Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Transkript

1 Kap Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b. ( e) x = e x c. e x = e x 303. (A) Lös ekvationerna: a. ln (x ) = ln (x + ) + ln (x ) b. ln (x + ) + ln (x + ) = ln (x + 5) c. ln x = ln x d. ln (x + ) = ln (x + ) + ln x e. ln ( x ) = ln ( x) 30. (A) Beräkna gränsvärdena: a. lim x x ln x + sin x x x ln x 3 b. lim ( + x + x )e x x x ln x då x (A) Undersök för vilka x är funktionen f(x) = 0 då x = 0 definierad, respektive kontinuerlig. 30. (A) Bestäm i förekommande fall inversfunktionen x = x(y) till funktionen y = y(x) om y är den funktion som anges nedan. Ifall funktionen saknar invers så ange detta. a. y = x + 3, < x < b. y = x, x 0 c. y = x, x 0 d. y = x, < x < e. y = x 3 + x, x 3 f. y = x, x < 0

2 307. (A) Beräkna exakt a. arcsin c. arctan 3 b. arccos ( ) d arcsin + arccos e. arcsin 3 + arcsin 3 g. arccos tan π 3 sin π 3 f. arctan tan π/5 h. arcsin + arcsin 3 Svaren får inte innehålla cyklometriska eller trigonometriska funktioner (A) Beräkna exakt a. sin arcsin c. cos arccos b. arcsin sin 3π 5 d. arccos cos π 5 e. tan (arctan ) f. arctan tan 7π 5 g. cot (arccot 3) h. arccot cot π 5 Svaren får inte innehålla cyklometriska eller trigonometriska funktioner (A) Beräkna exakt a. cos arcsin 3 b. sin arccos 7 9 c. tan arccos (A) Beräkna exakt a. sin arcsin 3 + arccos 7 9 b. tan arccos arccot 5 c. sin arccos 3 d. sin arctan 3 + arccos 3

3 3. (A) Förenkla så långt som möjligt: a. arctan ( + ) + arctan ( ) b. arccos arccot 7 c. arctan + arctan 3 d. arcsin arctan 7 e. arctan + arccos 3 5 f. arccos + arcsin 7 g. arctan + arctan 5 + arctan 8 h. arccos 5 + arcsin 3 0 i. arcsin + arccos 5 + arctan 3 Svaren får inte innehålla cyklometriska funktioner. 3. (A) Avgör, utan hjälp av räknedosa eller motsvarande, vilket som är det större av de båda talen arctan + arcsin 3 och arccos. 33. (A) Lös ekvationerna: a. arcsin x = π b. tan arcsin x = c. cos ( arcsin x) = x d. arccos x + arcsin (x + ) = π e. arcsin ( x) + arccos 5 x = π f. arcsin x + arccos x = π g. arcsin (x ) + arccos x = π h. arctan x = arcsin x i. arccos 3x = arctan x j. arcsin x = arccos x k. arccos 0x + = arcsin x 3

4 33. l. arcsin x = arctan x m. arcsin x + arcsin ( x ) = π n. arccos x + arcsin x = π o. arctan x arcsin x = arccos x 3. (B) Lös ekvationerna: a. arcsin x arccos x = arccos x b. arcsin x = arccot x x c. x arcsin x + = arctan x x d. arctan x + arctan x = π e. 3 arccos x = arccos 3x 35. (B) Visa att funktionen f(x) = arctan (x + ) arctan x är konstant x + i vissa intervall och bestäm konstantens värde i de olika intervallen. 3. (B) Visa att arctan b a arctan d c = arctan bc ad ac + bd om abcd > (B) För vilka x gäller att arctan x > arccot x? 38. (A) Följande funktioner är ej definierade för x = 0. Definiera dem för x = 0 så att de är kontinuerliga också i den punkten. a. arctan (ln x ) b. x ln x 39. (B) Visa att ekvationen x + arctan x = har exakt en lösning. 30. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. arcsin x b. arccos x c. arctan x d. arctan + x x arctan x

5 3. (A) Beräkna höger- och vänsterderivatorna i x = 0 till funktionen f(x) = arcsin x + arcsin x 3. (A) Bestäm andraderivatan till funktionen ( + x ) arctan x. 5

