Vi ska diskutera polarisation i ett dielektriskt material samt kapacitans och plattkondensatorn med ett dielektrikum.

Transkript

1 1 Vi ska iskutera polarisation i ett ielektriskt material samt kapacitans och plattkonensatorn me ett ielektrikum. A. Polarisation i ett ielektriskt material För ett material som innehåller ett stort antal elektriska ipolmoment efinieras polarisationen P genom P pi i τ ekv 4:15 torheten P är ett vektorfält. Det har imensionen laning per ytenhet och enheten C/m 2 As/m 2 vs samma imension och enhet som D och ε E. τ är ett litet volymselement men tillräckligt stort för att innehålla många ipolmoment. amban mellan E, D och P i ielektriska material. D ε E+ P ekv 4:16 Vi gör nu en förenkla härlening av etta samban. Vi stuerar ett föremål av ett homogent material. Låt et ha längen L i x- le och tvärsnittsarea A vinkelrätt mot x. Laningstäthet positiv laning från atomkärnorna negativ laning från elektronmolnen x Materialet är neutralt så en melae laningstätheten är noll.

2 2 Nu lägger vi på ett konstant elektriskt fält i x-le. Kärnorna rör sig en liten sträcka i x-riktningen. Elektronmolnen förskjuts något i minus x-le. Laningstäthet positiv laning från atomkärnorna negativ laning från elektronmolnen x Vi ser att nettoresultatet är att ytlaningstäthet inuceras på föremålets yta. Inga inucerae laningar inuti materialet Laningstäthet Q b -Q b x Dipolmomentet för hela föremålet blir nu p LQ x b ˆ, och polarisationen blir P p τ p AL xq ˆ b A

3 3 Vi genomför en ytintegral över en volym som innehåller en högra ytan och ärme laningen Q b. P Qb P Pxˆ s( xˆ) PA AQb A Qb alltså har vi P Pxˆ s( xˆ) PA AQb A Qb Q ( Q + Qb) Qb ε D E + P ( D ε E+ P) D ε E+ P Definition av materialkonstanten elektrisk susceptibilitet χ e. P χε e E ekv 4:17 χ e är imensionslös.

4 4 D Q ; E Q + Q ; P Q ε D εe+ P εe+ χeεe 1+ χe εe b b Definition av en relativa ielektricitetskonstanten ε r 1 + χ ekv 4:18 e Ur essa samban fås blan annat: Q D εεe ε εe ε Q r r r + Qb Q εr ( Q + Qb ) Qb Q 1 εr 1 (Obs! Vi flyttae ut er utanför integralen. Dess väre måste vara lika i alla elar av ytan är integralen har något birag för att etta ska vara giltigt) B. Kapacitans och plattkonensatorn Definition av kapacitans C Q V ekv 4:11 Obs! kapacitansen allti positiv! Enhet F(ara) A 2 s 4 /kgm 2 1 pf (1-12 F) är vanligaste enheten men numera finns konensatorer me flera tusen F i haneln.

5 5 Plattkonensator utan ielektrikum z ρ s + A +Q VV z ρ s - -Q V Laningen +Q hamnar på unre ytan av en övre plattan och Q hamnar på en övre ytan av en unre metallplattan. Dosan i figuren har sin nere bottenyta inuti metallen. Fälten är noll inuti metallen. Alltså birar inte bottenytan till Gauss sats. Om plattavstånet,, är litet i jämförelse me plattornas imensioner kan man anta att fälten pekar vinkelrätt mot plattorna. Fälten är mao parallella me osans mantelyta. Alltså birar inte mantelytan till Gauss sats. Enast en övre horisontella ytan birar. Vi har D D Q ρ och in s Q A D Q A D QAzˆ E Q ε A zˆ akt E l ε zˆ zzˆ Q Aε ref V Q A C Q V Aε Observera: C större ju större area A C större ju minre avstån.

6 6 Plattkonensator me ielektrikum z ρ s + A +Q VV z 1 z ρ s - -Q V Låt osans unre yta ligga i metallen. Me våra iealiseringar är D- och E-fälten vertikala. Enast övre ytan birar till Gauss sats. Det finns enast laning på metallytorna. Om vi låter övre ytan ligga i ielektrikumet eller i luftområet ovanför föränrar inte en inneslutna a laningen. Alltså är D lika stor i ielektrikumet som i luftområet, D Q A. Detta gäller inte för E. Vi får E Dε Q ε A zˆ; E Dε ε Q εε A ẑ l r r och akt V E l Q εε A zˆ zẑz Q ε A zˆ zzˆ 1 r ref och Q ε A ε + 1 r 1 εε r A C Q V + ε 1 r 1 1

7 7 Vi har sagt att et är a laningsbärare på metallskivornas innerytor. Finns et några inucerae laningar på et ielektriska rätblockets ytor? Det elektriska fältet gör att et inuceras bunna laningar på över och unerytan. Nu betämmer vi hur mycket bunen inucera laning som finns på ess nere yta. Vi använer en Gaussosa är unre ytan är i en nere metallplattan och en övre inuti rätblocket: Q D εεe ε εe ε Q r r r + Qb Q ε Q + Q Q Q 1 ε 1 r b b r Hur mycket bunen laning finns på rätblockets övre yta? Vi väljer nu en osans övre yta att vara i luften ovanför rätblocket. ε Q D E Q + Qb Q ( Q + Qb) Qb Det finns alltså lika mycket laning på ovansian som på unersian men me ombytt tecken.