1 Primitiva funktioner

Transkript

1 Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall? Svaret på denna fråga ges av följande sats. Sats. Om F ( är en primitiv funktion till f( så är även G( F (+C, där C är en konstant. Omvänt gäller att varje primitiv funktion G( till f( kan erhållas genom att man utifrån den primitiva funktionen F ( adderar en lämplig konstant C. Bevis. Om F ( är en primitiv funktion så är även G( F ( +C där C är en godtycklig konstant ty G ( F ( f(. Omvänt,omG( och F ( är två primitiva funktioner till f( så gäller att G ( F ( f( f( 0,vilketenligtsatsenpåsid.75innebärattdeskiljersigpåhögsten konstant. Eempel. Funktionen F ( F ( f( + C är en primitiv funktion till f( eftersom cos Eempel. Funktionen F ( + C är en primitiv funktion till f( sin eftersom F ( sin ( sin f( Definition. Funktionen f( kallas integrand. f( d kallas integralen av f( d och betecknar en godtycklig primitiv funktion till f(. Från definitionen av primitiv funktion följer att D f( d f( dvs om vi deriverar integralen av f( d får vi tillbaka integranden f(. Eempel. Det gäller att ( + d + + C ty när vi deriverar får vi D ( + + C +

2 Standardintegraler. αd α + C α d α+ α + + C, d ln + C, e d e + C cos dsin + C sin d cos + C cos d tan + C sin d cot + C d arctan + C + d arcsin + C + α d ln + + α + C α observera absolutbeloppet Räknelagar αf( d α f( d (f(+g( d f( d + g( d ( + Eempel 4. Beräkna d ( ( + d + d ( + d +ln + C +ln + C ( Eempel 5. Beräkna + d ( + ( d / + / d / + / + C + + C

3 Partialintegration Sats. (partialintegration Om f( har en primitiv funktion F ( och g( är deriverbar så är f(g( d F (g( F (g ( d Bevis. Vi ska visa att högerledet är en primitiv funktion till f(g(, dvsnärvideriverarhögerledetskall vi få tillbaka integranden f(g( ( D F (g( F (g ( d F (g(+f(g ( F (g ( F (g( f(g( Partialintegration endast meningsfull om Eempel. Beräkna e d F (g ( d är enklare att beräkna än f(g( d Sätt f( e och g( varvid F ( e och g (.Partialintegrationger e d e e d e e + C e ( + C Om man istället sätter f( och g( e blir F ( och g ( e.partialintegrationger e d e e d vilket inte är lättare än det vi startade med! Det är alltså viktigt att välja rätt vid partialintegrationen. Eempel. Beräkna cos d Sätt f( cos och g( varvid F ( sin och g (.Partialintegrationger cos d sin sin d sin +cos + C Övertyga dig själv om att f( och g( cos inte innebär någon förenkling vid partialintegration. Eempel. Beräkna ln d Kan vi använda partialintegration här? Ja, om vi skriver ln d ln d och sätter f( och g( ln varvid F ( och g (.Partialintegrationger ln d ln d ln d ln + C

4 Variabelsubstitution Variabelsubstitution. Det gäller att f(g(g ( d F (g( + C ( ty när vi deriverar får vi DF(g( F (g(g ( f(g(g ( Formeln för variabelsubstitution skrivs ofta [ ] f(g(g g( t ( d g ( d dt f(t dt + C ( där man efter beräkningen av f(t dt skall substituera t med g(. Variabelsubstitution är mycket användbart och vi illustrerar detta med ett antal eempel. Eempel. Beräkna e {{ d g ( f(g( Integranden har formen f(g(g ( med f(t e t, t g( och g (. Eftersom F (t e t ger formeln för variabelsubstitution e d e + C Genom att man ersätta (substituera den inre funktionen g( med t kan integralen också beräknas enligt [ ] e t d e d dt t dt e t + C e + C Eempel. Beräkna sin( d g ( f(g( Integranden har formen f(g(g ( med f(t sint, t g( och g (. Eftersom F (t cos t ger formeln för variabelsubstitution sin( d cos( +C Genom att substituerar den inre funktionen g( med t kan integralen också beräknas enligt [ ] sin( d t sin tdt cos t + C cos( d dt +C 4

