DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
|
|
- Magnus Eliasson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 DERIVATA Läs avsnitten Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt oc upplysande att försöka ta sig igenom dem i alla fall. Avsnitt 6.3 Man kan bevisa att Dx n = nx n genom att använda -definitionen också: Enligt binomialsatsen är Alltså är differenskvoten f(x + ) f(x) f f(x + ) f(x) (x + ) n x n (x) = lim = lim. 0 0 (x + ) n = x n + nx n + = (x + )n x n ( ) n x n n. 2 = nx n + ( ) n x n n. 2 Punkterna betyder termer som alla inneåller minst en faktor oc då 0 så går dessa mot 0. Alltså får vi f (x) = nx n. Vi skall säga några ord om derivatan av en exponentialfunktion f(x) = a x, där a > 0. Differenskvoten är f(x + ) f(x) = ax+ a x = ax a a x = a x a. Vi kan nu till att börja med konstatera att f är deriverbar, dvs att gränsvärdet om oc endast om gränsvärdet f(x + ) f(x) lim 0 a lim 0 existerar. existerar existerar. Men detta gränsvärde är inget annat än derivatan av f i x = 0, så f är deriverbar i en godtycklig punkt om oc endast om den är deriverbar i 0. Deriverbareten i en punkt vilken som elst följer alltså av deriverbaret för x = 0. Vidare får vi f f(x + ) f(x) (x) = lim = a x a lim = a x f (0). 0 0
2 Med metoder som ligger utanför den är kursen kan man bevisa att f(x) = a x verkligen är deriverbar i 0 oc därför för alla x. Man kan också visa att det finns ett oc endast ett värde på a för vilket derivatan f (0) är lika med. Detta värde på a betecknas e. Vi ar således De x = e x. För att derivera sinus oc cosinus måste man använda några av alla de trigonometriska formlerna oc i boken änvisas till en viss formel i beviset av D cos x = sin x. Beviset för D sin x = cos x är lämnat som övning. Här kommer båda ärledningarna från början. För att derivera sinus använder vi additionsformeln: Detta ger varför sin(x + ) = sin((x + /2) + /2) = sin(x + /2) cos(/2) + cos(x + /2) sin(/2) sin x = sin((x + /2) /2) = sin(x + /2) cos(/2) cos(x + /2) sin(/2) sin(x + ) sin x = 2 cos(x + /2) sin(/2) sin(x + ) sin x = cos(x + /2) sin(/2). /2 När 0 så går cos(x + /2) mot cos x (det är påståendet är inte alldeles självklart oc beror på att cosinus är kontinuerlig). Kvoten sin(/2)/(/2) går mot, så sin(x + ) sin x D sin x = lim = cos x = cos x. 0 För cosinus får vi varav cos(x + ) = cos((x + /2) + /2) = cos(x + /2) cos(/2) sin(x + /2) sin(/2) cos x = cos((x + /2) /2) = cos(x + /2) cos(/2) + sin(x + /2) sin(/2) cos(x + ) cos x = 2 sin(x + /2) sin(/2). På samma sätt som i sinus-fallet följer att D cos x = sin x. Deriveringsreglerna i Satserna 6.2 oc 6.3 måste man kunna utantill. Det räcker i praktiken inte att veta var man kan slå upp dem varje gång de beövs, utan de måste alltså sitta i ryggmärgen. Avsnitt 6.4 oc 6.5 Kedjeregeln Sats 6.4 är också en regel som man elt enkelt måste beärska. Som ytterligare ett exempel på ur den fungerar kan vi derivera cosinus på 2
3 ett annat sätt. Vi ar ju cos x = sin(π/2 x). Om vi sätter u(v) = sin v oc v(x) = π/2 x, så är cos x = u(v(x)) oc kedjeregeln ger D cos x = u (v(x))v (x). Nu är ju u (v) = cos v oc v (x) =, så D cos x = (cos v(x)) ( ) = cos(π/2 x) = sin x. Sats 6.5 om derivatan av invers funktion kan vara lite knepig att förstå första gången man ser den, så låt oss se på den med geometriska ögon. Om y = f(x) är inverterbar så får man inversen genom att byta x oc y, dvs den ges av sambandet x = f(y). Löser man ut y så får man y = f (x). Låt x 0 vara en fix punkt oc sätt y 0 = f(x 0 ), så att punkten (x 0, y 0 ) ligger på grafen till y = f(x). Då ligger (y 0, x 0 ) på grafen till y = f (x). Tangenten till kurvan y = f (x) (dvs x = f(y)) i punkten (y 0, x 0 ) får man därför genom att i ekvationen för tangenten till y = f(x) i (x 0, y 0 ) byta x oc y. Men den är tangenten ar ekvationen y = y 0 + f (x 0 )(x x 0 ) oc byter vi x oc y så får vi förstås Löser vi ut y så får vi x = y 0 + f (x 0 )(y x 0 ). y = x 0 + f (x 0 ) (x y 0) under förutsättning att f (x 0 ) 0. Detta är således ekvationen för tangenten till y = f (x) i punkten (y 0, x 0 ). Men ekvationen kan även skrivas y = f (y 0 ) + (f ) (y 0 )(x y 0 ) oc jämför vi de två ekvationerna så får vi (f ) (y 0 ) = f (x 0 ), där y 0 = f(x 0 ). Exempel 6.25 oc 6.26 andlar om implicit derivering, ett begrepp som inte riktigt definieras. Låt oss börja med begreppen implicit oc explicit. Man säger att en funktion är given explicit om den är given i den vanliga formen y = f(x), där f är något uttryck i x, t ex f(x) = x 3 sin x. Men funktioner definieras ibland på andra sätt också, t ex som i Exempel 6.26, där funktionen y definieras genom att den uppfyller sambandet y 3 + = x 2. För varje värde på x ger den är ekvationen ett enda värde på y, så sambandet definierar verkligen y som en funktion av x. En sådan funktion säges vara definierad implicit. I det är fallet kan man förstås lösa ut y oc få y = 3 x 2, vilket ger funktionen explicit. Ett annat exempel på en implicit definierad funktion är y + e y = x, men är I praktiken är det inte alls säkert att man kan lösa ut y i den meningen att man får ett uttryck i x. Inversen till y = sin x är x = sin y, dvs y = arcsin x, men egentligen är ju arcsin bara en beteckning vi ar infört på den inversa funktionen till sinus. 3
4 går det inte att lösa ut y oc få en explicit definierad funktion (i alla fall inte så att man får en enkel formel). Däremot kan man i viss mening derivera funktionen y i sambandet y + e y = x 3. Båda sidorna är nämligen funktioner av x oc vänsterledet är en sammansatt funktion. Enligt kedjeregeln är derivatan av vänsterledet y + y e y = y ( + e y ). Derivatan av ögerledet är ju 3x 2, så vi får y ( + e y ) = eller y = 3x 2 /( + e y ). Lägg märke till att det uttryck vi får för derivatan inneåller både x oc y. Metoden med implicit derivering kan man som det står i boken använda för att derivera t ex arcuscosinus. För sambandet y = arccos x betyder detsamma som x = cos y. Här är ögerledet en sammansatt funktion (ty y är en funktion av x). Derivering av båda leden ger = ( sin y) y, så att y = sin y = cos2 y = x 2. Man kan ärleda formeln D ln x = /x på samma sätt, för sambandet y = ln x är ekvivalent med x = e y. Här är ögerledet en sammansatt funktion oc kedjeregeln ger att dess derivata är e y y. Alltså är = e y y oc y = e y = x. Det finns ett dolt problem med de är implicita deriveringarna, nämligen att de förutsätter att man vet att funktionen y är deriverbar, vilket inte är uppenbart. Men om man bara vet det (genom någon annan sats), så är implicit derivering en användbar metod. Det går utmärkt att använda implicit derivering för att ge ett annat bevis för Sats 6.5. För att f är inversen till f betyder ju att f (f(x)) = x för alla x. Om vi vet att f är deriverbar, så ger kedjeregeln (f ) (f(x)) f (x) =, dvs (f ) (y 0 ) = f (x 0 ) där y 0 = f(x 0 ). Problemet med den är ärledningen är alltså att vi på något annat sätt först måste visa att f är deriverbar om f är det. Men det är en detalj som vi oppar över. En annan typ av motivering av några deriveringsregler Det är avsnittet är till för den som vill a ytterligare ett sätt att se på derivata oc se en annan motivering av några av deriveringsreglerna. En tolkning av derivatan f (x 0 ) är att den är lutningen os tangenten till y = f(x) i punkten x = x 0. Tangentens ekvation blir då y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) eller y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Geometriskt oc intuitivt är det rimligt att säga att tangenten är den räta linje som ansluter bäst till funktionens graf i näreten av x = x 0, så i näreten av punkten bör vi a f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) eller f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). () 4
