Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand som är godkänd på duggan under kursen ska ej räkna problem 1. Varje problem ger högst 5 poäng. För betyget krävs minst 18p, för 4 eller 5 minst 5, resp p. 1. Visa att ytorna z 16 x y och 6z x + y skär varandra under rät vinkel.. Undersök om funktionen f x, y e x y + cosx + y har ett lokalt extremvärde i origo och ange i så fall dess karaktär.. Låt f vara en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion på R. Antag att funktionen z f x + y uppfyller z xx xz x y + x + yz. Bestäm funktionen f. 4. Beräkna dubbelintegralerna a x 1 + x + y dxd y där {x, y: x + y 1, y x}. b x + ydxd y där är kvadraten med hörn i,, 6,,,6 och,. 5. En rymdkurva ges av parameterekvationerna x t, y t, z t /. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten 1,1, på kurvan och som spänns upp av tangenten och huvudnormalen till kurvan i denna punkt det s.k. oskulerande planet. 6. Beräkna volymen av det område i z som begränsas av de båda ytorna z x + y och z x y. Ange även tyngdpunktens koordinater för detta område. 7. Bestäm det största resp. minsta värdet som funktionen f x, y, z xz + yz kan anta om x + y + z 7 och x + y + z. 8. Låt f x, y, z x y + yz + x z och g x, y, z x + yz. a Bestäm tangentplanet i 1, 1, 1 till ytan f x, y, z. b Visa att i en omgivning till 1, 1,1 definieras, genom ekvationerna f x, y, z och g x, y, z, y och z som entydiga, kontinuerligt deriverbara funktioner av x. Bestäm även tangenten till skärningen mellan ytorna f och g i 1, 1,1.

2 Lösningar till tentamen i Flervariabelanalys 8--1 Lösning till problem 1. Skärningskurvan mellan ytorna bestäms { z 16 x + y 6z x + y 6z 16 z z 1 4, x + y 6 4. Vinkeln mellan ytorna bestäms genom vinkeln mellan ytornas normaler fås med hjälp av gradientvektorn N 1 x + y + z x,y,1 N x + y 6z x,y, 6 vilket ger N 1 N 4x + 4y 6 på hela skärningskurvan. Ytorna skär således varandra under rät vinkel. Lösning till problem. erivering av funktionen ger f x x, y ye x y sinx + y f x, f y x, y xe x y sinx + y f y,. och Punkten, är således en kritisk punkt. Vi får andra derivatorna en kvadratiska formen i, blir nu f xx x, y y e x y cosx + y f xx, 1, f x y x, y e x y + x ye x y cosx + y f x y, f y y x, y x e x y cosx + y f y y, 1. och Qh,k f xx,h + f x y,hk + f y y,k h k vilken är negativt definit, dvs, är ett lokalt maximum. En alternativ lösning fås genom att använda MacLaurinutvecklingar av e t och cos t på följande sätt: f x, y e x y + cosx + y 1 + x y + x y x + y !! x + y + x y x + y +... där... innehåller termer av grad högre än. Vi ser att derivatorna i origo är inga x- eller y-termer och den kvadratiska formen i, är x + y / vilket är negativt definit. Lösning till problem. Kedjeregeln på funktionen z f x + y ger z x f x + y x, z xx f x + y 4x + f x + y, z x y f x + y 1 x. etta ger insatt i den givna differentialekvationen 4x f x + y + f x + y x x f x + y + x + yf x + y f x + y + x + yf x + y

