Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Transkript

1 , MA104 Senaste uppdatering Dennis Jonsson

2 Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll

3 a) d) TEST 1:A, UPPGIFT b) (Eempel 1) (Eempel ) TEST :1A, UPPGIFT TEST :1A, UPPGIFT 1 a) TEST :1A, UPPGIFT 1 b)

4 TEST :A, UPPGIFT

5 (Alternativ 1) (Alternativ )

6 ,75 tan v 0,75 tan v Två fall: 0,75 0,05 1 0,75 0, ,4 Svar: Längden AB () skall ligga mellan 9,4 m och 15 m. 111 Testar båda trianglarna med Pythagoras sats: ABC: (56^+33^)^(1/) 65 DEF: (45^+8^)^(1/) 53 Av detta ser vi att endast triangeln ABC är rätvinklig. Alltså har Moa rätt och Per fel. (Observera att X^(1/), roten ur.) 11 tan 53 9,5/AD AD 9,5/tan 53 [9,5/tan 53 7, ] tan 37 AB/AD AB AD tan 37 AB 7, tan 37 [7, tan 37 5, ] AB är c:a 5,4 m

7 tan α 5/ [ arctan(5/) 68, ] tan β 3/8 [arctan(3/8) 0, ] arctan(3/8)+arctan(5/) 88, För att diagonalen i den nedre rektangeln skall vara en rät linje, Så skall summan av dessa båda tangensuttryck bli 90 Eftersom inte detta uppfylls så ser vi att vi är utsatta för en synvilla Värdeuttryck Beräknat sin(10) 0, sin(0) 0, sin(30) 0,5 sin(40) 0, sin(50) 0, sin(60) 0, sin(70) 0, sin(80) 0, cos(90 10) 0, cos(90 0) 0, cos(90 30) 0,5 cos(90 40) 0, cos(90 50) 0, cos(90 60) 0, cos(90 70) 0, cos(90 80) 0, sin v cos (90 v)

8 8 114 a) (cos(1))^+(sin(1))^ 1 (cos(10))^+(sin(10))^ 1 (cos(30))^+(sin(30))^ 1 (cos(90))^+(sin(90))^ 1 (cos(180))^+(sin(180))^ tan 60 3 FB 3 tan45 1 DF 3 3 sin 60 CF 1 sin 45 CD Vinkeln CDF 45 grader Vinkeln DFC grader Vinkeln DCF 15 grader 1178 tan v 8 1, fås från bilden 8 v tan [ arctan(8/1) 33, ]

9 OBS! Vinkeln är I grader (DEG) sin 87, ( + 5) sin 87, 73 sin 87, sin 87, 73 5 sin 87,73 sin 87,73 5 sin 87,73 (1 sin 87,73) 5 sin 87,73 1 sin 87,73 (5 sin(87,73))/(1 sin(87,73)) 6366, km

10

11 11 118

12 tan 1 () arctan

13

14 a) a ger: 36/90 0,4 Jag beräknar sin 36 enligt given formel: (11 0,4 3 0,4^3)/(7+0,4^) 0, Detta ger att sidan som markerats med 58,771 m b) sin(36) , Detta ger att sidan som markerats med 58,779 m Diff: 8 mm

15 15 11

16 16 113

17 17 114

18 18 10

19 19 11 A 180 (75+40) 65 BC (13*sin(65))/sin(40) Arean (BC 13 sin(75 ))/ ((13*sin(65))/sin(40)*13*sin(75))/ 115, km² 1 km² m² 1 ha m² 1 km² 100 ha Svar: Skogsområdet är c:a ha 135 sin A sin 30 sin A,0 1,,0 sin 30 1, (,0 sin(30))/1, 0, Detta ger möjliga vinklar på A: Vinkel 1: arcsin((,0 sin(30))/1,) 56, Vinkel : , , Av figuren ser vi att det är vinkeln 56,4 som avses. Vinkeln B: 180 (30+56,4) 93,6 Sträckan AC beräknas: sin 93,6 1, sin 30 1, sin 93,6 sin 30 (1, sin(93,6))/(sin(30)), ,4 Svar: Staget bör vara,4 m långt.

20 0 136 Jag ritar en triangel för att se. Man ser redan nu av bilden att något är fel. Vad? Använder mig av sinussatsen: sin B 3 sin103 3 sin103 sin B sin103 B sin 1 7 Om jag slår detta på räknaren, så svarar den ERROR. Detta beror helt enkelt på att de givna värdena inte ger en triangel sin 95 A sin 1 34,4 740 B 180 ( ,4) 50, 6 Sträckan AC AC sin 50,6 AC 574, sin 50,6 sin 95 sin 95 Beräkning med rjcalc: (740*sin(50,6))/sin(95) 574, Svar sträckan AC är 570 meter.

