Lösning till kontrollskrivning 1A
|
|
- Monica Johansson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 är snäll och väluppfostrad då (x, y) (, ). Kan man definiera f(x, y) i punkten (, ) så att f(x, y) blir kontinuerlig där? I så fall, förklara HUR! Lösning: (x, y) (, ) t = x 2 + y 2 = sin(x 2 + y 2 ) lim (x,y) (,) x 2 + y 2 sin t = lim t t = 1. Så f(x, y) 1 då (x, y) (, ) oavsett längs vilken väg detta sker. Detta betyder att f(x, y) blir kontinuerlig i (, ) om man sätter f(, ) = Låt w = f(x, y, z) = xy 2 z 3, och sätt sedan x = cos t, y = e t och z = ln(t + 2) så att w blir en funktion av t. Beräkna dw dt (). 1
2 Lösning: Kedjeregeln ger att dw dt = f x dx dt + f y dy dt + f z dz dt = y 2 z 3 ( sin t) + 2xyz 3 e t + 3xy 2 z 2 Då t = är x = 1, y = 1 och z = ln 2, varför dw dt () = + 2 (ln 2) (ln 2)2. 1 t Låt funktionen z = f(x, y) vara given. Genom att införa polära koordinater definierade av x = r cos φ och y = r sin φ kan z även uppfattas som en funktion av r och φ. Visa att ( ) 2 z + x ( ) 2 z = y ( ) 2 z + 1 r r 2 ( ) 2 z. φ Lösning: z r = z x x r + z y y r = z z cos φ + x y sin φ och z φ = z x x φ + z y y φ = z z r sin φ + r cos φ = x y ( ) 2 z + 1 ( ) 2 ( ) 2 z z = cos 2 φ + 2 z z cos φ sin φ + r r 2 φ x x y ( ) 2 z + sin 2 φ 2 z ( ) 2 z z cos φ sin φ + cos 2 φ x x y y ( ) 2 ( ) 2 z z = +. x y ( ) 2 z sin 2 φ y 2
3 KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1B i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x, y) = xy x 2 + y 2 är snäll och väluppfostrad då (x, y) (, ), och är uppenbarligen lika med längs koordinataxlarna. Blir f(x, y) kontinuerlig om man sätter f(, ) =? FÖRKLARA! Lösning: Längs linjen y = x till exempel är f = 1/2, så f(x, y) 1/2 då (x, y) (, ) längs denna linje. Så f(x, y) kan OMÖJLIGT göras kontinuerlig i (, ). 2. Låt z = x 2 y, och sätt x = u 2 +v 2, y = cos(uv), så att z blir en funktion av u och v. Beräkna z/ u som en funktion av u och v. Lösning: z u = z x x u + z y y u = 2xy 2u + x2 ( sin(uv) v) = 2(u 2 + v 2 ) cos(uv) 2u (u 2 + v 2 ) 2 v sin(uv) = 4u (u 2 + v 2 ) cos(uv) v (u 2 + v 2 ) 2 sin(uv). 3
4 3. Linjen (x, y, z) = t (1, 1, 1) (där < t < ) skär ellipsoiden x 2 +y 2 + 2z 2 = 1 i en punkt p i första oktanten {x >, y >, z > }. Bestäm den minsta vinkeln mellan linjen och ellipsens utåtriktade normal i punkten p. Lösning: x = y = z = t insatt i ellipsoidens ekvation = t 2 +t 2 +2t 2 = 1 t 2 = 1/4 t = ±1/2. Så p = (1/2, 1/2, 1/2). F = x 2 + y 2 + 2z 2 = grad F = (2x, 2y, 4z) = grad F (p) = (1, 1, 2), som är den utåtrikade normalvektorn i p. Så den sökta vinkeln φ ges av cos φ = (1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 1, 1) (1, 1, 2) = = 4 = φ = arccos , =
5 KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 2A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Betrakta kurvan x 3 + y 2 = 1 i xy-planet. (a) I vilka punkter på kurvan kan denna lokalt uppfattas som grafen av en funktion y = y(x)? (1p) (b) Beräkna y (x) (som funktion av x och y(x)) i dessa punkter. (2p) Lösning: (a) F = x 3 + y 2 1 = F/ y = 2y, så F/ y = y =. SVAR: I punkter där y. (b) d/dx på x 3 + y 2 (x) 1 = = 3x 2 + 2y y = = y = 3x2 2y(x) = y = 2y 6x + 3x2 2y 4y 2 = 3x 2 2y x ( 3x2 /2y) y 2 = 3x 4y 3 (4y2 + 3x 3 ). 2. Bestäm alla lokala maxima, lokala minima och sadelpunkter för funktionen f(x, y) = 2x 2 y y 2 + 4x. (1 poäng för stationära punkter, 2 poäng för deras karaktär). 5
