Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH

Transkript

1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

2 Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar kan sägas vara grunden för den matematiska analysen. Man brukar därför ofta börja med att definierar vad som menas med gränsvärden av en funktion (som kan vara en funktion ha de naturliga talen, alltså en talföljd), för att sedan bygga upp begreppen kontinuitet och differentiering. I Analys 360 gör vi tvärtom: vi diskuterar gränsvärden efter att ha diskuterat kontinuitet. Detta är ingen reell skillnad; definitionen av ett gränsvärde är i allt väsentligt ekvivalent med definitionen av att en funktion är kontinuerlig i en punkt, och räknereglerna för gränsvärden är ekvivalenta med räknereglerna för kontinuerliga funktioner. Fördelen med denna framställning är att vi direkt kan använda metoder att beräkna gränsvärden som bygger på derivation. Det gäller då fr.a. L Hôspitals regel. Gränsvärden Vi säger att f har gränsvärdet c i punkten a om funktionen { f(x) x a g(x) = c x = a är kontinuerlig i punkten a. Vi skriver detta som eller f(x) c då x a f(x) = c. x a Vi börjar med några exempel som visar på enklare trick man kan använda vid gränsvärdesberäkning. Det första handlar om att först se efter om man verkligen har ett problem. Exempel 1 Vi har att x 2 x x 2 2 = 1 eftersom funktionen f(x) = x/(x 2 2) är kontinuerlig nära x = 2 och har funktionsvärdet f(2) = 1 där. Det andra exemplet visar att lite algebra ibland kan visa varför vi får 0/0 istället för ett tal när vi beräknar uttrycket.

3 Gränsvärden och L Hôspitals regel 2 (11) Exempel 2 Vi vill beräkna x 1 x + 8 8x x 7x 3. När vi här sätter in x = 1 i uttrycket får vi 0/0. Hade täljare och nämnare varit polynom hade det betytt att dessa hade en gemensam faktor (x 1) som man skulle kunna förkorta bort. Men eftersom täljare och nämnare inte är polynom måste vi hitta ett annat angreppssätt. Vi förlänger med konjugaten både uppe och nere. Vi får då uttrycket ( 5 x + 7x 3)((x + 8) (8x + 1)) ( x x + 1)((5 x) (7x 3)) = 7( 5 x + 7x 3) 8( x x + 1)) efter att vi förkortat med (x 1). Men i det här uttrycket kan vi sätta in x = 1 och får då 7(2 + 2) 8(3 + 3) = Med andra ord gäller att x 1 x + 8 8x x 7x 3 = Slutligen har vi ett exempel på en geometrisk härledning av ett gränsvärde. Detta gränsvärde ligger, tillsammans med additionsformeln för sinusfunktion, till grund för att sin x = cos x. Exempel 3 Vi ska visa att sin x x 0 x = 1. Figuren till höger, som är ritad under förutsättning att 0 < x < π/2, visar att sin x < x < tan x. Vi jämför bara areorna i de två trianglarna med cirkelsektorns area. Men från den olikheten följer att cos x < sin x x < 1. Denna olikhet gäller även om vi byter x mot x, eftersom alla ingående funktioner är jämna. Cosinus är en kontinuerlig funktion, så om x 0 så gäller att cos x 0. Det följer att (sin x)/x är instängt mellan två funktioner som båda går mot 1 då x 0. Vi kan därför dra slutsatsen att sin x x 0 x = 1. (cos x, sin x) (1, tan x) x

