TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

Transkript

1 TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ ẑ. i har (ρ, φ med : ρ, φ π och ( r ρ r ρ φ ˆρ ẑ (ρ ˆφ ρ ˆρ + ρẑ ρ ρ och den sökta arean är A d r ρ r φ dρdφ ( π ρ ρ + ρ dφ dρ ( π ρ dφ dρ ρ π π ρ ρ dρ [ ρ ] π[ ].. Lösning : Inför cylinderkoordinater: x ρ cos φ, y ρ sin φ, z z och då parametriseras ytan genom r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ med parameter området som ges genom : ρ, φ π. På ytan har vi A ρ 3 cos φ sin φ ρ 3 cos φ sin φ. ( ρ cos φ sin φ( ρ idare är r ρ r φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ. et sökta ödet är

2 A ˆnd eftersom A (r ρ r φdρ dφ ρ 3 cos φ sin φ ρ cos φ ρ 3 cos φ sin φ ρ sin φ dρ dφ ( ρ cos φ sin φ( ρ ρ [ρ 5 cos 3 φ sin φ ρ 5 cos φ sin 3 φ ρ 3 ( ρ cos φ sin φ + ρ ρ 3 ]dφ dρ ( π π (ρ ρ 3 dρ ] π [ρ ρ π π cos 3 φ sin φ dφ π cos φ sin 3 φ dφ π cos φ sin φ dφ. Lösning : En enkel räkning ger A och vi ser att A är ett C -vektorfält. Låt beteckna den givna ytan och L : x + y, z och L : x + y, z. å är + L + L är en sluten yta som omsluter ett område. Enligt Gauss' sats har vi nu A ˆnd d +L +L där normalen ˆn pekar ut ur (enligt Gauss' sats. i har då A ˆnd + A ˆn dl + L A ˆn dl L Observera att på L är ˆn ẑ med z och då är A ˆn, som ger På L är ˆn ẑ och z vilket ger A ˆn ( xy och vi får då eftersom L är en cirkel med radie och A ˆn dl ( xydxdy L L dxdy L π d. xydxdy [x r cos φ, y r sin φ, r, φ π] L ( π r 3 cos φ sin φ dφ dr. L A ˆn dl.

3 För att beräkna d, som är volymen av området, observera att vi kan skriva d d d där är området mellan xy-planet (z och z (x + y, med x + y, och är området mellan planet z och z (x + y, med x + y. i har idare är d x +y x +y ( (x +y dz dxdy [ (x + y ]dxdy [x r cos φ, y r sin φ, r, φ π] π π 8π. d [ r ]rdr [r r x +y x +y ] ( (x +y dz dxdy [ (x + y ]dxdy [x r cos φ, y r sin φ, r, φ π] π π π. [ r ]rdr [r r ] Av detta erhåller vi att och då har vi vilket ger att ödet genom är d 6π A ˆnd + π 6π A ˆnd π. 3

4 3. Lösning : En enkel räkning visar att A. Lägg till Γ den rätta linjen Γ : y +z med ändpunkterna i (,, och (,, så att Γ + Γ genomlöps medurs sett från punkter på den positiva z-axeln (då är startpunkten (,, och slutpunkten (,, på Γ. Om är det plana området i planet x + y + z som begränsas av Γ + Γ då har vi, enligt tokes' ats, A dr Ad Γ+Γ vilket ger att Γ A dr A dr Γ [r(z (, z, z, z : ] 3 z dz. A(r(z r (zdz + z z dz z Lösning :Observera att A vilket gör att A Φ för någon funktion Φ. detta ger Φ x + z, Φ y yz, Φ z xz + y. Ekvationen Φ x +z ger Φ x(+z +g(y, z och insättning av detta i ekvationen Φ y yz ger g y(y, z yz vilket ger nu g(y, z y z + h(z och Φ x( + z + y z + h(z. Insättning i den sista ekvationen Φ z xz + y ger h (z och slutligen erhåller vi att Φ x( + z + y z + C där C är en godtycklig konstant. Planet x + y + z skär ellipsoiden i en kurva där x och start- och slutpunkten ligger på x. å är y + z vilket ger y z. Insättning i ellipsoidens ekvation ger z och då är z ±. tartpunkten har positiv z-koordinat, och då måste (,, vara kurvans startpunkt, medan (,, är kurvans slutpunkt. Eftersom A Φ vi har A dr Φ(,, Φ(,,. Γ. ilkoret för att A har en potential är A och detta ger ekvationssystemet f x(x, y, f y(x, y y som ger f(x, y x + y + C. ilkoret f(, ger nu f(x, y x + y i detta fall måste A Ψ(x, y, z för någon potential Ψ(x, y, z och vi har ekvationssystemet

5 Ψ x z + xy + z + y, Ψ y x + yz + x, Ψ z x + y + xz. Ekvationen Ψ x z + xy + z + y ger Ψ x y + xy + xz + xz + g(y, z. Insättning i Ψ y x + yz + x ger nu g y(y, z yz som ger g(y, z y z + h(z och vi får Ψ x y + xy + xz + xz + y z + h(z. Insättning av detta i ekvationen Ψ z x + y + xz ger h (z och vi erhåller där C är en godtycklig konstant. Ψ x y + xy + xz + xz + y z + C 5. ektorfältet A är ett potentialfält. Med A Φ(ρ, φ, z, uttryckt i cylinderkoordinater, har vi ( Φ ρ ρ cos φ, ρ Φ φ ρ + sin φ, Φ z ρ som ger att Φ Φ(ρ, φ med Φ ρ ρ cos φ, Φ φ (ρ + sin φ. Ekvationen Φ ρ ρ cos φ ger Φ(ρ, φ ρ cos φ + g(φ och insättning i Φ φ (ρ + sin φ ger g (φ sin φ vilket ger h(φ cos φ + C och vi erhåller Φ (ρ + cos φ + C. Kurvans startpunkt är i (, och slutpunkten är (,. Punkten (, svarar mot ρ, φ medan punkten (, svarar mot ρ, φ π. Eftersom A är ett potentialfält med A Φ vi har A dr Φ(, π Φ(, 6. Γ 6. Lösning : Låt beteckna ytan z x + y. i parametriserar med ortsvektorn r(ρ, φ ρ ˆρ + ( ρ ẑ i cylinderkoordinater. i vet att z x + y med z som ger z ρ med ρ och φ π. På har vi A [ρ ˆρ + ( ρ ẑ]. Låt ρ beteckna området : ρ, φ π. En normal vektor till ytan är r ρ r φ (ˆρ ẑ (ρ ˆφ ρ(ˆρ + ẑ som uppfyller villkoret (r ρ r φ ẑ >. i har nu A ˆnd ( π 8π π 3π. A (r ρ r φdρ dφ [ρ ˆρ + ( ρ ẑ] (ρ[ˆρ + ẑ]dρ dφ ρ ρ dφ dρ 3 ρ 3 dρ [ ρ ] 5

6 Lösning : Låt beteckna ytan z x + y. i har A (x + y i de punkter där x +y. Låt vara cylindern x +y, z och L vara ytan x +y 6, z och låt beteckna området som omslutas av + + L. Observera att + + L är sluten och att inom är A ett C -vektorfält. Enligt Gauss' sats har vi då att A ˆnd (x + y dxdydz. + +L Inför cylinderkoordinater. å ges A genom A ρ [ρ ˆρ + zẑ] och parametriseras genom ortsvetorn r(φ, z ˆρ + z ẑ med parametrar (φ, z och : φ π, z. i har A ˆnd A ˆnd + A ˆn d + A ˆn L dl + +L L och alla normaler pekar ut ur enligt Gauss' sats. På L är z och ˆn L ẑ vilket gör att på L vi har A ˆn L z ρ. På har vi ˆn r φ r z/ r φ r z ˆρ eftersom ˆn pekar in mot z-axeln (och ut ur. å har vi åledes erhåller vi A ˆn d A (r φ r zdφ dz 6 (ˆρ + zẑ ( ˆφ ẑdφ dz (ˆρ + zẑ (ˆρdφ dz 6 dφ dz π. A ˆnd π (x + y dxdydz. denieras av olikheterna z ρ, ρ, φ π i cylinderkoordinater och vi har då 6

7 ( x +x (x + y dxdydz x +y 6 (x + y dz dxdy [x ρ cos φ, y ρ sin φ, ρ, φ π] ( π ρ dφ ρ dρ ρ ( π ρ dρ 3 ρ [ π ρ + ] ρ π. i har nu som ger A ˆnd π π, A ˆnd 3π. 7