Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv

Transkript

1 1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska och magnetiska fälten kopplar till varandra. Kopplingen sker genom tidsderivatorna i Maxwells ekvationer och 4. Vi ska börja med att studera fallet då källorna är statiska laddningstätheter och stationära strömtätheter. Vi har då statisk elektromagnetism. Då kan man studera de elektriska fälten för sig och de magnetiska för sig. Vi börjar med de elektriska. Vi börjar dessutom med det fullständigt statiska fallet då inga laddningar finns i rörelse inte ens stationära strömmar. trömmar innebär ju laddningar i rörelse. Vi kommer då bara att ha elektriska fält, inga magnetiska. Vi förutsätter att källorna är i vakuum. Vi generaliserar till fallet med medium senare. Elektrostatik Maxwells ekvationer är empiriska, dvs. bygger på experimentellt funna samband. Maxwell tänkte inte ut ekvationerna utan sammanställde de experimentellt funna sambanden på matematisk form. Maxwells två ekvationer i Elektrostatiken, D d = Q och E dl = eller D = ρ och E = C är båda resultatet av Coulombs lag. Låt källaddningen Q vara placerad i origo. Då påverkas en laddning q i fältpunkten r av kraften F q = qq rˆ 4πε r ekv 4: 1

2 Enligt tidigare diskussioner är ju faktorn 4πε i nämnaren ett resultat av konstruktionen av enhetssystemet. uperpositionsprincipen gäller ju för krafter, så kraften på en laddning q från ett antal laddningar är F q qq r = ˆ i i i 4πεri, där vektorn r i är vektorn från källpunkt i till fältpunkten, där laddning q finns. Om laddning q dubbleras i styrka blir kraften dubbelt så stor. Vi söker ett fält som är oberoende av laddningens storlek och bara beror av källorna. Det är den elektriska fältstyrkan E. Definition av den elektriska fältstyrkan: E F q = = q i Qrˆ i i 4πεri. E-fältet från en källaddning Q i origo blir E = Qr ˆ 4πε r. E-fält från en godtycklig laddningsfördelning E-fältet från en kontinuerlig laddningsfördelning kan på generellt sätt skrivas som dqrˆ E = * 4 πεr generaliserade Coulombs lag. ekv 4: 3

3 3 där * betecknar källområdet, och r är vektorn från källan till fältpunkten. För en volymsladdningstäthet är För en ytladdningstäthet är För en linjeladdningstäthet är = τ dq = ρdτ = dq = ρ s d = C dq = ρ l dl

4 4 Finns det någon grundläggande fysikalisk orsak till att E- fältet från en punktladdning varierar som 1/r, där an är ett heltal? Egentligen inte, men det verkar vara en exakt a. Experimental test of Coulomb's law: E = q/r +δ Fulcher (1986) Reevaluation of the experiment above. (1. ±1.) 1-16 From: Lewis P. Fulcher, Physical Review A33, 759 (1986).

5 5 Definition av den elektriska flödestätheten i vakuum: D = ε E. Här har vi ytterligare en nackdel med I-enheter. I CG systemet är i vakuum D-fältet identiskt med E-fältet. Vidare är H- fältet identiskt med B-fältet. Vi ska komma ihåg att de riktiga fysikaliska fälten är E- och B-fälten. D- och H-fälten är hjälpfält. I I-systemet har hjälpfälten till och med andra dimensioner än de fysikaliska fälten. Dessa hjälpfält varierar dessutom mellan olika framställningar beroende på hur man bokför ledningselektronerna i metaller. Detta är oberoende av val av enhetssystem. Vi kommer tillbaka till det senare när vi behandlar metaller. Den första av Maxwells ekvationer blir då ε E d = Q. Q är laddningen inuti ytan. Den här ekvationen gäller för en godtycklig laddningsfördelning och för en godtycklig sluten yta. Vi ska bara kontrollera att den gäller för en punktladdning Q i origo och för en sfärisk yta med radie r, centrerad kring origo. Qrˆ Qrˆ VL = εe d = ε d = r 4πε r ( sinθdθdφrˆ ) 4πr π π Q Q = dφ dθsinθ = π 4π = Q = HL 4 4π Vi ser här anledningen till att man valde att ha 4π i k e vid definitionen av I-systemet. Man skulle annars ha fått en faktor 4π framför laddningen i Maxwells ekvation. I-systemet kallas också det rationaliserade MKA-systemet, där rationaliserade

6 6 innebär just att man skalar om fälten så att alla faktorer om 4π försvinner ur Maxwells ekvationer. De dyker i stället upp på andra platser. Den mycket användbara Gauss sats Maxwells 1: a ekvation kallas också Gauss sats. Den är mycket användbar när man vill finna de elektriska fälten från olika symmetriska laddningsfördelningar. Ideal plattkondensator Vi studerar nu en ideal plattkondensator med laddning ±Q på plattorna, plattarea A och avstånd d mellan plattorna. Vi förutsätter att avståndet mellan plattorna är mycket mindre än plattornas utsträckning. Om detta uppfylls blir ytladdningstätheten praktiskt taget konstant på varje platta. Laddningarna hamnar på insidan av plattorna. Fälten går vinkelrätt mot plattorna. Nära randen blir det lite avvikelser, s.k. ströfält och laddningstätheterna avviker något från konstanta värden. Med ideal plattkondensator menar man att man bortser från alla dessa randeffekter. På en ensam laddad metallskiva får man en stor avvikelse från konstant ytladdningstäthet. Den divergerar på randen. Det är ett exempel på spetsverkan. När två laddade plattor med motsatt laddning förs intill varandra reduceras dessa effekter dramatiskt

7 7 Vi använder nu Gauss sats på en liten cylinder med botten- och toppyta med arean, enligt figuren. Fältlinjerna skär endast toppytan. De är parallella med mantelytan. Inga fält går inne i själva metallen. D-fältet är konstant mellan plattorna. Alltså får vi: ( zˆ) ( D zˆ) = ρ + = Q A D = Q A D = Q A D = zq ˆ A E = zq ˆ ε A Det är inte trivialt att beräkna ströfälten vid kanten av en plattkondensator, men det går om man behärskar komplex analys. Med hjälp av lämplig konform avbildning får man: 5 4 y=.8 y=.6 y=.4 3 y=. x=.75 x=.5 1 y=1 x=- v x= y= -1 y=-1 x= x=-1 x=-.5 y=-. -4 y=-.8 y=-.4 y= u

8 8 Fälten från en sfärisktsymmetrisk laddningsfördelning Låt laddningsfördelningen vara ρ(r) och inför den totala laddningen, Q(r), inuti området med avstånd < r från origo, dvs. r Qr ( ) = 4 πrρ ( rdr ). På grund av symmetrin måste fälten peka radiellt. Vi använder Gauss sats på en sfär med radien r centrerad kring origo, π π [ Drr ( ) ˆ ] ( r sinθddr θ φˆ) = Qr ( ) φ = θ = π π Dr ( ) r dφ sin θdθ = Q( r) Drr ( ) 4 π = Qr ( ) Dr ( ) = Qr ( ) 4πr D ( r) = rq ˆ ( r) 4πr E ( r) = rq ˆ ( r) 4πεr Fälten från en linjeladdning med konstant linjeladdningstäthet Här antar vi att fältpunkten är mycket närmare linjeladdningen än både linjeladdningens utsträckning och närheten till en ändpunkt. Under dessa antaganden kommer fälten att peka i den radiella riktningen ˆR. Av symmetriskäl kommer de också endast att bero på variabeln R. Vi använder Gauss sats på en tunn cylinder med radien R, koaxiell med linjeladdningen. Fältlinjerna går endast genom

9 9 mantelytan. De är parallella med sidoytorna och således blir flödet genom dessa noll. L π D( R) Rˆ. ( RdφdzRˆ ) = Q = ρl L z= φ = L π D( R) R dz dφ = ρl L D( R) RπL = ρl L D( R) = ρl πr D ( R) = ˆRρ l πr R Rρl πε R E ( ) = ˆ