Lösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans

Transkript

1 Inst. för fysik och astronomi Lösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 2017 (3.1) En plattkondensator har plattor med arean 0,40 m 2 och avståndet mellan dem är 0,20 mm. Kondensatorn är fylld med luft, och den är kopplad till en spänningskälla som ger 9 V. (a) Vad är storleken på det elektriska fältet mellan plattorna? (b) Vad är kondensatorns kapacitans? (c) Vilken laddning finns på vardera plattan? Nu kopplar vi bort spänningskällan och skjuter in ett dielektrikum med r = 2,5 mellan plattorna (det fyller utrymmet helt). (d) Vad är nu det elektriska fältet mellan plattorna, kapacitansen hos den ändrade kondensatorn, och laddningen på vardera plattan? (a) E-fältet mellan två laddade plattor är konstant. För ett konstant E-fält gäller följande samband för spänningen V mellan plattorna och E-fältet (PhH F-3.1): E= V V 2 1 där V i är potentialen vid vardera plattan och d är avståndet mellan dem. d V 2 V 1 = 9 V (spänningen över kondensatorn) och vi får det numeriska resultatet (d = 0, m) E= 9 V 0, m =4,5 104 V/m. (Dimensioner OK ses av uträkningen). Svar: Storleken på det elektriska fältet är 4, V/m. (b) En plattkondensators kapacitans är (PhH F-3.10) A C=ϵ 0 om utrymmet mellan plattorna är luft, där A är plattarean och d är avståndet mellan d dem. Numeriskt får vi C=8, ,4 m2 As/Vm 0, m =17, F. Dimension? ϵ 0 A d Svar: Kapacitansen är 18 nf. m2 har enheten 1 As/Vm 1 1 m =1 As V 1 =1 C/V=1 F. OK! (c) Laddningen Q på ena plattan i en plattkondensator med kapacitans C och spänning V är (PhH F-3.10) Q = C V (definitionen av kapacitans). Numeriskt får vi Q = 17, F 9 V = 159, C C. (Svar)

2 Inst. för fysik och astronomi (d) När vi kopplar bort spänningskällan och skjuter in ett dielektrikum förblir laddningen Q oförändrad (vi tillför inga nya laddningar). Däremot kommer kapacitansen att ändras och därmed också spänningen och det elektriska fältet mellan plattorna. Kapacitansen hos en plattkondensator fylld med ett dielektrikum med r (PhH F-3.10): A C '=ϵ r ϵ 0 d =ϵ r C där C är kapacitansen hos kondensatorn utan dielektrikum. Numeriskt får vi C' = 2,5 18 nf = 44,25 nf 44 nf. Den nya spänningen V ' över kondensatorn kan vi beräkna ur definitionen för kapacitans: Δ V '= Q vilket numeriskt blir Δ V '= 159, C C ' 44, F =3,6 V. Det elektriska fältet mellan plattorna är då (se uppg. a) E '= ΔV ' d = 3,6V =18 kv/m. 0, m Svar: Laddningen är oförändrat C. Den nya kapacitansen är 44 nf. Det nya elektriska fältet är 18 kv/m. (3.2) En plattkondensator har kapacitansen 10 mf och laddas med ett 20 V-batteri. Batteriet tas bort efter lång tid och ett dielektrikum med r = 4,0 används för att fylla utrymmet mellan plattorna. Hur mycket energi finns nu lagrad i kondensatorn? Efter uppladdning kommer kondensatorn att ha laddningen Q=C 0 Δ V = F 20V=0,2C, där C 0 = 10 mf är ursprungskapacitansen och V = 20 V är spänningen (PhH F-3.10). Laddningen ändras inte när vi kopplar bort batteriet och skjuter in ett dielektrikum (däremot ändras spänningen). Med ett dielektrikum får vi den nya kapacitansen C 1 =ϵ r C 0 på samma sätt som i föregående uppgift. Energin som finns lagrad i kondensatorn är (PhH F-3.10) W C = 1 Q 2 2 C 1 där Q är laddningen och C 1 kapacitansen efter att vi har satt in dielektrikumet. Vi får W C = 1 Q 2 = 1 Q 2 = (0,2C)2 =0,5 J. 2 C 1 2 ϵ r C 0 2 4, F Dimensioner? 1 Q 2 2 C 1 har enheten (1 C) 2 1 F =1C2 (1 C/V) 1 =1 CV=1 As 1 W/A=1 Ws=1 J. OK! Svar: Kondensatorns energi är 0,5 J.

