MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp"

Transkript

1 MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största och minsta värde, gtrafen till en funktion samt nollställen. Om du inte kan dessa begrepp lönar det sig att repetera dem från tidigare kurser. Ex. 203 (s. 19) Anta att funktionen g(x) = 9 (3x 2) 2. a) Bestäm funktionens definitionsmängd, värdemängd och nollställen. b) För vilka värden på variabeln x får funktionen negativa värden? c) Bestäm funktionens största och minsta värde. Räkna: (s ) 201, 202, (207), (215)

2 2.2 Växande och avtagande funktioner - För alla x 1, x 2 A där x 1 < x 2 är funktionen a) växande om f(x 1 ) f(x 2 ), dvs. ordningen bevaras. b) strängt växande om f(x 1 ) < f(x 2 ), dvs. ordningen bevaras. c) avtagande om f(x 1 ) f(x 2 ), dvs. ordningen byts. d) strängt avtagande om f(x 1 ) > f(x 2 ), dvs. ordningen byts. - Om man förenklar det hela kan man säga ett funktionen är växande då grafen går nerifrån upp när man rör sig från vänster till höger och att funktionen är avtagande om grafen går uppifrån ner när man rör sig från vänster till höger. - En funktion som är (strängt) växande eller (strängt) avtagande är (strängt) monoton. Ex. 2.1 Bestäm när funktionen är a) växande b) avtagande. Ex. 219 (s. 34) Undersök med hjälp av funktionens graf för vilka värden på variablen x som funktionen är avtagande. a) f(x) = 1 b) 2x 6 f(x) = 2x 2 8. Se graferna i boken. Ex. 232 (s. 35) Anta att f: R R. Lös olikheten f(x) > f(3), om funktionen f är a) strängt växande b) strängt avtagande. 7 Ex. 2.2 Lös olikheten 3x 5 > 2. Räkna: (s ) 220, 221, 224, (226), 227, 228, 229, 231, (233)

3 3. Rationell funktion 3.1 Grundbegrepp - Ett rationellt tal är av typen m n, m, n Z, n 0. - Ett rationellt uttryck är av formen P(x), där P(x) och Q(x) är polynom. Uttrycket är Q(x) definierat då Q(x) 0. - Ibland kan ett rationellt uttryck förkortas till ett polynom. Om uttrycket inte kan förkortas till ett polynom kallas det för ett bråkuttryck. - En rationell funktion är en funktion av typen f(x) = P(x), där P(x) och Q(x) är polynom och Q(x) 0. Ex. 302 a) (s. 43) För vilka värden på variabeln x är den rationella funktionen f(x) = x 5 x 2 25 definierad?. Ex. 304 b) (s. 43) Hyfsa uttrycket 9x2 y 2 3y. Ex. 308 a) (s. 43) Hyfsa uttrycket 3 k k 2 6k+9. Ex. 313 (s. 44) För vilka värden på parametern k går divisionen kx2 +x 1 jämnt ut, dvs. uttrycket kan hyfsas till ett polynom? Q(x) x+1 Räkna: (s ) 301, 302, 305, 306, 309, (317), (318)

4 3.2 Räkneoperationer - För rationella funktioner gäller samma räkneregler som för rationella tal. Ex. 322 (s. 48) Hyfsa uttrycken a) n 1 n + 1 n b) 1 x x Ex. 324 (s. 48) Hyfsa uttrycken a) n 1 n n 2 1 n b) x+2 2x+2y x+y x 2 1 Räkna: (s. 48) 319, 321, 326, 328, 332, (336) 3.3 Rationella ekvationer - Då man löser rationella ekvationer måste man komma ihåg att förbjuda nämnarens nollställen. Efter det kan man lösa ekvationen som vanligt och till slut kontrollera att svaret stämmer överens med kravet. Ex. 339 c) (s. 55) Lös ekvationen x x 1 = 2. Ex. 341 b) (s. 55) Lös ekvationen 2x2 +10x 5+x = 2x. - Om man skall bestämma nollstället för en rationell funktion skall man lösa ekvationen f(x) = 0. Då skall man igen börja med att ställa kravet. Efter det räcker det att räkna täljarens nollställe. Ex. 342 a) (s. 55) Bestäm nollställena för den rationella funktionen f(x) = x+2 x 2 4. Räkna: (s. 55) 339b, 340b, 342b, 343b, 346, (349)