21 1 140

22 141

23 3 157

24 4 160

25 5 160 Börja med att ta reda på AB, BC och AC AB , 10 BC 67, ,5 AC 67, ,5 Vi vill veta vinkeln A Använd cosinussatsen BC AB + AC AB AC cos A ( 6355,5) ( ) + ( 443,5) ,5 cos A 6355, , ,5 cos A ,5 6355,5 cos A -0, ,5 Slå på räknare: [( ,5 6355,5)/(*(33994)^(1/)*(443,5)^(1/)) 0, ] A cos 1 (- 0, ) Slå på räknare: arccos( 0, ) 95, [ cos ] 1 arccos A 95,1 Svar: Vinkeln A är c:a 95,1

26 6 161 * CN ( AN ) + ( AB) + ( BC )

27 7 17

28

29

30 30

31 a)

32 d)

33 Lös ekvationen cos cos( 30 ) ± ( 30 ) + n 360 Fall n n 360 Fall ( 30 ) + n n n n sin 4 3sin Sätt t Skriv om ekvationen 5 sin t 3sint 5 sin t 3sint 0 3 sin t sin t 0 5 Skriv om enligt formeln för dubbla vinkeln 3 sin t cost sin t 0 5 Bryt ut sin t 3 sin t ( cos t ) 0 5

34 34

35

36 36 TEST 1:A, UPPGIFT 5

37 b)

38 (Eempel 1)

39 (Eempel )

40

41 41 160

42 4 161

43 43 16 a) Skriv om uttrycket y 6 sin + 8 cos m tan v v tan 1 53, Svar: y 10 sin( + 53,1 ) på formen y m sin( + v).

44 44 TEST :1A, UPPGIFT 10

45 45 TEST :1A, UPPGIFT 1 a)

46 46 TEST :1A, UPPGIFT 1 b)

47 47 37 a) π cos t π 5000cos t π cos t π cos t 0,04 6 Detta ger alternativ I och II I π 6 t 1, t ( 1, ) π t 3,1 II π π t 1, π t π (1, ) 6 6 t ( π 1, ) π t 8,9

48 48 37 b) π π cos t cos π t π 0, Detta ger alternativ I och II I π t π 0, π 10 t 0, π t 7, t 8,0 II π π t 0, π π t + 0, π t π 0, π t 0, π t, t,0

49 49 38 a) NEJ! sin är detsamma som b) JA! (sin ) 1 tan är detsamma som arctan 1 1 (tan ) är detsamma som tan

50 50 39

51 51 40

52 5 41

53 s h 3 π v r 1, 3 3 Bågen b v r b π 1,3,7 3 Svar:,7 cm (Se sid 100) 47 b v/360 pi r 0,5/360 pi , [ 3 10³] 48

54 π π 5,9 rad Jordens radie + satellitens höjd 7600 km. Detta är radie i den cirkel på vars rand satelliten färdas. Diametern, d är 7600 km 1500 km Omkretsen, o d π 1500π km Tiden är 90 min, vilket är 1,5h Hastigheten är sträcka/tid Detta ger Hastigheten 1500π km / h 31834, km/ h 3000km/ h 1,5

55 55 5 a) 60 km/h 1 km/min 1000 m/min Radien är 0,3 meter. Det betyder att vinkelhastigheten är 1000/0,3 3,3 10³ 3 b) Hjulets omkrets är 0,6 π π meter / π 530 varv 5

56 56 53 Se lösning i boken sid 53 54

57 cos( + h) cos h cos cosh sin sinh cos h cosh 1 sinh cos sin h h sin OBS! cos( a + b) cos a cosb sin asin b Se formelsamling

58 58 Kommentar: När h 0 så: cosh 1 0 h sinh och 1 h Se sid. 10 i boken a, < 0 f ( ) cos, 0 a) cos + a där 0 cos a a 1 Svar: Ja det blir en sammanhängande graf om a 1.

