Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna"

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om tillämpningar av derivator. Exempel. Visa att ekvationen x ln x = 3 har två positiva rötter. Lösning. Sätt f (x) = x ln x 3, x > 0. Först en kurvskiss: y = x ln x 3 Vi ska visa att f har två positiva nollställen. För att på enklaste sätt göra detta deriverar vi funktionen och ställer upp en lämplig teckentabell. Vi har f (x) = x 1 x = x 1 x = (x + 1 )(x 1 ) x med det unika nollstället 1, där derivatan växlar tecken från negativ till positiv. Dessutom gäller att Detta ger oss teckentabellen f ( 1 ).15, lim f (x) = lim f (x) = +. x 0 + x x 0 + 1/ f (x) 0 + f (x).15 Av denna framgår att f har ett nollställe mellan 0 och / och ett nollställe till höger om /. 1

2 De hyperboliska funktionerna. Cosinus- och sinus-hyperbolicus definieras genom cosh x = 1 ( e x + e x) och sinh x = 1 ( e x e x) < x < (se sid. 198 i läroboken). Vi har även tangens-hyperbolicus tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x < x < Kurvan y = tanh x (eller snarare y = 1 + tanh x) kallas även för logistikkurvan. Logistikkurvan y = 1 + tanh x. De hyperboliska funktionerna har har egenskaper liknande dem som gäller för trigonometriska funktioner. Exempelvis har vi den hyperboliska ettan cosh x sinh x = 1, < x < och för derivatorna gäller D cosh x = sinh x D sinh x = cosh x D tanh x = 1 tanh x Partikelrörelse på en kurva. Om en partikel rör sig längs kurvan y = f (x), a < x < b, så att den vid tiden t befinner sig i punkten (x(t), y(t)), så gäller y(t) = f (x(t)), för varje t. Deriverar vi båda leden med avseende på t, med användande av kedjeregeln, så får vi dy dt = f (x(t)) dx dt. ( ) Från fysiken vet vi att för partikelns fart v gäller att v = ( ) dx + dt ( ) dy. dt Av ( ) följer att v = ( 1 + f (x(t)) ) ( ) dx. (#) dt Exempel. En partikel rör sig åt höger längs kurvan y = x med den konstanta farten (hastigheten) 1. Bestäm dx dy dt och dt då x = ±1.

3 Lösning. Vi har här f (x) = x. En situationsskiss: En partikel på y = x. Tillämpar vi (#) på detta fall, där f (x) = x, så får vi Då x = ±1 gäller därför att 1 = v = (1 + 4x ) 1 = 5 ( ) dx. dt ( ) dx dx 5 dt dt = 5 både då x = 1 och då x = 1 (glöm inte att partikeln rör sig åt höger). Av ( ) följer sedan att dy dt = 5 dy 5, då x = 1 och 5 dt =, då x = 1. 5 L Hospitals regler. Den enklaste av dessa regler för gränsvärdesberäkningar är: Om f (x) 0, g(x) 0 då x a och dessutom lim x a f (x) g (x) = L så gäller lim x a f (x) g(x) = L I praktiken brukar man skriva så här: lim x a { f (x) g(x) = [ ] 0 0 Se Th 3 och Th 4 i avsnitt 4.3. Studera exemplen 1 6. = f } (x) g = L. (x) 3

4 Exempel. lim x 0 { x sin x x 3 = Exempel. Bestäm tan π 8. [ ] 0 = 1 cos x 0 3x = [ ] 0 = sin x 0 6x = [ ] 0 0 = cos x } = Lösning. Detta exempel tar vi för att påminna om additionsformeln för tangens; tan(u + v) = tan u + tan v 1 tan u tan v som är giltig om ingen av vinklarna u, v, u + v är lika med nπ + π, för något heltal n. Sätt nu x = tan π 8. Additionsformeln för tangens ger 1 = tan( π 8 + π 8 ) = x + x 1 x x = x 1 x x = 1 x, x + x = 1, x = 1 ± = 1 + ty x > 0. Alltså gäller tan π 8 = 1 +. Additionsformeln för arctan. Av additionsformeln för tangens kan man, med en smula krångel, härleda följande additionsformel för arcustangens: ( ) x + y π + arctan, då x, y < 0 och xy > 1 1 xy π, då y = 1 ( ) x och x < 0 x + y arctan x + arctan y = arctan, då xy < 1 1 xy π, då y = 1 ( ) x och x > 0 x + y π + arctan, då x, y > 0 och xy > 1 1 xy (#) Exempel. Förenkla så långt som möjligt. V = arctan arcsin Lösning. Additionsformeln för arcustangens ger arctan 1 ( ) ( ) / = arctan = arctan 1 1/ För omvandling av arcsin till arctan har vi, enligt nedanstående triangel, formeln arcsin x = arctan x 1 x (= θ). 4

5 1 x θ 1 x Använder vi denna så får vi arcsin = arctan = arctan Eftersom (0/99)(99/0) = 1 får vi slutligen, enligt (#), att V = arctan arcsin = arctan + arctan = π. 5

6 Föreläsning 1, 9/11 010: Andraderivatans betydelse. Om f (x) > 0 för x 1 < x < x så är kurvan y = f (x) strikt konvex (glad) för x 1 x x. Om f (x) < 0 för x 1 < x < x så är kurvan y = f (x) strikt konkav (ledsen) för x 1 x x. Om f (x) har olika tecken på intervallen x 1 < x < x och x < x < x 3 så är (x, f (x )) en inflektionspunkt på kurvan y = f (x). Exempel. Undersök kurvan y = f (x) = x e x med avseende på monotonitet, extrempunkter, konvexitet och beteende då x ±. Lösning. Funktionen är definierad på hela R, f (x) = (1 x) e x och f (x) = (x ) e x. Nollställena för f, f och f är alltså 0, 1 respektive. Vi får följande teckentabell: x 0 1 f (x) f (x) f (x) 0 e 1 e 0 + Av tabellen framgår följande: f (x) är strikt konkav (ledsen) då x och f (x) är strikt konvex (glad) då x. (, e ) är alltså en inflektionspunkt. f (x) växer strängt till ett globalt maximum för x = 1, f (1) = e 1, och avtar sedan strängt mot 0 + då x växer mot. En kurvskiss: y = x e x. Exempel. Undersök kurvan y = f (x) = x + x med avseende på monotonitet, konvexitet, extrempunkter och asymptoter. 6

7 Lösning. Funktionen kan omskrivas som f (x) = x(x + 1) = x 1 x + 1 Då f (x) 1 då x ± säger vi att den horisontella räta linjen y = 1 är en horisontell asymptot till kurvan y = f (x) då x ±. Vi ser även att och f (x) då x 1 och då x 0 + f (x) då x 1 + och då x 0 De vertikala linjerna x = 0 och x = 1 sägs vara vertikala (eller lodräta) asymptoter till kurvan y = f (x). Funktionens derivator ges av f (x) = 1 x + 1 (x + 1) = ( ) x + 1 { > 0 då x < 1 x (x + 1) < 0 då x > 1 f (x) = x 3 (x + 1) 3 = () (x + 1)3 x 3 { > 0 då x > 0 el. x < 1 x (x + 1) < 0 då 1 < x < 0 Vi får följande teckentabell (där xx betecknar att funktionen ej är definierad): x f (x) 0 + xx xx + 0 f (x) 0 + xx + 0 xx 0 f (x) 1 xx 3 xx 1 Av tabellen framgår att y = f (x) är strikt växande och strikt konvex för x < 1, strikt avtagande och strikt konvex för x > 0, strikt växande och strikt konkav för 1 < x 1 samt strikt avtagande och strikt konkav för 1 x < 0. Funktionen har ett strikt lokalt maximum då x = 1 ( f ( 1 ) = 3). } } y = 1 + (x + x) 1, x = 1, x = 0, y = 1 7

8 Sneda asymptoter. En rät linje y = kx + m definieras som asymptot till kurvan y = f (x) då x (x ) om lim f (x) kx m = 0 ( lim f (x) kx m = 0). Asymtotberäkningen genomförs i följande två x x steg: Först beräknas lutningen k som k = lim x f (x) x Om gränsvärdet ej existerar så finns ingen asymptot då x. Under förutsättning att första steget gick bra så fås nu m som gränsvärdet m = lim x ( f (x) kx) Om gränsvärdet ej existerar så finns ingen asymptot då x. Båda stegen måste sedan upprepas med x utbytt mot x. Med denna metod får vi fram horisontella och sneda asymptoter (men inte lodräta, där är det noll i nämnaren som gäller). Exempel. Undersök kurvan y = f (x) = x (x + 1) 1 med avseende på asymtoter, extrempunkter, monotonitet och konvexitet. Lösning. Först ser vi att f (x) då x 1 + och f (x) då x 1, så x = 1 är en lodrät asymptot (av dubbel anledning). Vi söker nu asymptoter då x : f (x) kx = f (x) x = x x + 1 = x x x + 1 x = x x + 1 = 1 = k, då x ± x 1 = m, då x ± Den räta linjen y = x 1 är alltså asymptot både då x och då x. Första- och andraderivatorna av f (x) = x (x + 1) 1 ges av och f (x) = x(x + 1) 1 + x ( 1)(x + 1) = = [x(x + 1) x ](x + 1) = (x + x)(x + 1) = = x(x + )(x + 1) f (x) = (x + )(x + 1) + (x + x)( )(x + 1) 3 = = [(x + 1)(x + 1) (x + x)](x + 1) 3 = = (x + 1) 3. Av detta kan vi utläsa att f (x) = 0 då x = 0 eller x =, f (x) < 0 då x < 1, och f (x) > 0 då x > 1. Vi får följande teckentabell (där xx betecknar att funktionen ej är definierad): 8

9 x 1 0 f (x) 0 xx f (x) xx f (x) 4 xx 0 Av tabellen framgår följande: f (x) är strikt konkav (ledsen) då x < 1 och f (x) är strikt konvex (glad) då x > 1. f (x) växer strängt till ett lokalt maximum för x =, f ( ) = 4, och avtar sedan strängt mot då x växer mot 1. f (x) avtar sedan strängt för 1 < x 0, från f ( 1 + ) = + ner till ett lokalt minimum i x = 0, f (0) = 0. f (x) växer slutligen strängt för 0 x <. Detta stämmer väl med följande kurvskiss, där asymptoterna också lagts in: x = 1 y = x x + 1 y = x 1 9

10 Föreläsning 13, 1/1 010: Vi gick igenom tillämpningar av derivator på extremvärdesproblem, se 4.8. Allmänt. En kontinuerlig funktion f (x), a x b antar maximum/minimum i en punkt x = c som uppfyller ett av följande alternativ: c är en intervalländpunkt, alltså c = a eller c = b. f (c) existerar inte. a < c < b och f (c) = 0. Exempel. En målarburk har formen av en rät cirkulär cylinder med botten, men utan lock (se fig). Bestäm burkens maximala volymen, om dess totalarea är A. Beskriv formen av en burk med maximal volym. h r Burk: radie r, höjd h. Lösning. Med beteckningar enligt figuren gäller att burkens volym är V = πr h och totalarean är A = πr + πrh. Om vi definierar konstanten α genom α = A/π gäller därför att r + rh = α, h = α r = 1 ( α ) r r r. Sätter vi in detta värde på h i uttrycket för volymen så får vi V = πr h = π r(α r ) = π (αr r3 ). Derivatan av volymen med avseende på r är dv dr = π (α 3r ) = 0 då r = α 3. Vi får följande teckentabell: r 0 α/3 α V (r) V(r) 0 V max 0 10

11 Av denna följer att burkens maximala volym fås då r = α/3 i vilket fall α = 3r och alltså h = α r r = 3r r r Maximala volymen fås alltså med en burk som är dubbelt så bred som den är hög. Exempel. En rektangel är inskriven i en halvcirkel med radien R, enligt figuren. Bestäm, om den existerar, maximala omkretsen av en sådan rektangel. = r R h x Bevis. Med beteckningar enligt figuren gäller att omkretsen är 4x + h, där x 0, h 0 och x + h = R. Vi söker alltså maximum av funktionen f (x) = x + h = x + (R x ) 1 då 0 x R. Med kedjeregeln får vi f (x) = + 1 (R x ) 1 ( x) = x(r x ) 1, 0 x < R. Derivatan har det unika nollstället x = R/ 5 i intervallet 0 < x < R. Av detta följer att f (x) ej byter tecken i intervallen 0 x < R/ 5 och R/ 5 < x < R. Då ( ) 1R f (0) = > 0 och f = 13 5 < 0 drar vi slutsatsen att f (x) > 0 för 0 x < R/ 5 och f (x) < 0 för R/ 5 < x < R. Alltså är f (x) strängt växande för 0 x R/ 5 och strängt avtagande för R/ 5 x R. Det betyder att f (x) har maximum för x = R/ 5 och detta maximum är f ( ) R 5 = 4R + R 4R 5 5 = R 5 Rektangelns maximala omkrets är följaktligen R 5. 11

12 Föreläsning 14-15, 6-7/1 010: Här ägnade vi oss åt Taylorpolynomen, se För de elementära funktioner f (x) vi hittills stött på gäller den lyckliga omständigheten att det finns en punkt a (a = 0 för det mesta, vilket vi också antar nedan) där alla derivatorna f (n) (a), n N, är exakt bestämda. Derivator av några elementära funktioner. Vissa tal, markerade #, har utelämnats: f (x) f (0) f (0) f (0) f (3) (0) f (4) (0) f (5) (0) f (6) (0) f (7) (0) f (8) (0) e x ln(1 + x) 0 1 1! 3! 4! 5! 6! 7! cos x sin x tan x (1 + x) # # arctan x 0 1 0! 0 4! 0 6! 0 arcsin x Approximerande polynom. Antag nu att f (x) är en av funktionerna i ovanstående tabell och att vi vill beräkna goda närmevärden till f (x), då x ligger nära 0. En idé är då att ta en annan funktion p(x), sådan att p(0) = f (0), p (0) = f (0), p (0) = f (0), p (3) (0) = f (3) (0),..., p (n) (0) = f (n) (0), för något värde på n, ju större desto bättre. Då bör f (x) p(x) vara litet då x ligger nära 0, d.v.s p(x) är ett bra närmevärde till f (x). För att denna idé ska vara användbar måste förstås p(x) vara en funktion som vi lätt kan beräkna värdena på. Det ligger då nära till hands att välja p(x) som ett polynom. Exempel. Låt A, B, C, D vara fyra givna tal. Bestäm ett polynom p(x) som har lägsta möjliga gradtal och är sådant att p(0) = A, p (0) = B, p (0) = C och p (3) (0) = D. Lösning. Vi prövar med att ansätta p(x) = a + bx + cx + dx 3, där a, b, c, d ska bestämmas så att p(0) = A, p (0) = B, p (0) = C och p (3) (0) = D. Vi har p (x) = b + cx + 3dx, p (x) = c + 6dx och p (3) (x) = 6d. Alltså gäller p(0) = a, p (0) = b, p (0) = c och p (3) (0) = 6d. Koefficienterna a, b, c, d måste därför uppfylla a = A, b = B, c = C och 6d = D. Det unika polynomet av grad högst tre som uppfyller kraven (p(0) = A, p (0) = B, p (0) = C och p (3) (0) = D) är därför p(x) = A + Bx + C x + D 6 x3 = A + Bx + C x + D x3 6 Taylorpolynom. På samma sätt som i exemplet kan vi visa att det finns ett unikt polynom p(x), av grad högst n, som uppfyller p(0) = f (0), p (0) = f (0), p (0) = f (0), p (3) (0) = f (3) (0),..., p (n) (0) = f (n) (0), nämligen p(x) = f (0) + f (0)x + f (0) x + f (3) (0) x3 3! + + f (n) (0) xn n!. 1

13 Polynomet kallas för Taylorpolynomet (eller Maclaurinpolynomet) av ordning n till f (x) i origo. Exempel. Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning fem till samtliga funktioner i ovanstående tabell. Lösning. Taylorpolynomet i origo av ordning fem till funktionen f (x) ges, enligt ovan, av p(x) = f (0) + f (0)x + f (0) x + f (3) (0) x3 3! + f (4) (0) x4 4! + f (5) (0) x5 5!. Om f (x) = e x blir detta Om f (x) = ln(1 + x) får vi Om f (x) = cos x får vi Om f (x) = sin x får vi Om f (x) = tan x får vi Om f (x) = (1 + x) 1 får vi p(x) = x + 1 x + 1 x3 3! + 1 x4 4! + 1 x5 5! = = 1 + x + x + x3 6 + x4 4 + x5 10. p(x) = x 1 x = x x + x3 3 x4 4 + x5 5. x3 x4 x5 +! 3! + 4! 3! 4! 5! = p(x) = x 1 x + 0 x3 3! + 1 x4 4! + 0 x5 5! = = 1 x + x4 4. p(x) = x + 0 x 1 x3 3! + 0 x4 4! + 1 x5 5! = = x x3 6 + x5 10. p(x) = x + 0 x + x3 3! + 0 x4 x ! 5! = = x + x3 3 + x5 15. p(x) = x 1 4 x x3 3! x4 4! x5 5! = = 1 + x x 8 + x3 16 5x x

14 Om f (x) = arctan x får vi Om f (x) = arcsin x får vi p(x) = x + 0 x x3 3! + 0 x4 x5 + 4! 4! 5! = = x x3 3 + x5 5. p(x) = x + 0 x + 1 x3 3! + 0 x4 4! + 9 x5 5! = = x + x x5 40. Lägg märke till att för cos x är Taylorpolynomet av ordning fem identiskt med Taylorpolynomet av ordning fyra, beroende på att f (5) (0) = 0 i detta fall. Lagranges restterm. På sidan i läroboken (Taylors formel med Lagranges restterm) visas att om p n (x) är Maclaurinpolynomet av ordning n till f (x) så gäller att x n+1 f (x) = p n (x) + f (n+1) (θx) (n + 1)! där 0 < θ < 1. Denna formel gör det ganska lätt att bestämma ett värde på n sådant att p n (x) är ett tillräckligt bra närmevärde till f (x) (se ex. 5, sid. 76). Observera att det är den sista termen (resttermen) x n+1 R n (x) = f (n+1) (θx) (n + 1)! 0 < θ < 1. som gör detta möjligt för oss. I vissa sammanhang, t.ex. vid gränsvärdesberäkningar, räcker det att uttrycka resttermen mer förenklat som R n (x) = x n+1 B(x) = O(x n+1 ) där B(x) är en funktion som är begränsad nära 0 (vilket betyder att det finns positiva tal δ och C sådana att B(x) C då δ < x < δ). Se sid i läroboken och filen formelblad.pdf på kurshemsidan. Exempel. Maclaurinutvecklingarna av ordning fem för funktionerna i ovanstående tabell 14

15 är e x = 1 + x + x + x3 6 + x4 4 + x x6 B(x), ln(1 + x) = x x + x3 3 x4 4 + x5 5 + x6 B(x), cos x = 1 x + x4 4 + x6 B(x), sin x = x x3 6 + x x7 B(x), tan x = x + x3 3 + x x7 B(x), (1 + x) 1 = 1 + x x 8 + x3 16 5x x x6 B(x), arctan x = x x3 3 + x5 5 + x7 B(x), arcsin x = x + x x x7 B(x). Entydighetssatsen för Maclaurinpolynom. Denna sats säger att om p(x) är ett polynom, av grad högst n, sådant att f (x) = p(x) + O(x n+1 ) så måste p(x) vara Maclaurinpolynomet av ordning n. Exempel. Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 3 till funktionen f (x) = (1 x) 1 + x. Svar. Vi ska alltså bestämma polynomet p(x) = f (0) + f (0)x + 1 f (0)x f (0)x 3 Detta kan förstås göras genom att man beräknar f (x), f (x), f (x) och sätter in x = 0. Ett enklare sätt är att utnyttja kända Maclaurinutvecklingar, enligt följande: För t nära 0 gäller att Sätter vi in t = x får vi vilket ger 1 + t = t 1 8 t t3 + O(t 4 ) 1 + x = 1 + x 1 x + 1 x3 + O(x 4 ), f (x) = (1 x) 1 + x = 1 3 x + x 3 + O(x 4 ). Av entydighetssatsen för Maclaurinpolynom följer att p(x) = 1 3 x + x 3 15

16 y = f (x) och y = p(x), för 1 x 1. Exempel. Beräkna, om det existerar, gränsvärdet L = lim x 0 sin x sin x x(1 cos x) Lösning. Enligt formelbladet (eller ovanstående) har vi och sin x = x x3 6 + x5 B(x), sin x = {t = x} = t t3 6 + t5 B(t) = x 8x3 6 + x5 B(x) cos x = 1 x + x4 B(x) där vi använder samma beteckning, B(x), för tre olika begränsade funktioner. Med detta slappa sätt att räkna har vi till exempel B(x) + B(x) = B(x), B(x) B(x) = B(x), B(x)B(x) = B(x) och B(x) = B(x). Observera att det i detta problem räcker att ta Taylorutvecklingarna av ordning tre. Dessa Maclaurinutvecklingar ger oss { sin x sin x L = lim = x 0 x(1 cos x) = x3 (x 6 + x5 B(x)) (x 8x3 6 + x5 B(x)) x(1 (1 x + x4 B(x))) = x3 + x 5 B(x) x 3 + x5 B(x) = 1 + x B(x) 1 + x B(x) =. } = = Exempel. Vi ritar in y = f (x) = arcsin x, y = p 3 (x) (grön) och y = p 5 (x) (röd) i samma diagram. Det syns att y = p 5 (x) = p 6 (x) är en bättre approximation till y = f (x) (över ett längre intervall) än vad y = p 3 (x) = p 4 (x) är. 16

17 y = arcsin x, y = p 3 (x) = p 4 (x), y = p 5 (x) = p 6 (x). Exempel. Vi ritar in y = f (x) = arctan x, y = p 3 (x) (grön) och y = p 5 (x) (röd) i samma diagram. Det syns att y = p 5 (x) = p 6 (x) är en bättre approximation till y = f (x) (över ett längre intervall) än vad y = p 3 (x) = p 4 (x) är. y = arctan x, y = p 3 (x) = p 4 (x), y = p 5 (x) = p 6 (x). Det ser även ut som att den goda approximationen bara gäller i intervallet 1 < x < 1. För x > 1 verkar kurvorna y = p(x) avlägsna sig hastigt från y = arctan x (det blir faktiskt värre då Taylorpolynomets ordning ökar). 17

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 11-12 Institutionen för matematik KTH 21-23 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Dagens ämnen. Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom

Dagens ämnen. Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom Dagens ämnen 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom Konsekvenser av entydigheten 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Envariabelanalys 2, Föreläsning 4

Envariabelanalys 2, Föreläsning 4 Envariabelanalys 2, Föreläsning 4 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Repetition: Taylors sats Sats Antag att f (x) är denierad och har kontinuerliga derivator upp till och med ordning n + 1 i någon omgivning

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10. Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten

Läs mer

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891 KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys

MA2001 Envariabelanalys MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till 3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13 KTH Matematik Examinator: Lars Filipsson Lösningsförslag till Tentamen i SF60 för CFATE den 0 december 008 kl 8-3 Preliminära betygsgränser: A - 8 poäng varav minst 8 VG-poäng, B - 5 poäng varav minst

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

6. Samband mellan derivata och monotonitet

6. Samband mellan derivata och monotonitet 34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner. Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna

Läs mer

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator Sanna Eskelinen eskelinen.sanna@gmail.com Sonja Hiltunen sonya@gmail.com Handledare: Karim Dao Uppgift 15 Problem: Beräkna numeriskt derivatan till arctan

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid: HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form

TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005 KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom

1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom red Föreläsning, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom. Taylorpolynom. Fakultet 0! =, läses noll-fakultet.! =. Vidare är! = = och 3! = 3 =. Allmänt fˆr n =,,,..., n! =... n n.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22) Krzysztof Marciniak, ITN Linköings universitet tfn 0-36 33 0 krzma@itn.liu.se Lösningar till tentamen TEN i Envariabelanalys I (TNIU ) för BI 0--4 kl. 08.00 3.00. Enligt den geometriska betydelsen av derivatan

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000

Läs mer

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int. Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100 8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,

Läs mer

Lösningsförslag envariabelanalys

Lösningsförslag envariabelanalys Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 TM-Matematik Mikael Forsberg ovntenta Envariabelanalys ma3a Skrivtid: ::. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa på de uppgifter som kräver lösning. Frågorna till 6 ska

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

20 Gamla tentamensuppgifter

20 Gamla tentamensuppgifter 20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer