Lösning : Substitution

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösning : Substitution"

Emil Lundgren
för 7 år sedan
Visningar:

1 INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER Viktiga grundeempel: Eempel. (aa 0) aaaabb aaaabb = tt = aa aa = aa llll tt CC llll aaaa bb CC aaaa bb = tt aaaaaa = = aa Eempel. (aaaabb) nn (nn, 0) (aaaa bb) nn = tt nn aa = aa tt nn nn CC aaaa bb = tt = aa = aa (aaaa bb) nn nn CC Eempel. aa bb (aa 0) aa bb = tt aa = aa llll tt CC = aa llll aa bb CC aa bb = tt aaaaaaaa = = aa Sida av 8

2 Eempel 4. aa (aa 0) aa = aaaa = aaaaaa aa tt aa aaaaaa = aa tt = aa aaaaaaaaaaaa(tt) CC = aa aaaaaaaaaaaa CC aa Eempel 5. aa (aa 0) Först delar vi integranden i partiella bråk aa = aa aa aa ( ) [ kontrollera ( * )] Från (*) får vi = aa aa aa = (llll aa llll aa ) CC aa aa = aa llll aa aa CC =========================================================== Uppgift. Beräkna följande integraler a) b) c) 4 4 () 4 d) 5 e) 5 f) g) 4 Svar: a) llll 4 c) () 6 CC b) llll CC d) llll 5 5 CC = llll CC CC e) 5 aaaaaaaaaaaa CC f) (llll llll ) CC g) llll llll CC 4 Sida av 8

3 =========================================================== Eempel 6. ppppqq Först loser vi ekvationen pppp qq = 0 ( ekv6). A) Om lösningar är reella och olika delar vi integranden B) Om ekvationen har dubbel rot får vi enkel integral av typ ( )( ) ( ) i partiella bråk. ( se e.) C) Om (ekv6) har komplea lösningar då kvadratkompletterar vi nämnaren och får pp pp 4 qq Med substitutionen pp = tt får vi integral av typ som i Eempel. Eempel 6A) 6 6 = 0 =, = och därför 6 = ( )( ) Vi delar integranden i partiella bråk: = AA BB ()( ) () ( ) = AA( ) BB( ) = (AA BB) AA BB ( efter multiplikationen med ( )( ) ) Eftersom ovanstående ekvationen gäller för alla har vi följande system m a p A och B AA BB = 0 AA BB = Härav AA = 5 och BB = 5. Därför = 6 ()( ) /5 = /5 = llll llll CC () ( ) Eempel 6B) = 0 =, = ( dubbel rot Sida av 8

4 = 69 ( ) och därför = = 69 ( ) tt = tt = tt CC = CC = tt = Eempel 6C) = 0 = ii, = ii Vi har fått komplea rötter och därför vi kvadratkompletterar nämnaren. = ( ) = tt = aaaaaaaaaaaa (tt) CC = tt = = aaaaaaaaaaaa( ) CC Integral av rationella funktioner i allmänna fall PP() QQ() Om grad(p()) grad(q() utför vi polynomdivision av P() med Q() och skriver integranden PP() SS() = RR() QQ() QQ(), ddärr gggggggg(s()) < gggggggg(q(). Därefter delas SS() i partiella bråk. QQ() =========================================================== Eempel 7) 4 6 Polynomdivision ger 4 6 = 6. Sida 4 av 8

5 Vi delar i partiella bråk 6 ( ) = AA BB 6 = AA( ) BBBB 6 = (AA BB) AA AA BB = AA = 6 Härav A= och B= Därför 4 6 = = llll llll CC. =========================================================== Eempel 8) 4 4 = 4 ( ) = AA BBBB CC 4 = AA( ) (BBBB CC) 4 = (AA BB) CCCC AA Vi identifierar koefficienter och får tre ekvationer: Härav AA =, BB =, CC = och därför Därför AA BB = 4 CC = AA = 4 = = = llll llll( ) aaaaaaaaaaaa() CC. Sida 5 av 8

6 Uppgift. Beräkna följande integraler a) 8 c) b) 8 8 d) Lösning c: Polynomdivision ger =. Därför d d = d (*) d Integralen beräknar vi med hjälp av formeln d = arctan C a a a formelblad), där vi tar a = eller a =. (kolla Därför d = arctan C. Från (*) har vi slutligen d d = d = arctan C. Svar: a) llll llll 6 CC 4 4 b) llll llll 6 CC 4 4 c) aaaaaaaaaaaa( ) CC d) llll llll CC. ========================================== Integraler av typ aaaabb beräknar vi ppppqq i) med hjälp av partialbråksuppdelning om nämnaren har reella rötter. ii) med hjälp av kvadratkomplettering om nämnaren har komplea rötter. Uppgift. Beräkna följande integraler Sida 6 av 8

7 a) 4 b) a) Lösning: = 0 =, = Nollställena är reella. Vi faktoriserar nämnaren och delar integranden i partiella bråk: 4 = AA BB 4 = (AA BB) AA BB ()() AA BB = och AA BB = 4. Härav AA =, BB = och 4 = = llll llll CC b) Lösning: Nämnaren har komplea rötter och vi använder kvadratkomplettering. = = () = tt tt tt tt tt subs: =t =t- d = dt llll tt aaaaaaaaaaaa (tt) CC = llll aaaaaaaaaaaa ( ) CC Uppgift 4. Beräkna följande integraler 8 4 a) d b) ( )( ) d ( )( 4) Lösning a) 8 4 Först delar vi i partiella bråk. ( )( ) Ansats (Notera att vi måsta anta ett linjärt uttryck B C ovan det kvadratiska nämnaren ): 8 4 A B C = (multiplicera likheten med ( )( ) ) ( )( ) 8 4 = A( ) ( B C)( ) ( Förenkla) 8 4 = A A B B C C 8 4 = ( A B) B ( B C) A C Härav har vi följande system: A B = 0 (ekv) B C = 8 (ekv) A C = 4 (ekv) Sida 7 av 8

8 Från (ekv) har vi A= B som vi substituerar i andra och tredje ekvationen och får B C = 8 (ekv') B C = 4 (ekv') Om vi t e adderar de två sista ekv får vi C = 4 eller C =. Från (ekv') har vi nu B = 6 och slutligen från (ekv) har vi A = Alltså =. ( )( ) Nu beräknar vi integralen: d = = = d d d d d ( )( ) 6ln ln arctan C. Anmärkning: 6 d = d = C ln 8 4 Svar: a) d = 6ln ln arctan ( )( ) C 7 b) d = ( )( 4) d 7 = ln ln 4 arctan 4 C Sida 8 av 8

Relevanta dokument

För att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999

För att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999 Lektion 4, Envariabelanalys den november 999 6.. Beräkna d 4. Det första vi observerar i integralen är uttrycket i nämnaren, 4. När ett uttryck av den här typen förekommer i en rationell integrand kan