6 Lösning: = f x = 4xy + 4 = 4(xy + 1) = f y = 2x2 2y = 2(x 2 y) = y = x 2 = x = = x = 1 = y = 1 = stationära punkten ( 1, 1). 2 f x = 4y, 2 f 2 x y = 4x, 2 f = 2 = i punkten ( 1, 1) att y2 A = 4, B = 4, C = 2 = AC B 2 = 8 16 < = sadelpunkt. 3. Låt r = r(t) vara en deriverbar kurva i xy-planet och låt p vara en punkt som inte ligger på kurvan. Visa att om avståndet p r(t) minimeras då t = t så är vektorn p r(t ) vinkelrät mot kurvan i r(t ). Ledning: Minimera funktionen f(t) = p r(t) 2! Lösning: df dt (t) = d ((p r(t)) (p r(t))) = 2(p r(t)) dt ( dr ), dt så df/dt = för t = t = (p r(t )) är vinkelrät mot tangentvektorn dr/dt(t ) är vinkelrät mot kurvan i r(t ). 6
7 KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 2B i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Betrakta kurvan x 4 y 5 = 1 i xy-planet. (a) I vilka punkter på kurvan kan denna lokalt uppfattas som grafen av en funktion y = y(x)? (1p) (b) Beräkna y (x) (som funktion av x och y(x)) i dessa punkter. (2p) Lösning: (a) F = x 4 y 5 1 = F/ y = 5x 4 y 4, så F/ y = xy =. SVAR: I punkter där kurvan inte skär koordinataxlarna. (b) d/dx på x 4 y 5 (x) 1 = = 4x 3 y 5 + 5x 4 y 4 y = x 3 y 4 (4y + 5x y ) = = y = 4y(x) 5x = y = 5x 4y + 4y 5 = 2 ( y x 4y ) 25x 2 25x 2 5x = 2 5y + 4y 25x2 5 = 4 9y 25x 2 = 36y 25x Bestäm alla lokala maxima, lokala minima och sadelpunkter för funktionen f(x, y) = x 3 4x 2 xy y 2. (1 poäng för stationära punkter, 2 poäng för deras karaktär). 7
8 Lösning: = f x = 3x2 8x y, = f y = x 2y = x = 2y = 3 4y2 + 16y y = 3y (4y + 5) = y = { 5/4 = x = { 5/2. Så de stationära punkterna är (, ) och (5/2, 5/4). Andraderivatorna blir 2 f 2 f = 6x 8, x2 x y = 1, 2 f x = 2. 2 I (, ) fås: A = 8, B == 1, C = 2 = AC B 2 = 16 1 >. Och A <, AC B 2 > = lokalt maximum. I (5/2, 5/4) fås: A = 15 8 = 7, B = 1, C = 2 = AC B 2 = 14 1 < = sadelpunkt. 3. Låt f(x, y) och g(x, y) vara differentierbara funktioner. Visa följande produktregel för differentialer: Lösning: d(f g) = df g + f dg. d(f g) = x (f g) dx + (f g) dy y ( f = x g + f g ) ( f dx + x y g + f g ) dy y ( ) ( ) f f g = dx + x y dy g g + f dx + x y dy = df g + f dg. 8
9 KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 3A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Beräkna arean av en cirkelskiva med radien R. Lösning: Med polära koordinater blir arean lika med x 2 +y 2 R 2 dxdy = R r= [ r 2 = 2π 2 2π φ= ] R r= r drdφ = = πr 2. 2π φ= dφ R r= r dr 2. Beräkna volymen av glasstruten {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 4 x2 y 2 }. Lösning: Struten begränsas nedåt av konen z = x 2 + y 2 som i sfäriska koordinater ges av θ = π/4, och uppåt av sfären x 2 +y 2 +z 2 = 2 2 med radien lika med 2. Så med hjälp av sfäriska koordinater blir volymen lika med R r= π/4 2π θ= φ= = 2π [ cos θ] π/4 r 2 sin θ drdθdφ = [ r 3 3 ] 2 = 2π 2π φ= dφ π/4 θ= sin θ dθ ( 1 1 ) = 8π 3 R r= r 2 dr ( 2 ) 2. 9
10 3. Beräkna arean av den del av planet 2x + 2y + z = 2 som ligger inom rotationsparaboloiden z = x 2 + y 2. LEDNING: Det är väldigt lätt att beräkna arean av projektionen på xy-planet! Lösning: På skärningen mellan planet och paraboloiden är z = 2 2x 2y = x 2 + y 2 = x 2 + 2x + y 2 + 2y = 2 (x + 1) (y + 1) 2 1 = 2 (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 2 2, så projektionen av skärningskurvan ner på xy-planet blir cirkeln med medelpunkt i ( 1, 1) och radien 2. Med E = cirkelskivan {(x + 1) 2 + (y + 1) } blir den sökta arean lika med 1 + ( z/ x)2 + ( z/ y) 2 dxdy = dxdy E = 3 E dxdy = 3 arean av E = 3 π 2 2 = 12π. E 1
11 KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 3B i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Beräkna volymen av ett klot med radien R. Lösning: Med hjälp av sfäriska koordinater blir volymen lika med R r= π θ= 2π φ= [ r = 2π[ cos θ] π 3 3 r 2 sin θ drdθdφ = ] R 2. Beräkna arean av ellipsskivan 2π φ= dφ π θ= sin θ dθ = 2π (1 + 1) R3 3 = 4πR3 3. x y R r= r 2 dr Lösning: Sätt först u = x/2 och v = y/3 så att olikheten ovan övergår i u 2 + v 2 1 som betyder enhetsskivan i uv-planet. Inför sedan polära koordinater: u = r cos φ, y = r sin φ. Då blir { x = 2u = 2r cos φ, y = 3v = 3r sin φ, där r 1 och φ 2π. Med dessa så kallade elliptiska koordinater blir ( ) d(x, y) 2 cos φ 2r sin φ d(r, φ) = det = 6r (cos 2 φ + sin 2 φ) = 6r, så att 3 sin φ 3r cos φ dxdy = d(x, y) d(r, φ) drdφ = 6r drdφ. Därmed blir arean lika med 1 2π 2π 1 [ ] r 2 1 6r drdφ = 6 dφ r dr = 6 2π = 6π. 2 r= φ= 11
12 3. Beräkna arean av den del av sadelytan z = x 2 y 2 som ligger ovanför området {(x, y) R 2 : x, x y x, x 2 + y 2 1} i xy-planet. Lösning: Med E = {(x, y) R 2 : x, x y x, x 2 + y 2 1} blir den sökta arean lika med 1 + ( z/ x)2 + ( z/ y) 2 dxdy = 1 + (2x)2 + ( 2y) 2 dxdy E = = E π/4 = π 2 π/ (x2 + y 2 ) dxdy = 1 dφ 1 r= (1 + 4r 2 ) 1/2 r dr = π (5 3/2 1 ) = π 24 (5 5 1). π/4 E φ= π/ r2 r drdφ [ (1 + 4r2 ) 3/2 ] 1 12
13 KTH Matematik, Olle Stormark. Lösningsförslag till KS 4A i SF1633 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Bestäm de största och minsta värdena av funktionen f(x, y) = x + 2y på enhetscirkeln x 2 + y 2 = 1. Lösning: Med g = x 2 + y 2 1 blir Lagrangesystemet } grad f = λ grad g 1 = λ 2x, 2 = λ 2y, g = x 2 + y 2 = 1. y (första ekvationen) x (andra ekvationen) = y 2x = y = 2x. Insatt i den tredje ekvationen ger detta x 2 + 4x 2 = 1 x = ± 1 ( ) 1 2 = punkterna ± 5,. 5 5 f:s värden i dessa punkter är ( 1 f 5, ) 2 = = 5 och f ( 1 5, 4 5 ) = 5. SVAR: Största värdet är = 5, minsta är = 5. 13
14 2. Bestäm de största och minsta värdena av funktionen f(x, y) = x 2 + 2y 2 x på den slutna enhetsskivan {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Lösning: Inre stationära punkter: { = f/ x = 2x 1 x = 1/2, = f/ y = 4y y = = punkten (1/2, ), där f = 1/4 1/2 = 1/4. Randen: Där är y 2 = 1 x 2, så f = x x 2 x = x 2 x+2 = g(x), säg, med 1 x 1. = g (x) = 2x 1 = x = 1/2. Så vi får följande kandidater till största och minsta värde på randen: g( 1) = = 2, g( 1/2) = 1/4 + 1/2 + 2 = 2 + 1/4, g(1) = =. SVAR: Största värdet = 2 + 1/4, minsta = 1/4. 3. Beräkna I = γ x dy y dx (x y) 2 där γ är den del av enhetscirkeln som går från (, 1) till (1, ) i den fjärde kvadranten. Lösning: I = P dx + Q dy, där γ P = y (x y) 2 och Q = x (x y) 2. RÄTTFRAMMA RÄKNINGAR visar att Q/ x P/ y =, så vi kan byta väg (så länge som vi håller oss borta från den elaka linjen x y = ): låt oss väja y = x 1, där x löper från till 1. På denna är x y = 1 och dy = dx, så den sökta integralen reduceras till I = 1 x= x dx (x 1) dx 1 2 = 1 dx = 1. 14