4 Gränsvärden och L Hôspitals regel 3 (11) När man beräknar gränsvärden använder man sig ofta av ett antal enkla observationer, vilka följer mer eller mindre direkt ur motsvarande påståenden om kontinuerliga funktioner [1]. Sats 1 Om f(x) A och g(x) B då x a, så gäller att f(x) + g(x) A + B, f(x)g(x) AB då x a. Vidare, om g(x) b då x a och f(x) A då x b, så gäller att f(g(x)) A då x a. Exempel 4 Vi ska använda räknereglerna till att visa att 1 cos x = 1 x 0 x 2 2. Med hjälp av konjugatregeln och den trigonometriska ettan har vi att 1 cos x x 2 = 1 cos2 x x 2 (1 + cos x) = sin 2 x x 2 (1 + cos x) = (sin x 1 x )2 1 + cos x. Här vet vi att (sin x)/x 1 (vilket vi såg ovan) och att cos x 1 då x 0 (eftersom cosinus är en kontinuerlig funktion), så det följer ur räknereglerna att ( sin x x ) cos x = 1 2 då x 0. Vi kan definiera gränsvärden i oändligheten på ett snarlikt sätt. Vi kan då inte använda begreppet kontinuitet, men om vi går tillbaka till dess definition och betraktar mängder på formen {x; x > N} som en omgivning till plus oändligheten, så innebär f(x) = c x att oavsett vilken omgivning U till c vi tar, ska det finnas en omgivning V till oändligheten sådan att f(v ) U. Genom detta språkbruk definierar vi också vad som menas med att f(x) =, x vad som menas med att ett gränsvärde i en punkt är oändligt och alla motsvarande påståenden i minus oändligheten. När det gäller gränsvärden i oändligheten i flerdim finns det bara en oändlighet, och en typ av omgivningar, nämligen de som har formen {x; x > N}. Annars går definitionen och alla räkneregler som vi hade ovan över utan problem.

5 Gränsvärden och L Hôspitals regel 4 (11) Limes superior och inferior När ett gränsvärde inte finns, kan man vilja försöka beskriva hur nästan det finns. För det ändamålet har matematikerna uppfunnit två hjälpgränsvärden som alltid finns och som är användbara i jakten på ett gränsvärde. Förutom att beskriva hur långt ifrån det är för ett gränsvärde att existera, är dessa också användbara för att bevisa att ett gränsvärde verkligen finns. De betecknas inf x a f(x) och sup f(x), x a kallas es inferior respektive es superior och är sådana att a) de finns alltid, om vi tillåter att de tar värdena ±, b) inf x a f(x) sup x a f(x) c) gränsvärdet x a f(x) existerar precis om inf x a f(x) = sup x a f(x) och är då lika med det gemensamma värdet. För att definiera sup antar vi att vi närmar oss a från vänster. Vi börjar då med att definiera f(x) = sup f(x) = sup f([x, a)). x y<a När x växer, minskar intervallet [x, a[ och därmed kan inte dess supremum öka. Funktionen f är därför avtagande så när x a gäller att f antingen konvergerar mot ett tal, eller mot. Det möjligen oegentliga gränsvärdet är det som definierar sup. Med andra ord: sup x a f(x) = x a f(x). På samma sätt definierar vi f(x) = inf f(x) = inf f([x, a[) x y<a som blir en växande funktion, som därför konvergerar mot antingen + eller ett tal och vi har att inf x a f(x) = x a f(x). Exempel 5 Vad gäller för sin x? x Eftersom sin kπ/2 = 1 för alla heltal k så gäller att f(x) = 1 och f(x) = 1 för alla x. Det följer att sup x sin x = 1. På motsvarande sätt ser vi att inf x sin x = 1. Eftersom dessa är olika existerar inte gränsvärdet x sin x. L Hôspital s regel Vi kommer nu till en metod som använder derivatan för att beräkna bl.a. gränsvärden som vid instoppning av punkten ger 0/0. Den bygger på observationen att vi ur definitionen

6 Gränsvärden och L Hôspitals regel 5 (11) av derivatan får, om f och g är deriverbara i en punkt a, att f(x) f(a) g(x) g(a) = Q f(x)(x a) Q g (x)(x a) = Q f(x) Q g (x) f (a) g (a) då x a. Denna observation kan ofta användas till att beräkna ett gränsvärde som vi instoppning ger 0/0, genom att vi har att f(x) x a g(x) = f (a) g (a) om g (x) 0 nära x = a. Exempel 6 Vi har att e x 1 x 0 x = (ex 1) (0) (x) (0) = e0 1 = 1. Men denna observation kan göras mycket mer användbar som följande sats visar. Sats 2: L Hospitals regel Låt f, g vara två deriverbara funktioner i ett intervall med ändpunkt a och antag att g f (x) (x) 0 i intervallet. Antag också att det ensidiga gränsvärdet x a g (x) existerar. Då gäller att f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x), förutsatt att antingen a) f(x) 0 och g(x) 0 då x a, eller b) g(x) då x a. Anmärkning Satsen handlar om ensidiga gränsvärden, där vi tillåter a = ±. Om emellertid funktionen är deriverbar i en omgivning av punkten a så gäller satsen för (tvåsidiga) gränsvärden. Satsen garanterar nämligen att de ensidiga gränsvärden från båda hållen existerar och att de är lika med de ensidiga gränsvärdena av f (x)/g (x). Om därför gränsvärdet av f (x)/g (x) existerar, måste dessa ensidiga gränsvärden vara lika. Bevis. Låt intervallet som har a som ändpunkt vara I. Vi kan anta att det är höger ändpunkt. Genom att eventuellt minska I kan vi anta att g(x) 0 i I. Detta är bara ett potentiellt problem i det första fallet, men alternativet är att det finns en svit x k a