59 59 b) f () 1 där < 0 [rät linje, + a] f (0) 0 eftersom sin 0 0 OBS! y cos har derivatan y sin Svar: Nej

60 60 317

61

62

63 63 343

64 64

65 65 344

66 66

67 67 345

68 68 347

69 69 TEST :A, UPPGIFT 4

70 a) y e y' 1 e e (första derivatan) y' ' 4 e e (andra derivatan) y' '' 3 8 e e (tredje derivatan) Vi ser av mönstret att den n:te derivatan får följande utseende: y ( n) n e b) 1 1 y y ' ( 1 1) y'' 3 y''' 3 4 ( 1) ( 1) y IV 1 5 ( 1) Mönstret ger följande utseende på den n:te derivatan: y ( n) ( 1) n n! ( n+ 1) Obs! n! Kallas n fakultet och fungerar på följande sätt: E: 4! 4 3 ( 1) 314 Att slå på TI 84 : MATH + nderiv((000)/( *e^(-0,5)),X,1) + ENTER Resultat i ögat på räknaren: 139,764547

71 71 Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D 31 1 ) ( f + h h h f 1 ) ( 1 0 ) ( Multiplicera täljare och nämnare med ( h) h h h h h h f ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( h h h h h h h h f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( h h h h h h h h h h h h h h h f Om h går mot 0 (noll) så får vi: 3 4 ) ( ) ( f Svar: Derivatan till 1 går mot 3 då h går mot 0.

72

73 73 317

74

75 b) f ( ) e f '( ) 4e + e 4 e 4 + e 4 4 e (4 + ) ( 4 + ) ,5 OBS! e 4 kan inte bli 0 (noll) för något.

76 a) A ( t) ( + cost)(3 + sin t) A '( t) ( + cost)(cos t) + (3 + sin t)( sin t) A '( t) ( + cost)(4cos t) + (3 + sin t)( sin t) A' ( t) 8cos t + 8cost cos t 6sin t 4sin t sin t b) A (5) 8cos(10)+8cos(5) cos(10) 6sin(5) 4sin(10) sin(5) 4, ,9 OBS! Glöm ej att ha miniräknaren inställd på radianer!

77 a) ( f + g) ( f 4 g) Enligt kvadreringsreglerna: f + fg + g ( f 4 fg + fg 4 fg 4 4 fg + g fg f g ) f + fg + g 4 f + fg g b) y f g ( f + g) ( f g) y {Se uppg 314 a)} 4 Derivering enligt produktregeln: 1 y ' (( f + g)( f ' + g') ( f g)( f ' g' ) 4 Hur kan derivatan till Vi testar: z ( f + g) ( f + g)( f + g) ( f + g) vara detsamma som ( f + g)( f ' + g')? z ' ( f + g)( f ' + g') + ( f + g)( f ' + g' ) {Enligt produktregeln} ( ff ' + fg' + gf ' + gg') + ( ff ' + fg' + gf ' + gg' ) ( ff ' + fg' + gf ' + gg') ( f + g)( f ' + g') Gör på samma sätt för att kontrollera att Vi fortsätter: 1 y ' (( f + g)( f ' + g') ( f g)( f ' g' ) 4 y ' ( ff ' + fg' + gf ' + gg') ( ff ' fg' gf ' + gg' ) 4 1 y ' ( ff ' + fg' + gf ' + gg' ff ' + fg' + gf ' gg' ) ( f g) är detsamma som ( f g)( f ' g' ).

78 78 1 y ' ( fg' + gf ' + fg' + gf ') 1 y ' ( fg' + gf ') y ' fg' + gf '

79 a) y tan sin cos y tan Här använder vi oss av trigonometriska ettan. 1 cos cos b) 1 cos cos cos 1 cos 1 vsv. y cos 1 1 (cos ) 1 y y' (cos) 3 ( sin ) sin y y' OBS! 3 cos y sin cos sin sin sin y' y' 3 cos cos cos sin 3 cos Förkortning med sin ger y' cos 1 3 cos Multiplicering med cos ger 1 ' cos y vsv.

80

81

82 I y ln II y' y Derivera I enligt produktregeln: 1 y' + 1 ln 1+ ln II VL y' y Ersätt y med ln och y med 1+ ln. Då får vi ( 1+ ln ) ln + ln ln HL vsv. 3169

83

84

85 85 317

86

87

88

89

90 (Alternativ 1)

91 (Alternativ )

