Tentamen: Lösningsförslag

Transkript

1 Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet är horisontellt om och endast om z z y, dvs om och endast om y + och y. etta ekvationssystem har endast en lösning given av, y,. Motsvarande värde för z är z, varför det sökta planet har ekvation z. Svar: et enda horisontella tangentplanet är z.. poäng Ytorna y + z och + yz skär varandra i en kurva. Hitta en parametrisering av denna kurva. Lösning: Vi parametriserar först cirkeln y + z i yz-planet som följer: { yt cos t, zt t < π. sin t, Sätter vi in detta i ekvationen + yz, finner vi att t måste uppfylla t + ytzt dvs t cost sint / sin t /. Alltså finner vi följande parametriseringen för skärningen: rt sin t /, cos t, sin t, t < π.. poäng Beräkna där är området y ddy {, y R y, }. Lösning: Området består av alla punkter, y med sådana att y ligger ovanför grafen y och under linjen y. Alltså är [ ] y y ddy y dyd d 8 d [ ] Svar: 7

2 . poäng Låt T, y vara temperaturen i punkten, y R och antag att T y, T y. a Betrakta temperaturen på kurvan R parametriserad av : t, yt cos t, sin t, t π. Bestäm genom att studera dt/dt och d T/dt de punkter på där temperaturen har lokala ma värden. Lösning: Vi noterar först att är en ellips med halvalar och. Vi vill optimera funktionen ft : T t, yt. Vi beräknar med hjälp av kedjeregeln f t dt dt T d dt + T dy y dt y d dt + dy dt sin t sin t + cos t cos t cos t sin t cost. et följer att ft har stationära punkter då cost, dvs de stationära punkterna ges av t π + nπ, n Z. Eftersom f t d T/dt sint, ser vi att f t < för t π + nπ, n Z, och f t > för t π + nπ, n Z. Alltså har T lokala ma värden i de punkter som svarar mot t π + nπ, n Z, dvs i punkterna, y ±, ±, /. Svar: T har lokala ma värden i punkterna, / och, /. b Antag att temperaturen T ges av T, y y. Vilket är det största värdet som funktionen T antar på kurvan? Lösning: Eftersom T uppfyller T y och T y, vet vi från a att ma värdet antas i antingen, / eller, /. Eftersom T, / T, / /, ser vi att högsta temperaturen på ellipsen är. Svar: Största värdet av T på är.. poäng Låt vara en triangel i planet med hörn i,,, och,. För vilka α R konvergerar integralen + y α ddy? Bestäm värdet av I i de fall integralen konvergerar.

3 Lösning: Vi har Antag först att α. å får vi ln + y y d ln u du + y α dyd. ln + ln d ln d [uln u ] [ln ] ln, så integralen är konvergent. Antag nu att α. å får vi + y α α d + α α d. α α y Integralen + α d konvergerar för alla α R. Integralen α d konvergerar för α < och divergerar för α. et följer att I är konvergent för α < och divergent för α. För α < finner vi [ + α α α α α ] α α α. Svar: Integralen I är divergent för α, konvergent för α < och { ln, α, α α α, α,,. 6. poäng Visa att ekvationen + y + z + z 9 entydigt definierar en C -funktion z z, y sådan att z, i en omgivning av, y,. Bestäm riktningsderivatan z v, där v,. Lösning: Låt F, y, z + y + z + z 9. Vi har F,, och F z z +. Eftersom F z,, 8 så definierar ekvationen F enligt implicita funktionssatsen z z, y entydigt som en C -funktion i en omgivning av,. essutom gäller z, y F F z + z z +, z y, y F y F z 6y z +. Evaluerat i punkten,, ger detta z, 8, z y, 6 8. Således ges riktningsderivatan z v, av z v, 8, 6, Svar: 9 8