7 Gränsvärden och L Hôspitals regel 6 (11) sådan att g(x k ) = 0 och enligt Rolles sats ska det då finnas punkter där derivatan är noll oändligt nära a. Definiera nu de två funktionerna m(x) = f (y) inf x y<a g (y), f (y) M(x) = sup x y<a g (y) Cauchys medelvärdessats [2] ger då att för godtyckliga x, y I gäller att f(x) f(y) g(x) g(y) = f (ξ) g (ξ) där ξ ligger mellan x och y. Ur detta följer att m(x) f(x) f(y) g(x) g(y) M(x), och vi kan konstatera att nämnaren är 0, ty annars skulle det finnas ett ξ mellan x och y sådant att g (ξ) = 0. Vi behöver nu villkor som garanterar att m(x), M(x) är ändliga tal. I satsens första fall har vi omskrivningen f(x) f(y) g(x) g(y) = f(x) f(y) g(x) g(x) 1 g(y) g(x) och om vi låter y a, så gäller att f(y)/g(x) och g(y)/g(x) båda går mot noll och vi ser att m(x) f(x) g(x) M(x). I det andra fallet gör vi istället omskrivningen f(x) f(y) g(x) g(y) = f(y) g(y) f(x) g(y) 1 g(x) g(y) När y a gäller att både f(x)/g(y) och g(x)/g(y) går mot noll, så det följer att m(x) inf x y<a f(y) g(y) sup x y<a,. f(y) g(y) M(x). Slutligen använder vi antagandet att gränsvärdet existerar, dvs att m(x) = M(x). x a x a Därmed är satsen bevisad. Vi kan använda denna sats upprepade gånger:

8 Gränsvärden och L Hôspitals regel 7 (11) Exempel 7 1 cos x x 0 x 2 = x 0 sin x 2x = cos x x 0 2 = 1 2. Här kommer några andra exempel. Exempel 8 Om f är två gånger deriverbar i a gäller att För att se varför, sätt f f(a + h) 2f(a) + f(a h) (a) =. h 0 h 2 φ(x) = f(a + x) + f(a x), ψ(x) = x 2. Då gäller att högerledet i formeln kan skrivas (φ(h) φ(0))/(ψ(h) ψ(0)) och vi har att φ (h) ψ (h) = f (a + h) f (a) + f (a h) f (a) 2h 2h f (a) 2 + f (a) 2 = f (a) då h 0. Exempel 9 Vi har att xα ln x = 0 om α > 0. t 0 + För detta sätter vi f(x) = ln x och g(x) = x α. Då x 0 + g(x) = kan vi använda L Hospitals regel och ser att f (x) xα ln x = x 0 + x 0 + g (x) = xα α = 0. Exempel 10 Vi kan också använda L Hospitals regel till att visa att x xα e x = 0 då α > 0. För detta sätter vi f(x) = x α och g(x) = e x. Då gäller att alla derivator av g är lika med g och g (n) (x) så x. Vi kan därför använda L Hospitals regel och får att f(x) x g(x) =... = f (n) (x) x g (n) (x).

