Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Transkript

1 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

2 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot Gränsvärden då går mot a Räkneregler Standardgränsvärden Rationella Funktioner Kontinuerliga funktioner L Hospitals Regel

3 Introduktion Gränslöshet en rent teoretisk företeelse. Vid en praktisk tillämpning av en teori kommer man alltid att nå en gräns, där något sätter stop. Detta har dock mindre implikationer i matematiken, som till stor del är teoretisk i sin natur. Även vid praktiska tillämpningar av matematiken så kan en förståelse om vad som inträffar då man närmar sig en teoretisk oändlighet vara till stor nytta, då man kan se vad man kan förvänta sig när man närmar sig en praktisk gräns, och även få hjälp att beräkna vart denna gräns kan tänkas ligga. Limes (förkortas inom matematiken) betyder just gräns. Inom algebran använder man sig av bokstäver för att kunna låta ett värde vara variabelt, dvs, kunna återanvända en ekvation eller en funktion, oavsett vad man har för värden att genomföra sina beräkningar på. På grund av hur matematiken fungerar finns det dock begränsningar för användningsområdena för ekvationer och funktioner. Som eempel kan nämnas att funktioner som tar kvadratroten (eller någon jämn rot) ur ett variabelt värde ej kan användas då detta värde är negativt (såvida man inte räknar med komplea tal). Vidare kan ekvationer som dividerar något med variabelt tal inte användas då detta tal är 0. Med hjälp av gränsvärden kan man lätt ta reda på hurvida en funktion eller ekvation håller för ett visst tal, eller ett visst talintervall. Den här rapporten kommer att behandla själva beräknandet av de teoretiska gränsvärdena för olika ekvationer, samt nyttan man kan ha av dessa. Gränsvärden inom matematiken handlar dock inte bara om vad som händer när man närmar sig oändligheten, utan kan lika gärna behandla hur funktioner och ekvationer uppför sig då ett visst värde går mot 0. Man kan även studera vad som händer när funktionsvärden närmar sig ett godtyckligt värde, till eempel för att ta reda på vad som händer kring diskontinutetspunkter i grafer och funktioner. Rapporten kommer inledas med en kort introduktion till gränsvärdesteorin, vartefter vi kommer att gå igenom hur man beräknar gränsvärden för en viss funktion eller ekvation. Vi kommer även att nämna några knep man kan ha nytta av då man arbetar inom detta område. Avslutningsvis kommer det att finnas några praktiska användningsområden för gränsvärden och gränsvärdesberäkningar. 3

4 2 Gränsvärden 2. Gränsvärden då går mot Beteendet hos en funktion kan analyseras på många sätt. Vad händer med en en specifik funktion när man använder större och större värden? Kan man se ett mönster, närmar sig funktionen ett gränsvärde? Definition Funktionen f har gränsvärdet G då går mot, om f() ligger godtyckligt nära G för alla tillräckligt stora ɛ Df. Variabeln i funktionen y = 2 kan ha ett värde som är hur stort som helst. Funktionen kan då också anta hur stort värde som helst. Med andra ord kan man säga att när går mot oändligheten, går y = 2 mot oändligheten. Funktionen saknar gränsvärde när går mot oändligheten. Detta kan matematiskt skrivas enligt följande. 2 = Använder man samma tankegång när man analyserar funktionen y = förstår 2 man att funktionens värde kommer bli mycket litet då går mot oändligheten. 2 = 0 Med samma funktion kan vi även söka gränsvärdet då går mot, dvs. den negativa oändligheten. Resultatet blir det samma, funktionens värde närmar sig 0, däremot från den negativa sidan. Sammanfattningsvis: 2 = + 2 = 2 = 0 4