5 3.4 Rationella olikheter - För att lösa rationella olikheter skall man följa några enkla steg: 1. Flytta alla termer till vänstra ledet (eller alla termer till högra ledet). 2. Förläng vid behov, så att hela vänstra ledet är skrivet på ett bråksträck. 3. Beräkna täljarens nollställen. 4. Beräkna nämnarens nollställen. 5. Rita teckenschema med hjälp av skisser eller testpunkter. Teckenschemat skall ha en rad för täljaren, en rad för nämnaren och en rad för kvoten. 6. Nämnarens nollställen skall markeras in på teckenschemat med sågtand medan täljarens nollställen kan markeras med vanligt rakt sträck. Ifall täljaren och nämnaren har ett gemensamt nollställe skrivs det in som sågtand, dvs. som ett nollställe för nämnaren. 7. Se på tecknen för att bestämma tecknet på kvoten. 8. Resultatet kan nu avläsas från teckenschemat. Ex. 351 (s. 58) Lös den rationella olikheten x 2 x 2 3x+2 0. Ex. 352 (s. 58) Lös den rationella olikheten 5x x+1 1. Räkna: (s. 58) 350, 353, (355), 358

6 4. Gränsvärde för en funktion 4.1 Ensidiga gränsvärden - Ensidiga gränsvärden delas i vänster- och högergränsvärden. Funktionens värde i punkten x = x 0 har ingen betydelse då man definierar ensidiga gränsvärden. Funktionen behöver inte ens vara definierad i punkten. - Vänstergränsvärde betecknas lim f(x) och högergränsvärde lim f(x). x x0 x x+ 0 - Det är också möjligt att ett numeriskt ensidigt gränsvärde saknas. Ex. 401 (s. 62) Bestäm med hjälp av grafen de ensidiga gränsvärdena för funktionen för a) x = 1 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 4. Se grafen i boken. Räkna: (s ) 402, 404, Gränsvärde - Definition: Funktionens gränsvärde lim x x0 f(x) är a om både vänster- och högergränsvärde är a, dvs. lim f(x) = a lim f(x) = a och lim f(x) = a x x 0 x x0 x x+ 0 OBS! Funktionsvärdet behöver inte vara samma som gränsvärdet. Se bilden i boken s. 64. Ex. 409 (s. 67) Bestäm med hjälp av funktionens graf gränsvärdet för funktionen för a) x = 0 b) x = 3 c) x = 2. Se grafen i boken. - Om man inte har tillgång till grafen kan gränsvärdet bestämmas numeriskt. Detta är inte den mest praktiska metod dock. Ex. 415 (s. 68) Undersök numeriskt om funktionen f(x) = x3 1 har ett gränsvärde för x = 1. x 2 1 Räkna: (s ) 412, 414, 416

7 5. Kontinuerlig funktion 5.1 Inledning - Se på exemplen i boken s Dessa exempel försöker förklara begreppet kontinuitet. 5.2 Kontinuitet - En funktion är kontinuerlig från vänster om vänstergränsvärde är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim f(x) = f(x x x0 0). kontinuerlig från höger om högergränsvärde är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim x x0 + f(x) = f(x 0). kontinuerlig om vänstergränsvärde är lika med högergränsvärde som är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim f(x) = lim f(x) = f(x x x 0 x x+ 0) 0 Med andra ord, funktionen är kontinuerlig i punkten x = x 0 om gränsvärdet är lika med funktionsvärdet lim f(x) = f(x 0 ) x x0 - Om funktionen inte är definierad i ett intervall kan man inte tala om kontinuitet eller dikontinuitet. - Funktionen är kontinuerlig i ett intervall om den är kontinuerlig i varje punkt i intervallet. - Om funktionerna f och g är kontinuerliga och c R så är följande funktioner kontinuerliga i sina definitionsmängder: c x cf(x) f(x) ± g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x)

