Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Transkript

1 Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet någon lösning? 3. Bestäm för varje a-värde antalet lösningar till systemet 4. Beräkna determinanten: Ê 3 1-2ˆ a. det Ë Sätt A = ( ) och B = Ê 2 1-1ˆ 6. Bestäm inversen till matrisen Ë Ê 1 0 1ˆ Ê ˆ 7. Beräkna B -1 A -1 då A = 0 1 1, B = Ë Ë Ï x + 2y - 3z = 1 Ì 3x - y + 2z = a Ó x - 5y + 8z = 1 skall ha Ï 2ax + 3y + az = 4a Ì x + (a -1)y = a Ó x - y + z = 1 Ê ˆ b. det Ë Ê 1-1 2ˆ Beräkna ABT. Beräkna (AB) T. Ë a = -1fi olösbart; a -1fi x = -20 7(a +1), y = 11 5a -15, y =. 2. a = (a +1) 3. a -1, a 3 fi en lösning; a = -1 fi ingen lösning; a = 3 fi oändligt många lösningar. Ê -6ˆ 4a b (-6 7 4), -4 Ë 5 Ê 7 1-5ˆ Ê ˆ / Ë Ë 1-3 1

2 8. A är en inverterbar 4x4-matris sådan att A 2 + A = 0. Bestäm A. 9. Lös matrisekvationen a. Ê ˆ Ê 2-1 3ˆ X = b. Ë Ë Ê 2 3 1ˆ Ê 1 10ˆ X = 4-8. Ë Ë En parallellogram har hörnpunkterna (1,3,2), (2,-1,1), (-1,2,3) och (0,-2,2). Sök parallellogrammens area. 11. Vektorerna (1,-1,1) och (a,0,2) utgör två sidor i en triangel. Bestäm a så att triangelns yta blir Beräkna volymen av en parallellepiped som har en kantlinje från (1,-4,6) till (4,-1,4), en annan från (4,-1,4) till (2,3,4) och en tredje från (2,3,4) till (9,5,6). 13. Undersök om vektorerna (1, 1, 1), (2, 1,2) och (3, 1,3) ligger i samma plan. 14. Avgör om punkterna (3,9,6) och (-2,5,3) ligger på samma sida eller på olika sidor om planet x - y - z +11 = 0. Ê xˆ Ê x + zˆ 15. Ange standardmatrisen för den linjära avbildningen T, som ges av T y = x + y. Ë z Ë y + z 16. Bestäm en linjär avbildning T, sådan att T(3,4) = (5,6) och T(2,3) = (7,8). 17. För en linjär avbildning T gäller att T(9,8,7) = (1,1 0) och T(1,1,1) = (1,0,0). Bestäm a. T(11,l0,9). b. någon vektor (x,y,z) som avbildas på (0,1,0). 18. Skriv vektorn (1,-2) i R 2 som en linjärkombination av (2,1) och (3,2). 19. Undersök om vektorn (5,6,3) kan skrivas som en linjärkombination av vektorerna (l,1,2), (2,3,l) och (4,5,5). 20. Bestäm talet a så att (1 - a,2,0) och (6,4,a + 2) är linjärt beroende. 21. Undersök om vektorerna (1,3,-2), (-3,-5,6), (0,5,-6) är linjärt oberoende? Ê ˆ Ê ˆ Ê 5-2s 2-2tˆ a b s 2 + t. Ë Ë s t Ë a = 4 eller a = Ligger i samma plan. Ê 1 0 1ˆ 14. På olika sidor Ê -13x +11y ˆ. 17a. (3,1,0). Ë -14x +12y Ë b. (8,7,6). 18. (1,-2) = 8(2,1) - 5(3,2) 19. an inte. 20.a = Linjärt oberoende.

