Tentamen ETE115 Ellära och elektronik för F och N,

Transkript

1 Tentamen ETE5 Ellära och elektronik för F och N, Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori och elektronik. Observera att uppgifterna inte är ordnade i svårighetsordning. Alla lösningar skall ges tydliga motiveringar. Johan har fyra halvdåliga.5 V batterier och skall till dessa koppla in en glödlampa som enligt beskrivning förbrukar 3 W vid.5 V spänning. Genom att använda en voltmeter och en resistans av 5 Ω lyckas Johan mäta upp att samtliga batterier har en inre resistans av 0.75 Ω och tomgångsspänningen.5 V. a) Beskriv hur Johan kan mäta upp den inre resistansen och tomgångsspänningen. ita enkla kretsscheman. Voltmetern kan representeras av en kvadrat med en plus och minuspol. b) Genom att koppla in batterierna på rätt sätt kan Johan få lampan att lysa med full effekt, dvs så att den förbrukar 3 W. Beskriv hur Johan har kopplat batterierna och lampan och rita ett kretsschema för kopplingen. Ledning: Alla siffervärden är valda så att man inte behöver kalkylator för att lösa uppgiften. 2 Området mellan inner och ytterledaren i en koaxialkabel är fyllt med ett material vars konduktivitet är σ. Koaxialkabelns innerledare har ytterradien a och dess ytterledare har innerradien b. Kabelns längd L är mycket större än b. Antag att vi driver en ström I från innerledaren till ytterledaren. a) ita en figur över koaxialkabelns tvärsnitt och rita ut strömtäthetens riktning i några olika punkter mellan inner och ytterledaren. b) Bestäm strömtätheten J(r) i alla punkter mellan inner och ytterledare. c) Bestäm spänningen V (a) V (b) mellan inner och ytterledare. d) Bestäm resistansen mellan inner och ytterledaren.

2 3 i(t) v(t) Spänningskällan ger en fyrkantpuls med spänningen 0 t < 0 v(t) = V 0 0 t T 0 t > T där V 0 > 0 och pulslängden T är mycket större än. a) Bestäm i(t) för 0 t T. b) Bestäm i(t) för t T. 2

3 4 200 Z ab/ f a 50 Z ab Z 0 Z L 00 e b ` Im /m En last Z L är kopplad till en transmissionsledning med karakteristisk impedans Z 0 och längd l. Man mäter impedansen Z ab mellan nodparet ab för att bestämma Z L, Z 0, och l. Figuren visar real och imaginärdelen av den uppmätta impedansen Z ab (enhet Ω) som funktion av vågtalet β = 2πf/v (enhet m ), där f betecknar frekvensen och v fashastigheten i transmissionsledningen. 3

4 a) Bestäm lastens impedans Z L. b) Bestäm längden l. c) Bestäm den karakteristisk impedansen Z 0. Motivera resultaten. Transmissionsledningen kan anses vara förlustfri. 5 Figuren visar en common drain förstärkare med en NMOStransistor. Likspänningskällan V DD och motstånden, 2, S är valda så att transistorn är i mättnadsområdet. Insignalen v in (t) = V in cos(ωt) är vald så att V in V DD och så att kopplingskapacitansernas impedanser kan försummas. Tröskelspänningen V t V DD och konstanten K för transistorn är kända. v in t 2 G S D S L v ut V DD a) ita kretsschemat för likspänningen V DD (storsignalschemat). b) Bestäm ekvationerna för de två kurvor i {V GS, I D }planet vars skärningspunkt ger arbetspunkten, dvs V GSQ och I DQ. c) Skissa de två kurvor i {V GS, I D }planet vars skärningspunkt ger arbetspunkten, dvs V GSQ och I DQ. d) Vilken effekt utvecklas i motstånden, 2, s, likspänningskällan och transistorn. Alla resistanser, spänningen V DD och arbetspunkten (V GSQ, I DQ ) antas kända. 6 V I a s 2 s b Figuren visar en krets med två operationsförstärkare. Impedansen Z ab kan bestämmas med nodanalys i tre noder. a) Ange de tre noder där KL skall användas, motivera? 4

5 b) Ange nodanalysekvationerna för de tre noderna. c) Bestäm impedansen Z ab = V /I. Noderna är numrerade till 5 med tillhörande nodpotentialer V n, n =,..., 5. Operationsförstärkarna kan anses vara ideala och resistansen och kapacitansen är kända. Spänningskällan ges av v (t) = e{v e jωt }. 5

6 Lösningsförslag a) Johan mäter först upp tomgångsspänningarna genom att koppla in voltmetern direkt på ett batteri i taget. Därefter bestämmer Johan de inre resistanserna. Detta gör han genom att koppla in 5 Ω motståndet till vardera batteri och mäta spänningen över motståndet. Spänningsdelning ger V uppmätt = 5 i 5.5 V Därmed ges den inre resistansen av ( ).5 i = 5 V uppmätt b) Glödlampan ger 3 W vid.5 V spänning. Det gäller alltså att få.5 V över lampan. Lampan ger effekten P = 3 W vid.5 V vilket ger lampans resistans Man kan då koppla enligt figuren. lampa = V 2 P =.52 3 = 0.75 Ω i i.5v.5v lampa i i.5v.5v 2 i 3V 2 i 3V lampa i 3V lampa Eftersom i = lampa får vi spänningen.5 V över glödlampan och därmed förbrukar den 3 W. 6

7 2 a) Strömtätheten är riktad radiellt ut från symmetriaxeln. b) J(r c ) = I 2πr c L ˆr c där ˆr c är enhetsvektorn som pekar i radiell led. c) Det elektriska fältet ges av E(r c ) = σ J(r c ) = Spänningen ges av d) = 3 V (b) V (a) I V (a) V (b) = = 2πσL ln(b/a) b a I 2πσr c L ˆr c. E(r c ) ˆr c dr c = I 2πσL ln(b/a) a) För 0 < t < T är dioden framspänd och kan ersättas med en kortslutning. Kretsen blir då en vanlig krets som laddas upp av en spänning V 0. Detta ger spänningen över den undre kondensatorn v c (t) = V 0 ( e t/τ ), 0 < t < T där τ =. Strömmen ges av i(t) = dv c(t) dt = V 0 e t/τ, 0 < t < T b) Vi antar nu att T τ. Det gör att den undre kondensatorn är uppladdad till spänningen V 0 vid tiden t = T. För t > T är dioden backspänd och vi får den övre kretsen i figuren. Man kan bestämma strömmen med Laplacetransformering eller direkt i tidsplanet. Inför först tiden t = t T och bestäm v c (t) för t > 0. Lösning med Laplacetransformering Eftersom v c = V 0 för t = 0 kan vi ersätta den under kondensatorn med en kondensator i serie med en spänningskälla vilket leder till den undre kretsen i figuren. 7

8 i(t) v c (t) I(s) s s V0 s Ur denna får vi strömmen V 0 I(s) = s(2 2/(s)) = V 0 2( s) Motsvarande tidsberoende ström är (se formelsamling) där τ =. Detta ger Om t ersätts med t T fås i(t) = V 0 2 e t/τ, 0 < t < T i(t) = V 0 2 e t/τ i(t) = V 0 2 e (t T )/, t > T Lösning i tidsplanet För t > T kan vi seriekoppla de båda motstånden till en resistans 2 och de båda kondensatorerna till en kapacitansen /2. Begynnelsvillkoret vid t = T är att kapacitansen /2 är uppladdad till spänningen V 0, se figur (man inser detta om man använder Theveninekvivalenten för kondensatorerna.) Standardmetoden för att behandla urladdning av kondensatorer ger att spänningen över kapacitansen /2 blir (t T )/ v c (t) = V 0 e Strömmen ges av i(t) = 2 dv c (t) dt = V 0 2 e (t T )/, t > T 8

9 4 Impedansen ges av Z ab = Z in = Z 0 Z L cos(βl) jz 0 sin(βl) Z 0 cos(βl) jz L sin(βl) () a) För β = 0 får vi Z ab = Z L = 50 Ω. b) Z ab är periodisk, dvs Z ab (β) = Z ab (β m ). Enligt impedanstransformeringen är därmed 2l = 2π m, och l = π m. c) Det enklaste är att använda kvartvågstransformatorn (2βl = π eller β = 0.5 m ) där 200 Ω = Z ab = Z 2 0/Z L som ger Z 0 = 00 Ω. 5 I 2 0 G V GS D I D S S I DD V DD 20 G V S 0 I DQ 0 I [ma] D VGS Vt V V [V] GSQ G Q a) Kretsschemat visas i figuren. b) Arbetspunkten, Q, för transistorn kan bestämmas med belastningslinjen. KVL längs slingan i figuren ger V G V GS I D S = 0 där V G = V DD 2 2 är potentialen i G. Sambandet i mättnadsområdet är I D = K(V GS V t ) 2 Lösningen av ekvationssystemet ger arbetspunkten I DQ, V GSQ. c) Se figur. d) Strömmen genom och 2 är I = V DD /( 2 ) vilket ger effektutvecklingen V 2 DD p = I 2 = ( 2 ) 2 och p 2 = 2 I 2 VDD 2 = 2 ( 2 ) 2 Strömmen genom s är I DQ vilket ger p s = s I 2 DQ 9

10 Strömmen genom spänningskällan ges av I DD = I I DQ som ger V 2 DD p DD = V DD I DD = V DD I DQ 2 Slutligen genom energikonservering (eller eftersom I G = 0) p NMOS = V DSQ I DQ Observera att transistorn förbrukar energi p NMOS > 0. 6 De ideala operationsförstärkarna ger först att V = V 3 = V 5. a) Nodanalys i noderna, 3, 5. Noderna 2 och 4 måste undvikas eftersom vi inte vet strömmarna som går ut från operationsförstärkarna. Anledningen till att de inte behövs är att de ersätts med villkoren att spänningen över ingången på vardera OP är noll och att strömmen in i de inverterande och ickeinverterande ingångarna är noll. b) nod. nod 3 nod 5 I V V 2 /s = 0 V V 2 V V 4 /s = 0 V 0 V V 4 = 0 c) Lös ekvationssystemet ovan. Nod 5 ger V 4 = 2V. Detta sätts in i nod 3 ( s)v V 2 sv 4 = ( s)v V 2 = 0 och slutligen i nod som ger impedansen I = s(v V 2 ) = s 2 2 V Z ab = V /I = s 2 2 0