Några viktiga satser om deriverbara funktioner.
|
|
- Christer Arvidsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma punkt Anmärkning: Vi kan skriva satsen på kortare sätt: Sats { f är deriverbar i punkten x 0 } { f är kontinuerlig i punkten x 0 } Bevis: Vi ska bevisa att lim( ) = f ( x0) eller ekvivalen lim( ) f ( x0)) x x 0 Vi har f ( x0) lim( ) f ( x0)) = lim[ ( x x0)] x x0 x x0 x x0 f ( x0) = lim lim ( x x0) ( eftersom f är deriverbar i punkten x 0 ) x x0 x x x x0 0 x 0 ) 0 VSB Anmärkning Omvänt påstående gäller inte Funktionen kan vara kontinuerlig i en punkt utan att vara deriverbar i punken T ex yy = xx är kontinuerlig i punkten xx men saknar derivatan i denna punkt (vänsterderivatan är medan högerderivatan är ) x x ======================================== Sats Om funktionen f är deriverbar i punkten c och om f har ett lokalt extremum maximum eller minimum i c så är f ( Figur Anmärkning: Vi kan skriva satsen på kortare sätt: Sats f är deriverbar i punkten c f ( f har maximum eller minimum i c Bevis: f ( Antag att f har maximum i punkten c och att derivatan i c dvs lim x c x c existerar Eftersom f( är ett maximivärde är f ( 0 i en omgivning av punkten c Därför i denna omgivning gäller : 0 O c Sida av
2 a) x < c f ( f ( 0 f ( = lim 0 x c x c x c x > c f ( f ( 0 f ( = lim 0 x c x c x c Från a) och har vi f ( 0 och f ( 0 och därför f ( VSB Anmärkning: Kravet " f är deriverbar i punkten c " är viktigt eftersom det finns funktioner som har extrempunkter i vilka funktionen saknar derivatan Punkten c i nedanstående figur är en maximipunkt medan derivatan saknas i c f( O c Figur =============================================== Sats 3 (Rolles sats variant ) Om funktionen f är kontinuerlig i det slutna intervallet a x b deriverbar i det öppna intervallet a < x < b 3 och om f ( a) = f ( så finns (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f '( c O a b Geometrisk tolkning av Rolles sats: Om de tre villkoren i Rolles sats är uppfyllda då finns det minst en punkt ( c f ( ) på kurvan y = f ( sådan att tangenten i punkten är parallell med x-axeln Anmärkning: Antagandet " f är deriverbar i det öppna intervallet a < x < b " medför att f är kontinuerlig i det öppna intervallet a < x < b I krav kräver vi utöver detta att funktionen f är dessutom vänster kontinuerlig i a och höger kontinuerlig i b Om detta är inte uppfylld kan det hända att f '( 0 i hela ( a som exempelvis för följande funktion: 0 för x = /x för < x < 3 0 för x = 3 Sida av
3 Funktionen är deriverbar och kontinuerligt i intervallet < x < 3 men ej kontinuerlig i ändpunkter För denna funktion är f '( < 0 för alla x i intervallet < x < 3 Med andra ord det finns ingen c som satisfierar f '( ; ingen tangent till kurvan y=f( är parallell med x axeln ) Bevis av Rolles sats: Om funktionen f är konstant i intervallet [ab] dvs om för alla x i [ab] är satsen trivial för då är f ' ( för alla x i intervallet (a och därmed vilken som helst punkt c i intervallet ( a satisfierar f '( Om funktionen f inte är konstant i intervallet då antar f värden 0 Vi kan t ex anta att f antar värden större än 0 Eftersom funktionen är kontinuerlig i det slutna intervallet antar funktionen sitt största (och sitt minsta) värde i en punkt c Eftersom största värdet i vårt fall är > 0 måste punkten c ligga i det öppna intervallet ( a där funktionen är deriverbar Då gäller enligt Sats att f '( och därmed är Rolles sats bevisad Sats 4 (Rolles sats variant ): Om funktionen f är i) kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) deriverbar i det öppna intervallet a < x < b iii) och om f ( a) = f ( så finns (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f '( Sida 3 av
