Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

Transkript

1 Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: 4 augusti 0, kl , i Sparta C+D. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk fältteori och räknedosa. Betygsättning: Varje uppgift ger maximalt 0 poäng. Slutbetyget ges av heltalsdelen av totalt antal poäng/0, dock högst 5. Lösning till uppgift Kapacitansen för den ostörda plattkondensator är C 0 ɛ 0 A/d, där A betecknar plattornas yta. När den dielektriska skivan är på plats mellan plattorna kan kondensatorn uppfattas som två seriekopplade plattkondensatorer vardera med plattavståndet d/. Kapacitansen C för den störda plattkondensatorn ges därmed av C d ɛ 0 A + d ɛ 0 ɛ r A C ɛ 0A ɛ r d ɛ r +. Med konstant likspänning V 0 mellan plattorna V 0 förändras ej när den dielektriska skivan förs in ty likspänningskällan är inkopplad är den upplagrade energin W. Den relativa förändringen är således svaret på den första deluppgiften CV 0 W W 0 W 0 C V 0 C 0V0 C 0V0 C ɛ r C 0 ɛ r + Med konstant laddning Q 0 respektive Q 0 på den båda plattorna Q 0 förändras ej när den dielektriska skivan förs in ty plattorna är isolerade från varandra är den upplagrade energin W Q 0/C. Den relativa förändringen är således svaret på den andra deluppgiften W W 0 W 0 Q 0/C Q 0/C 0 C 0 ɛ r Q 0/C 0 C ɛ r Lösning till uppgift Vi ersätter den ledande sfären med två spegelladdningar beteckningar enligt formelsamlingen q i qa/a q/ och q m Q q i Q + q/ i spegelpunkten d i a /a a/ respektive i sfärens centrum. Kraften på punktladdningen med styrkan q blir således F qq m 4πɛ 0 a ẑ + qq i 4πɛ 0 a d i ẑ q { } Q + q/ q/ 4πɛ 0 4a a a/ ẑ qq { + q } q ẑ qq { 7 q 4πɛ 0 a 4 Q 9 Q 6πɛ 0 a 8 Q } ẑ.

2 Vi särskiljer på två fall. Om Q > 0 är kraften på punktladdningen attraktiv pekar i negativ ẑ-led då q < 0 eller q > 8Q/7. På motsvarande sätt då Q < 0 är kraften på punktladdningen attraktiv då q > 0 eller q < 8Q/7. Vi sammanfattar detta enligt nedan. { Q > 0 q < 0 eller q > 8Q/7 Q < 0 q > 0 eller q < 8Q/7 Lösning till uppgift 3 Den magnetiska punkdipolen m mẑ ger upphov till en magnetisk ödestäthet som på avståndet a från origo kan skrivas Bθ µ 0m 4πa 3 ˆr cos θ + ˆθ sin θ. Enligt ledningen i uppgiften är partikelhastigheten i sfäriska koordinater ẑ ˆr cos θ ˆθ sin θ vθ ω r ωaẑ ˆr ωaˆr cos θ ˆθ sin θ ˆr ˆφωa sin θ På trådslingan är alltså vθ Bθ µ 0mω sin θ 4πa varför dl ˆθa dθ E Q P vθ Bθ dl µ 0mω πa µ 0 mω sin θ ˆφ ˆr cos θ + ˆθ sin θ ˆθ cos θ ˆr sin θ, 4πa π/ 0 sin θ cos θ dθ µ 0mω πa Den sökta elektromotoriska kraften är således E µ 0mω 4πa π/ 0 d dθ sin θ dθ µ 0mω 4πa. Lösning till uppgift 4 Den magnetiska punkdipolen m 0 m 0 ẑ i origo ger upphov till en magnetisk ödestäthet som kan skrivas Med m mẑ är m Br µ 0m 0 m 4πr 3 Br µ 0m 0 4πr 3 ˆr cos θ + ˆθ sin θ. ẑ ˆr cos θ + ẑ ˆθ sin θ µ 0m 0 m cos θ sin θ, 4πr 3

3 3 där vi har använt att ẑ ˆr cos θ och ẑ ˆθ sin θ. Med -operatorn i sfäriska koordinater och sin θ cos θ har vi m Br µ 0m 0 m 4π ˆr r + ˆθ 3 cos θ r θ r 3 3µ 0m 0 m ˆr3 cos θ + ˆθ sin θ cos θ 4πr 4. Kraften på den magnetiska punktdipolen i omloppsbana ges av då r a och θ π/ notera att ˆr ˆr c då θ π/: F ˆr 3µ 0m 0 m 4πa 4 ˆr c 3µ 0 m 0 m 4πa 4 Newtons andra lag ger därmed att F Ma c Mv a ˆr c, varför 3µ 0 m 0 m/4πa 4 Mv /a. Periodtiden T är den tid det tar för punktdipolen i omloppsbana att tillryggalägga sträckan πa. Således är T πa v πa 4πMa 3 3µ 0 m 0 m 6π 3 Ma 5 3µ 0 m 0 m Lösning till uppgift 5 z µ R a a R x Vi beräknar det magnetiska ödet genom slingan i R, 0, R då slingan i origo för en likström I > 0. Slingan i origo modelleras som en magnetisk punktdipol med m πa I, varför Br ± µ 0m cos θ 0ˆr + sin θ 0ˆθ ± µ 0a I cos θ 0ˆr + sin θ 0ˆθ, 4πr 3 4r 3

4 4 där ± svarar mot de två möjliga strömriktningarna. Den magnetiska ödestätheten i punkten R, 0, R är därmed θ 0 π/4 och r R BR, 0, R ± µ 0a I ˆr + 6R ˆθ ± µ 0a I ˆx + ẑ + ˆx ẑ 3 6R 3 ± µ 0a I 6 3ˆx + ẑ. R3 Det magnetiska ödet Φ genom slingan i punkten R, 0, R är approximativt slingan är liten ty R a och normalvektorn ges av ˆn ±sin θˆx + cos θẑ Φ ˆn BR, 0, Rπa ± µ 0πa 4 I 6 3 sin θ + cos θ R3 Absolutbeloppet av den ömsesidiga induktansen är därmed 3 sin θ + cos θ > 0 då θ [0, π/] M Φ I µ 0πa sin θ + cos θ R3 Maximal ömsesidig induktans får vi då fθ 3 sin θ + cos θ har maximum som funktion av θ, det vill säga då θ max arctan 3. Alltså är sin θ max [0, ] och cos θ max [0, ] eftersom θ max [0, π/] eller ekvivalent, 3 tan θ max sin θ max cos θ max cos θ max cos θ max, cos θ max 0, sin θ max cos θ max 3 0. Det maximala värdet på absolutbeloppet av den ömsesidiga induktansen blir således M max µ 0πa µ 0πa 4 5 R R 3 Lösning till uppgift 6 P r + r { dz^ z A B

5 5 Låt r + ortsvektorn från centrumpunkten på A till en godtycklig punkt P i det diskusformade hålrummet. Gauss lag på integralform ger det elektriska fältets bidrag från A: E A r + ρr + ˆr + ρ r +, 3ɛ 0 3ɛ 0 där r + r +ˆr +. På motsvarande sätt är det elektriska fältets från B r r ˆr är ortsvektorn från centrumpunkten på B till punkten P E r ρr 3ɛ 0 ˆr ρ 3ɛ 0 r. Enligt superpositionsprincipen är det elektriska fältet i punkten P summan av och ty de överlappande rymdladdningstätheterna tar ut varandra vid superposition. Alltså är r + r dẑ E E + r + + E r ρ r + r ρd ẑ 3ɛ 0 3ɛ 0 Elektriska fältet är med andra ord konstant överallt i det diskusformade hålrummet.