Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.

Transkript

1 OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal. 5. Om a > b och k < 0 då gäller ka < kb. ( Tecknet > ändras till < om vi multiplicerar eller delar en likhet med ett negativt tal. Samma regel gäller för och. Eempel. < men > LINJÄRA OLIKHETER Eempel. Lös följande olikheter 0 a) b) : 0 a) ( vi multiplicerar med ) 0 6 ( adderar 0) 6 ( delar med 8 Svar: 8 b) ( vi multiplicerar med ) 6 ( adderar )

2 4 (vi delar med som är ett negativt tal; tecknet ändras till ) ) Svar: ANDRAGRADS OLIKHETER Ett sätt att lösa en olikhet av typ a b c 0 ( >0,, 0 eller 0 ) är att först bestämma eventuella reella lösningar tilll a b c 0 och rita funktionen y= a b c. Beroende på a ( koefficient framför ), har grafen ( en parabel) ) en av följande former: a > 0 a < 0 När vi ritar grafen till y= a b c bestämmer vi lösningar till olikheten. Eempel. Lös följande olikheter a) b) 4 0 a) Ekvationen har två lösningar =, =. Grafen till funktionen y 5 6 ( Lägg märke till att a= större än 0) Vi ser från grafen att om < <. Svar: < <, formen: : (, ) Alternativtt kan vi angee svaret på b) 4 0 Två lösningar till ekvationen 4 0, = /, =/.

3 Grafen till funktionen y 4 ( Lägg märke till att a= 4 mindre än 0) Vi ser från grafen att 4 0 för alla reella tal som satisfierar < 0.5 eller > 0. 5 Svar: < 0.5 eller > 0. 5 Alternativt kan vi ange svaret på formen: (, 0.5) (0. 5, ) ====== ========= ========= ========= ========= ========= === När vi ritar grafen till y= a b c kan följande fall förekomma (Totalt 6 fall, för a>0 och för a<0). a>0, två reella rötter och y<0 om y> 0 om << < eller > a > 0. a>0, dubbelrot = y 0 för alla a > 0 =. a>0, ingen reell rot a > 0 y > 0 för alla 4. a < 0, två reella rötter och y> 0 om y< 0 om << < eller >

4 5. a < 0, dubbelrot = y 0 för alla 6. a < 0, ingen reell rot y < 0 för alla Eempel. Lös följande olikheter a) 6 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 g) 0 h) 0 i) 0 j) 0 k) 0 a) a = >0 =, = y < 0 om (, ) b) a = <0 =, = y 0 om (, -] [, ) a) 4

5 a = >0 Inga reella nollställen Funktionen positiv för alla, därför 0 saknar lösning. Svar a) (, ), b) ( (, -] [, ) c) ingen lösning d) ( (, ), dvs alla reella tal satisfierar olikheten e) [, 0 ] f) (, ), dvs alla reella tal satisfierar olikheten g) endast ett tal = satisfierar olikhetenn h) (, ), dvs alla reella tal satisfierar olikheten i), dvs alla reella tal förutom = satisfierar olikheten j) ingenn lösning k) (, ), dvs alla reella tal satisfierar olikheten OLIKHETER MED LOGARITMER Funktionen y ln är definierat för > 0. ln = 0 om = ln 0 om > ln 0 om 0< << Eempel 4. Lös följande olikheter a) ln(+) < 0 b) ln(-) > >0 5

6 : a) ln(+) < 0 är ekvivalent med 0 < + + < (* ) Vi har två olikheter i (*). Vi kan lösa varje olikhet för sig och bestämma snittet( gemensam lösning) men, eftersom (* ) består av enkla olikheter löser vi direkt d båda två. Vi adderar i (*) och får < < vi delar med och får / < < Svar a) : / < < : b) ln( ) >0 > > < Svar: < OLIKHETER MED EXPONENTIALFUNKTIONER Eponentialfunktioner a dä r a >0 som t e e,,, e 4, är positiva för allaa. Eempel 5. Lös följande olikheter 6

7 a) ( 4) e 5 0 b) ( 5) e 5 ln( 4) 0 a) Eftersom 5 e för all la beror tecken endast av den första faktorn: Svar a) Svar b) 5/ NÅGRA OLIKHETER MED TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER av typ sin a eller cos a löser vi, med hjälp av grafen eller med hjälp av trigonometriska cirkeln, först i intervallet [0, π) (eller i intervallet ( π, π] ] ). Därefterr lägger vi till lösningen period kπ. Eempel 6. Lös följande olikheter a) sin b) ) cos c) sin( ) 4 a) Vi använder grafen till y sin 5 6 / 6 7

8 eller den trigonometriska cirkeln. Först löser vi olikheten då varierar mellan 0 och π: 5 < < 6 6 Därefter lägger vi till perioden kπ på båda sidor och får 5 +kπ < < +kπ Svar a) +kπ < < +kπ 6 6 Svar b) +kπ < < +kπ c) För att enklare lösa olikheten sin( ) (*) 4 substituerar vi sin t (**) =t och får 4 Olikheten (**) har lösningen +kπ < t < +kπ. Därför: +kπ < < +kπ 4 Vi adderar 4 +kπ < < +kπ, förenklar kπ < < +kπ, och delar med 8

9 5 +kπ < < +kπ. 4 4 Svar c: 5 +kπ < < +kπ 4 4 TECKENTABELL som kan skrivas på formen f ( ) f g ( ) g ( ) ( ) 0 (*) ( eller <0, 0, 0) där högerledet =0 och vänsterledet är en produkt eller kvot av flera funktioner löser vi genom att först separat analysera tecken för varje funktion f k (), g k (). Därefter löser vi olikheten (*) med hjälp av en teckentabell. med 4 5 e Eempel 7. Lös olikheten 0 : Eftersom 4 5 e > 0 för alla löser vi endast olikheten 0. Notera att olikheten inte är definierad för = ej + def Vi ser i tabellen att uttrycket om (, 0] (, ) 9

10 Svar : (, 0] (, ) 4ln( ) 5 Eempel 8. Lös olikheten 0 : Först bestämmer vi definitionsmängden till olikheten: i) ln( ) är definierad endast om >0 dvs > ii) 5 0 dvs 5. Vi analyserar varje faktor för sig:. Faktorn 4 är en konstant funktion, negativ för alla.. Vi analyserar faktorn ln( ) som är definierad om >. Uttrycket ln( ) är definierad om >. ln( ) 0 4 ln( ) 0 om >4 Därmed ln( ) 0 om < < 4 Notera att olikheten inte är definierad för = ln( ) ej def ln( ) ej def ej 0 + ej def def 5 Svar : [4, 5) ( 6 8)ln( ) Eempel 9. Lös olikheten 0 : 0

11 Först bestämmer vi definitionsmängden till olikheten: i) ln( ( ) är definierad endast om >00 dvs > ii) Vi kollar eventuella nämnarens nollställen: 0 0, 4, 4, i ( komplea lösningar) Nämnaren har inte reella nollställen. Eftersom koefficienten framförr är negativ (a= ) är nämnaren negativ för alla. Nu analyserar vi varje faktor förr sig:. Funktionen y 6 8 är 0 om = = och = 4 och negativ om < <4. Funktionen y ln( ) är definierad om >. ln( ) 0 om = dvs om = =4 ln( ) 0 om < <4, ln( ) 0 om > >4.. Funktionen y ( ) är negativ för alla. Vi använder teckentabell för att lösa hela olikheten. På grund av ln( ) endast om o > är olikheten definierad endast om >. Därför analyserar vi tecken för alla faktorer

12 6 8 ln( ) ej 0 + def ( 6 8)ln( ) ej def 0 - Svar : (, 4) (4, )