8 - Några exempel på funktioner som är kontinuerliga i sina definitionsmängder: Konstanta funktioner: f(x) = c Potensfunktioner: f(x) = x n Polynomfunktioner: P(x) Rationella funktioner: P(x) Q(x) Ex. 503 (s. 84) Använd grafen för att avgöra om den givna funktionenä r kontinuerlig eller ensidigt kontinuerlig för a) x = 3 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 4. Räkna: (s ) 501, 502, 505, Bestämning av ett gränsvärde med hjälp av kontinuitet - Om funktionen är kontinuerlig kan gränsvärdet beräknas genom att låta x = x 0. - Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. - Har man en funktion som inte är ett polynom måste man först se för vilka värden funktionen är definierad. Sedan skall uttrycket hyfsas och först efter det kan man göra insättningen lim x x0 f(x) = f(x 0 ) om möjligt. Ex. 5.1 Beräkna gränsvärdet för funktionen f(x) = 3x 3 7x + 16 för x = 2. Ex. 5.2 Beräkna gränsvärdet för funktionen f(x) = x4 2x 2 +x x för x = 0. Ex. 519 a) (s. 97) Bestäm gränsvärdet lim x2 9. x 3 x 3 - Om uttrycket inte kan hyfsas så att man kan göra insättningen kan man försöka räkan vänster- och högergränsvärde skilt och se om de är lika. Ex. 527 a) (s. 98) Undersök om gränsvärdet existerar: lim x x2. x 0 x Räkna: (s ) 513b, 514b, 515b, 516b, 517b, 518b, 519b, 523, (524), 528, 530, 539, (540), (542), (546)

9 5.4 Existensen av ett gränsvärde - Sats: Om lim x x0 f(x) = a 0 och lim x x0 g(x) = 0 så existerar inte ett numeriskt gränsvärde lim x x0 f(x) g(x). Det vill säga om nämnarens gränsvärde blir noll måste täljarens gränsvärde också vara noll för att ett numeriskt gränsvärde för den rationella funktionen kan existera. OBS! Även om både täljarens och nämnarens gränsvärde blir noll behöver inte ett gränsvärde existera, men möjligheten finns. Ex. 552 c) (s. 106) Anta att funktionen f(x) = 4 x2 2x 3 4x 2. Bestäm lim f(x) då x 0 = 0. x x 0 Räkna: (s ) 549, (555) 5.5 Kontinuitetsundersökningar 2x + 1, x < 3 Ex. 563 (s. 114) Är funktionen f(x) = { 2 x 2 kontinuerlig för, x 3 a) x = 0 b) x = 3? Ex. 570 (s. 114) För vilka värden på konstanten a är funktionen f(x) = 2x 3, x < a { 1 kontinuerlig för x = a? x + 2, x a 3 Räkna: (s ) 564, 567, 568, 569, (576)

10 5.6 Satser om kontinuerliga funktioner - Bolzanos sats: Om f(a) och f(b) har olika tecken och f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b], så har funktionen åtminstone ett nollställe i det öppna intervallet ]a, b[. - Om funktionen är strängt monoton (dvs. strängt växande eller strängt avtagande) så har funktionen exakt ett nollställe i ett givet intervall. Ex. 584 (s. 121) Visa att funktionen f(x) = x 3 4x 2 + x 5 har åtminstone ett nollställe. - Sats: Om funktionenä r kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b] så antar funktionen i intervallet ett största och ett minsta värde samt alla värden mellan det största och det minsta värdet. - Denna sats möjliggör att man bestämmer en funktions värdemängd genom att bestämma endast det största och det minsta värdet. Ex. 5.3 Bestäm värdemängden för funktionen f: [1, 5] R, f(x) = x Räkna: (s ) 582, 583, (585), 590

11 6. Derivata 6.1 Inledning - Monotonitet är en kvalitativ, dvs. en beskrivande, egenskap hos funktionen. Till näst skall vi se på derivatan som är en kvantitativ, dvs. siffermässig, egenskap som motsvarar monotonitetetn. - Derivatan beskriver funktionens tillväxthastighet. 6.2 Derivatans definition - Derivatan anger momentan tillväxthastighet och är således lika med tangentens riktningskoefficient. - Derivatan för funktionen f(x) betecknas f (x). - Derivatan i punkten x 0 för funktionen f är: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 eller f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Bevis för att båda definitionerna betyder samma sak: Vi betecknar: x = x 0 + h h = x x 0 x 0 = x h Nu får vi att f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) = lim x x0 x x 0 = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) x (x h) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Alltså är f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) = lim x x0 x x 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h 0 h.