5 Vi kan inte veta ur noggrann den är approximationen är för ett visst givet värde på x, men ju närmare x 0 punkten x är, desto bättre bör den vara. Ett annat sätt att se detta är att använda derivatans definition: f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Eftersom derivatan är gränsvärdet av differenskvoten, så bör f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 när x är nära x 0. Detta är ett annat sätt att skriva (). (Det är kommer vi att diskutera vidare i avsnittet om Taylors formel, som är en förbättring av ().) Låt nu f oc g vara två deriverbara funktioner. Då ar vi f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) g(x) g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) oc om vi adderar de är två sambanden så får vi f(x) + g(x) (f(x 0 ) + g(x 0 )) + (f (x 0 ) + g (x 0 ))(x x 0 ). Koefficienten för x x 0 bör ju vara derivatan av f + g, så (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Lägg dock märke till att det är inte är ett bevis, utan bara en motivering! Intressantare blir det om man multiplicererar: f(x)g(x) (f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ))(g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 )) = f(x 0 )g(x 0 ) + (f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ))(x x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 )(x x 0 ) 2 När x är nära x 0 så är (x x 0 ) 2 mycket mindre än x x 0, så f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) + (f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ))(x x 0 ). Koefficienten för x x 0 är derivatan av fg, så (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). Visst är det är ganska elegant, men tänk återigen på att det inte är ett fullständigt bevis, utan bara ett sätt att motivera produktregeln. Till oc med kedjeregeln kan motiveras (oc kanske bli mer begriplig) med den är metoden. Sätt y = g(x) oc y 0 = g(x 0 ). När x är nära x 0 så är y nära y 0 (vilket beror på att g är kontinuerlig). Vi ar g(x) g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) f(y) f(y 0 ) + f (y 0 )(y y 0 ). 5
6 Men y y 0 = g(x) g(x 0 ) g (x 0 )(x x 0 ), vilket ger f(g(x)) = f(y) f(y 0 ) + f (y 0 )g (x 0 )(x x 0 ) = f(g(x 0 )) + f (g(x 0 ))g (x 0 )(x x 0 ). Koefficienten för x x 0 är derivatan av f(g(x)), vilket ger (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Lösningar till några övningar 6..c) Differenskvoten är Detta ger f(x + ) f(x) d) Differenskvoten är = ( x + ) = x = x(x + ) = ( ) f (x) = lim 0 x(x + ) x(x + ). x (x + ) x(x + ) = x x = x 2. f(x + ) f(x) = = x + x = ( x + x)( x + + x) ( x + + x) (x + ) x ( x + + x) = ( x + + x) = x + + x där vi använde knepet att förlänga med x + + x. Alltså är f (x) = lim = = 0 x + + x x + x 2 x. 6.2.d) Den är uppgiften är intressant på så sätt att man kan beräkna derivatan på två olika sätt. Antingen använder man produktregeln på båda termerna: f (x) = D(cos x) cos x + cos xd(cos x) + D(sin x) sin x + sin xd(sin x) = sin x cos x sin x cos x + cos x sin x + cos x sin x = 0 eller så anvnder man först trigonometriska ettan, som ger f(x) = för alla x. Alltså är f (x) = 0. Det är ju skönt att resultatet blit detsamma med de två metoderna! 6.4.a) Lägg först märke till att sin x 2 skall tolkas som sin(x 2 ) oc alltså inte som (sin x) 2! Om vi sätter u(v) = sin v oc v(x) = x 2, så är f(x) = sin x 2 = u(v(x)) oc enligt kedjeregeln är f (x) = u (v(x))v (x) = cos v(x) 2x = 2x cos x 2. 6
7 b) Det enklaste sättet att räkna ut derivatan är förstås att observera att f(x) = sin(arcsin x) = x, så att f (x) =. men det går även bra att använda kedjeregeln. Sätt u(v) = sin v oc v(x) = arcsin x. Då är f (x) = u (v(x))v (x) = cos v(x) = sin 2 (arcsin x) = cos(arcsin x) x 2 x 2 x 2 = x 2 x 2 =. (Det andra sättet är ju väsentligen ärledningen av derivatan av arcussinus.) 6.5.b) Derivatan är ( ) x ln x D x 2 + = D(x ln x)(x2 + ) x ln xd(x 2 + ) (x 2 + ) 2 = (ln x + x /x)(x2 + ) x ln x 2x (x 2 + ) 2 = (ln x + )(x2 + ) 2x 2 ln x (x 2 + ) 2 så att f () = (0 + ) ( + ) 2 0 ( + ) 2 = 2. d) Här måste man använda kedjeregeln. Sätt u(v) = ln v oc v(x) = arctan x, så att f(x) = u(v(x)). Då är f (x) = u (v(x))v (x) = v(x) + x 2 = ( + x 2 ) arctan x. 6.6.b) Vi börjar med att förenkla: ln xe 2x = ln( x e 2x ) = ln x + ln e 2x = ln x + 2x (observera att e 2x > 0 för alla x, så vi kan ta bort absolutbeloppstecknen). Derivatan är /x + 2 med ett enda nollställe x = /2. c) Kvotregeln ger ( ) 2x D + x 2 = D(2x)( + x2 ) 2xD( + x 2 ) ( + x 2 ) 2 = 2( + x2 ) 2x 2x ( + x 2 ) 2 = 2 2x2 ( + x 2 ) 2. Nollställena är således x = ±. d) Sätt u(v) = arctan v oc v(x) = x 2. Enligt kedjeregeln är derivatan f (x) = u (v(x))v (x) = Det finns alltså ett enda nollställe, nämligen x = 0. + v(x) 2 ( 2x) = 2x + ( x 2 ) 2. 7
8 6.7. Vi börjar med att fundera över ur vinkeln mellan en linje y = kx + m oc x-axeln beror på konstanterna k oc m. Om k = 0 så är linjen parallell med x-axeln oc i så fall skär de varandra bara i fallet m = 0 (i vilket fall de sammanfaller). Vinkeln är då 0. Antag att k 0 oc beteckna skärningspunkten med (a, 0). Om x-koordinaten ökar med, så ökar y-koordinaten med k (vilket är en minskning om k < 0). I figuren nedan ser vi att tan α = k/ = k. Riktningskoefficienten k är lika med derivatan av f för x = 2, som är f (2) = =. Vinkeln mellan tangenten oc positiva x-axeln är således 3π/4, så den spetsiga vinkeln är π/ Enligt kedjeregeln är f (x) = + (x 2 4) 2 2x, varför f (2) = = 4. Eftersom f(2) = arctan(2 2 4) = 0 så är tangentens ekvation y 0 = 4(x 2), dvs y = 4x Mellan kl 6 på morgonen oc kl 6 på eftermiddagen ar temperaturen ändrats med π(8 8) π(6 8) T (8) T (6) = sin 2 6 sin 2 2 = 6 sin 5π ( 6 6 sin π ) = = 6. 6 Medeländringen är T (8) T (6) = = 2. Derivatan är T (t) = 6 π ( ) π(t 8) 2 cos = π ( ) π(t 8) 2 2 cos. 2 8
9 Förändringsastigeten kl 4 på morgonen är T (4) = π 2 cos ( π(4 8) 2 ) = π2 ( cos π ) = π 3 4. På samma sätt räknar man ut förändringsastigeten kl 8 på fm oc 4 på em. Den är 0 då π(t 8)/2 = ±π/2, vilket ger t = 2 eller t = 4, dvs kl 2 på fm oc em. Eneten är i alla fallen grader per timme. 9
MA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merLösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)
Krzysztof Marciniak, ITN Linköings universitet tfn 0-36 33 0 krzma@itn.liu.se Lösningar till tentamen TEN i Envariabelanalys I (TNIU ) för BI 0--4 kl. 08.00 3.00. Enligt den geometriska betydelsen av derivatan
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merMoment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e
Moment 0.,0. Viktiga exempel 0.-0.5 Övningsuppgifter T0.,T0.,T0.3a,b,c,e,Ö0.a-f,Ö0.3b-e Integraler Definition. F(x) sägs vara primitiv funktion till f(x) på intervallet I om F (x) = f(x) Anmärkning. Det
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merKapitel 5: Primitiva funktioner
Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merPlanering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M
Läs merFÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merStudietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden
TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merModul 2 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merA-del. (Endast svar krävs)
Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i
Läs merLedtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merTentamen SF e Januari 2016
Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de
Läs mer