92 a) Jag har funktionen y. Jag skriver om den så att den går att skriva in i programmet + 1 RJGRAPH. (Tanka ned gratis från Dennis KunDa sida) y 4*(^+1)^( 1) [funktionen] Jag deriverar denna funktion och får då Y 4*(^+1)^( )* 48(^+1)^( ) [första derivatan] Jag deriverar även denna funktion och får då (Produktregeln) Y 48( (^+1)^( 3)*)+( 48(^+1)^( ) [andra derivatan] 48( 4(^+1)^( 3))+( 48(^+1)^( ) 19*^*(^+1)^( 3) 48*(^+1)^( ) Kan även skrivas: 144*(+)*( )/((^+1)^(3)) Jag låter programmet rita upp dessa kurvor: Av grafen framgår att funktionen att när andraderivatan är negativ så är funktionen skålad nedåt. I detta fall i intervallet: < <

93 93 33 a) Kalla talen för och N (eftersom talens summa är N) 0 och 0 ger Alltså är: 0 s summan av de båda talens kvadrater s + ( N ) + N N + N + N Jag deriverar s: s' 4 N s ' 0 ger 4 N 0, N Jag deriverar igen (för att få andra derivatan): s' ' 4 Fyra är positivt, vilket medför att funktionen s har ett minimivärde. ( Glad mun ) Jag sätter in N/ i s för att få reda på funktionens lägsta värde: N N N s N + N N 4 N + N N N + N N N Funktionens lägsta värde är. Största värde fås vid s(0) s(n), vilket är värdet i ändpunkterna. Funktionens största värde är S(N) N² [ s ( N) N N N + N N ] a) N² b) N²/

94 94 34 a) sin v 1sin v [uttryck för kortsidan] 1 z cos v z 1cosv [uttryck för halva långsidan] 1 Hela långsidan z 1cosv Area kortsida långsida A 1 s1sin v 1cosv 1 1 sin v cosv 144 sin v cosv 144 sin v [dubbla vinkeln] OBS! π 0 < v < b) Med Pythagoras sats: z 144 Hela långsidan z 144 Area kortsida långsida A OBS! 0 < < 1 c) Största area Uttryck för arean: 144 sin v Största arean fås där sin v 1 M a o är den största arean 144 cm²

95 95 35

96 96 37

97

98 98 330

99 99 33 y e > 0 a) y 0, 4 e 0,4 3 e 0,4 Jag ritar grafen till denna funktion med min TI 84 och tracar sedan fram svaret. 1,1 eller 6, 5 333

100 100

101 101 Höjden är alltså 1

102 Punkten,1 ligger på grafen. Det betyder att: 3 a b e 1 3 a e b b 3 b a e 3 e a a e 3 b e b b 3 e ( upphöjt till minus ett genom ) y '

103 Pythagoras sats ger: A: y + u (16 ) + z B,C: u ( u z) + 16 Lös ut z² ur B D: z 3 16 Lös ut u ur C E: u z +16 z Det ger ( z + 16 ) F: u 4z Sätt in z 3 16 i F u ( ) 4(3 16 ) Efter diverse förkortningar fås u Sätt in u² i A y ( 16) {patrik.erion@telia.com, den 9 januari :18:05}

104 104 3 y, 8 < Vi letar reda på minsta värde på y² Sätter y² q och söker minsta värde för q 3 q, 8 < Gör ett förtydligande här! q 3 ( 16) 1 För att derivera denna sammansatta funktion delar jag upp den i f() och g() Derivering utförs enligt produktregeln (sid. 18) f ( ) 3 1 g( ) ( 16) 16 f '( ) 6 g'( ) ( 16) q' 3 ( ( 16) 1 ) + ( 16) 1 6 q' 3 ( 16) q' 3 ( 16) q' ( 16) ( 16)

105 105 q' ( 16) ( 16) ( 16) 8 ( 1) ( 16) q 0 om 1 i det givna intervallet. [ 8 < 16 ] Med hjälp av att studera tecken av q ser vi att det blir ett maimum. Svar: 1 ger y min Graf av derivatan, q & // Dennis Jonsson

106 y 5 e y' 10e y ' + y 0 ger 10e + (5 e ) 0 10e + 10 e 0 v.s.v 3303 y ' y y y e y' e + e 1 e + e e ( + 1) ( e + e ) y y e + e y y e ( + 1) y y Sätt in: y y ( + 1) y y y + y y y y y v.s.v e i e ( + 1) y y

107

108 Ledning: Enligt formeln för dubbla vinkeln: cos cos 1 ger 1+ cos cos Alltså kan funktionen skrivas så här: 1 cos f ( ) + 1 sin sin F ( ) Är sin F ( ) en primitiv funktion till 4 cos f ( ) Vi testar genom att derivera sin F ( ) 4 cos cos 1 cos cos F '( ) vsv. 4 4

109

110

111

112 11 348

113

114

115

116

117