4 7. poäng Låt vara kurvan där cylindern +z skär hemisfären +y +z 6, y. Antag att är moturs orienterad sedd från origo. Bestäm värdet av kurvintegralen av vektorfältet F, y, z y, yz, yz längs. Lösning: Med hjälp av Stokes sats kan den sökta kurvintegralen skrivas F dr F NdS, där är ytan och N,,. Eftersom {, y, z R + z, y } ger detta F,, yz z y yz, F dr yz ds { +z } π z ddz r cos ϕ z r sin ϕ r sin ϕ rdrdϕ ddz rdrdϕ π sin ϕdϕ r dr [ r π ] π 8π. Svar: 8π 8. poäng Låt Y vara ytan där, y och z mäts i meter. z + y, + y, a Skissera ytan. Skriv ytan på parameterform och beräkna en normalvektor till ytan med hjälp av parameterframställningen. Kan man beräkna en normalvektor på något annat sätt? Lösning: etta är uppgift 8. i övningsboken. Lösning finns också i övningsboken. Med och y som parametrar beskrivs Y som Eftersom Y : r, y, y, + y, + y. r,,, r y,, y, finner vi att r r y, y, är en normalvektor. Man kan också finna en normalvektor genom att skriva ytan som en nivåyta, te f, y, z +y z.

5 Figure Skiss av ytan Y. et följer att f, y, är en normalvektor till ytan. Svar: Se Figur för en skiss av Y. Ytan Y har parameterframställningen r, y, y, + y för + y., y, är en normalvektor. En normalvektor kan även beräknas genom att ta gradienten av f, y, z + y z. b Beräkna arean av Y. Lösning: Arean av paraboloiden Y är Y ds, där areaelementet ds är ds r r y ddy + y + ddy. Om betecknar patametermängden + y, så följer att arean ges av π ds + y + ddy r + rdrdϕ Y Svar: π 6 [ π 8 r + / ] π 6. c Beräkna massan m av ytan om den har massbeläggningen σ kg/m. Lösning: Ytans massa m ges av m σds Y π + y + ddy r cos ϕ r + rdrdϕ π r r + rdr [ r ] + s π 8rdr ds π π +. s / s / ds π s ds s 8 [ s/ s/ ]

6 Svar: m π+ 9. poäng Beräkna yd + + ydy, där är övre halvan av ellipsen + y från, till,. Lösning: etta är uppgift 9. i övningsboken. Låt vara kurvan från, till, längs -aeln. å gäller + där betecknar övre halvan av ellipsskivan + y med halvalar och /. Eftersom så ger Greens formel yd + + ydy yd + + ydy + d, yd + + ydy + y y ddy y ddy, dvs den sökta integralen är lika med arean av ellipsskivan + y. Eftersom en ellipsskiva med halvalar a och b har area πab, finner vi att integralens värde är π/. Alternativ lösning: Kurvan har parametriseringen : t, yt cos t, sin t, t π, vilket ger yd + + ydy π π π Svar: π/ π { cos t sin t sin t + cos t sin t + sin t sint dt { cos t sin t d + cos t cos t + sin t dt + cos t + sin t cos t }dt cos t sin t + π [ cost ] π dt π. dy dt. poäng Beräkna flödet av vektorfältet F ut ur kroppen K R, där F, y, z + y + e sin z, y, z + e cos z och K {, y, z R + y + z, + y, y, z }. } dt 6

7 Lösning: Med hjälp av divergenssatsen ser vi att det sökta flödet Φ ges av Φ F ds Fddydz + y + z ddydz. K Variabelbytet K K ger där, ỹ y, z z, Φ K d, ỹ, z d, y, z, + ỹ + z d dỹd z K {, ỹ, z R + ỹ + z, + ỹ, ỹ, z }. I sfäriska koordinater r sin θ cos ϕ, ỹ r sin θ sin ϕ, z r cos θ, bestäms kroppen K R av Eftersom K : r, θ π, π ϕ π. finner vi + ỹ + z d dỹd z r sin θ + r cos θr sin θdrdθdϕ Φ 6 6 π π π 6 π π 6 6 π + ỹ + z d dỹd z K π dϕ π r sin θ + r cos θ sin θdrdθdϕ, r sin θ + r cos θ sin θdrdθdϕ π π [ cos θ cos θ π/. sin θ + cos θ sin θdθ r dr [ r cos θ sin θ + cos θ sin θdθ ] π / ] Svar: π/ 7