15 KTH Matematik, Olle Stormark. Lösningsförslag till KS 4B i SF 1633 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Bestäm de största och de minsta värdena av funktionen f(x, y) = x+y på ellipsen x 2 /4 + y 2 /9 = 1. Lösning: Med g = x 2 /4 + y 2 /9 1 fås Lagrangesystemet } grad f = λ grad g g = 1 = λ 2 x, 1 = 2λ 9 y, x y2 9 = 1. 4y (första ekvationen) 9x (andra ekvationen) = 4y 9x = y = 9x/4; insatt i den tredje ekvationen fås sedan x x2 16 = 1 13x2 16 = 1 x = ± 4 13 = y = ± f:s värden i de två funna punkterna är ( ) 4 9 f, = 13 och f ( 4 13, 9 13 ) = 13. SVAR: Största värdet är = 13 och det minsta är =
16 2. Bestäm de största och minsta värdena som funktionen f(x, y) = x 2 2x 2y antar på den slutna enhetskvadraten {(x, y) R 2 : x 1 och y 1}. Lösning: Inre stationära punkter: f/ y = 2 = finns inga! Randen består av 4 räta linjestycken, som får undersökas var för sig. (1) y = och x 1 = f = x 2 2x; derivatan 2x 2 = ger x = 1. Så vi får följande kandidater till största och minsta värden: f(, ) =, f(1, ) = 1 2 = 1. (2) x = 1 och y 1 = f = 1 2y, som är avtagande. Så största värdet är f(1, ) = 1, och det minsta är f(1, 1) = 3. (3): y = 1 och x 1, respektive (4): x = och y 1, behandlas på samma sätt. SVAR: Största värdet är i (, ), minsta är -3 i (1, 1). 3. Beräkna I = (e x cos x y) dx + (2xy arctan(y 2 )) dy, γ där γ är den positivt orienterade randen till området D = {(x, y) R 2 : x 2 y 1}. Lösning: I = P dx + Q dy, där γ P = e x cos x y och Q = 2xy arctan(y 2 ). Därmed blir Q/ x P/ y = 2y + 1. Green säger då att x=1 [ I = (2y + 1) dxdy = y 2 + y ] y=1 dx y=x 2 = D 1 1 (2 x 4 x 2 ) dx = 2 = 2 [2x x5 5 x3 3 = = ] 1 16 x= 1 1 (2 x 4 x 2 ) dx ( = ) 3
Kontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Tentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).
KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Inlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Övningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Tentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl
Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel
Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar.
x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Kap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara
f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 24-5-26 DEL A. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014
SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A
Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Tentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS --3 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna dubbelintegralen y ddy, där är
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, F636(5B0,5B30). Tisdagen den januari 0, kl 400-900. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.
Kap 13.2 13.3. Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. A 1001. Sök det största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. A 1002. Vilka värden kan funktionen
Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN1 14--1 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge