SF1625 Envariabelanalys

Transkript

1 Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH september 2015

2 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet. 2. Linjär approximation. Två exempel: Newton-Raphsons metod för ekvationslösning, L Hopitals regel för gränsvärden. 3. Max/min-problem. Derivata kan användas för hitta funktioners största och minsta värden. 4. Kurvritning. Derivatan ger underlag för att rita grafen y = f (x) och svara på en mängd frågor om f. 5. Taylors formel. Som linjär approximation fast med polynom av högre grad.

3 Tillämpningar av linjär approximation Linjär approximation f (x) f (a) + f (a)(x a) kan användas för att lösa ekvationer. Om man vill lösa ekvationen f (x) = 0, så kan man börja med att gissa ett startvärde x 0, göra linjär approximation kring x 0 och ta reda på när den linjära approximationen blir 0. Med andra ord: Man ersätter ekvationen f (x) = 0 med ekvationen f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 0 och löser ut x. Man får x = x 0 f (x 0) f (x 0 ). Sedan kan man upprepa proceduren få en följd av successiva (och förhoppningsvis bättre och bättre) approximationer av lösningen. Detta är Newton-Raphsons metod (se kapitel 4.2): x n+1 = x n f (x n) f (x n ).

4 Tillämpningar av linjär approximation Linjär approximation f (x) f (a) + f (a)(x a) kan användas för att räkna ut gränsvärden. Säg att f och g är två gånger deriverbara och f (a) = g(a) = 0. Då får vi (efter felanalys): f (x) lim x a g(x) = lim f (a) + f (a)(x a) x a g(a) + g (a)(x a) = lim f (a)(x a) x a g (a)(x a) = f (a) g (a). Det här är en tillämpning av Taylors formel (egentligen behövs felanalys!). I bokens kapitel 4.3 står att läsa om l Hopitals regel: f (x) lim x a g(x) = [ ] 0 f (x) = lim 0 x a g (x) som gäller under vissa förutsättningar på f och g.

5 Teori om max och min Definition. Om f (a) f (x) för alla x i definitionsmängden så sägs f (a) vara f :s största värde, eller globalt maximum. Definition. Om det finns en omgivning I till a sådan att f (a) f (x) för alla x I som tillhör definitionsmängden till f, så sägs f (a) vara ett lokalt maximum till f. Och a sägs då vara en lokal maxpunkt. Motsvarande definitioner med ger betydelserna av globalt och lokalt minimum.

6 Lokala extrempunkter Definition. En global extrempunkt är en punkt som antingen är en global maxpunkt eller en global minpunkt. Definition. En lokal extrempunkt är en punkt som antingen är en lokal maxpunkt eller en lokal minpunkt. Motsvarande definitioner görs för extremvärden. (Varning: se upp för terasspunkter!)

7 Teori Definition. Om f (a) = 0 så sägs a vara en kritisk eller stationär punkt till f.

8 Att hitta extremvärden Sats. Om funktionen f antar ett lokalt eller globalt extremvärde (max eller min) i en inre punkt a till definitionsmängden och f är deriverbar i a så är f (a) = 0 Bevis. Om f har ett max i a så finns en omgivning till a så att f (a) f (x) för alla x i omgivningen. Det betyder att om h är positivt och tillräckligt litet så är f (a + h) f (a) 0. h Men om h är negativt och nära 0 så är istället f (a + h) f (a) 0. h Om vi tar gränsvärdet när h 0 av dessa så får vi derivatan f (a). Men då måste f (a) 0 och f (a) 0 samtidigt. Alltså är f (a) = 0. Motsvarande för min. Se också bild!

9 Gör så här! Alltså: Om vi letar efter en funktions lokala eller globala max/min-punkter så är det ingen mening att leta i inre punkter där derivatan existerar och är 0. Sats. De enda punkter där f kan anta lokala/globala max/min är kritiska punkter, randpunkter och punkter där derivata saknas. Obs. Det finns ingen garanti för att f har max/min! Det krävs alltid ett argument för detta!

10 Kurvritning Låt f vara given av f (x) = xe 2x. Skissa grafen y = f (x). (Skissa grafen betyder: bestäm definitionsmängden för f, finn f (x) och ange var f är deriverbar. Hitta derivatans nollställen och gör ett teckenschema för derivatan. Bestäm med hjälp av detta var f är strängt växande resp strängt avtagande och hitta alla lokala och globala extrempunkter. Beräkna ev intressanta gränsvärden, i det här fallet gränsvärdena när x går mot ±. Kontrollera var grafen skär koordinataxlarna. Ibland kan man också behöva studera andraderivatan, hitta asymptoter mm. Sen kan man rita kurvan.)

11 Svarar på massor av frågor Nyss skissade vi grafen till f (x) = xe 2x. Med hjälp av det arbete vi gjorde då kan vi nu svara på massor av frågor om f : Vad är f :s största resp minsta värde? Vad är värdemängden till f? Är det sant att f (x) 1 för alla x? Hur många lösningar har ekvationen f (x) = 1/2? Hur många lösningar har ekvationen f (x) = 1/2? För denna typ av frågor krävs oftast en komplett derivataundersökning av funktionen.

12 Medelvärdessatsen och vidare! Medelvärdessatsen. Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) så finns en punkt c mellan a och b sådan att f f (b) f (a) (c) =. b a Bevis. Låt oss hitta på en ny funktion g som ges av g(x) = f (x) f (b) f (a) (x a). b a Då gäller att g(a) = g(b) och g är deriverbar på (a, b). Av detta följer (hur?) att g måste anta ett största eller ett minsta värde i någon punkt mellan a och b. I en sådan punkt, kalla den c, måste g:s derivata vara noll. Med andra ord gäller att 0 = g (c) = f (c) Detta är precis slutsatsen i satsen. f (b) f (a). b a

13 Feltermen i linjär approximation Linjär approximation. Om f är deriverbar i a så gäller att f (x) f (a) + f (a)(x a), för x nära a. Nu ska vi undersöka vad nära egentligen betyder!

14 Feltermen i linjär approximation Sats. Om f är 2 gånger deriverbar i ett intervall som innehåller a och x så gäller för något c mellan a och x att f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (c) (x a) 2. 2! Alltså: Felet i den linjära approximationen, dvs skillnaden mellan f (x) och f (a) + f (a)(x a), är precis f (c) (x a) 2. 2!

15 Upp till Bevis! Bevis av feltermen i linjär approximation. Vi söker felet i approximationen f (x) f (a) + f (a)(x a). Nu är alltså x fixerat. Vi hittar på en ny funktion g som beror på t och ges av g(t) = f (t) f (a) f (a)(t a) f (x) f (a) f (a)(x a) (x a) 2 (t a) 2. Man kollar lätt att g(a) = 0 och g(x) = 0. Då finns enligt medelvärdessatsen en punkt b mellan a och x sådan g (b) = 0. Nu kan vi upprepa samma resonemang för funktionen g, dvs g (a) = 0 och g (b) = 0, så det måste finnas en punkt c mellan a och b sådan att g (c) = 0. Men om vi deriverar g två gånger ser vi att g (c) = f (c) 2 f (x) f (a) f (a)(x a) (x a) 2. Att detta är noll ger oss precis vad vi skulle bevisa.

16 Taylors formel Taylors formel. Om f är n + 1 gånger deriverbar i ett intervall som innehåller a och x så gäller att f (x) f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2! Felet i approximationen ges av (x a) f (n) (a) (x a) n. n! f (n+1) (c) (x a) n+1 n! för något c mellan a och x. Det approximerande polynomet kallas Taylorpolynomet av grad n till f kring punkten a. Om a = 0 så talar man ofta om Maclaurinpolynom.

17 Exempel på Taylors formel Några standardutvecklingar. För x nära 0 gäller att e x 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! +... ln(1 + x) x x x 3 3 x 4 sin x x x 3 3! + x 5 5! x 7 cos x 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 (1 + x) α 1 + αx + 7! ! +... α(α 1) x 2 + 2! α(α 1)(α 2) x !

18 Andraderivatans betydelse Konvexitet. Om man tar två punkter på funktionsgrafen och drar en linje genom dem ligger då grafen mellan punkterna över eller under linjen? Under: konvex. Över: konkav. Andraderivatan. Om f (x) > 0 för alla x i ett intervall I så är f konvex i I. Om f (x) < 0 för alla x i ett intervall I så är f konkav i I.

19 Asymptoter En asymptot är "en linje som funktionsgrafen kommer hur nära som helst". Det finns tre fall: 1. Lodrät asymptot. Om lim x a ± f (x) = ± så är linjen x = a en lodrät asymptot. 2. Vågrät asymptot. Om lim x ± f (x) = L så är linjen y = L en vågrät asymptot. 3. Sned. Om lim x ± (f (x) ax b) = 0 så är linjen y = ax + b en sned asymptot.