3 22. Undersök om vektorerna (1 2,3), (3,2,1), (2,1,3) bildar en bas för R Undersök om vektorerna (1 0,2), (3,0,1), (5,0,-2), (7,0,-4) spänner upp R Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen a. Ê 1 0 3ˆ Ê 1 3ˆ. b Ë 3 1. Ë Vilka av följande matriser är diagonaliserbara: a. Ê 1 2ˆ Ë 4 3 b. c. Ê 0 2 0ˆ Ë d. Ê 1 2ˆ. Ë 0 1 Ê ˆ Ë Sök en matris C sådan att C -1 A C är en diagonalmatris då a. A = 1 2 Ê 2-1 1ˆ Ê ˆ b. A = Ë 2 1. Ë Ê 27. Undersök om man kan bilda en bas i R 2 bestående av egenvektorer till matrisen 3 0 ˆ. Om så är Ë 0 3 fallet ange en sådan bas. 28. Matrisen A har egenvärden -1, 0 och 2 och motsvarande egenvektorer(-1, 1, 0), (0, 1,-1) resp. (2,1,3). Bestäm A. Ê 2-2 2ˆ 29. Bestäm A 11 då A = Ë Bestäm på huvudaxelform ekvationen för kurvan a. 11x 2-4xy +14y 2 = 5. b. x 2 + 6xy + y 2 = Bildar en bas. 23. Det gör de inte. 24 a. l 1 = 4, l 2 = -2. Motsvarande egenvektorer (l,l), (-l,1). 24 b. l 1 =1, l 2 = 6, l 3 = -4. Motsvarande egenvektorer (4,-3,0), (3,4,5), (3,4,-5) 25. a, c och d. 26a. Ê 1 0 2ˆ Ê 0 1 1ˆ Ê -1 1ˆ 26b Ë T.ex. (1,0),(0,1) Ë Ë Ê ˆ Ë a. 3u 2 + 2v 2 =1 30b. 2u 2 - v 2 =1

4 31. Bestäm på huvudaxelform ekvationen för ytan a. 4xy +4 x z +4y z = 2. b. 3x xy + 2y 2 + 4xz + 4z 2 = I R 2 väljs ett nytt koordinatsystem med basvektorerna (2,3) och (4,5). Vilka är koordinaterna för den vektor som i det gamla systemet har koordinaterna (6,7)? 33. En rät linje i ett plant xy-system har ekvationen 2x - y = 4. Ett uv-system införs med basvektorerna u = (2,3) och v = (4,5). Vilken är ekvationen för den räta linjen i det nya systemet? Ê 34. En linjär avbildning i R 2 har i standardbasen matrisen 1 2 ˆ. Ett nytt koordinatsystem med bas- Ë 2 1 vektorerna (2,3) och (4,5) införs. Vilken är avbildningens matris i det nya systemet? 35. Bestäm matrisen för den vinkelräta projektionen på linjen 3x + 2y = 0 i xy-planet, (ON-system). 36. Låt {e 1, e 2 } och {f 1, f 2 } vara två baser i planet. Vektorerna (1,2) respektive {3,4) i e-basen har i f- basen koordinaterna (5,6) respektive (7,8). Bestäm koordinaterna för f-basen i e-basen. 37. Undersök konvergensen av följande serier a, n +1 17n Â. b. Â. n=1n 2 + 2n n=118n 4 +1 c. d. 3 n 3 n  e. Â. n=1n n=1 n + 3 f. g. (-2) n Â. n=11+ 3 n 3 n  3 n=1 n + 3 (-1) n n Â. n=1 n Bestäm konvergensmängden till serien: a. x n Â. b. n=1(n +1)(n + 2) (x +1) n Â. n=1 n 39. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t - sin t, 2t). 40. Beräkna längden av kurvan r(t) = (4t,3 sin t,3 cos t), 0 t π. 41. Bestäm alla funktioner f (x, y) sådana att a. f x = 2x sin x 2, f y = cos y. b. f x = y, f y = x +2y. 31a. 4u 2-2v 2-2w 2 = 2 31b. 2u 2 + v 2 =1 32. (-1,2) 33. u+3v = Ê -6-9ˆ 1 Ê 4-6ˆ Ê 5-4ˆ Ë Ë -6 9 Ë a. div. 37b. konv. 37c. div. 37d. konv. 37e. div. 37f. konv. 37g. konv, 38a. -1 x 1. 38b. -2 x < (2cos t- sin t,-2sin t-cos t,2), 3, (-2 sin t-cost,-2cos t+ sin t,0) π. 41a. f (x, y) = sin y - cos x 2 +C. 41b. f (x, y) = xy + y 2 + C.

5 I uppg är f och g godtyckliga två gånger deriverbara funktioner av en variabel. 42. Visa att a. z = f (x + y) + g(x-y) satisfierar ekvationen z xx - z yy = 0 b. z = f (x 2 + xy 2 )satisfierar ekvationen 2xy z x - (2x + y 2 ) z y = 0. Ê x ˆ 43. Låt z = xy + f. Bestäm x 2 z Ë y xx +2xy z xy + y 2 z yy. 44. Bestäm riktningsderivatan till funktionen f (x, y, z) = e xy +2arcsinz i punkten (0,1,0) i riktning av vektorn (-1,0,1). I vilken riktning växer f i (0,1,0) snabbast? Vilka värden antar riktningsderivatan i (0,1,0) då u är en godtycklig enhetsvektor? 45. Låt f (x, y) = 1 +2x + 4y. Ange den riktning i vilken tillväxthastigheten av f i punkten (4,-2) är minst. 46. Låt z(x, y) = f (2x + 3y). Beräkna riktningsderivatan av z i punkten (1,1) i riktning av vektorn v = (3,4) då' f (5) = 4.. Vilka värden kan riktningsderivatan z u (1,1) anta då u är en godtycklig en hetsvektor? 47. Funktionen f(u,v) är differentierbar i hela R 2. Sätt h(x, y,z) = f (x / y, y / z), y > 0, z > 0. Beräkna x h x + y h y + z h z uttryckt i u och v och partiella derivator av f. 1 48a. Transformera ekvationen x f x - 1 y f y = 0 genom u = ln(x 2 + y 2 ), v = ln(x 2 - y 2 ). 48b. Transformera uttrycket z xx - 2x z xy + x 2 z yy genom x = u, y = v - u2 48c. Transformera ekvationen z xx + 2. z yy = 0 genom x = u + v, y = 2u - v. 49. Visa att ekvationen x y + sin y =1 definierar y som funktion av x i en omgivning av punkten (1,0) och beräkna y (1). 50. Visa att det i en omgivning av origo finns en funktion z(x,y) som satisfierar ekvationen x 3 + y 3 + z 3 + x 2 z - yz - z = 0. Beräkna för denna funktion z x och z y. 51. Bestäm alla punkter på ytan z = x y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z = 0. 52a. Bestäm ekvationen för tangentenlinjenoch normalen till kurvan r(t) = (sin t, cos t, cos 2t + sin 2t), 0 t 2p i punkten (0,-1,1) xy / 2, (1,0,2), [- 5, 5]. 45. [-1,-2] /5, [- 208, 208] a.. f v = 0. 48b. z uu + z v 48c. 2 z uu + 2 z uv + 5 z vv = z x = -3x 2-2xz 3z 2 + x 2 - y -1, -3y z + z y = 3z 2 + x 2 - y (-1/2, -1/8,5/16). 52a. (x,y,z) = (-t,- 1,1 + 2t).

6 52b. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan x = (2 + cos t + sint) cost, y = (2 + cos t + sint) sin t i den punkt som svarar mot t = p / Bestäm ekvationen för tangentlinjen och norm alen till nivåkurvan f(x,y) = 6 i punkten (2,1) då f (x, y) = x 2 y + xy Bestäm ekvationen till tangentplanet och normalen till ytan a. x 3 + y 3 + z 3-3z = 2 i punkten (1,-1,2). b. z -arctan y - 2x = 3 i punkten (1,2,3). x + z 55. Bestäm ekvationen till tangentplanet och normalen till ytan a. z = x 2-4y 2 i punkten (5,2,9). b. z = x + y + 3arctan y - 2x i punkten (1 2,3). x + y 56. Betrakta funktionen f(x,y) = sin(3x - 2y - 5)cos(2x - 3y). Bestäm en linjär approximation till f i en omgivning till punkten (3,2) och beräkna ett approximativt värde till f(3.1,2.2). 57. Betrakta funktionen f(x,y) = sin(2x -y) + 21n(y -x). Bestäm en linjär approximation till f i en om givning till punkten (1,2) och beräkna ett approximativ värde till f(1.1, 2.2). 58. Bestäm lokala extrempunkter och deras karaktär till funktionen a. f (x, y) = xye -(x2 +y 2 )/2. b. f (x, y) = x y + 8 x - y. 59. Bestäm lokala extrempunkter och deras karaktär till funktionen a. f (x, y) = 3x 2 +3xy + y 2 + y 3. b. f (x, y) = x 3 y 2 +27xy + 27y. c. f (x, y) = x 2 + y 2 + 2z 2. d. f (x, y) = x 2-2y 2 + z 2-2x + 4y + 2z. 60. Bestäm det största och minsta värdet av a. x 2 - xy + y 2 - x - y +1 då (x,y) varierar inom och på randen av triangeln med hörn i punkterna (0,-1), (0,1), (2,0). b. x 3 + y 2-3y då x 2, 0 y 2. c. 2x 2 + 4x - y +5 då x 2 y 2 - x. d. x +7y då x 2 + y 2 2, y 1. e. x - y då x 2 + y f. x + 2y då x y g. x x 2 - y 2. h. x + 2y x 2 - y 2 52b. 3y - x = 9, 3x + y = x + 2y = 4, 2x - y = 3. 54a. Tangentplan: x + y + 3z = 6. Normal: (1,-I,2) + t(l,l,3). 54b. Tangentplan: 2x -y + 4z = 12. Normal: (1,2,3) + t(2,-1,4). 55a. Tangentplan: 10x -16 y - z = 9. Normal: (5,2,9) + t(10,-16,-1). 55b. Tangentplan: x - 2y + z = 0. Normal: (1 2,3) + t(l,-2,1). 56. p(x,y)=-3x-2y p(x,y) = y a. 1ok. max. i ±(1,1), 1ok. min. i ±(1,-1). 58b. lok. max. i (-4,2) 59a. l. min. i (0,0) 59b 1.max i (-3,-1). 59c. l. min i (0,0,0). 59d. saknas 60a 3 och 3/28. 60b. 8 och -41/4. 60c. 10 och 1/8. 60d.-10 och 8. 60e. 2 5 och f. 2 5 och g. 2 och h. 6 och - 30.