4 Bevis: Vi bildar en hjälpfunktion ϕ ( = som uppfyller alla tre villkor i ii och iii för Sats 3 (Rolles sats variant ) och dessutom ϕ '( x ) = f '( Därmed finns minst en punkt c i intervallet ( a sådan att ϕ '( dvs f '( ========================================================== MEDELVÄRDESSATS FÖR DERIVATOR Följande viktiga sats ( ) kallas i många kursboken Differentialkalkylens medelvärdessats ( eller enbart medelvärdessatsen) Sats 5 Differentialkalkylens medelvärdessats ( ): Om funktionen f är i) kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) deriverbar i det öppna intervallet a < x < b så finns (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f ( (*) Geometrisk tolkning: Om f uppfyller villkoren i så finns det en punkt c i intervallet ( a sådan att tangenten i punkten ( c f ( ) är parallell med kordan mellan punkterna ( a f ( a)) och ( b f ( ) Anmärkning: Likheten (*) kan skrivas f ( = f ( a) + f ( ( ) Bevis för Differentialkalkylens medelvärdessats ( ): f ( Vi bildar en hjälpfunktion ϕ ( = [ f ( a) + ( x a) ] som uppfyller alla tre villkor i ii och iii för Sats (Rolles sats variant ) i) ϕ( är kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) ϕ( är deriverbar i det öppna intervallet a < x < b och iii) ϕ ( a) = ϕ( Därför ( enligt Rolles sats) finns minst en punkt c i intervallet ( Sida 4 av a sådan att ϕ '(
5 Eftersom f ( ϕ '( = f '( f ( ϕ '( = f '( = för minst en punkt c i intervallet ( får vi 0 och därför ( ) Anmärkning: Notera att hjälpfunktionen ) linjen genom punkterna ( f ( a)) b f a f ( = f c vad skulle bevisas ϕ (x är differensen mellan funktionen ( a och ( ( ) f och räta =========================================================== Nedanstående sats (Cauchys medelvärdessats):är inte obligatorisk i kursen ( men vi använder satsen i beviset av L Hospitals regel) Sats 6 (Cauchys medelvärdessats): Om f och g är definierade på [ab] och uppfyller följande villkor i) f och g är kontinuerliga över slutna intervallet a x b ii) f och g är deriverbara i det öppna intervallet a < x < b iii) g' ( 0 i intervallet (aa b så finns (minst) en punkt i intervallet (aa b sådan att f ( f ( = a) g'( Bevis av Cauchys medelvärdessats: Vi bildar en hjälp funktion ϕ ( = ( f ( )( a)) ( a))( ) som uppfyller alla tre villkor i ii och iii för Sats 3 (Rolles sats variant ) i) ϕ( är kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) ϕ ( är deriverbar i det öppna intervallet a < x < b och iii) ϕ ( a) = f ( a) = ϕ( Därför ( enligt Rolles sats) finns minst en punkt c i intervallet ( a sådan att ϕ '( Eftersom ϕ '( = [ f ( har vi f ( a)] g'( [ a)] f '( ϕ '( = [ f ( ] g'( [ a)] f '( [ f ( ] g'( = [ a)] f '( c eller ) g' ( i intervallet ( a som medför att a) g = enligt Rolles sats har vi en punkt där '( Enligt antagandet gäller 0 ( annars om ( a) antagandet) Alltså kan vi dela föregående ekvation med '( [ a)] Vi får f ( f ( = a) g'( vad skulle bevisas g g som strider mot ============================================================ Sida 5 av
6 ÖVNINGAR: Uppgift Låt f ( vara kontinuerlig på ett intervall I =[ab] och deriverbar på (a Antag att ekvationen har i intervallet I a) fyra olika lösningar n olika lösningar Visa att ekvationen f ( har a) minst tre olika lösningar minst (n-) olika lösningar Lösning: a) Låt x x x3 x4 beteckna de fyra lösningar till som ligger i intervallet I Eftersom funktionen är deriverbar ( och därmed kontinuerlig) på I och dessutom f ( x ) finns det enligt Rolles sats minst en punkt c som ligger i ( x sådan att f ( c ) Med samma resonemang inser vi att det finns minst en punkt c i ( x x 3) sådan att f ( c ) och minst en punkt c 3 i ( x x 3 4) sådan att f ( c ) 3 Därmed har ekvationen f ( minst 3 lösningar i intervallet I På samma sätt som i a) inser vi att ekvationen f ( har minst en lösning c som ligger i ( x minst en lösning c i ( x x3) minst en lösning c n i ( xn xn ) Därmed har ekvationen f ( minst (n-) lösningar i intervallet I Uppgift Fäljande funktioner definierade på intervallet [ab] har inte någon tangent som är parallell med den räta linjen genom punkterna (af(a)) och (bf(): a) = x x (Intervallet [ab] =[-] )) 0 för x = /x för < x < 3 (Intervallet [ab] =[3] ) för x = 3 Vilken av de två antaganden i medelvärdessatsen som inte är uppfyllt? Sida 6 av
7 Svar a) Antagandet att funktionen är deriverbar på det öppna intervallet a < x < b är inte uppfyllt( Saknas derivatan i punkten 0) Svar Antagandet att funktionen är kontinuerlig på hela slutna intervallet[ 3] är inte uppfyllt ( Funktionen är diskontinuerlig i ändpunkter) Uppgift 3 Låt = x 3 + Bestäm en punkt c i intervallet ( a sådan att tangenten i punkten ( c f ( ) är parallell med linjen genom punkterna ( a f ( a)) och ( b f ( ) där a och b = Lösning: Enligt medelvärdessatsen finns det (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f ( f () f (0) = 3c 0 0 Härav c = och c = ± Endast c = ligger i intervallet (0) Svar: c = 3 = = 3 3 Uppgift 4 Bevisa följande sats: Antag att f är en funktion som är kontinuerlig på ett intervall I deriverbar i alla intervallets inre punkter och dessutom att f ( för alla intervallets inre punkter Då är f en konstant på I Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats" Lösning: Låt x och x vara två godtyckligt valda punkter x och x i intervallet I Vi ska visa att = Eftersom f är kontinuerlig på [ x x] och deriverbar på ( x kan vi tillämpa medelvärdessatsen på intervallet [ x x ] Enligt medelvärdessatsen har vi för en punkt c i intervallet ( ) x x x x eller ( x Eftersom enligt antagande f ( har vi f ( x ) eller = för två godtyckliga punkter i intervallet I Därmed har vi bevisat att f ( är konstant på intervallet I Växande och avtagande funktioner: Antag att funktionen f ( är definierad på ett interval I och att x och x var två punkter i intervallet Vi definierar växande och avtagande funktioner enligt följande: Vi säger att a) f är växande om för alla punkter i intervallet I gäller x > x > Sida 7 av
8 f är avtagande om x > x < f är icke-avtagande om x > x d) f är icke- växande om x > x Uppgift 5 Antag att f( är kontinuerlig på ett interval I ( slutet öppet eller halvöppet; ändligt eller oändligt) och deriverbar på J där J är det öppna intervall som består av alla I:s inre punkter ( T ex om I= ( a I= [ a I= ( a b] eller I= [ a b] så är J= ( a ) Bevisa följande: Om f ( > 0 för alla x i J så är f växande Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats" Lösning: Låt x och x var två punkter i intervallet I Villkoren för användning av medelvärdessatsen i intervallet [ x x ] i) f kontinuerlig i det slutna intervallet x x x ii) f deriverbar i det öppna intervallet x < x < x är uppfyllda Enligt medelvärdessatsen har vi för en punkt c i intervallet ( ) x x x x eller ( x Alltså för x > x och f ( > 0 gäller > dvs f är växande Komentar: Enligt ovanstående sats gäller fölande: Om funktionen y = f ( är deriverbar i det öppna intervallet (a och f ( > 0 i detta intervall så är funktionen växande i (a Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och så är f växande i [a ( eller i (a b] eller i [a b] Uppgift 6 Bestäm a) det största öppna intervallet det största intervallet ( oavsett öppet slutet eller halvöppet) där funktionen = arctan( x + 6 är växande Lösning: x + 6 a) f ( = + ( x + 6 x + 6 f ( > 0 > 0 ( eftersom nämnaren är >0) + ( x + 6 x + 6 > 0 x > 3 Alltså är funktionen växande på det öppna intervallet ( 3 ) Svar a) ( 3 ) är det största öppna intervallet där funktionen är växande Sida 8 av
9 Funktionen är kontinuerlig från höger i ändpunkten x = 3 (sammansatt av kontinuerliga funktioner) och därmed är funktionen kontinuerlig på intervallet [ 3 ) Eftersom funktionen kontinuerlig på intervallet [ 3 ) och f ( > 0 på ( 3 ) är funktionen växande på intervallet [ 3 ) Svar [ 3 ) är det största öppna intervall där funktionen är växande Uppgift 7 Antag att f( är kontinuerlig på ett interval I ( slutet öppet eller halvöppet) och deriverbar på J där J är det öppna intervall som består av alla I:s inre punkter ( T ex om I= ( a I= [ a I= ( a b] eller I= [ a b] så är J= ( a ) Bevisa följande: a) Om f ( < 0 för alla x i J så är f avtagande Om f ( 0 för alla x i J så är f icke- avtagande Om f ( 0 för alla x i J så är f icke-växande Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats" Lösning: Låt x och x var två punkter i intervallet I Enligt medelvärdessatsen har vi för en punkt c i intervallet ( ) x x x x eller ( x från x > x och f ( < 0 { f ( 0 eller f ( 0} har vi < { eller } dvs f är avtagande { icke-avtagande eller icke-växande} Uppgift 8 Bestäm det största intervall där funktionen = xln x är växande respektive avtagande Lösning: Definitionsmängden är D= ( 0 ) Derivatan : f ( = ln x + f ( x = e f ( > 0 x > e f ( < 0 0 < x < e Notera att = xln x är kontinuerlig i punkten Därför inkluderar vi ändpunkten x = e men ej definierad i x x = e i intervall där funktionen växer / avtar Svar: [ e ) är det största intervall där funktionen är växande (0 e ] är det största intervall där funktionen är avtagande Grafen till = xln x Sida 9 av
10 Uppgift 9 Använd differentialkalkylens medelvärdessats för att bevisa olikheten tan( x ) > x för (0 < x < ) Tips Betrakta intervallet [0 x] Lösning: Låt x vara ett tall i intervallet (0 ) Då är funktionen f ( t) = tan( t) kontinuerlig i det slutna intervallet [0 x] och deriverbar i det öppna intervallet (0 Alltså kan vi använda medelvärdessatsen på [0 x] med a och b=x Med andra ord det finns ett tal c i interavallet (0 sådant att f (0) tan( tan(0) = x 0 x 0 cos Alltså tan x = x (*) cos c tan( ) = c x cos tan x = c cos för ett tal c i intervallet (0 ) Eftersom ( 0 < cosc < ) i detta intervall har vi (0 < cos c < ) och därmed > cos c Från (*) har vi slutligen att tan x > x Eftersom x var ett godtyckligt tal från (0 ) har vi bevisat att tan x > x för alla x i (0 ) Anmärkning Man kan visa olikheten tan( x ) > x för 0 < x < på enklare sätt genom att visa att funktionen y = tan( x är växande i intervallet 0 < x < Först tan( x ) > x tan( x > 0 cos x y = = > 0 för 0 < x < (notera att för 0 < cos x < i detta intervall) cos x cos x Alltså är y = tan( x växande i intervallet 0 < x < och dessutom y ( 0) = tan(0) 0 Därför tan( x ) x > 0 dvs tan( x ) > x i intervallet 0 < x < Grafen till y = tan( x x c Sida 0 av
11 Sida av
x 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merx = a är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna x = a } { f är högerkontinuerlig i punkten x = a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten
DERIVATOR AV STYCKVIS DEFINIERADE FUNKTIONER När vi beräknar derivatan av en styckvis definierade funktioner gör vi oftast enligt följande: Vi bestämmer derivatan i inrepunkter av delintervall enligt vanliga
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merEXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM
EXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM Vi betraktar ett begnnelsevärdesproblem IVP, initial-value problem) av första ordningen som är skrivet på normal form IVP1) Man
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merINVERSA FUNKTIONER DEFINITION. (invers funktion) Låt ff vara en funktion av en reell variabel med definitionsmängden DD ff och värdemängden VV ff. Vi säger att funktionen ff är inverterbar om ekvationen
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merStudietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merKap Implicit givna funktioner
Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merKapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata
Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merFör teknologer inskrivna H06 eller tidigare. Skriv GAMMAL på omslaget till din anomyna tentamen så att jag kan sortera ut de gamla teknologerna.
Matematik Chalmers Tentamen i TMV225 Inledande matematik M, 2009 01 17, f V Telefon: Christoffer Cromvik, 0762 721860 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Varje uppgift är värd 10 poäng, totalt 50
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================
H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merY=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22
Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017
Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs mern : R vara en reell funktion av n variabler och P 0 en punkt i funktionens definitionsområde D.
EXTREMVÄRDEN OCH EXTREMPUNKTER. LOKALA OCH GLOBALA EXTREMPUNKTER Definition 1. Låt f : R n : R vara en reell funktion av n variabler och P en punkt i funktionens ionsområde D. Vi säger att f har ett lokalt
Läs merViktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.
Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013. Reela tal. Rationella tal. Irrationella tal. Slutna intervall. Öppna interlvall. s.5 Koordinater i plan. a(b+c)=ab+ac; Bråkräkning:
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs mer