Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för betyg 3, 11p för betyg 4 och 14p för betyg 5. Förslag till lösningar kommer att finnas på kurshemsidan efter skrivningens slut. är kommer även tidpunkten för visning av tentorna att anslås. Lycka till! 1. Visa att följande gränsvärden existerar eller ej. Om gränsvärdet existerar, beräkna även dess värde. a xy +y x,y,z,, x +y +z p b x,y, x y 1p. Bestäm karaktären av alla lokala extrempunkter till funktionen fx,y x 4xy +xy. 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen fx,y xy i området, som ges av {x,y R : x +y 4 och x }. 4. Beräkna integralen x +xydxdy där {x,y R : x +y och x y 3}. 5. Hitta funktioner f : R R sådana att f xx +4x f yy 4xf xy f y 8x genom att använda transformationen xu,v 1 v och yu,v u 1 4 v. I svaret ska funktioner, av variablerna x och y, ges som löser ekvationen ovan.. Beräkna integralen V x dxdydz där V är området som begränsas av funktionsgraferna z x +y och z 4y Visa, med utgångspunkt i definitionen av differentierbarhet, att funktionen fx, y sinxy är differentierbar i punkten x,y,.

2 Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN Förslag till lösningar 1. a Enligt satsen om sammansättning av gränsvärden så vet vi att x xyz +x 3 1 eftersom t sint/t 1. Vi skriver nu om gränsvärdet som följer x x +y +z x xyz +x 3 xyz +x 3 x +y +z, och fortsätter att visa att den andra faktorn har ett gränsvärde med hjälp av följande uppskattning: xyz +x 3 x +y +z xyz +x 3 x +y +z xyz +x3 x xyz + x3 x x 3 x x. Eftersom x då x så ger satsen om instängning av gränsvärden att x xyz +x 3 x +y +z. etta ger, enligt satsen om multiplikation av gränsvärden, att x x +y +z x xyz +x 3 xyz +x 3 x x +y +z 1. b Låt oss studera envariabelgränsvärdet då vi närmar oss punkten, längs en rät linje med lutningen k. Alltså, vi sätter x t och y kt, vilket ger xtyt+yt kt +k t t xt yt t t k t k +k t 1 k k +k 1 k Förk fåsgränsvärdet,ochförk fåsgränsvärdet.ettavisaratttvåvariabelgränsvärdet xy +y t x y inte kan existera, eftersom om gränsvärdet existerar så måste motsvarande envariabelgränsvärde ovan ge samma gränsvärde för alla val av k.. Eftersom funktionen är partiellt deriverbar så kan lokala extrempunkter endast befinna sig i punkter där f,. Låt oss därför hitta alla sådana punkter. { f x 4y +y x y +y, 4x+4xy, xy 1 x,y, eller x,y, eller x,y 1,1. För att undersöka karaktären av de potentiella extrempunkterna använder vi oss av Taylorutvecklingen till f i dessa punkter. Alltså, vi försöker avgöra om en punkt a,b är en max- eller minpunkt genom att studera den kvadratiska formen och vi beräknar därför följande derivator: Qh,k 1 f xxa,bh + 1 f yya,bk +f xya, b, Vi undersöker nu de tre punkterna var för sig. f xx f yy 4x f xy 4y 4.

3 , : en kvadratiska formen blir Qh,k h 4 h k 4k, vilken är indefinit eftersom Q,1 4 och Q1, 1. Punkten, är alltså ingen lokal extrempunkt., : en kvadratiska formen blir Qh,k h +4 h+k 4k, vilken är indefinit eftersom Q,1 4 och Q1, 1. Punkten, är alltså ingen lokal extrempunkt. 1, 1: en kvadratiska formen blir Qh,k h +k, vilken är positivt definit eftersom Qh,k ger att h,k,. Punkten 1,1 är alltså en lokal minimipunkt. 3. Eftersom fx,y xy är kontinuerlig och området är kompakt, så vet vi att funktionen antar ett största och minsta värde i området. Extremvärdena ligger antingen i en lokal extrempunkt i området, eller på randen till området. Låt oss börja med att undersöka de lokala extrempunkterna. Eftersom funktionen är partiellt deriverbar så finns de lokala extrempunkterna i stationära punkter, dvs punkter där f,. För funktionen fx,y xy ger f, att x,y,, och vi beräknar f,. Låt oss nu undersöka funktionens värden på randen till området. Vi delar upp randen i två delar enligt figuren nedan: y γ γ 1 x där γ 1 betecknar ellipsbågen och γ betecknar den räta linjen längs y-axeln. Låt oss nu undersöka största och minsta värde av funktionen på dessa kurvor. γ 1 : Vi parametriserar kurvan x +y 4 som följer: xt cost yt sint och vi kontrollerar att xt +yt 4. Funktionens värden på γ 1 ges således av funktionen gt fcost, sint costsint för / t /. Extremvärdena för denna funktion finns antingen i en stationär punkt dvs där g t eller i någon av randpunkterna: t / eller t /. Vi beräknar därför först och därefter de stationära punkterna: g / g/, g t sin t+cos t cost t ± +n t ± 4 +n

4 e stationära punkter som ligger i intervallet [ /,/] ges av t ±/4, och vi beräknar g /4 g/4. γ : en räta linjen parametriseras som xt och yt t för t, vilket ger Funktionen antar alltså värdet på hela γ. gt f,t Vi sammanfattar genom att jämföra alla kandidater till största och minsta värde:,,, och drar slutsatsen att funktionens minsta värde i är och dess största värde i är. 4. Låt oss börja med att undersöka hur området ser ut. Villkoret x +y beskriver en cirkelskiva med radie. Ekvationen x y 3 beskriver området ovanför den räta linjen y 1 3 x. etta ger oss sammantaget följande bild av området : y α x Vinkeln α fås från en rätvinklig triangel med basen 1 och höjden 1/ 3 vilket ger att tanα 1/ 3 och följdakteligen att α /. Alltså kan vi beskriva området i polära koordinater som x rcosϕ r Vi beräknar integralen med hjälp av detta variabelbyte: I x +xydxdy 7 7 [ [ r y rsinϕ ϕ 7. r 4 cos ϕsinϕ+r 3 sinϕcosϕ dr dϕ 5 cos ϕsinϕ+ r4 4 sinϕcosϕ cos3 ϕ 3 1 cos ϕ ]7 rsinϕr cos ϕ+rcosϕrdr dϕ ] 4 5 dϕ cos ϕsinϕ+cosϕsinϕ dϕ Vi börjar med att beräkna de partiella derivatorna av variabeltransformationen: { { x 1 v u y +x y u 1 4 v v x u x x u y 1 v x v y.

5 Låt oss nu transformera de partiella derivatorna av f med hjälp av kedjeregeln: och vi beräknar vidare att f x f uu x +f vv x xf u +f v vf u +f v f y f uu y +f vv y f u, f xx f x x f x uu x +f x vv x xvf u +f v u +vf u +f v v vvf uu +f uv+f u +vf uv +f vv v f uu +4vf uv +4f vv +f u f xy f y x f y uu x +f y vv x vf uu +f uv f yy f y y f y uu y +f y vv y f uu. Nu sätter vi in dessa uttryck i vår ursprungliga ekvation f xx +4x f yy 4xf xy f y 8x v f uu +4vf uv +4f vv +f u +v f uu v vf uu +f uv f u 4v 4f vv 4v en transformerade ekvationen blir alltså f vv v f v v v3 +gu fu,v +vgu+hu där g, h är godtyckliga åtminstone två gånger deriverbara funktioner. I de ursprungliga variablerna ges lösningarna av fx,y 4x3 3 +xgy +x +hy +x.. Området V begränsas av funktionsgraferna till funktionerna z x +y och z 4y 3; V ser ut ungefär som i följande figur z V y x och vi kan skriva integralen som 4y 3 I x dz dxdy x +y E E x 4y 3 x y dxdy där E är området skuggan i xy-planet vilken ger upphov till volymen V. För att finna detta område kan vi beräkna skärningen mellan de två funktionsgraferna: x +y 4y 3 x +y 4y 3 x +y 1, vilket ger att E är en cirkelskiva med radie 1 och centrum i punkten,. Med hjälp av variabelbytet x rcosϕ och y rsinϕ+ kan området E enkelt beskrivas som r 1 och ϕ.

6 Funktionaldeterminanten för variabelbytet är r, och vi får 1 I rcosϕ 4rsinϕ+ 3 r cos ϕ rsinϕ+ rdr dϕ 1 cosϕ r 1 r dr dϕ [ ] r 3 1 cosϕ 3 r5 5 dϕ 15 cosϕ dϕ Nu delar vi upp integrationsintervallet i delar, där vi i varje del vet vilket tecken cosϕ har, så att vi vet hur absolutbeloppet ska hanteras: 3 cosϕdϕ cosϕdϕ+ cos ϕdϕ I [sinϕ] [sinϕ] 3 +[sinϕ] En funktion f : R R är differentierbar i punkten a,b om det finns tal A och B samt en funktion ρ : R R sådana att och fa+h,b+k fa,b+ah+bk +ρh,k h +k ρh,k. h,k, Vi vet att om funktionen f är differentierbar i punkten a,b så är A f xa,b och B f ya,b. Låtnufx,y sinxyocha,b,.eftersomf x, cos ochf y, cos så försöker vi att sätta A B. Alltså vill vi försöka finna ρh,k så att och löser vi ut ρ ur detta samband så får vi sin sin+ρh,k h +k, ρh,k sin h +k. Alltså, med detta val av ρ, samt A B gäller det att f+h,+k f,+ah+bk + h +k ρh,k, för fx,y sinxy. et återstår nu att visa att h,k, ρh,k. Vi skriver om och noterar att h,k, sin h +k h,k, sin sin 1. h,k, h +k, en andra delen av gränsvärdet kan vi beräkna med hjälp av instängning: h +k h h h h Eftersom h då h,k så säger satsen om instängning av gränsvärden att vilket ger att h,k, sin h +k h,k, h,k, h +k, sin h,k, h +k 1. Alltså har vi visat att h,k, ρh,k vilket, enligt resonemanget ovan, visar att sinxy är differentierbar i punkten,.