7 61. Visa att ekvationen x 3 + y 3 + z 3 + x + y + z = 6 definierar i en omgivning av punkten (1,1,1) precis en funktion z = z (x,y). Beräkna z xy (1,1). 62. Visa att ekvationen x + y + sin xy = 0 definierar i en omgivning av punkten (0,0) precis en strängt avtagande funktion y = y(x). Ï x = u 2 - v Visa att ekvationssystemet Ì y = uv där u 2 + v 2 0, definierar lokalt precis en Ó z = 3u - v kontinuerligt deriverbar funktion z = z(x,y). Beräkna z x (0,1) och z y (0,1) då man vet att z(0,l) = Visa att det finns en omgivning av punkten (x,y,u,v) = (1,1,1,1) i vilken ekvationssystemet Ï 2x 2 + uy + v 2 = 4 Ì Ó u 2-2uv + y 2 = 0 definierar precis en kontinuerligt deriverbar funktion a. u = u(x,y). Beräkna u x (1,1). b. x = x(u,v). Beräkna x u (1,1). 65. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t = 1 för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2t + t 2, t - t 2, 8t). 66. Bestäm längden av kurvan b. x = e t (cost + sin t), y = e t (cost -sin t), 0 t 1. c. x = t - sint, y =1-cos t, 0 t 2p. 67. Beräkna ÚÚ xy dx dy, där D begränsas av y = x 2, y = 8x 2, xy = 8. D xy 68a. Beräkna ÚÚ dx dy, där D ges av x 2 y 1, och, x 0. D 1 + y 3 68b. Beräkna ÚÚ x dxdy, där D begränsas av 2x + y = 0, y = x 3-5x x. D 68c. Beräkna x 17 ÚÚ dx dy, där D begränsas av kurvan y = x 3 - x och x - axeln. D 1 +x 4 + y 4 68d. Beräkna 68e* Beräkna 1 ÚÚ dx dy, där D ges av 1 x 2 + y 2 4, x 0 och y 0. D (x 2 + y 2 ) 3/ 2 1 ÚÚ dx dy, där D ges av x 2 + y 2 1, och x + y 1. D (x 2 + y 2 ) 3/ Beräkna ÚÚ (x + y)e y dx dy, över triangeln med hörnen i punkterna (0,0), (1,0) och (0,1). D / z x (0,1) = z y (0,1) =1. 64a b. -1/ (4,-1,8), 9, (2,-2,0). 66a. 2e-2. 66b ln2. 68a. (ln 2)/6. 68b 69/20. 68c d. π/4. 68e. 2 - π/ /2.

8 1 70. Beräkna ÚÚ dx dy, D : x 2 + y 2 1. D (1+ x 2 + y 2 ) Beräkna (x + y)e x 2 -y ÚÚ 2 dx dy, D : x + y 1, 0 x - y 1. D 72. Beräkna följande integraler: a. ÚÚÚ xy 2 z 3 dx dy dz, där begränsas av z = xy, y = x, x =1, z = 0. b. ÚÚÚ ( 1 x + 1 y + 1 ) dx dy dz, då är kuben 1 x a, 1 y a, 1 z a. z c. ÚÚÚ cosx cos(x + y) cos(x + y + z) dx dy dz, då begränsas av planet x + y + z = p / 2 och koordinatplanen. d. ÚÚÚ x 3 sinzcosz dx dy dz, då ges av 0 x 1, -1 y 1, 0 z p / 2. e. ÚÚÚ x + y dx dy dz, då ges av 0 x + y z 2 y 1, z 0. f. xz ÚÚÚ 2 dx dy dz, då ges av x 2 + y 2 1, 0 z x, y 0. (1+ y) g. ÚÚÚ (x + y + z) dx dy dz, då ges av 0 x z, z 2x 2, 0 y x + z. 73. Beräkna följande trippelintegraler: x + y a. ÚÚÚ dx dy dz, då ges av 0 x + y 2, 1 x + z 2, 1 y + z 2. (x + z)(y + z) b. ( x y + y x + z 2 ÚÚÚ 3 3 ) dx dy dz, då ges av 1 x 2, x y 2x, y z 2y. xy 1 c. ÚÚÚ 2 dx dy dz, över kroppen x 2 + y 2 z z 74. Beräkna arean av det område som begränsas av a. xy =1, xy = 2, y = x 2, y = 8x 2, x 1. b. x 2/3 + y 2/ 3 = Beräkna volymen av den kropp som begränsas av a. z = y 2, x 2 + y 2 =1 och z = 0. b. x 2 + z 2 =1, y = 3x och y = 0. c. x = y 2 + z 2 och x 2 = y 2 + z 2. d. x 3 = y 2 + z 2 och x = 2. e. z = x 2 + y 2, y = x 2, y =1 och z = π/ (e - e -1-2) / 2 72a. 1/ b. 3(a -1) 2 ln a. 72c. 1/6. 72d. 1/4. 72e. 1/18. 72f. 1/24. 72g. 19/8. 73a. (ln2) 2. 73b c. (π/2)ln 2. 74a. ln 2. 74b. 24π. 75a. π/4. 75b c. π/6. 75d. 4π. 75e. 88/105.

9 76. Undersök om vektorfältet F är konservativt. Om detta är fallet så bestäm en potential. a. F(x, y) = (2x + 3y, 3x + 3y 2 ). b. F(x, y) = (3xy, x 2 + 3y 2 ). c. F(x, y,z) = (x + y, xz, z). d. F(x, y,z) = (2xz, z 2, x 2 + 2yz). e. F(x, y,z) = (y + z 2, x, 2xz). f. F(x, y) = (y + y 2, x + 2xy). g. F(x, y) = (xy + y, 2x - y). h. F(x, y,z) = (x + z, 2xy, yz). 77a. Beräkna x dx + y dy Ú längs y = 2x från (1,2) till (2,4). x + y 77b. Beräkna Ú (x 2 + xy) dx + (x - xy 2 ) dy i positiv led runt triangeln med hörnen i punkterna (-1,0), (1,0) och (0,1). 77c. Beräkna Ú (x 2 + y) dx + (x + y 2 ) dy från punkten (1,-1) till punkten (-3,3) längs kurvan x - y +2x + y = 3. 77d. Beräkna Ú (x + y) dx + (y - x) dy + (x + y + z) dz, där ges av x = cost, y = sint, z = sint + cos t och t går från π till 0. 77e. Beräkna Ú ( 1- x - y + x) dx + ( 1- x - y längs cirkeln x 2 + y 2 =1. + 2y) dy, från punkten (1,0) till punkten (0,1) moturs 78. Betrakta vektorfältet F(x, y,z) = (ay + z 2, 2x + z, 2xz + y). Bestäm värdet på konstanten a så att fältet får en potential. Bestäm den potential till F ßsom har värdet 2 i punkten (0,1,2) och beräkna linjeintegralen Ú F dr tagen längs kurvan x = 2t, y = cos(t 2 - t), z = 2 - t 2 från punkten (0,1,2) till (2,1,1). 79. Betrakta vektorfältet F = (yz, xz + z 2, xy + 2yz). Bestäm (om det finns) den potential f till Fsom har värdet 2 i punkten (2,1,0) och beräkna linjeintegralen Ú F dr tagen längs en godtycklig väg från punkten (2,1,0) till (3,2,1). 80a. Beräkna Ú (x 2 + y 2 ) ds, då ges av x = 4t -1, y = 3t +1, -1 t 1. 80b. Beräkna Ú (xy + y) ds, då ges av x = 3cost, y = 3sin t, z = 4t, 0 t p. 80c. Beräkna Ú (2x + x 2-9y) ds, då är parabelbågen 9y = x 2 mellan punkterna (0,0) och (6,4). 76a. konservativt, x 2 + 3xy + y 3. 76b. ej konservativt. 76c. ej konservativt. 76d. konservativt, x 2 z + yz 2. 76e. konservativt, xz 2 + xy. 76f. konservativt, xy 2 + xy. 76g. ej konservativt. 76h. ej konservativt. 77a. 5/3. 77b. 5/6. 77c d. π. 77e. 1/ a = 2, Ú = f = xyz + yz Ú = 8. 80a. 310/3. 80b c. 49.