5 2.2 Gränsvärden då går mot a Funktionens beteende i en viss punkt studeras för att söka ett eventuellt gränsvärde. Definition Funktionen f har gränsvärdet G då går mot a, om f() ligger godtyckligt nära G för alla ɛ D f, som ligger tillräckligt nära a. a sin Med = talar man om att gränsvärdet för funktionen när går mot a, från den negativa sidan, är. När går mot a, från den positiva sidan, skriver sin man istället a + =. Skriver man att gränsvärdet för en funktion, då går mot a, är t.e., menar man att gränsvärdet för funktionen är detsamma oberoende av vilken sida man kommer ifrån. Eempel: Betrakta funktionen y = 3. När nämnaren = 0 är funktionen odefinierad. Detta innebär att. Vi söker gränsvärdet: Funktionen kan skrivas om enligt: 3 y = 3 = ( )(2 + + ) = 2 + +,. Nu kan gränsvärdet beräknas genom att sätta in = i polynomet. y = 3 = = = 3. Gränsvärdet för funktionen när går mot 0 är 3. 5

6 2.3 Räkneregler När man gör beräkningar på gränsvärden finns det vissa regler man kan använda sig av för att förenkla ekvationerna. Om f() = A och g() = B så gäller: (f() + g()) = A + B 2 (f() g()) = A B 3 (K f()) = K A för varje konstant K 4 (f() g()) = A B 5 f() g() = A B om B 0 Dessa regler kan användas för att bestämma gränsvärden för rationella funktioner, dvs. funktioner vars nämnare och täljare båda är polynom. Eempel: Bestäm gränsvärdet = 3 ( 3 ) 3 (2 + 3 ) = = = 2 3 6

7 2.4 Standardgränsvärden För att underlätta räknandet med gränsvärden finns det s.k. standardgränsvärden som är värda att lägga på minnet. Här nedan följer ett antal av de vanligaste standardgränsvärdena samt ett kort eempel på hur man använder dem. Standardgränsvärden då ln e = 0 p e = 0 ln = 0 för p > 0 p Standardgränsvärden då 0 0 sin = 0 e = ln(+) 0 = Eempel: Bestäm gränsvärdet 0 sin 2. Gränsvärdet skrivs om för att kunna utnyttja räknereglerna. 0 sin 2 = 0 sin 2 = 0 2 sin 2 2 = 2 sin Sätter 2 = t, vilket medför att när 0 går t 0. Detta ger 2 0 sin t t = 2 = 2. 7

8 2.5 Rationella Funktioner En rationell funktion är en funktion på formen f() = p() q(), där p() och q() är polynom. Notera att även funktioner på formen f() = räknas som rationella funktioner, då = 0 är ett polynom. Då en rationell funktion i stort sett alltid har en variabel i nämnaren, har man stor nytta av att veta hur man beräknar asymptoter, eller odefinierade punkter, i dessa funktioner. Det finns några regler som kan vara bra att komma ihåg då man ska beräkna gränsvärdet för en rationell funktion, vilket man gör för att fastställa vågräta asymptoter. Det gäller att: Gradtalet för p < gradtalet för q: Gradtalet för p = gradtalet för q: Gradtalet för p > gradtalet för q: f() = 0 f() = K 0 f() eisterar inte. Vi ska nu titta på hur man går till väga för att hitta vågräta och lodräta asymptoter till funktionen f() = Vi börjar med att leta efter lodräta asymptoter. Vi vill hitta runt vilka värden som funktionsvärdet f(). Detta inträffar då nämnaren i ekvationen går mot noll. För att på ett enkelt sätt beräkna asymptoterna, letar vi efter rötterna till nämnar-polynomet, vilket ger oss att = ( 2)( + 3). Vi har alltså två lodräta asymptoter, vid = 3 och = 2. För att få en noggrannare bild av funktionens graf gör vi ett teckenschema: ± f() = ej def. ± ej def. + Detta säger oss, att närmar vi oss asymptoten = 3 från höger, närmar sig funktionsvärdet den negativa oändligheten. Rent matematiskt beskriver vi asymptotpunkterna på följande sätt: 3 y 3 + y + 2 y 2 + y + För att hitta vågräta asymptoter, tar vi gränsvärdet av f(), då ± : f() = = 2 ( ) 2 2 (+ 6 2 ) = = = = = Därmed har vi hittat en vågrät asymptot vid y = 8

9 2.6 Kontinuerliga funktioner De kontinuerliga funktionerna är den vanligaste sorten av funktioner. Grafen till en kontinuerlig funktion är sammanhängande, dvs utan "hopp"eller "hål"i grafen. Definition Kontinuitet hos f() i =n (dubbelsidig kontinuitet) Om ε > 0 finns δ > 0 som ger f()-f(c) < ε när c < δ Annars är inte f() inte kontinuerlig i = c. Så c f() = f(c) betyder att när går mot c, så går punkten (, f()) mot punkten (c, f(c)). Kontinuitet test: y = f() är kontinuerlig om följande påståenden uppfylls: f(c) är definierad (c finns inom definitions mängden för f()). Gränsvärdet c f() eisterar. c f() = f(c) (gränsvärdet är detsamma som funktionens värde) Kontinuerliga funktioner kan adderas, multipliceras, divideras och vara sammansatta med varandra med varandra men ändå förbli kontinuerliga funktioner. Diskontinuerliga funktioner: När en funktion inte är kontinuerlig för = c säger man att funktionen är diskontinuerlig i = n. Detta sker om c f() inte eisterar eller cf() f(c). Två eempel på diskontinuerliga grafer: f() eisterar men är inte lika med f(c) så har grafen ett hål i = c. Om c Om c f() däremot inte eisterar så har grafen till f() ett hopp i = c eller så har f() en vertikal asymptot. 9

10 2.7 L Hospitals Regel L Hospitals regel är ett användbart hjälpmedel för att på ett enkelt sätt beräkna gränsvärden på uttryck där man annars skulle få en ekvation på typen 0 0, då gränsvärdet är odefinierat. L Hospitals regel säger att: f() Om gränsvärdet för a g() eisterar, och är av typen 0 0, samt att f och g är oändligt deriverbara i ett område kring a, och det sista gränsvärdet eisterar, så gäller att: f() a g() = f () a g () Med hjälp av detta kan vi på ett lätt sätt få reda på gränsvärden för 0 0 ekvationer, utan att behöva krångla med Taylorutvecklingar. Man kan även på ett bekvämt sätt bevisa några av våra standardgränsvärden. Vi ska titta på ett par eempel. Ett standardgränsvärde som kan vara användbart när man arbetar med trigonometriska ekvationer är 0 sin =. Vi ska nu titta lite på hur man kommer fram till detta. Först försöker vi oss på att räkna ut gränsvärdet på vanligt sätt: sin 0 = sin 0 = Vi har då fått ett svar på typen 0 0, varför vi kan använda L Hospitals regel. Därför deriverar vi uttrycket och provar återigen att räkna ut gränsvärdet: sin 0 = cos 0 = cos = cos 0 = 0 = Ytterligare ett användbart standardvärde är 0 e =. Detta beräknas på ett liknande sätt. Vi börjar med att försöka beräkna gränsvärdet på uttrycket som det är: e 0 = e = = Återigen har vi ett värde på typen 0 0, så vi provar åter en gång med L Hospitals regel: e e = 0 0 = 0 e = = Det finns inga begränsningar på hur många gånger man får derivera ett uttryck. Detta kan vara bra när man har uttryck på formen 0 a. Så länge finns b kvar i nämnaren kommer gränsvärdet att vara odefinierat, och vi måste därför fortsätta derivera tills vi blivit av med. Naturligtvis finns det även andra fall där man kan behöva derivera vidare. Vi ska nu titta på ett eempel: sin cos sin cos 0 3 = = = = = 6 Som vi har sett är L Hospitals regel en bra och snabb genväg till att finna gränsvärden för ekvationer, där det vid en första anblick kan tyckas att ett sådant inte eisterar. 0

11 Referenser [] Staffan Rodhe & Håkan Sollervall: Matematik för ingenjörer, Almqvist & Wiksell, 200, ISBN