6 Ledningar till uppgifterna Använd logaritmlagarna. a. Använd att ln n = n ln b. Använd att log a b = ln b / ln a 30. Använd potenslagarna. a, b. Vänsterleden i de båda ekvationerna är identiska: e x = e x/ = ( e) x 303. Använd logaritmlagarna. a. ln a + ln b = ln ab, observera också att x måste väljas så att x + > 0, x > 0 och x, detta eftersom funktionen ln t definierad endast då t > 0 och funktionen t endast då t 0. b. Jämför a. c. ln x = ln x d. Jämför a. e. ln ( x ) = ln ( x) / x = x x = eller x = Prövning visar att x = är en rot till den givna ekvationen, men att x = inte är det argumenten för ln-funktionerna är då negativa! 30. a. Förkorta med x, obs. att ln x = ln x och att ln x3 = 3 ln x. Se sats 5, sid 93 b. Se sats 5, sid Tillämpa sats på sid 79 för att visa att funktionen är kontinuerlig då x 0. Undersök sedan gränsvärdena lim f(x) och lim f(x). Se x 0 x 0+ sats 5, sid a. f. Jämför definition på sid 73.

7 307. Se definitionenerna på sid 0, 05, 30 och exemplen,, 3, 7, 9 kap 3.5. Använd relationerna mellan vinklar och sidförhållandena i trianglarna: π/ 3 π/ π/ π/3 I uppgift f: Observera att /tan a = cot a = tan (π/ a) Se definitionenerna på sid 0, 05, 30 och exemplen,, 3, 7, 9 kap Se definitionenerna på sid 0, 05, 30 och exemplen,, 3, 7, 9 kap 3.5. Håll reda på de trigonometriska funktionernas tecken i de olika kvadranterna. Visa t ex genom att betrakta lämpliga trianglar att för a > 0 gäller: ϕ sin ϕ cos ϕ tan ϕ cot ϕ arcsin a arccos a arctan a a a a a a a a a a a a a + a + a a arccot a + a + a a a a Dessa samband gäller emellertid också för a < 0, vilket kan inses av resonemang av följande slag: Om a < 0 så är a = b > 0 och exempelvis tan (arcsin a) = tan (arcsin ( b)) = { Teckenreglerna för tan och sin } = b = tan (arcsin b) = { Enligt ovan } = b = a a, dvs sambandet i tabellen ovan gäller även för dessa a värden. a a 7

8 30. Använd additionssatserna för sin, cos resp tan och jämför ledningen i föregående uppgift. 3. Beräkna först tan (eller någon annan trigonometrisk funktion) för uttrycken. Använd samma teknik som i den föregående uppgiften för att förenkla dessa uttryck Detta ger att den sökta storheten är en av oändligt många, men glest fördelade tal. Bestäm sedan med någon grov uppskattning av storleken på termerna i det ursprungliga uttrycket vilket av dessa möjliga värden som är det riktiga. Lösning till a: Låt α = arctan ( + ) och β = arctan ( ). Då är tan (α + β ) = tan α + tan β tan α tan β = ( + ) + ( ) ( + )( ) =. Alltså är α + β = π/ + nπ, n något heltal. Eftersom + > 0 och < 0 så är 0 < α < π/ och π/ < β < 0. Av detta följer att π/ < α + β < π/, dvs π/ < π/ + nπ < π/, varav 3/ < n < /. Men n är ett heltal, alltså n = 0. Detta ger svaret α + β = π/. 3. Låt α = arctan, β = arcsin 3 och γ = arccos. Förenkla, med hjälp av tekniken i föregående uppgift, tan(α + β) samt visa att tan(α + β ) < tan γ. Verifiera sedan att α + β och γ är vinklar i första kvadranten och använd att tan-funktionen är strängt växande i det intervallet för att dra slutsatsen att α + β < γ. 33. a. Använd definitionen av arcsin-funktionen. b. Sätt arcsin x = t och bestäm först t ur den givna ekvationen. Notera därvid att π/ arcsin x π/. Bestäm sedan x ur ekvationen arcsin x = t. c. Använd att cos α = sin α d,e. Använd t ex att π/ arccos x = arcsin x. f. Skriv t ex först om ekvationen enligt arccos x = π/ arcsin x. Tag sedan cos för båda leden och förenkla till en algebraisk ekvation man får: x = 3 x + x. Lös denna ekvation och pröva rötterna. g. Ekvationen kan skrivas arccos x = arccos (x ). Tag cos för båda leden, förenkla, lös ekvationen och pröva rötterna. h. Tag tan för båda leden, förfar sedan som ovan 8