3 Om vi sätter t x + y så får vi differentialekvationen f t + t f t. etta är en linjär differentialekvation och lösningen fås t.ex. med integrerande faktor som d dt e t /4 f t e t /4 t f t/ + f t vilket ger e t /4 f t C eller f t Ce t /4 där C är en reell konstant. Lösning till problem 4. Vi byter till polära koordinater a Integrationsområdet ses i vidstående figur. Vi får integralen I r cosθ 1 + r rdrdθ där {r,θ: r 1, θ π/4}. Itererad integration ger nu r I 1 + r dr π/ r dr [ r arctanr ] 1 cosθ dθ π/ [ sinθ cosθdθ + ] π/ [ + sinθ π/4 π/ ] π/4 π/ cosθ dθ 1 π π. 4 4 b Integrationsområdet ses i figuren. Sidolinjernas ekvationer bestäms med hjälp av hörnpunkterna och syns också i figuren. Vi gör variabelbytet { u x + y v x y vilket ger x 1 u + v y 1 u v. x y x + y x + y 9 etta ger ett område {u, v: u 9, v }. Vidare blir x + y 1 u v u + v + u v och dxd y 1/ 1/ 1/ 1/ dudv 1 dudv x y etta ger integralen u v 1 dudv 1 4 u dudv v udda, symmetriskt i v-led 1 [ u ] 9 [ ] 4 v Lösning till problem 5. Vi har rt t, t,t / /. Vi ser att r1 1,1,/. En tangentvektor i denna punkt kan fås med r 1 1,1, t 1/ t1 1,1,1. Vidare ligger r 1,, t 1/ / t1

4 ,,1/ i det plan som genereras av tangent och huvudnormal i punkten r1 1,1,/. et sökta planets normal är således parallell med binormalen i punkten dvs, med i j k / 1 1, 1, et sökta planets ekvation fås nu som 1, 1, x 1, y 1, z / x 1 y 1 x y. Lösning till problem 6. Skärningskurvan mellan paraboloiden z x y och konen z x +y uppfyller z z vilket ger z 1 roten z ligger inte i z. etta ger att x +y 1 på skärningen. Vi kan nu skriva den sökta volymen som V x +y 1 x y π r r rdrdθ dθ x + y d xd y π π π 6. polära koord. r r r dr π [r r 4 4 r Av symmetriskäl ligger tyngdpunkten i,, z T där K är det givna området z T 1 zdv V Om vi sätter z 1 x + y och z x y för x + y 1 så blir K zdv x +y 1 1 π x +y 1 z dxd y z dz z 1 x +y 1 [ z ] z K z 1 dxd y x y x + y dxd y 1 r r [ t r ] rdr π dt rdr π π π 6 1 Således blir z T 6 5π 11π rdr π ] 1 r r dθ t t dt π [ t t ] 1 Lösning till problem 7. Sätt g x, y, z x + y + z och hx, y, z x + y + z. Villkoren g 7 och h betyder geometriskt en sfär och en cirkel. Skärningen mellan sfären och planet är en cirkel, dvs en sluten begränsad mängd. Funktionen f är kontinuerlig och således antar f både ett största och ett minsta värde på cirkeln. För att bestämma de punkter där detta inträffar har vi villkoret f, g, h är linjärt beroende, dvs + z z x + y x y z 1 z x + y x y 4x z 1 4 y xz x y

5 Tillsammans med bivillkoren har vi ekvationssystemet Fall 1: y x ger y xz x y x + y + z 7 x + y + z { 5x + z 7 5x + z 5x + 5x 9 7 7x 9 7 x ± etta ger punkterna, 6, 5 och, 6, 5 och f 75. Fall : x + y z ger i den tredje ekvationen 6z dvs z. Nu ger x y i den andra ekvationen 5y 7 y ± 14 och x 14. Här blir f eftersom z. Vi ser att största värdet är och minsta värdet är 75. Lösning till problem 8. a Först konstaterar vi att f 1, 1,1. Vi finner nu att f 1, 1,1 y + 4xz, x + z, y + 4x z 1, 1,1,, vilket ger tangentplanets ekvation,, x 1, y + 1, z 1 x + y + z 4. b et gäller att f 1, 1,1 och g 1, 1,1. Både f och g är också kontinuerligt deriverbara. För att samtidigt kunna lösa ut y yx och z zx som funktioner av x i omgivning av x 1 så att y1 1 och z1 1 räcker det enligt implicita funktionssatsen att funktionaldeterminanten df, g i punkten 1, 1,1. dy, z df, g dy, z 1, 1,1 f y g y f z g z 1, 1,1 x + z z y + 4x z yz 1, 1,1 1 7 Tangentriktningen på skärningskurvan kan nu fås som kryssprodukten av ytnormalerna till de båda ytorna, dvs i j k T f 1, 1,1 g 1, 1,1 1 7,15, Ekvationen för tangenten blir x, y, z 1, 1,1 + t 7,15,. 5