Lösningsförslag till TATA42-tentan

Transkript

1 Lösningsförslag till TATA-tentan Då ekvationen är linjär av första ordningen löses den enklast med hjälp av integrerande faktor (I.F.). Skriv först ekvationen på standardform. (+ )y y + y + + y + För att ta fram integererande faktorn beräknar vi + d ln(+ ) ln I.F. + eln Mulitplikation av ekvationen med I.F. ger att ( ) d d y y arctan+c y + (arctan+c). +. Villkoret att lösningen skall gå genom punkten (,) betyder att y() vilket ger så att y() + (+arctan).. Vi börjar med en tydlig figur. y y() + (arctan+c) C f() 3 da (f()+)d + 3 y f() y Med hjälp av denna figur och Pappos-Guldins regel får vi rotationsvolymen dv T.P:s väg da π(+)(f()+)d V dv π 3 (+)(f()+)d.

2 Vi ritar en kopia av tidigare figur och inför lite nya betckningar: y ds y f() y Med hjälp av denna figur och Pappos-Guldins regel får vi rotationsarean da T.P:s väg ds π(+) +(f ()) d 3 A da π (+) +(f ()) d. Då radien på bottenplattan är blir rotationskroppens totala begränsningsarea 3 A π +A 6π +π (+) +(f ()) d. 3. (a) Vi börjar med att Maclaurinutveckla funktionerna i täljaren t.o.m ordning 3, d.v.s. med restterm av lägst grad. ( cos(ln(+)) cos () +O ( 3)) cos ( +O ( 3)) Vi får ( +O ( 3)) ( ( +O +O ( 3)) ) ( () +O ( )) +O( ( +O ( )) ) + 3 +O ( ) e +O( ( ) ) +O ( ). cos(ln(+)) e O då. 3 +O ( ) 3 +O() ( ) ( +O ( )) 3

3 (b) Vi ska undersöka om integralen är absolutkonvergent, så vi betraktar cos + 5 d cos + 5 d+ cos + 5 d, där integralen är generaliserad i både och och därför måste delas upp i två. För < har vi cos , ty cos och + 5. Således är cos + 5 d d och vi vet att den sista integralen är konvergent enligt Sats. (b), sid 56, α <. För > är cos , ty cos och + 5 5, så cos + 5 d 5 d, där vi vet att den sista integralen är konvergent enligt Sats. (a), sid 56, α 5 >. cos Alltså är hela integralen d absolutkonvergent (a) För alla k gäller Då a k 3k k +5 k 3k 5 k + ( ) k 5 ( ) 3 k b k. 5 b k är en geometrisk summa med kvot 3/5 och första term ger Sats.3, k sid 39 att serien är konvergent och Följaktligen är k k ( ) 3 k k k +5 k både konvergent och 5 enligt Sats.6, sid 3.

4 (b) Vi använder rotkriteriet för att bestämma konvergensradien. a k /k ( ) k k /k k (+ k) ( + k ) /k k /k ( ) /k + k }{{} då k med hänvisning till standardgränsvärden. Följaktligen är potensserien absolutkonvergent då < d.v.s. < och divergent då >. Återstår att undersöka ± som ju båda ger samma serie, k ( ) k (±) k k (+ k) k ( ) k k k (+ k) k ( ) k + k som är konvergent enligt Sats., sid 5 (Leibniz kriterium); serien är alternerande och termernas belopp + avtar mot då k. Följaktligen är k serien konvergent då. 5. Vi taylorutvecklar de ingående funktionerna kring och börjar med nämnaren, N() för att se hur långt vi behöver utveckla. Taylors formel ger då N() sinπ, N() sinπ, N () πcosπ, N () πcosπ π. sinπ π( )+O ( ( ) ). Alltså räcker det med taylorutveckling av ordning. T () arctan +, T () arctan, T () ( ) (+) (+) +, + + T () 5. Taylors formel ger igen att Vidare, arctan + arctan 5 ( )+O( ( ) ) T () arctan, T () arctan, T () ( ) + +, T () 5. Taylors formel en sista gång ger att arctan arctan + 5 ( )+O( ( ) ).

5 Följaktligen arctan + arctan sinπ arctan 5 ( )+O( ( ) ) ( arctan + 5 ( )+O( ( ) )) π( )+O(( ) 3 ) 3 5 ( )+O( ( ) ) π( )+O(( ) 3 ) 3 5 +O( ) π +O(( ) ) 3 5 π 3 5π då. 6. Ansätt y a k k a +a +a +... och beräkna y och y. k Sats.6 (b), sid 65 ger y ka k k y k k(k )a k k. Insättning i ekvationen ger efter omnumrering av serien för y att y 3 y 9y k(k )a k k 3 ka k k+ 9 a k k+ k k k k k (k +3)(k +)a k+3 k+ (3k +9)a k k+ 9a a +3 a 3 9a + a +3(a 3 3a )+ k ((k +3)(k +)a k+3 3(k +3)a k ) k+ k (k +3)((k +)a k+3 3a k ) k+. k k c k k }{{} Då sista radens vänsterled i sig är en potensserie som skall vara maclaurinserie för -funktionen måste alla koefficienterna, c k i denna potensserie vara, d.v.s. a y(),a y (),a a, a 3 3a a 3 och för k fås rekursionsformeln Detta ger (k +)a k+3 3a k a k+3 3 k + a k. k : a 3 3 a, k : a 5 3 a, k3 : a a 3, k : a a, k5 : a a 5, k6 : a a 6, k7 : a 3 9 a 7 3 3!, k8 : a 8 3 a 8, k9 : a 3 a 9, k : a 3 3 a 3!!, k : a 3 3 a,...

6 Vi ser att de enda k-värden som ger nollskild koefficient är de där k kan skrivas som k 3m+ och att a k3m+. Insättning av k 3m+ i rekursionsformeln ger då m! a (3m+)+3 a 3(m+)+ vilket bekräftar mönstret. Följaktligen är y() a k k k 3 (3m+)+ a 3m+ m+ m! (m+)! [ ] Endast a k3m+ a 3m+ 3m+ m m m! 3m och serien är konvergent för alla R enligt, till eempel, kvotkriteriet: 3(m+) /(m+)! lim m 3m /m! lim m! m (m+)! 3 lim m m+ 3, vilket ger en oändlig konvergensradie. Anmärkning: notera även att y() m ( 3 ) m e 3. m! 7. Vi startar med ekvationen y +g()y +, y(). Eftersom y är en lösning för är y kontinuerligt deriverbar för. Insättning av i ekvationen ger att y ()+g()y() y ()+g() y () +. Då y() och y () finns ett öppet intervall I med som vänstra ändpunkt där y() >. Vi antar att y välar tecken och visar att det leder till en motsägelse. I så fall är vårt antagande om att y har ett nollställe fel och därmed måste y() vara positiv för alla > eftersom vi visat att y() > på intervallet I ovan. Antag att är det första nollstället. Då är y() > för < < och insättning av i ekvationen ger y ( )+g( )y( ) y ( )+g( ) y ( ) + >. Eftersom y är kontinuerlig och y ( ) > måste y () vara > även i en omgivning av. Det skulle innebära att den till vänster om positiva funktionen y() väer mot. Detta är uppenbarligen en motsägelse och följaktligen är y() > för >. Vi observerar att även z() > för > med samma bevis som ovan. För att visa att y() > z() studerar vi y z och sätter in i den första ekvationen. Vi får (y z) +g()(y z) y +g()y (z +g()z) + (z +h()z h()z +g()z) + ( + (h() g())z) (h() g())z > enligt förutsättningarna och det som just visats om z, dvs y z uppfyller en första ordningens differentialekvation av samma typ som y och z gör. Observera att det enda som var viktigt med det ursprungliga högerledet + var att det var positivt för alla. Följaktligen kommer samma bevis ytterligare en gång att ge att y() z() > för >, d.v.s. y() > z() för >. V.S.B.

7 Man kan också visa detta genom att skriva upp och studera den formella lösningen. Låt G() vara en primitiv funktion till g. Då y() och I.F. e G() fås att d ( ) e G() y e G() + d y() } y() e G() e G(t) +t dt. Då integralen av en positiv funktion är positiv och då e G() > för alla följer det direkt att y() > för >. Att y() > z() visas p.s.s. som ovan genom att upprepa resonemanget på y z.