TATA44 Lösningar 26/10/2012.

Transkript

1 TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z ligger under sfärens ekvator, och planet z delar sfären i två delar: : x + y + (z 5 5, z och 1 : x + y + (z 5 5, z. Arean av + 1 är arean av sfären, som är 1π (arean av en sfär med radie R är 4πR och således är A( 1π A( 1 där A( och A( 1 betecknar arean av resp. 1. Först beräknar vi A( 1. Vi parametriserar 1 med ortsvektorn i cylinderkoordinater (observera att här har vi z 5 5 x y : r(ρ, φ ρˆρ + (5 ẑ med (ρ, φ där : ρ 4, φ π. Vidare har vi r ρ r φ ( ˆρ + ρ ẑ (ρ ˆφ ρ ˆρ + ρẑ. Arean av 1 är nu A( 1 d 1 1 r ρ r φ dρdφ ρ 5 dρdφ 1π 1π π. Av detta följer att den sökta arean A( är var: en sökta arean är A( 8π. 4 ρ dρ [ ] 4 A( 1π π 8π. Lösning : Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Eftersom sfärens radie är 5 då ser vi att ytan är den del av sfären x + y + (z 5 5 för vilken z 1. Nu sätter vi ρ x + y, och på sfären har vi ρ + (z 5 5 vilket ger ρ 1z z (efter lite algebraisk manipulering av uttrycken-observera att ρ, 1

2 varför vi tar den positiva kvadratroten. I cylinder koordinater parametriserar vi ytan genom ortsvektorn r(φ, z 1z z ˆρ + z ẑ med (φ, z där : φ π, z 1. den sökta arean är nu A d r φ r z dφdz. Vi har r φ r z 1z z ˆφ och av detta har vi att ( 5 z 1z z ˆρ + ẑ 1z z ˆρ (5 z ẑ, A d r φ r z dφdz 5dφ dz 1 ( π 5 dφ dz 8π. Lösning 3: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Eftersom sfärens radie är 5 då ser vi att ytan är den del av sfären x + y + (z 5 5 för vilken z 1. Inför sfäriska koordinater: x 5 cos φ sin θ, y 5 sin φ sin θ, z cos θ. Vi vet att z 1. När z 1 då är θ. När z då är vilket ger cos θ, cos θ 3 5 och då är θ arccos( 3/5 då z (kom ihåg att θ [, π] och då är π/ arccos( 3/5 π. ätt nu : φ π, θ arccos( 3/5. Vi parametriserar genom ortsvektorn med (θ, φ. tandardräkningar ger r(θ, φ 5 cos φ sin θ ˆx + 5 sin φ ŷ + (5 + 5 cos θ ẑ (se Formelbladet. Vi erhåller nu r θ 5ˆθ, r φ 5 sin θ ˆφ r θ r φ 5 sin θ(ˆθ ˆφ 5 sin θ ˆr. en sökta arean är nu

3 A d r θ r φ dφ dθ arccos( 3/5 ( π 5π arccos( 3/5 5 sin θ dφ dθ sin θ dθ 5π [ cos θ] arccos( 3/5 5π[1 cos(arccos( 3/5] [ 5π ] 5 8π.. En standardräkning ger att A x + y + 3z. Lägg till tre sidoytor 1 : x + y 1, x, y, z ; : y + 3z 1, y, z, x ; 3 : x + 3z 1, x, z, y. Ytorna avgränsar en kropp V : x +y +3z 1, x, y, z. Enhetsnormalerna (ut ur V till 1,, 3 är ẑ, ˆx, ŷ. Flödet av A ut ur V genom 1 är Φ 1 A ˆn 1 d 1 1 ty A ˆn 1 A ẑ zx eftersom z på 1. Liknande beräkningar på och 3 ger att A ˆn d, A ˆn 3 d 3. 3 Enligt Gauss' ats har vi A ˆnd V A dv, och eftersom ödena ut ur V genom 1,, 3 är noll, så erhåller vi att ödet Φ av A genom och ut ur V ges genom Φ A ˆnd A dv. Vi har Φ V (x + y + 3z dxdydz [x r cos φ sin θ, y r sin φ sin θ, z r cos θ, r 1, θ π/, φ π/] 3 1 ( 1 ( π/ π/ r 4 sin θ dφ dθ dr 6 π 1 6. V 3

4 3. Enligt tokes' ats så har vi En enkel räkning ger att Parametrisera med ortsvektorn Γ A dr ( A ˆnd. A x ˆx y ŷ. r(θ, φ ˆr med (θ, φ där : θ π/, φ π/. En standarräkning ger r θ r φ sin θˆr. Observera att ˆr cos φ sin θ ˆx + sin φ sin θ ŷ + cos θ ẑ och att på är A cos φ sin θ ˆx sin φ sin θ ŷ. å har vi att Γ A dr ( A ˆnd ( A (r θ r φdθdφ (cos φ sin θ ˆx sin φ sin θ ŷ (sin θˆrdθdφ sin 3 θ(cos φ sin φdθdφ eftersom ˆr cos φ sin θ ˆx + sin φ sin θ ŷ + cos θ ẑ sin 3 θ cos φdθdφ ( ( π/ π/ sin 3 θdθ cos φdθ. 4. Om A är ett potentialfält då ska A Φ för någon funktion Φ i det område där A är denierat. En potential nns då om A i detta område. Vi erhåller A [(c 1x + 6(1 by]ˆx + (a cy ŷ + (1 az ẑ och för att A i ett område då måste a c 1, b 1. För dessa värden har vi och med A Φ då har vi A (4xy + yzˆx + (x + xz + 6yzŷ + (3y + xyẑ, Φ x 4xy + yz, Φ y x + xz + 6yz, Φ z 3y + xy. Ekvationen Φ x 4xy+yz ger Φ x y+xyz+g(y, z. Insättning av detta i Φ y x +xz+6yz ger g y(y, z 6yz vilket ger g(y, z 3y z + h(z. å har vi 4

5 Φ x y + xyz + 3y z + h(z. Insättning i Φ z 3y + xy ger h (z vilket nu ger att där C är en godtycklig konstant. Φ x y + xyz + 3y z + C 5. Vektorfältet A är ett potentialfält: A Φ med potential Φ(r, θ, φ cos θ. På kurvan Γ r har ändpunkter i (,, i xy-planet och (,, på z-axeln. tartpunkten är (,, som har sfäriska koordinater (r, θ, φ (, π/, π/4 och slutpunkten är (,, som har sfäriska koordinater (r, θ, φ (,, π/4 och vi har då A dr Φ(,, π/4 Φ(, π/, π/4 1. γ 6. Lösning 1: Parametrisera genom ortsvektorn (i cylinder koordinater: 4 ρ r(ρ, φ ρ ˆρ + ẑ med (ρ, φ där : ρ, φ π. På har vi (i cylinderkoordinater A ˆφ + z ẑ ˆφ 4 ρ + ẑ. Observera att ( r ρ r ρ φ ˆρ 4 ρ ẑ (ρ ˆφ ρ ˆρ + ρ ẑ. 4 ρ Flödet ut genom är Φ A ˆn d A(r(ρ, φ (r ρ r φdρdφ ( ( ˆφ 4 ρ ρ + ẑ 4 ρ ˆρ + ρ ẑ dρdφ 1 ρ 4 ρ dρdφ 1 ( π ρ 4 ρ dφ dρ π π 8π 3. ρ 4 ρ dρ [ 3 (4 ρ 3/ ] 5

6 (Och ödet in genom är 8π/3. Lösning : Observera att A är singulärt på z-axeln. Låt ɛ vara ytan x +y +4z 1, x +y 4 ɛ ɛ och lägg till ɛ cylindern C ɛ : x + y ɛ, z och skivan 1 : ɛ x + y 4, z. Låt V ɛ vara den kropp som begränsas av ytorna ɛ C ɛ. Vi denierar nu det sökta ödet som Φ A ˆnd lim A ˆnd. ɛ ɛ Enligt Gauss' ats har vi A ˆnd ɛ+ 1 +C ɛ AdV V ɛ eftersom A är ett C 1 -fält inom V ɛ och i en omgivning av V ɛ. Observera att alla normaler pekar ut ur V ɛ. Integralen A ˆnd : här är ˆn ẑ vilket ger att A ˆn A ẑ z eftersom z 1 på 1. åledes har vi A ˆnd. 1 Integralen A ˆnd : här parametriserar vi ytan genom ortsvektorn r(φ, z ɛ cos φ ˆx + C ɛ ɛ sin φ ŷ + z ẑ med (φ, z där : φ π, z 4 ɛ /. Vi har då r φ r z ɛ cos φ ˆx + ɛ sin φ ŷ. å är (observera att ˆn pekar in mot z-axeln Av detta följer att A ˆnd C ɛ. Inom V ɛ är A 1 och då är A (r φ r zdφdz ( sin φˆx + cos φŷ + zẑ (ɛ cos φ ˆx + ɛ sin φ ŷdφdz A ˆnd ɛ AdV. V ɛ 6

7 A ˆnd dv ɛ V ɛ 1 ɛ x +y 4 ɛ x +y 4 ( 4 x y / dz 4 x y dxdy dxdy [x ρ cos φ, y ρ sin φ, ɛ ρ, φ π] 1 ( π ρ 4 ρ dφ dρ π ɛ ɛ ρ 4 ρ dρ [u 4 ρ ] π 4 ɛ 4 ɛ u 1/ du π u 1/ du π [ ] u 3/ 4 ɛ 3 π(4 ɛ 3/. 3 Nu erhåller vi A ˆnd lim A ˆnd 8π ɛ ɛ 3. Observera att A är singulärt på z-axeln. Om man uttrycker A i cylinderkoordinater, då erhåller man A ˆφ + z ẑ som inte ser ut att ha några singulariteter alls. Men det nns ett problem med att deniera ˆφ i punkter på z-axeln eftersom φ är inte entydigt denierat i dessa punkter och det är i denna bemärkelse att A inte är denierat på z-axeln. 7