9 Gränsvärden och L Hôspitals regel 8 (11) Om vi tar n > α ser vi att Härur följer resultatet. f (n) (x) = α(α 1)... (α n + 1)x α n 0 då x. Det finns också situationer då satsen inte ger önskat resultat. Exempel 11 Om vi försöker beräkna gränsvärdet e x + e x x e x e x med L Hôspitals regel får vi bara rundgång efter att ha deriverat två gånger är vi tillbaka där vi började. Om gränsvärden för funktioner av flera variabler Även om vi endast har betraktat gränsvärden för funktioner av en variabel ovan, så gäller gränsvärdesdefinitionen och de basala räknelagarna lika väl för funktioner av flera variabler. Detta gäller dock inte L Hôspital s regel! Däremot är det mer komplicerat att avgöra om ett visst gränsvärde finns eller inte i flerdim. I endim handlar det väsentligen om att avgöra om de två ensidiga gränsvärdena f(x) och f(x) x a x a + existerar och är lika. I flerdim kan vi närma oss en punkt på ofantligt många olika sätt, och alla sätt måste ge samma resultat för att gränsvärdet ska finnas. Att bevisa påståenden om gränsvärden blir därför en fråga om uppskattningar! Vi ska inte fördjupa oss vidare i detta utom att i ge några exempel på vad som kan hända. Det gemensamma för dessa exempel är att bilden klarnar högst betydligt om vi byter till polära koordinater med punkten som gränsvärdet ska beräknas i somo origo. Exempel 12 Vi ska beräkna (x,y) (0,0) xy2 /(x 2 + y 2 ). I polära koordinater: (r cos θ)(r sin θ) 2 = r cos θ sin 2 θ. r 2 När vi låter r 0 så går detta mot 0. Vi gör därför räkningen xy 2 x 2 + y 0 = r cos θ 2 sin2 θ r 0 då r 0.

10 Gra nsva rden och L Ho spitals regel 9 (11) Funktionen a r illustrerad nedan med en graf till va nster och en niva kurveplot till ho ger. Notera att niva kurvan till niva n noll a r axlarna. Det a r mycket som kra vs fo r att ett gra nsva rde ska finnas: Exempel 13 Fo r att bera kna gra nsva rdet (x,y) (0,0) xy/(x2 + y 2 ) info r vi ocksa pola ra koordinater: (r cos θ)(r sin θ) sin 2θ = cos θ sin θ =. 2 r 2 Detta oavsett vad r a r! Olika va gar in mot origo ger alltsa olika va rden, varfo r gra nsva rdet inte finns. Varfo r det a r sa ha r framga r av niva kurveplotten nedan till ho ger. Niva kurvorna a r (som vi sa g) stra lar in till origo. Dessa kurvor na r alltsa z-axeln pa olika niva er, sa ytan till va nster a r ihopklistrad la ngs denna axel (vilket a r sva rt att a ska dliggo ra). Men det blir a nnu va rre:

11 Gra nsva rden och L Ho spitals regel 10 (11) Exempel 14 Fo r gra nsva rdet (x,y) (0,0) x4 y 2 /(x4 + y 2 )2 observerar vi att om vi na rmar oss origo la ngs en linje y = kx sa blir gra nsva rdet k 2 x2 k 2 x6 = = 0, x 0 (x4 + k 2 x2 )2 x 0 (x2 + k 2 )2 men na rmar vi oss la ngs parabeln y = kx2 blir gra nsva rdet k2 k 2 x8 = 6= 0. x 0 (x4 + k 2 x4 )2 x 0 (1 + k 2 )2 Vi ser alltsa att niva kurvorna alla har formen[3], vilket ocksa visas i figuren nedan till ho ger. Vi ser att alla dessa ga r genom origo, och att da rfo r figuren till va nster a r missvisande: kring origo ska vi ista llet ha fyra veck av ytan som a r ihopklistrade la ngs z-axeln. Vi ma ste alltsa hantera alla mo jliga va gar in mot punkten, vilket a r ska let till att pola ra koordinater ofta a r bra; det blir da en gra nso verga ng r 0. Anma rkning Detta exemplet visar att en funktion kan ha en riktningsderivata i varje riktning i en punkt utan att fo r den skull vara differentierbar i punkten. Noteringar 1. Se kapitlet Om kontinuitet.

12 Gränsvärden och L Hôspitals regel 11 (11) 2. Se kapitlet Om kontinuitet. 3. Varje punkt i planet, utom origo, ligger på precis en kurva y = kx 2.