Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

Transkript

1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget på tentan ges av (total poäng)/0. a) Visa genom att använda kartesiska koordinater att (φa) = φ A + A φ b) Betrakta vektorfältet B = φ φ med φ = cr, där c är en konstant och r = x + y + z. Beräkna B. c) Bestäm normalytintegralen av B över den sfäriska ytan med radien och centrum i origo. Ett vektorfält är givet av A = ( ( + x)e x+y) ˆx + (xe x+y + y)ŷ zẑ Visa att detta vektorfält har en skalär potential och använd denna för att beräkna linjeintegralen A dl där γ är en kurva som startar i (, 0, 0) och slutar i (,, ). γ En plattkondensator består av två cirkulära metallplattor med radien a och avståndet d från varandra. Området mellan plattorna är fyllt med ett dielektrikum vars relativa permittivitet varierar i radiell led enligt där r c är avståndet från symmetriaxeln. Bestäm kondensatorns kapacitans C. ε r (r c ) = + (r c /a)

2 4 a L En stav har längden L, massan m och konstant linjeladdningstäthet ρ l. Staven orienteras i ett vertikalt läge under en stor jordad metallplatta. Om stavens övre ända befinner sig på ett kortare avstånd än a från plattan kommer den elektrostatiska kraften att vara större än tyngdkraften och staven rör sig uppåt. Bestäm a. 5 i(t) a a a Två kvadratiska metallslingor med sidan a ligger i samma plan, enligt figur. Vardera slingan har resistansen R. En ström i(t) drivs genom den vänstra slingan där 0 t < 0 t i(t) = I 0 0 t < T T t T I 0 Svara på följande frågor och ge tydliga motiveringar till dina svar: a) När är den inducerade strömmen i den högra slingan skild från noll? b) Åt vilket håll går den inducerade strömmen i den högra slingan (rita bild!)? c) Blir det någon nettokraft på den högra slingan och åt vilket håll är den i så fall riktad? d) Blir det något vridande moment på den högra slingan? e) Bestäm den ström i (t) som hade inducerats i den högra slingan om avståndet mellan dem hade varit 00a.

3 V/m tid/ns För att bestämma nivåer i en tank använder man mikrovågor. I tanken finns en vätska med mycket god ledningsförmåga och ovanpå den ett icke-ledande dielektriskt skikt. Både skiktet och den ledande vätskan har helt horisontella ytor. En elektromagnetisk puls skickas ner vinkelrätt mot vätskorna. Figuren visar det elektriska fältet för den infallande pulsen och de två första reflekterade pulserna som funktion av tiden. De tre fälten är uppmätta vid toppen av tanken. Bestäm följande: a) Avståndet från toppen av tanken ner till det dielektriska skiktets övre yta. b) Relativa permittiviteten ε r för materialet i det dielektriska skiktet. c) Tjockleken på det dielektriska skiktet. d) Amplituden på den tredje reflekterade pulsen. (Bortse från att toppen på tanken kan ge upphov till en reflekterad puls) Ledning: Ovanför det dielektriska skiktet är det luft och därmed är vågfarten c = 0 8 m/s. Den andra pulsens maximala amplitud är mycket nära / V/m.

4 Institutionen för elektrovetenskap Lösningar tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 a) b) I sfärsika koordinater fås φ = crˆr och därmed B = c r ˆr. Divergensen i sfäriska koordinater ger B = r r (r c r ) = 0c r c) Normalyteintegralen blir S B ˆrdS = c S = 8πc 5. Råräkning ger att A = 0. Därmed existerar en skalär potential så att A = V. Potentialen V skall satisfiera V/ x = A x, V/ y = A y och V/ z = A z. Integration ger V (x, y, z) = xe x+y y + z Linjeintegralen ges därmed av A dl = V (, 0, 0) V (,, ) = e e a) Vi utnyttjar att en plattkondensator med yta S och plattavstånd d, som är fylld med ett material med relativ permittivitet ε r har kapacitansen C = ε rε 0 S d Dela in kondensatorn i infinitesimala koncentriska ringar. En ring med radien r c har bredd dr c och därmed kapacitans dc = ε r(r c )ε 0 πr c dr c d

5 Ringarna är parallellkopplade vilket ger den totala kapacitansen C = a 0 ε r (r c )ε 0 πr c dr c d Svar: C = 5πε 0a d 4 -ρ l z ρ l Vi speglar staven i plattan. Detta ger laddningsfördelningen i figuren. I en punkt (0, 0, z) på staven ger spegelladdningen upphov till det elektriska fältet E s (0, 0, z) = ρ a l (0, 0, z z ) dz = ρ ( ) l 4πε 0 L a z z 4πε 0 z + a ẑ z + L + a Totala kraften på staven ges av F = ρ l L+a a E s (0, 0, z)dz = ρ l 4πε 0 ln ( (L + a)(l + a) a(l + a) Vi sätter kraften lika med tyngdkraften mg och löser ut a. Inför α = exp( 4πε 0mg ) ρ l ) ẑ Svar: a = L + (L ) + L 4(α ) = L + L α α

6 5 i(t) B a a a a) Det krävs ett tidsberoende magnetfält för att skapa en inducerad ström. Det gäller endast under tidsintervallet 0 < t < T. b) Den vänstra slingan ger ett magnetiskt flöde i den högra kvadraten riktat enligt figur. Det magnetiska flödet ökar med tiden. Lentz lag ger att strömmen i den högra slingan skall minska flödet och därmed gå åt samma håll som strömmen i den vänstra slingan (dvs medurs). c) Krafterna på de båda horisontella sidorna tar ut varandra. Den vänstra vertikala sidan utsätts för en kraft åt höger, enligt F = qv B regeln. Den högra sidan utsätts för en kraft åt vänster. Magnetiska flödestätheten ökar ju närmare man kommer den vänstra slingan. Därmed är kraften på den vänstra sidan större än den på den högra och nettokraften på slingan är åt höger. d) Nej. Krafterna på de fyra sidorna har en gemensam angreppspunkt. e) Här används dipolapproximationen. Den vänstra slingan är en dipol med magnetiskt moment m(t) = i(t)a. På långt avstånd från slingan är magnetiska flödestätheten i slingans plan B = µ 0m(t) 4πr ẑ där z axeln pekar uppåt. Den inducerade emk:n ges av E = dφ dt = där Φ är flödet uppåt. Motsvarande ström är { µ 0 a 4 I0 i (t) = Strömmens referensriktning är moturs. { µ 0 a 4 di(t) 4π(00a) dt 0 annars 4π(00a) RT 0 t T 0 t T 0 annars 6 a) Avståndet h ges av h = c t / där t är tiden mellan den infallande pulsen och den första reflekterade pulsen. Från grafen avläses att t = 0 ns och därmed är h = m b) Reflektionskoefficienten ges av R = ( ε r )/( + ε r ). Figuren ger att R = /. Därmed är ε r = 4.

7 4 c) Tidsskillnaden mellan första och andra reflekterade pulsen är t =0 ns. Det motsvarar tiden det tar för pulsen att gå fram och tillbaks genom skiktet. Eftersom utbredningsfarten i skiktet är v = c/ så ges skiktets tjocklek av d = v t / = 0.75 m. d) Den tredje pulsen kommer att först transmitteras genom övre ytan, därefter reflekteras mot den undre ytan, reflekteras mot den övre ytan, reflekteras mot den undre ytan och till sist transmitteras genom den övre ytan. Detta ger amplituden A = T R 0 R R 0 T där T = + ε r = transmissionskoefficient från luft till dielektrikum R 0 = reflektionskoefficient mot den ledande ytan R = ε r εr+ = reflektionskoefficient från dielektrikum mot luft T = ε r + ε r = 4 transmissionskoefficient från dielektrikum till luft Amplituden blir därmed 8/7 V/m.