9 33. i. Tag tan för båda leden, förenkla vänster led. k. Tag cos för båda leden. Förenkla och förfar sedan som ovan. Notera också att cos α = sin α l. Ta sin eller tan för båda leden. m. π/ arcsin x = arccos x. Ta sedan sin eller cos för båda leden. (Ett alternativ: Använd att arccos x = arcsin x om 0 x ) n. Ekvationen kan skrivas arccos x = arccos x o. Notera att arcsin x + arccos x = π/ 3. a. Ekvationen kan med hjälp av sambandet arcsin x = π/ arccos x skrivas arccos x = π 3 arccos x. Tag sedan cos för båda leden och använd att cos 3α = cos 3 α 3 cos α. (Kan visas genom att via additionssatsen för cos använd på cos (α + α)). Pröva rötterna till den erhållna ekvationen. b,c. Tag t ex sin för båda leden, förenkla, lös ekvationen och pröva rötterna. d Ta t ex tan för båda leden, fortsätt sedan som i c. e. Ta cos för båda leden. Använd tex att cos 3α = cos 3 α 3 cos α. Efter förenkling får man ekvationen x 3 3x = 0. Prövning visar att ingen av rötterna duger som lösningar till den givna ekvationen. [Anmärkning: Man kan också utnyttja att arccos x enligt definitionen är avtagande och 0 och att arccos x π/ då x 0. Man får : För x > 0: arccos 3x < 3x > x < arccos x 3 arccos x För x 0: arccos 3x π < 3π/ 3 arccos x (Skissera gärna graferna för y = arccos 3x och y = 3 arccos x). Under alla omständigheter är alltså arccos 3x 3 arccos x] 35. Använd additionssatsen för tan och förenkla tan f(x). Man får att tan f(x) =. Verifiera sedan att funktionen är definierad och kontinuerlig i intervallen (, ) och (, ). Bestäm konstanterna genom insättning av något lämpligt x-värde i vardera intervallet. [Anmärkning: Uppgiften kan också lösas med hjälp av derivering. Man får efter förenkling f (x) = 0 utom för x =, då funktionen är odefinierad.] 9

10 3. Låt arctan b a = α och arctan d = β. Visa först att c bc ad tan(α β ) = ac + bd. Verifiera sedan att b a och d har samma c tecken och att detta har som konsekvens att π/ < α β < π/. 37. Utnyttja att arctan x är en växande och att arccot x är en avtagande funktion. Bestäm det x för vilket likhet gäller mellan funktionerna. 38. a. lim ln x = och x 0 b. x ln x = x ln x. lim τ arctan t = π 39. Obs att funktionen f(x) = x + arctan x är strängt växande. Notera t ex att f(0) = 0 och att f() = + π/. 30. Deriveringsreglerna finns i kap Jämför exempel på sid 05. 0

11 Svar till uppgifterna a. 3 b a. och b. x = 0, x = c. x =, x = 303. a. Alla x b. x = c. x =, x = e d. x = e. x = 30. a. / b Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla reella x. 30. a. x = y 3, < y < b. x = y, y 0 c. x = y, y 0 d. Funktionen saknar invers. e. x = 3y + y, y f. x = y, 0 y π 307. a. b. π c. π 5π d. e. 0 f. 3π 0 g. π π h a. c. e. f. g. 3 h. b. π 5 π d. 5 π 5 3π 5

12 309. a. 3 c. 7 b a. c. 3 9 b. 3 d a. π c. 3π d. π e. π f. π g. i. π 5π b. h. 3π 3π 3. arccos är det större av talen. 33. a. c. ± 3 e. Inga lösningar f. b. d. g. 0, h. 0, i. k. 3 j. l. 3 m. 0, n. 0, o. 3. a. b. 5 c. 0 ; d. 0 ; 7 e. Inga lösningar

13 35. f(x) = π/ då x > 3π/ då x < 37. x > / 38. a. π b a. c. x b. x x ( + x) d. 0 + x x 3. c. f +(0) = 0; f (0) = 3. a. x + x + arctan x 3