Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)"

Kjell Strömberg
för 5 år sedan
Visningar:

1 Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Ti och plts: 3 jnuri, 017, kl , lokl: Sprt B för F och E3139 för Pi. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson, tel Tillåtn hjälpmeel: Formelsmling i elektromgnetisk fältteori smt klkyltor. Betygsättning: Vrje uppgift ger mimlt 10 poäng. Slutbetyget på tentn ges v heltlselen v (totlt ntl poäng)/10, ock högst 5. 1 En linjelning ligger utefter en cirkel me rien, enligt figur. Linjelningstätheten är ρ l för 0 < φ < 90 och 180 < φ < 70 och ρ l för 90 < φ < 180 och 70 < φ < 360. Det råer vkuum utnför linjelningen. ) Bestäm potentilen i origo,.v.s. V (0, 0, 0). b) Bestäm elektrisk fältvektorn i origo,.v.s. E(0, 0, 0). z q h V=0 En punktlning q befinner sig i punkten (0, 0, h). I plnet z = 0 finns en stor tunn jor metllskiv. Det råer vkuum överllt nnrs. ) V är metllskivns totl lning. b) V är ytlningstätheten på metllskivns ovnsi i punkten (0, 0, 0)?

2 3 z R En cirkulär plttkonenstor hr rien R och vstånet melln plttorn, är R. Den unre plttn hr sin mittpunkt i origo och en övre i (0, 0, ). Bestäm konenstorns kpcitns för följne tre fll: ) Utrymmet melln plttorn är fyllt me ett olene ielektrikum me reltiv permittivitet ε r1 för 0 < z < / och ett me ε r för / < z <. b) Utrymmet melln plttorn är fyllt me ett olene ielektrikum me reltiv permittivitet ε r1 för 0 < r c < R/ och ett me ε r för R/ < r c < R, är r c är riell vstånet från symmetrieln. c) Utrymmet melln plttorn är fyllt me ett olene ielektrikum me riellt vrierne reltiv permittivitet ε r (r c ) = + r c /R. 4 z y i(t) i 1 (t) En lång rk lere ligger längs z-eln och för strömmen i(t) = I 0 cos ωt, me referensriktning enligt figur. ) Utnför leren finns en kvrtisk sling me sin, resistns R och försumbr självinuktns. Slingn är plcer i z plnet så tt en si är längs (, y) = (, 0) och motståene si längs (, y) = (, 0). Bestäm en inucere strömmen i 1 (t) i slingn. Referensriktningen v i 1 är enligt figuren. b) Mn vrier nu slingn 60 så tt en ( en sin fortfrne är vi (, y) = (, 0) ) 3 3 men motståene si vi (, y) =,, som i en högr elen v figuren. Bestäm nu en inucere strömmen i 1 (t) i slingn. Lening: Tänk innn u räknr.

3 3 5 I hlvrymen z < 0 råer vkuum men et i hlvrymen z 0 finns ett ielektrikum me reltiv permittivitet ε r. En cirkulärpolriser plnvåg E(z, t) = E 0 (cos(kz ωt)ˆ + sin(kz ωt)ŷ) fller in mot en ielektrisk hlvrymen. ) Bestäm en infllne vågens effekt per ytenhet S(r, t). b) Bestäm ε r så tt 80% v en infllne vågens effekt trnsmitters in i en ielektrisk hlvrymen. Det finns två lösningr, men u skll välj en me ε r > 1. 6 z r 1 p h r h Bill och Bull fick följne problem: En oöppn ölburk kn pproimtivt nts vr en cyliner me rien och höjen h. Ölburken plcers så tt ess botten är i plnet z = 0, ess topp är i plnet z = h och ess symmetriel smmnfller me z eln. En elektrisk ipol p = pẑ plcers i punkten (, y, z) = (h, 0, 1.5h). Du skll beräkn följne integrl nlytiskt I(r) = 1 4πε 0 S (r r ) r r 3 ρ S(r ) S, (1) är S är ölburkens yt och ρ S (r ) ess ytlningstäthet. Punkten r kn ntingen vr r 1 = (0, 0, 1.5h) eller r = (0, 0, 0.5h). Välj en v ess punkter. Bill vle punkten r 1 och Bull punkten r. En v em lämne in en korrekt lösning efter 10 minuter men en nre fick ge upp efter en hlvtimm, utn tt h kommit någon vrt. Vem lämne in rätt svr och v är svret?

4 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Ti och plts: 3 jnuri, 017, kl , lokl: Sprt B för F och E3139 för Pi. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson. Lösning problem 1 ) All lningrn ligger på smm vstån från origo. Totl lningen är ρ l (π + π) = 3ρ l π. Det ger Svr: V (0, 0, 0) = 3ρ l 4ε 0 b) Svr: E(0, 0, 0) = 0 v symmetriskäl. Lösning problem ) Svr: Spegling ger tt plttns lning är q. b) Ytlningstätheten är ρ S = ε 0 ẑ E(0, 0, 0). Speglingsmetoen ger tt q E(0, 0, 0) = 4πε 0 h ẑ Svr: ρ S (0, 0, 0) = q πh Lösning problem 3 Plttkonenstorformeln är C = ε 0ε r A för en konenstor me yt A, plttvstån och me ett mteril me reltiv permittivitet ε r melln plttorn. ) Här kn vi se konenstorn som två seriekopple konenstorer. Den unre hr kpcitnsen C 1 = ε 0ε r1 πr och en övre hr kpcitnsen C = ε 0ε r πr. Seriekopplingsformeln ger totl kpcitnsen Svr: C = ε 0ε r1 ε r πr (ε r1 + ε r ) C = C 1C C 1 + C b) Här kn vi se konenstorn som två prlllellkopple konenstorer me smm reor πr /. Det ger totl kpcitnsen Svr: C = ε 0(ε r1 + ε r )πr c) Konenstorn kn ses som en prllellkoppling v cirkulär ringr me kpcitnser C = ε 0ε r (r c )πr c r c. Prllellkoppling ger integrlen C = ε 0π R 0 ε r (r c )r c r c

5 Det ger Svr: C = ε 08πR 3 Lösning problem 4 Mgnetisk flöestätheten är B(r c, t) = µ 0i(t) πr c ˆϕ ) Flöet i positiv y le genom slingn är Φ(t) = B(r c, t) ˆϕ r c. et ger EMKn är E(t) = Φ(t) t och ärme Svr: i 1 (t) = µ 0I 0 ω ln() sin(ωt) πr b) Φ(t) = µ 0i(t) π E(t) = µ 0I 0 ω ln() π y ln() sin(ωt) 3 Vi kn integrer över en enklre yt, enligt figur. Det är inget flöe genom en krökt strecke ytn och ärme är flöet et som psserr genom en rö rektngulär ytn me en sin vi (, y) = (, 0) och motståene si vi (, y) = ( 3, 0). Smm räkningr som i ) ger Svr: i 1 (t) = µ 0I 0 ω ln(3) 4πR Lösning problem 5 Φ(t) = µ 0i(t) 4π sin(ωt) ln(3) ) Regeln om högersystem ger en infllne vågens mgnetfält H(z, t) = η0 1 ẑ E(z, t).

6 3 Den infllne vågens strålningsvektor är S(z, t) = E(z, t) H(z, t) och ges v ( S(z, t) = η0 1 E0 cos (kz ωt) + sin (kz ωt) ) ẑ Svr: Den infllne effekten per ytenhet ges v S(z, t) = η 1 0 E 0 b) Vi måste först bestämm en trnsmittere vågens mplitu. Det räcker tt gör ett för en linjärpolriser våg och sen nvän superposition. Antg en infllne plnvåg E A (z, t) = E 0 cos(kz ωt)ˆ. Ansätt en reflekter och en trnsmitter våg: E ra (z, t) = E 0 R cos(kz + ωt)ˆ E ta (z, t) = E 0 T cos(k z ωt)ˆ är R är reflektionskoefficienten, T är trnsmissionskoefficienten och k = k ε r är vågtlet i ielektrikumet. Motsvrne mgnetfält ges v H A (z, t) = η 1 0 E 0 cos(kz ωt)ŷ H ra (z, t) = η 1 0 E 0 R cos(kz + ωt)ŷ H ta (z, t) = η 1 1 E 0 T cos(k z ωt)ŷ är η 1 = η 0 / ε r är vågimpensen för ielektrikumet. Rnvillkoren ger tt E och H är kontinuerlig vi z = 0. Det ger me lösning 1 + R = T η 1 0 (1 R) = η 1 1 T R = 1 ε r 1 + ε r T = 1 + ε r För en infllne våg E B (z, t) = E 0 sin(kz ωt)ŷ blir R och T esmm som ovn. Den trnsmittere vågens strålningsvektor är ärme S(z, t) = η 1 1 T E 0ẑ Det skll gäll tt η 1 1 T E 0 = 4 5 η 1 0 E 0 Det ger ekvtionen för ε r 1 + ε r 3 ε r = 0 Den lösning som uppfyller ε r > 1 ges v Svr: ε r =

7 4 Lösning problem 6 Ölburken är v metll och fungerr som en Frys bur. Det elektrisk fältet är ärme noll inuti ölburken. Superposition ger tt et totl elektrisk fältet inuti ölburken är en summ v fältet från ipolen och fältet från ytlningrn. För punkter inuti ölburken gäller lltså E ipol (r) + 1 4πε 0 S r r r r 3 ρ S(r ) S = 0 Det är enn reltion som gör et möjligt för Bull tt få rätt svr. Bill hr äremot ingen chns. Det går inte tt räkn ut integrlen för punkter utnför burken utn tt vet ρ S (r). Det räcker för Bull tt bestämm E ipol (r) för r = (0, 0, h/). Det elektrisk fältet från en ipol p = pẑ som befinner sig i origo ges v p ( ) E(r) = cos θˆr + sin θˆθ 4πε 0 r 3 Genom lite geometrisk överläggningr kom Bull frm till tt Det ger r = h E ipol (0, 0, h/) = cos θ = 1 sin θ = 1 ˆr = 1 (ˆ + ẑ) ˆθ = 1 (ˆ ẑ) p 16 (3ˆ + ẑ) πε 0 h3 Svr: Bull lämne in rätt svr och svret är 1 r r 4πε 0 r r ρ S(r ) S p = 3 16 (3ˆ + ẑ) πε 0 h3 S

Relevanta dokument

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85) Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF) och F3 (EITF85) Ti och plts: 3 oktober, 8, kl. 4. 9., lokl: MA A H. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson, tel. 4 89 och 733 35958. Tillåtn hjälpmeel: