Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Transkript

1 Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna intervall. Då konvergerar båda följderna {a k } k=1 och {b k} k=1. Om dessutom längden av I k 0 så gäller att lim k a k = lim k b k. SATS (Om mellanliggande värden): Om f(x) är kontinuerlig på [a,b] så antar f(x) alla värden mellan f(a) och f(b).

2 För att visa satsen om mellanliggande värden kan vi anta att f(a) < f(b). Vi antar också att µ ligger mellan f(a) och f(b), och använder satsen om intervallinkapsling (IIS). I k väljs som vänstra eller högra halvan av I k 1, beroende på om f(c k ) > µ eller f(c k ) µ där c k är mittpunkten i I k 1. IIS ger att följderna {a k } och {b k } båda konvergerar mot ett tal ξ och f(a k ) µ < f(b k ) f(ξ) µ f(ξ), dvs f(ξ) = µ. (Obs sammansättningslagen.) EX 1. Ekvationen x 5 + x 1 = 0 har en rot i ]0, 1[. Satsen är också konstruktiv i den meningen att den ger en användbara metod att faktiskt bestämma roten med godtycklig noggrannhet. Men för beräkningar är den normalt långt mindre effektiv än t ex Newton-Raphsons metod. Ett kompakt sätt att uttrycka satsen är: Bilden av ett intervall under en kontinuerlig funktion

3 är ett intervall. Detta kan generaliseras till flera variabler. SATS. (Om extremvärden) Om f(x) är kontinuerlig på [a, b] så antar f(x) ett största och ett minsta värde. För beviset behöver vi följande LEMMA (Bolzano-Weierstrass sats) Ur en begränsad talföljd {x k } kan vi alltid välja ut en konvergent delföljd. EX 2. Ur följden 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... kan vi t ex välja ut delföljden med bara udda index: 1, 1, 1, 1, 1,... eller den med bara jämna index: 1, 1, 1, 1,.... Båda är uppenbarligen konvergenta. Bevis: Det här är också ett exempel på intervallinkapsling. Antag att {x k } [a, b] = I 0. Vi kan starta med vilket element x k0 som helst. Sedan delar vi I 0 i två halvor och väljer en halva

4 I 1 som innehåller oändligt många element från följden. Därefter väljer vi ett element x k1 I 1 med k 1 > k 0. Sedan delar vi på samma sätt I 1 i två halvor och väljer en halva I 2 med oändligt många element från följden och ett väljer ut ett av dessa som vårt x k2 där k 2 > k 1. Om vi fortsätter på detta sätt så kommer, precis som i beviset av satsen om mellanliggande värden, intervallens ändpunkter {a n } och {b n } att konvergera mot ett gemensamt värde ξ, och eftersom a j x kj b j, så kommer enligt instängningslagen även delföljden {x kj } j=0 att konvergera mot ξ. Bevis av satsen: Låt M = sup x [a,b] f(x). Då är M. Enligt definitionen av supremum existerar det en talföljd {x k } [a, b] sådan att f(x k ) M. Enligt Bolzano-Weierstrass sats innehåller (x k ) en konvergent delföljd {x kj }, dvs. x kj ξ för något ξ [a, b]. Eftersom f är kontinuerlig, så är lim j f(x kj ) = f(ξ) (enligt sammansättningslagen), vilket ger f(ξ) = M.

5 Alltså är M funktionens största värde. Vi noterar i efterhand att M < eftersom M = f(ξ) som är ändligt. Bevis för att f antar det minsta värdet m = inf f(x) är analogt. Alternativt x [a,b] kan vi betrakta funktionen f(x) och använda det vi redan visat för att dra slutsatsen att denna funktion antar sitt största värde, vilket är precis ekvivalent med att f(x) antar sitt minsta värde. Det är viktigt att intervallet är slutet. Om vi har ett öppet intervall ]a, b[ och gör som i beviset ovan, så kan det hända att x kj ξ, där ξ = a eller b, men punkterna a och b ingår ju inte i definitionsmängden för f(x). T.ex. är funktionen f(x) = tan x, x ] π/2, π/2[ kontinuerlig men eftersom M = och m =, saknar f största och minsta värde. Observera att även funktionen f(x) = x, x ] 1, 1[ saknar största och minsta värde. Här är M = 1 och m = 1 men värdena 1 och 1 antas aldrig i intervallet ] 1, 1[.

6 Satsen om extremvärden gäller även på kompakta mängder. SATS. En monoton funktion vars värdemängd är ett intervall är kontinuerlig. Beviset bygger på den intuitiva observationen att en monoton funktion bara kan vara diskontinuerlig i en punkt om den gör ett hopp. Monotona konvergenssatsen ger nämligen att höger- vänstergränsvärdena, f(a+) och f(a ), måste existera, och att f(a ) f(a) f(a+). Men då finns bara två möjligheter; antingen är f(a ) = f(a) = f(a+) i vilket fall f(x) är kontinuerlig i a. Eller också är f(a ) < f(a+), i vilket fall alla värden däremellan inte kan antas. FÖLJDSATS. Om f(x) är strikt monoton och kontinuerlig så är också f 1 (x) strikt monoton och kontinuerlig. Detta kan t ex användas för att visa att de cyklometriska funktionerna är kontinuerliga.