4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Transkript

1 Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska ettan och variabelbyta ger sin 5 x) dx sin x) ) sinx) dx cos x) ) sinx) dx ] dt t cosx), sinx) dx dt sinx) dx t ) ) dt t 4 + t dt 5 t5 + t t + C 5 cosx)5 + cosx) cosx) + C.. a) Differentialekvationen är separabel. Om y > och cosx) gäller y cosx) y cosx) dy dx y y / dy cosx) dx, och integration ger då y / dy cosx) dx y / sinx) + C.

2 Villkoret y) ger sin) + C varav C. Alltså är y sinx) + vilket ger y sinx) dvs y sinx) ), b) Från ekvationen fås x >. Division med x ger π < x < π. y + x y x 5 /. ) Detta är en linjär differentialekvation av :a ordningen som lösas med integrerande faktor. Med gx) fås x dx ln x + C lnx) + C x vilket ger Gx) lnx). Integrerande faktorn blir då Multiplikation av ) med IF ger IF e Gx) e lnx) x. x y) x y + y x /. Integration ger x y x / dx 6 x / + C vilket ger lösningen y 6 x / + C /x, x >.. a) Ett masselement ges av dm ρx) dx x + ) e x dx. Trådens totala masse ges vid integration m dm e x x + ) dx ] fx) e x F x) e x gx) x + g x) e x x + ) ] e x dx 7e ) e x ] 7e e ) 5e +. b) Ritas kurven y x /4 fås följande graf

3 r /4 y y x /4 r x Glaset bildas alltså vid rotation kring y-axeln av det blå området, dvs det som liggar över kurvan. Vid rotation av det röda området kring y-axeln bildas inte ett glas.) Vid rotation av det blå och det röda området kring y-axeln bildas en cylinder med volym V blå + V röd V cylinder πr r 4 π 4 r4. Rotationsvolymet för det röda området kring y-axeln, dvs området under grafen bestämmas vha rörformeln V röd r Glasets volym är därför πx x 4 dx r ] r π π x dx 8 x4 π 8 r4. V glas V blå V cylinder V röd π 4 r4 π 8 r4 π 8 r4. Därför gäller V glas π ) /4 6 8 r4 r. π 4. a) Enligt standardutvecklingar gäller e x + x + x + x B x) och cosx) x + x B x) där B x) och B x) är begränsade i en omgivning av. Insättning ger e x + x ) x cosx) + x + x + x B x) ) + x ) x x + x B x) ) + x + x + x + x B x) x x x B x) x + x B x) x x B x) + xb x) xb x)

4 där B x) är begränsad i en omgivning av. Därför gäller e x + x ) x cosx) + xb x) xb x) / / för x. b) Partialbröksuppdelning ger Multiplikation med xx + ) ger x + x xx + ) A x + B x +. Ax + ) + Bx varav A / och B /. Integration ger T T x + x dx / x / x + dx Därför gäller T x + x dx Generaliserede integralen 5. Vi betraktar differentialekvationen ] T ln x ln x + ] T ln x x + ) ) ) T ln ln T + 5 ) ) ) ln ln. + /T 5 ) ) ) ln ln + /T 5 ) ln ln + 5 ) ) ln ) 5 för T. dx är alltså konvergent med värden ln 5 x +x ). y y + y x 8) e x. ) Karakteristiska ekvationen blir r r + som har rötterna r, ± i. Detta ger enligt Sats 5. lösningen y h e x C cosx) + C sinx)) till den homogena ekvationen y y + y. 4

5 För att hitta en partikulärlösning till ) sätts y z e x varav y z e x + z e x z + z) e x och y z + z ) e x + z + z) e x z + 4z + 4z) e x. Insättning i ) ger z +4z +4z) e x z +z) e x +z e x x 8) e x z +z +z x 8. För at hitta en partikulärlösning till denna ekvation gör vi ansatsen z Ax + B varav z A och z. Insättning ger + A + Ax + B) x 8. Identifiering ger { { A + B 8 A A B dvs z p x. Detta ger partikulärlösningen y p x ) e x till ) som alltså har den fuldständiga lösningen Derivation ger y y h + y p e x C cosx) + C sinx)) + x ) e x. y e x C cosx) + C sinx)) Villkoren y) och y ) 4 ger + e x C sinx) + C cosx) ) C och C + C + 4 varav C och C. Lösningen blir alltså yx) e x cosx) + sinx)) + x ) e x. + e x + x ) e x. 6. Volymen av bassängen är 5 m 5 m m.5 m.5 6 l. Låt yt) beteckna mängden klor enhet l) vid tiden t enhet dygn). Enligt uppgiften gäller m in l/dygn, m ut l/dygn yt).5 6 l 4 4 yt) dygn. Derivaten y t) anger ökningen i klorhalten per tidsenhet, dvs vi har y t) m in m ut enhet l/dygn) vilket ger y t) 4 4 yt). 5

6 Från början dvs vid tiden t gäller y) l. Den matematiska modellen blir alltså y t) 4 4 yt), y). Vi får alltså y y. Detta är en linjär första ordens differentialekvation som lösas med integrerande faktor den går också att lösa som separabel differentialekvation). Vi får gt) 4 4, Gt) 4 4 t och IF e 4 4 t. Multiplikation med IF ger 4 4 t) y e 4 4 t y e 4 4 t y e. Integration ger y e 4 4 t C yt) C e 4 4 t. Villkoret y) ger då C e, dvs C. Vi söker nu t så att yt ) 4 %.5 6 l 5 l: yt ) 5 e 4 4 t 5 e 4 4 t 5 t ln ) 4 4 ln) 5 ln). 4 4 Det dröjar alltså 5 ln) 7 dygn, dvs 4.74 år tills klorhalten igen är under det hygieniska gränsvärdet. 6