, där är tiden i år räknat från år, då antalet individer var 15. Hur stor bör populationen vara år 1 enligt denna modell? P (1) = (5 + 5) d = 15 + [5 + 5 /] / = = 18.. Beräkna derivatan av sin + cos, och använd resultatet för att beräkna integralen π/ cos d eakt. Låt oss sedan beräkna samma integral approimativt med hjälp av trapetsmetoden. Hur stort blir felet om vi använder två respektive fyra delintervall? I = ( sin + cos ) = cos + sin sin = cos = d d π/ Formeln i trapetsmetoden är cos d = [ sin + cos ] π/ = π 1, 571. integralen över ett visst intervall 1 (intervallets längd) (summan av integrandens värden i ändpunkterna). Med de två delintervallen [, π/4] och [π/4, π/] fås I 1 π 4 π 4 cos π π 4 π 4 cos π 4 = π 16 så felet är, 46, 571 =, 15., 46, Med de fyra delintervallen [, π/8], [π/8, π/4], [π/4, π/8] och [π/8, π/] fås I 1 π 8 π 8 cos π π ( π 8 8 cos π 8 + π 4 cos π ) π ( π 8 4 cos π 4 + π 8 cos π ) π 8 π 8 cos π 8, 58 = felet är,. 5