5 (ln Eempel. Beräkna d (ln f(g( g ( Integranden har formen f(g(g ( med f(t t, t g( ln och g (. d Eftersom F (t t ger formeln för variabelsubstitution (ln d (ln + C Genom att substituera den inre funktionen g( med t kan integralen också beräknas enligt [ ] (ln ln t d t dt t d dt + C (ln + C e / Eempel 4. Beräkna d Genom omskrivningen e / d e / f(g( ( {{ g ( d får vi en integral där integranden har formen f(g(g ( med f(t e t, t g( och g (. Eftersom F (t e t ger formeln för variabelsubstitution e / d e / + C Genom att substituera den inre funktionen g( med t kan integralen också beräknas enligt e / t d d dt d dt Eempel 5. Beräkna cos sin d sin f(g( cos g ( e t dt e t + C e / + C Integranden har formen f(g(g ( med f(t t, t g( sin och g ( cos. Eftersom F (t ln t ger formeln för variabelsubstitution cos d ln sin + C sin Genom att substituera den inre funktionen g( med t kan integralen också beräknas enligt [ ] cos sin d sin t dt ln t + C ln sin + C cos d dt t d 5

6 Eempel 6. Beräkna 4 + d Genom omskrivningen 4 + d g ( f(g( d får vi en integral där integranden har formen f(g(g ( med f(t t, t g( 4 + och g ( 4. Eftersom F (t ln t ger formeln för variabelsubstitution 4 + d 4 ln C Genom att substituera den inre funktionen g( med t kan integralen också beräknas enligt 4 + t 4 + d 4 d dt d 4 dt 4 t dt 4 ln t + C 4 ln C Eempel 7. Beräkna sin {{ cos {{ d f(g( g ( Integranden har formen f(g(g ( med f(t t, t g( sin och g ( cos. Eftersom F (t t sin cos d sin ger formeln för variabelsubstitution + C Genom att substituera den inre funktionen g( med t kan integralen också beräknas enligt [ ] sin sin t cos d t cos d dt dt t + C sin + C Eemplen ovan visar att det är vettigt att titta på integranden och se om den, eventuellt efter någon omskrivning, har formen f(g(g (. Om den har denna formen kan vi nästan göra integrationen i huvudet! Variabelsubstitution är en mycket kraftfull metod som kan användas på ett mera allmänt sätt. Vi illustrerar detta med ett antal eempel. Eempel 8. Beräkna +d Vi ersätter det som är besvärligt, dvs +,medt. Enkorträkningvisaratt då ska ersättas med t och d övergår i tdt + t +d t (t t t dt (t 4 t dt 5 t5 t + C d tdt 5 ( + 5 ( + + C 5 ( + + ( + ++C 6

7 Eempel 9. Beräkna d + / Vi ersätter det som är besvärligt, dvs /,medt. Räkningarnablir d / t t + / d t t dt + t t dt Eempel 0. Beräkna t + f(g(t t g (t ln d t t + dt dt ln t + + C ln / + + C Vi ersätter det som är besvärligt, dvs ln, medt. Räkningarnablir [ ] ln t ln d d dt ln t + C ln ln + C dt t 7

8 4 Partialbråksuppdelning Idetföljandeskallviutnyttjasåkalladpartialbråksuppdelning vilken innebär att man uttrycker rationella funktioner som summor av enklare funktioner. Beroende på faktorerna i nämnaren får vi följande termer i partialbråket faktor i nämnaren a termer i partialbråket A a ( a A a + B ( a + a + b A + B + a + b ( + a + b A + B + a + b + C + D ( + a + b Eempel. Den rationella funktionen A + B + + C + + ( ( +( + ger upphov till ett partialbråk av formen Eempel. Den rationella funktionen A + B + + C ( + + ger upphov till ett partialbråk av formen ( ( + Eempel. Den rationella funktionen A + + B + C + + ( +( ger upphov till ett partialbråk av formen + Eempel på hur man bestämmer konstanterna i partialbråket ges längre fram. 8

9 5 Rationella funktioner Vi ska här studera integraler av rationella funktioner f( d där f( g(, g(, h( polynom h( Rationella funktioner är viktiga och integraler av dessa kommer upp i en mängd sammanhang. Räkneschema Om grad g grad h så gör vi en polynomdivision varvid f( k(+ r( h( där grad r<grad h Beräkning av primitiv till r( h( Kan h( faktoriseras? Om h( kan faktoriseras så gör man en partialbråksuppdelning (eempel nedan Om h( inte kan faktoriseras kvadratkompletterar man och gör en lämplig substitution. Eempel. Beräkna + + d Kan nämnaren + +faktoriseras? + +0 ± ±, Vi har alltså faktoriseringen + +( +( + Partialbråksuppdelning + + ( +( + A + + B A( ++B( + (A + B + A +B + ( +( + ( +( + För att högerledet ska vara lika med { A + B 0 A +B { A B ( +( + måste Vi har alltså att Integralen kan nu beräknas ( + + d d ln + +ln + + C ln C 9

10 Eempel. Beräkna d Kan nämnaren +4 +5faktoriseras? ± 4 5 Ekvationen saknar reella lösningar och nämnaren kan inte faktoriseras. Kvadratkomplettera +4 +5( + + Integralen kan nu beräknas d ( + + d [ + t d dt ] t d arctant + C arctan( ++C Eempel. Beräkna d Polynomdivision ger att ( + 4 Kan nämnaren faktoriseras? ( 0 ± ±, Vi har alltså faktoriseringen ( +( Partialbråksuppdelning A( +( + B( + C( + ( +( ( +( A + För att högerledet ska vara lika med + 4 ( +( måste Vi har alltså att A + B + C A B + C A 4 A B C Integralen kan nu beräknas d B + + C (A + B + C +( A B + C A ( +( ( ++ + d + +ln ln + ln + C 0

11 Eempel 4. Beräkna t + 4 d Kan nämnaren t + 4 faktoriseras? t t ± 4 Ekvationen saknar reella lösningar och nämnaren kan inte faktoriseras. Uttrycket är redan kvadratkompletterat då där inte ingår någon term med t. Viharintegralen t + dt 4 Det är uppenbart att vi måste göra en eller flera omskrivningarsåattvikanutnyttjastandardintegralen d arctan + C + Vi börjar med att fia till så att vi får en etta i nämnaren t + dt ( 4t dt 4 ( t dt + Omskrivning och substitution ger 4 ( 4t dt ( ( dt t + s + ds arctan s + C t s dt ds ( t arctan + C

12 6 Rotuttryck För funktioner som innehåller rotuttryck kan man prova följande faktor i integranden åtgärd a + b substituera a + b t a + b c + d substituera a + b c + d t + a + b kvadratkomplettera och substituera Eempel. Beräkna d d t t t + d tdt t t + dt Genom substitutionen blir integranden en rationell funktion. Polynomdivision ger t t + t + Vi har alltså t t + dt ( t dt t arctant + C + Detta ger d ( arctan + C Eempel. Beräkna + d + d + t + t t d tdt t (t t dt konjugatregeln Genom substitutionen blir integranden en rationell funktion. Partialbråksuppdelning ger (t +(t A t + + B A(t + B(t + (A + Bt A + B t (t +(t (t +(t För att högerledet ska vara lika med { { A + B 0 A A + B B Vi har alltså att (t +(t t + + t (t +(t måste (t +(t dt

13 Integralen kan nu beräknas ( (t +(t dt t + + t Detta ger + d ln + + C ++ dt ln t + +ln t + C ln t t + + C Eempel. Beräkna ( + + d Vi har räkningarna + t + t t ( + t + t t t + ( t t + +t t d t( t ( + t ( t ( t dt 4t ( t dt + +t t + +t + t t t Vi har alltså Detta ger ( + + d 4 ( t t ( + + d Eempel 4. Beräkna t + + t 4t d ( t dt 4t ( t dt t dt t + C ( + C d ( C d t t + dt [ + + t ( + + d d dt t + dt t g (t t + {{ f(g(t ] dt t t + dt t + dt standard int. t + ln t + t + + C Detta ger d ( + + ln ++ ( C

14 7 Trigonometriska funktioner ( För funktioner som innehåller sin och cos kan man använda substitutionen tan t eftersom ( sin sin ( cos cos ( sin { ( { ( ( sin cos ( ( tan cos +sin ( +tan {{ ( cos { ( { ( cos sin ( tan ( ( cos +sin ( +tan {{ ( tan t arctant +nπ d +t dt t +t t +t Vi illustrerar substitutionen med några eempel Eempel. Beräkna sin d ( tan t sin d t sin +t d +t dt Eempel. Beräkna cos d cos d ( tan t cos t +t d +t dt t +t dt +t t +t ( tan +C t dt ln t +C ln +t dt t dt Genom substitutionen blir integranden en rationell funktion. t har faktoriseringen t (+t( t. Partialbråksuppdelning ( + t( t A +t + B A( t+b( + t ( A + Bt +(A + B t ( + t( t ( + t( t För att högerledet ska vara lika med { { A + B 0 A A + B B ( + t( t måste 4

15 Vi har alltså att ( + t( t +t + t Integralen kan nu beräknas ( t dt +t + t dt ln +t ln t + C ln +t t + C Detta ger cos Eempel. Beräkna ( +tan d ln ( tan + C +sin d +sin d ( tan sin d t t +t +t dt + t +t + t +t dt +t +t dt t + t + dt Genom substitutionen blir integranden en rationell funktion. Kan nämnaren t + t +faktoriseras? t + t +0 t ± Ekvationen saknar reella nollställen och nämnaren kan ej faktoriseras. Kvadratkomplettera t + t + ( t Ingeralen kan nu beräknas t + t + dt enl.e4sid9 ( t arctan [ t + ] s dt dt ds Detta ger ( +sin d arctan tan + + C s + 4 ds ( s + C ( t + arctan + C 5

16 8 Trigonometriska omskrivningar Imångafallkanmanhanyttaavtrigonometriskaomskrivningar. Detta ger cos cos sin cos sin cos +cos, sin cos Eempel. Beräkna cos d ( +cos cos d Eempel. Beräkna sin d ( cos sin d d d + sin 4 sin 4 + C + C Eempel. Beräkna cos d cos d cos cos d ( sin cosd (cos sin {{ cos {{ d sin sin +C f(g( g ( cos Eempel 4. Beräkna sin +sin d ( Vi skulle kunna använda substitutionen tan t men detta blir mycket arbetssamt. Efter lite funde- rande testar vi sin t istället. [ cos sin +sin d sin t cos d dt ] t + t dt Genom substitutionen blir integranden en rationell funktion. Kan nämnaren t + t faktoriseras? t + t t( + t Partialbråksuppdelning t( + t A t + B A( + t+bt (A + Bt + A +t t( + t t( + t För att högerledet ska vara lika med { A + B 0 A { A B Vi har alltså att t( + t t +t t( + t måste 6

17 Integralen kan nu beräknas ( t( + t dt t +t dt ln t ln +t + C ln t +t + C Detta ger cos sin +sin d ln sin +sin + C 7

18 9 Komplea metoder Komplea metoder baseras på Eulers formler cos ei + e i, sin ei e i i Vi ger några eempel. Eempel. Beräkna sin 5 cos d e i5 e i5 sin 5 cos d ei + e i d (e i6 e i6 + e i4 e i4 d i 4i ( e i6 + e i6 + ei4 + e i4 + C ( e i6 + e i6 ( e i4 + e i6 + C 4i 6i 4i 8 cos 6 cos 4 + C 8 Eempel. Beräkna e sin d e sin d e ei e i d (e +i e i d (e (+i e ( i d i i i ( e (+i e( i + C ( ( ie (+i ( + ie ( i + C i +i i i e [ ( ie i ( + ie i] + C e [ e i e i i(e i + e i ] + C 4i [( 4i e e i e i ( e i + e i ] + C e (sin cos +C i 8