3 Inst. för fysik och astronomi (3.3) Tre kondensatorer med kapacitanserna C 1 = 4,0 μf, C 2 = 3,0 μf, och C 3 = 2,0 μf, kopplas till en spänningskälla om 12 V, enligt figuren. När kondensatorerna är fulladdade, vad är laddningen på och spänningen över var och en av dem? Vi kallar kondensatorn med kapacitans C 1 för kondensator 1 osv för de övriga kondensatorerna. Vidare låter vi V i vara spänningen över kondensatorn med kapacitans C i och Q i är laddningen på densamma. För att lösa den här uppgiften behöver vi först ersätta kondensatorerna 2 och 3 med en ersättningskondensator med kapacitans C 4. Sedan kan vi byta ut kondensator 1 och 4 mot en ersättningskondensator med kapacitans C 5. Därefter kan vi räkna ut laddning och spänning och bygga upp kretsen igen för att ta reda på Q i och V i för alla kondensatorerna. Vi ersätter C 2 och C 3 med kapacitans C 4, se figur. 2 och 3 är parallellkopplade, så ersättningskapacitansen blir (Ph F-3.10) C 4 = C 2 + C 3 = 3 F + 4 F = 5 F. Nu ersätter vi C 1 och C 4 med ersättningskapacitansen C 5, se figur. C 1 och C 4 är seriekopplade, så (PhH F-3.10) 1 = ==> C 5 C 1 C 4 C 5 = C C 1 4 4μ F 5μF = C 4 +C 1 5μF+4μF 2,22μF. Laddningen på C 5 är Q 5 = Ɛ C 5 där Ɛ = 12 V är batteriets polspänning. Vi får Q 5 = 12 V 2,22 F 26,7 C. Kondensatorerna 1 och 4 måste var för sig ha samma laddning som kondensator 5, eftersom den sistnämnda ersätter de förstnämnda, och de sistnämnda är seriekopplade. Q 5 = Q 4 = Q 1 = 27 C. Spänningarna V 1 och V 4 över kondensatorerna är V 1 =Q 1 /C 1, V 4 =Q 4 /C 4, d.v.s. V 1 = 26,7 C / 4 F = 6,675 V och V 4 = 26,7 C / 5 F = 5,34 V. (Här kan vi göra en kontroll och se att V 1 + V 4 = 12 V, som vi väntar oss, eftersom de är seriekopplade och de enda komponenterna i kretsen). Vi måste ha V 2 = V 3 eftersom kondensatorerna är parallellkopplade. Vidare måste vi ha V 4 =V 2 = V 3 eftersom kondensator 4 ersatte 2 och 3. Alltså har vi V 2 = V 3 = 5,34 V. De respektive laddningarna på dem är Q 2 =C 2 V 2 =3μ F 5,34 V=16μ C och Q 3 =C 3 V 3 =2μ F 5,34 V=10,68μ C. Svar: Kondensator Laddning Spänning 1 27 C 6,7 V 2 16 C 5,3 V 3 11 C 5,3 V.

4 Inst. för fysik och astronomi (3.4) Fyra identiska resistorer kopplas som på bilden. Batteriet är idealt och har en polspänning på 10 V. När kretsen är uppkopplad flyter strömmen I = 0,20 A genom den, enligt figur. (a) Vad är värdet på resistansen R? (b) Vilken ström flyter genom de två översta resistorerna i figuren? På samma sätt som i föregående uppgift ersätter vi komponenterna parvis tills vi har en krets som är lätt att räkna på och bygger därefter upp kretsen igen. (a) Vi ersätter först de två översta resistenserna med ersättningsresistansen R 1, se figur (den streckade konturen anger vilka resistorer som ska ersättas). De är seriekopplade, så ersättningsresistansen blir (PhH F-3.11) R 1 =R+R=2R. Därefter ersätter vi de två parallellkopplade resistansena med R 2, se nästa figur. För parallellkopplade resistorer gäller 1 = R 2 R 1 R = 1 2R + 1 R ==> R 2 = 2 3 R. R 2 och den sista kvarvarande ursprungsresistansen ersätts nu med R 3. De två resistanserna är seriekopplade så vi får R 3 =R 2 +R= 2 3 R+R=5 3 R. I ersättningskretsen med R 3 flyter strömmen I och vi har polspänningen V. Ohms lag ger då V =R 3 I= 5 3 Numeriskt får vi R= 3 10 V 5 0,2 A =30Ω R I ==> R= 3V 5 I. Svar: Värdet på R är 30.

5 Inst. för fysik och astronomi (b) Nu ansätter vi strömmar i slingan, se figur. I 1 flyter genom de två övre motstånden, och I 2 genom det undre i den lilla slingan. I resten av kretsen flyter strömmen I. Kirchhoffs första lag ger I=I 1 +I 2. (3.4.1) Potentialvandring i lilla, övre slingan ger I 2 R I 1 R I 1 R=0 ==> (I 2 2I 1 )=0 ==> I 2 =2I 1. (3.4.2) Nu kombinerar vi (3.4.1) och (3.4.2) och får I=I 1 +I 2 =I 1 +2I 1 =3 I 1 ==> I 1 = I 3 = 0,2 A 3 =0, A. Svar: Strömmen genom de två övre motstånden är 0,07 A.

6 Inst. för fysik och astronomi (3.5) En initialt oladdad kondensator med kapacitans 6,0 μf seriekopplas med en resistor på 5,0 MΩ och ett idealt 15 V-batteri. (a) När mycket lång tid har gått, vad är då laddningen Q f på kondensatorn? (b) Vilket värde har strömmen i kretsen när kondensatorn är uppladdad till 20% av Q f? Vi börjar med att rita en bild av kretsen. (a) Vad händer här? När vi kopplar in den oladdade kondensatorn kommer en ström att gå genom kretsen, genom att det byggs upp en laddning i kondensatorn. Till sist är kondensatorn fulladdad. Då går ingen ström genom kretsen, så spänningen över resistorn är då 0 och all spänning i kretsen ligger över kondensatorn. (Jämför även PhH F-3.10 och F6). Om spänningen över kondensatorn är Ɛ = 15 V och den har kapacitansen C = 6,0 μf så är dess laddning (PhH F-3.10) Q f = C Ɛ = 6,0 μf 15 V = 90 μc. Svar: Efter lång tid är laddningen på kondensatorn 90 μc. (b) För att lösa den här deluppgiften behöver vi ett uttryck för strömmen i kretsen som en funktion av tiden. Vi sluter kretsen vid t = 0 och ansätter att strömmen vid tiden t är i(t) och att laddningen på kondensatorn vid samma tid är q(t). Potentialvandring i kretsen vid tiden t ger: Ɛ i(t) R q(t) q(t) =0 ==> i(t)= C RC Ɛ R (3.5.1) Strömmen är laddning per tid, så vi har i(t)= d q (uppladdning vid positiv ström), vilket dt tillsammans med (3.5.1) ger oss en differentialekvation för laddningen på kondensatorn: dq dt = Ɛ R q(t) eller q(t)= C RC Ɛ dq RC (3.5.2) dt Den här kan man lösa genom att integrera (se t.ex. boken UP kapitel 26.4), men eftersom det är en enkel linjär differentialekvation av första ordningen kan vi ansätta en lösning i form av en exponentialfunktion (jämför även PhH M-12) q(t)= A e t / RC +B vilket ger dq dt = A RC e t / RC +0. Om vi sätter in detta i (3.5.2) får vi q(t)= ƐC RC dq dt = ƐC RC ( A RC ) e t / RC = Ɛ C +A e t / RC. Vi ser att B= Ɛ C. Randvillkoret q(0) = 0 (initialt oladdad kondensator) ger oss Ɛ C+ A e 0 =0 ==> A= Ɛ C, d.v.s. q(t)= Ɛ C (1 e t / RC ) och i(t)= dq dt =Ɛ R e t / RC.

7 Inst. för fysik och astronomi Kondensatorns maxladdning är Q f = Ɛ C enligt (a), vilket vi även kan se från uttrycket för q(t). 20% av denna laddning, 0,2 Q f = 0,2 Ɛ C, uppnås vid tiden t 20 : q(t 20 )= Ɛ C (1 e t 20 / RC )=0,2Ɛ C ==> (1 e t 20 / RC )=0,2 ==> 0,8=e t 20/ RC vilket ger t 20 = ln(0,8) RC. Strömmen i kretsen vid denna tid är i(t 20 )= Ɛ R exp ( t 20 RC ) =Ɛ R exp ( ln(0,8)rc RC ) =Ɛ R exp (ln(0,8))=0,8 Ɛ R. Numeriskt får vi i(t 20 )=0,8 Ɛ 15 V =0,8 R Ω =2, A. Svar: När kondensatorn har nått 20% av sin maximala laddning är strömmen i kretsen 2,4 A. Dimensioner? I den här uppgiften har vi väldigt många kombinationer av C, Ɛ och R som förekommer. Det är en god idé att kontrollera att dimensionerna stämmer. Vi betraktar uttrycken för laddningen och strömmen, q(t)= Ɛ C (1 e t / RC ) och i(t)= dq dt =Ɛ / RC e t, och kontrollerar R dimensionerna. RC i exponenten måste ha dimensionen tid: Enhet 1Ω F=1 V A C =1C/ A=1 As/A=1s OK! V ƐC i uttrycket för q(t) måste ha dimensionen laddning. Enhet 1V F=1V C =1C OK! V 1 V Ɛ / R i uttrycket för i(t) måste ha dimensionen ström. Enhet 1Ω = 1V =1 A OK! 1 V/A