12 Ex. 602 (s. 131) Bestäm a) differenskvoten från 1 till 3 b) differenskvoten från 1 till 1 + h (h 0) c) derivatan g (1) för funktionen g(x) = x x 3. Ex. 607 (s. 131) Bestäm f (x) med hjälp av derivatans definition om f(x) = x 2. Ex. 613 (s. 131) Bestäm gränsvärdet om f(0) = 3 och f (0) = 5. f(h)+3 f(2h)+3 a) lim b) lim h 0 h h 0 h Räkna: (s. 131) 601, 603, 605, 606, 608, 609, 610, (611), 612, (614) 6.3 Deriveringsregler - Derivatan för funktionen f betecknas f, Df eller df dx. - Andra derivatan, dvs. derivatan av derivatan, betecknas f. Högre derivator, t.ex. n:te derivatan betecknas f (n). - I praktiken bestäms derivatan mha. deriveringsregler. Ex. 6.1 Bestäm derivatan av funktionen a) f(x) = 3x b) g(x) = x 5 + x 3 c) h(x) = 2x 7 3x 4 d) k(x) = x 1 x 3 Ex. 6.2 Bestäm derivatan och andra derivatan till f(x) = (3x 2 4)(6x 5). Ex. 6.3 Bestäm derivatan till funktionen g(x) = (2x 3 5x) n, där du själv väljer ett värde för n. Ex. 6.4 Bestäm värdet för f (2) då f(x) = x 3. - Polynomfunktioner och rationella funktioner är deriverbara i sina definitionsmängder. - Deriverbara funktioner är alltid kontinuerliga. - Alla kontinuerliga funktioner är inte deriverbara (ex. f(x) = x ). - Diskontinuerliga funktioner är inte deriverbara. Räkna: (s ) 615, 617, 618, 619, 620, 627, 629, (634), (636), (638)

13 6.4 Tangenten och normalen till en kurva - Derivatan anger riktningskoefficineten för tangenten till kurvan i punkten (x 0, f(x 0 )). - k t = f (x 0 ) och k n = 1 k t - Har man riktningskoefficienten samt en punkt på tangenten kan man bilda tangentens ekvation. Ex. från boken (s. 141) Bestäm ekvationen för normalen till grafen för funktionen f(x) = x 3 + x då x = 1. Ex. 647 (s. 152) Bestäm den tangent till kurvan y = 7x x 3 som går genom punkten (0, 2). - Vinkeln mellan två kurvor är samma som vinkeln mellan kurvornas tangenter i skärningspunkten. - Om kurvorna tangerar varandra är vinkeln mellan dem 0. Detta innebär att kurvorna i tangeringspunkten har en gemensam tangent, dvs. tangenterna har samma riktningskoefficient och går genom samma punkt. Ex. 653 (s. 152) I vilken vinkel skär kurvorna y = med noggrannheten 0,1. x x+2 och y = x+1 x varandra? Ge svar Räkna: (s ) 643, 644, 645, 650, 652, 655, (664), (667), (670), En deriverbar funktions förlopp - Funktionens förlopp kan illustreras mha. ett teckenshema för derivatan. Om derivatan är positiv är funktionen växande. Om derivatan är negativ är funktionen avtagande. - Derivatans tecken måste motiveras: Skiss över grafen Testpunkter Ex. 680 (s. 163) Är funktionen f(x) = x 2 + 2x 3 växande? Ex. 691 (s. 164) I vilka intervall är funktionen f(x) = 3 4 x4 + 3x 2 7, x 1, strängt växande? Räkna: (s ) 677, 683, 685, 688, 692, (694), (698)

14 7. Undersökning av en funktions förlopp 7.1 Extremvärden för en funktion - De x-värden där funktionens graf byter riktning kallas extremställen. Det y-värde funktionen antar i detta ställe kallas för extremvärde och punkten med både x- och ykoordinat kallas för extrempunkt. - I en topp har vi: maximiställe maximivärde eller maximum maximipunkt - I en dal har vi: minimiställe minimivärde eller minimum minimipunkt - Funktionens största värde kan kallas för globalt maximum och funktionens minsta värde globalt minimum. - För att hitta funktionens största och minsta värde skall man: 1. Derivera funktionen 2. Beräkna derivatans nollställen 3. Rita teckenschema 4. Beräkna funktionsvärdena i topparna och dalarna. - När man söker efter funktionens största och minsta värde skall man egentligen se på 1. Derivatans nollställen 2. Intervallets ändpunkter 3. Punkter där derivatana saknas 4. Diskontinuitetspunkter Ex. 708 (s. 179) Bestäm extremvärdena för funktionen f(x) = x 2 x 4. Räkna: (s ) 702, 704, 706, 711, (714), (722), 726

15 7.2 Tillämpningar Ex. 738 (s. 190) En fabrik tillverkar konservburkar för inlagd gurka som har volymen 4,0 liter och som har formen av en rack cirkulär cylinder. Bestäm höjden och basytans radie i konservburken om man använder minsta möjliga mängd plåt för att tillverka burken. - Om man skall ta reda på antalet reella rötter för en ekvation så skall man följa stegen nedan: 1. Flytta allt till samma sida. Då ändras frågan till hur många nollställen har funktionen? 2. Derivera funktionen 3. Räkna derivatans nollställen eller be räknaren göra det 4. Rita teckenshema 5. Undersök hur många nollställen funktionen har. Använd Bolzanos sats vid behov. Ex. 732 (s. 190) Hur många reella rötter har ekvationen 4x 3 + 9x 2 54x + 11 = 0? Räkna: (s ) 731, 736, 737, (739), 749, (752) 7.3 Fermats sats - Fermats sats: Om funktionen f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b] och deriverbar i det öppna intervallet ]a, b[ så får funktionen sitt största värde och sitt minsta värde i intervallets ändpunkter eller i derivatans nollställen. Ex. 753 (s. 204) Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x) = 2x 3 6x 2 i intervallet [1, 4]. Ex. 762 (s. 204) En handelsman har upptäckt att en höjning av kilopriset på tomat med 20 cent minskar försäljningen med 6,0 kg. Om kilopriset är 1,90 så säljer han 60 kg tomater per dag. Vilket kilopris maximerar hans vinst om han betalar 0,90 per kilogram tomater? Räkna: (s ) 755, (758), 759, (761), 763, (766), 773, (780), (781)

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys

MA2001 Envariabelanalys MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10. Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

6. Samband mellan derivata och monotonitet

6. Samband mellan derivata och monotonitet 34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100 8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner. Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2. Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

För teknologer inskrivna H06 eller tidigare. Skriv GAMMAL på omslaget till din anomyna tentamen så att jag kan sortera ut de gamla teknologerna.

För teknologer inskrivna H06 eller tidigare. Skriv GAMMAL på omslaget till din anomyna tentamen så att jag kan sortera ut de gamla teknologerna. Matematik Chalmers Tentamen i TMV225 Inledande matematik M, 2009 01 17, f V Telefon: Christoffer Cromvik, 0762 721860 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Varje uppgift är värd 10 poäng, totalt 50

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till 3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och

Läs mer

III. Analys av rationella funktioner

III. Analys av rationella funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)

Läs mer

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6 Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

2. (a) Skissa grafen till funktionen f(x) = e x 2 x. Ange eventuella extremvärden, inflektionspunkter

2. (a) Skissa grafen till funktionen f(x) = e x 2 x. Ange eventuella extremvärden, inflektionspunkter Matematik Chalmers Tentamen i TMV225 Inledande matematik M, 2009 08 21, f Telefon: Jonatan Vasilis, 0762 721861 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Varje uppgift är värd 10 poäng, totalt 50 poäng.

Läs mer

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade! MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Annemarie Luger Lösningsförslag Anals, problemlösning, 7.5 hp Matematik I den 5 februari 4 Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte

Läs mer

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till

Läs mer

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h DOP-matematik Copyrigt Tord Persson Gränsvärden Uppgift nr 1 f(x) x². Gör denna värdetabell komplett genom att i tur oc ordning ersätta x i funktionen med de olika talen / uttrycken i tabellen. Första

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

NpMa3c vt Kravgränser

NpMa3c vt Kravgränser Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer