i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

Transkript

1 Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5 då a = och b = 3. Ê. Visa att Á nˆ Ë - Ê Á nˆ Ë + Ê Á nˆ Ê Ë -º+ (-) n n Á ˆ = där n =,,3, Ë n 5. Visa med induktion att a 5 n- + är jämnt delbart med 6 for n =,, b. n 3 + n är jämnt delbart med 3 for n =,, n < n för n = 5,6,7, d º+ (-) n (n -) = (-) n+ n e. n k - 3 Â = - n k= 3 k 3 n 6. Visa att coshx =+ sinh x. b. sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x. 7. Förenkla så långt som möjligt sin(arccos 3 - arcsin 3 ) b. cos(arccos 3 ) 8. Verifiera att arctan( - 3) = p b. arcsin arcsin 3 = 3p 9. Finns det något värde på konstanten A så att funktionen Ï Ô x då x f (x) = Ì x + x blir kontinuerlig i punkten x =? Ó Ô A då x =. 35. n = =>, n = 5 =>, n = 6 =>. För övriga n är koefficienten /9 b. /8 9. Nej

2 . Bestäm i förekommande fall inversfunktionen f - (x) till den funktion f (x) som anges nedan. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till f resp. f -. f (x) = ln(x +) - ln(x -) b. f (x) = ln(x +) + ln(x -). Låt f (x) =+ x och g(x) = -. Bestäm de sammansatta funktionerna f o g, g o f, f o f och x g o g.. Beräkna derivatorna till följande funktioner: x 3 b. x - - x x d. sin (+ 3x) e. g. ln -sin x + sin x j. arccos x sin x - x cos x cos x + x sin x h. arccos - x k. arctan(tan x) x + x f. ln x - x + i. x - arctan x 3. Beräkna höger- och vänsterderivatorna i x = till funktionen f (x) = sin x.. Beräkna derivatan dy uttryckt i x och y då funktionen y = y(x) definieras av: dx x 3 y + xy 3 = b. x cos y + y sin x = y y = x 3 + x. f - (x) = ex + e x -. D f = V f - = alla reella tal >. D f - = V f = alla reella tal utom. b. Har ingen invers.. f o g(x) = ( x -)(x -) g o f (x) = (x + )(x + ), f o f (x) = (3x + )(x + ) g o g(x) = (3x -)(x -).. b. + ( - x )3/ 3 x x x d. 3sin( + 6x). e. g. - cosx j. x x -. k. sinx sin x + cos x 3. f + () =, f - () = - h. +x + x. x (cos x + x sin x). f. x x -. + x - x i. x (+ x) - y(3x + y ) x(x + 3y ) b. y cos x + cos y x sin y - sin x (3x +) y y (+ ln y)

3 5. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan y = (3- x ) i punkten (,). 6. Ekvationen xy + ln(+ x - 3y) = definierar en funktion y = y(x) sådan att y(3) =. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan y = y(x) i punkten (3,). 7. Bestäm arean av den triangel som tangenten till ellipsen x + y = 6 i punkten (,) bildar med koordinataxlarn 8. En tangent till kurvan y = x ln x är parallell med linjen x -y = 3. Bestäm tangentens ekvation. 9. Antag att funktionen y = f (x) är deriverbar och har en invers y = f - (x). Sant eller falskt: Punkten (,) ligger på kurvan y = f (x) fi punkten (,) ligger på kurvan y = f - (x). b. f () = 3 fi ( f - ) () = 3. Linjen y - = 3(x -) är tangenten till kurvan y = f (x) i punkten (,) filinjen y -= 3 (x -) är tangenten till kurvan y = f - (x) i punkten (,).. Bestäm eventuella lokala extrempunkter och deras karaktär till följande funktioner: x + x b. x - 3x + x + x + x - x 3 d. x x - e. xe -x f. x ln x g. x /3 (- x) /3 h. arctan x - ln + x 5. T: x + y = 6, N: y - x = 7 6. T: x + 3y =, N: 3x -y = / 8. x - y = 9. Sant b. Sant Sant..min. i x =-,.max. i x = b. l.min. i x = 7/5.max. i x = d. l.min. i x = 3/ e.. max. i x = f.. min. i x = e - g.. max. i x = /3,. min. I x = h.. max. i x = 3

4 . Sök största och minsta värdet till följande funktioner: 5 - x, - x b. + x + x - x, x 5 3+ x d. px -6x arcsinx x. Bestäm de intervall där funktionen f (x) = ln(+ x ) -ln(+ x ) är monoton. 3. Visa att ln(+ x ) + arctanx ln(+ x), för alla x > - b. sin x -cos x x + x, för alla x. - x. Vilka värden antar f (x) = arccos - arctan x då x >? + x 5. Bestäm värdemängden till följande funktioner: f (x) = 6 -x + x b. f (x) = x + x + 3, x f (x) = x + x Visa att funktionen f (x) = x 3-3x + 6x har en invers. 7. Bestäm alla punkter på kurvan y = x - 8x + där tangenten är parallell med x-axeln. 8. Visa att ekvationen x 5 + x -= har precis en lösning på intervallet [-,. 9. Låt f (x) = x - x + x + arctan x. Visa att -- p < f (x) p. 3. Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten (,) och med de positiva koordinataxlarna bildar en triangel med så liten area som möjligt. 3. Bestäm Maclaurinpolynomet av grad till följande funktioner f (x) : x ln(+ x) b. x ln(+ sinx) c + x - x d. e sin x. och 3 b. Största värdet är (+ ) /, minsta saknas /3 och -/6 d och -π. Strängt avtagande då x < - eller < x <. Strängt växande då - < x < eller x >.. Endast 5. [ 3,3] b. [/3,/ [-/6,/] 7., ± 3. x + y = 3. x b. x + x + x / d. + x + x /

5 3. Bestäm Taylorutvecklingen av ordning av funktionen f (x) = x kring punkten x =. b. f (x) = x arcsin(- x) kring punkten x =. Restermen anges på ordoform. 33. Beräkna följande gränsvärden: e. lim ex + e -x - x Æ x sin x lim x -arctan x d. x Æ x 3 lim( x + x - x - x ) f. x Æ b + cosx lim x Æ - sinx lim( x Æ x - e x - ) + cosx lim x Æp (x - p) g. lim(cot x)ln(+ x) h. x Æ lim(e x - x) /x x Æ 3. Bestäm de allmänna lösningen till differentialekvationen y - 5 y + y =6x + b. y - 6 y + 9y = 9x + 3 y - 6 y + 9y = 9x + 3+ e 3x d. y + y - 3y = (5x +)e x e. y - y + 3y =sin x f. y - y + y = x 35. Bestäm den lösning till differentialekvationen y + y + 3y = e - x cos x för vilken y() = och y () = och y'(o) =. 36. Sök asymptoter till följande kurvor: y = x + x + b. y = + ln(x +) ln(x +) 3. + (x -) / -(x -) / 8 + O(x -) 3 b. -(x -) -(x -) + O(x -) b. /3 d. / e. f. / g. h. e 3. y = Ae x + Be x + x + 6 b. y = Ae 3x + Bxe 3x + x + y = Ae 3x + Bxe 3x + x ++ x e 3x d. y = Ae x + Be -3x + (x -)e x e. y = Ae x + Be 3x + cosx + sin x f. y = Axe x + Be x + C + 8x + x 35. y = e -x (cos x -cos(x ) + sin(x )) 36. x = -, y = x -. b. x =, y =. 5

6 37. Beräkna följande integraler: x - 3 x + Ú dx b. Ú dx 3 x - 3x + x - x + 3 Ú dx d. Ú x - x 3 dx (x -)(x - 3) e. x - e x Ú dx f. Ú dx x e x g. Ú x ln( - x) dx h. Ú ln( - x) dx i. k. cos x Ú dx j. ( + sin x)(+ sin x) p/ Ú dx - x / Ú dx - x 38. Beräkna följande generaliserade integraler Ú dx b. Ú e -x x(+ x ) - e -x dx x Ú dx d. Ú dx x x - (+ x 3 ) 39. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området mellan kurvorna y = x och y = - x roterar ett varv kring x-axeln. b. mellan kurvorna y = x och y = - x roterar ett varv kring y-axeln. y e -x, x ln roterar ett varv kring x-axeln. d. y e -x, x ln roterar ett varv kring y-axeln. e. mellan linjen y = x och kurvan y = x - x 3 roterar ett varv kring x-axeln. 37. n3 b. - (5/)n3 -n+5n3 d. /9 e. 3 - arctan( 3 / ) f. (ln(3 + e) - ln(3 - e) - ln)/6 g. n - 5/ h. n - i. n - n3 j. π/6 k. π/ 38. In / b. /3 π d. /3 39. l6π/3 b. π 3π/8 d. π( - In ) e. ( - 5)p / 9 6

7 . Bestäm längden av kurvan föjande kurvor 5y = x 5/, x 9 b. y = e x, ln 3 x ln 8 y = 3 (x +) 3/, x d. x = cost + (t -)sint, y = sin t -(t -)cost, t e. x = 3cost -cos 3t, y = 3sint -sin 3t, t p f. r = sinv + cosv, v p (polära koordinater) g. r =+ sinv, v p (polära koordinater). Beräkna arean av det ändliga området som begränsas av kurvan y = (x - 5) 6 - x och x-axeln. b. kurvorna y = x - 3x + och y = x 3 +. llinjen y = x och y = x 9-5x d. y = (- x)x, x e. y = x och y = x. Undersök konvergensen av följande serier n + a, Â. b. n=n + n 7n Â. n=8n + e. g. 3 n  d. 3 n= n + 3 (-) n n Â. f. n= n + n  h. n=n 3 3 n  n=n + 3 (-) n  n=+ 3 n (n +) n  n= n 3/5 b. + ln 3 / 7/5 d. e. f. p g. 8. /5 b. 37/ 8/5 d. 8/5 e. /3. divergent. b. konvergent. divergent. d. konvergent. e. konvergent. f. konvergent. g. divergent. h. konvergent 7

8 3. Undersök konvergensen av följande generaliserade integraler: x x - x + dx x Ú b. Ú dx - x ln(+ x) ln x Ú dx d. Ú x - x dx. Skriv ( + i)(3+ i) -i på formen a + ib. 5. Bestäm absolutbeloppet av (3 -i)(-i) ( + i). (3 + i 3) 6. Bestäm argumentet för. (-i) 8 7. Skriv e 3pi/ på formen a + ib. 8. Lös ekvationen z =. 9. Lös ekvationen z 3 -iz - z + i =, då manvet att z = i är en rot. 5. Ekvationen z + z 3 + 3z + z + = har en rot z = - + i. Bestäm samtliga rötter. 5. Ekvationen z + 3z 3 + z +8z - 3 = har en rent imaginär rot. Lös ekvationen. 5. Bestäm de reella talen a och b så att ekvationen z 3 + az + b = får roten z = - i. Lös ekvationen. 53. Uppdela x + så långt som möjligt i reella faktorer. 3. konvergent. b. konvergent. divergent. d. konvergent i / 5 6. π/ i 8., i, -, -i. 9. i,, i, --i, i, -i 5. i 6, - i 6, - 3 / + 9 /, - 3 / - 9 / 5. a =, b =, z =+ i, z 3 = (x + x +)(x - x +) 8