24 Integraler av masstyp

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "24 Integraler av masstyp"

Lars-Göran Andreasson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter på kurvn I en linjeintegrl (kurvintegrl) v msstyp integrerr vi inte ett vektorfält F:R R utn ett sklärt fält f : R R Vi summerr helt enkelt värden v funktionen f(, y, z) längs kurvn Alltså: Definition En kurvintegrl v msstyp f : R R är en integrl v typen b f(r)ds f(r) r (t) dt där är en regulär kurv med prmeterfrmställning r(t), från t till t b Här är ds r (t) dt kurvelementet Vi påminer om tt R b r (t) dt är kurvns längd Antg tt f(, y, z) endst beror på, vi hr lltså f() Antg också tt är ett intervll på -eln med prmeterfrmställning r(t) (t, ), så får vi r (t) (, ) Det ger b f(r)ds f(t) dt b f(t)dt som lltså är en vnlig enkelintegrl Mn kn därför tolk R f(r)ds som ren Runder f på kurvn Dett är en helt nnn innebörd än kurvintegrlen F dr Iföljndefigur hr vi till vänster en yt över ett intervll på -eln, som är den vnlig tolkningen v en integrl R b f()d Till höger hr vi en yt över en cirkelbåge, som är en kurvintegrl v msstyp R f(r)ds

2 z y Cirkelbågen betecknr vi i R f(r)ds med, och f(, y, z) är höjden i punkten (, y, z) på kurvn Funktionen f är en funktion v tre vribler, men på kurvn hr vi smmnsättningen v ((t),y(t),z(t)) : R R med f : R R, nämligen funktionen f((t),y(t),z(t)) som är en funktion v en vribel prmetern t Eempel () Beräkn kurvintegrlen R p + y + z ds där är sträckn från (,, ) till (, b, c) Lösning: Här hr vi en rät linje, så en prmeterfrmställning är t y bt z ct Då får vi (,, ) vid insättning v t och (, b, c) vid insättning v t Således: eller nnorrlund uttryckt r (t, bt, ct) Vi sk beräkn R b f(r) r (t) dt Funktionen p + y + z är på linjen f(r), dvs f(r) p (t) +(bt) +(ct) p + b + c t Vi slipper t här ty t Vidre ger r (t, bt, ct) tt Insättning i R b f(r) r (t) dt ger nu r (t) (, b, c), så r (t) p + b + c b f(r) r (t) dt p + b + c t p + b + c dt ( + b + c )[ t ] + b + c

3 Svr: R b f(r) r (t) dt +b +c Eempel () Beräkn kurvintegrlen R ye ds där är kurvn ln( + t ),y t + rctn t, t från till Lösning: Vi hr följnde kurv, y Kurvn, från strt ( ) tillmål( ) och funktionen ye hr följnde värden på kurvn: z y Vi sk lltså räkn ut den buktig ren Här är den cylindrisk i meningen tt den är rät i en dimension, och därför kn veckls ut till ett pln utn tt ren ändrs Dett är som beknt inte möjligt med eempel en sfärisk yt

4 Vi sk beräkn R b f(r) r (t) dt, så vi behöver först r (t) och sedn r (t) Prmeterfrmställningen ln(+t ),y t +rctnt, lltså r(t) ((t),y(t)) (ln( + t ), t + rctn t) ger r t (t) ( +t, + +t ) Här är + +t t +t + +t t +t Alltså: r (t) t ( +t ) +( t +t ) {utveckl} t + t + t ( + t ) {kvdrtkompletter} ( + t ) ( + t ) Insättning v ((t),y(t)) (ln( + t ), t + rctn t) ger f(, y) ye ( t + rctn t)e ln(+t ) ( t + rctn t) +t Så integrlen blir ye ds ( t + rctn t) +t dt t dt + rctn t +t +t dt Vi får beräkn de två integrlern vr för sig Vi får först t +t dt ( +t dt t +t )dt [rctnt ln( + t )] rctn ln + π ln ty rctn π Den ndr termen kn beräkns med prtilintegrtion, om rctn t derivers (till +t )och +t integrers (till rctn t): rctn t +t dt [(rctn t) ] rctn t +t dt (rctn) (smm integrl!)

5 Genom tt flyttt smm integrl till vänsterledet får vi rctn t dt + +t rctn t +t dt (π ), lltså rctn t +t dt π 6 π Således hr vi Svr: R ye ds π π ln + ( 8) Ytintegrler v msstyp Vd gäller ytintegrler hr vi endst studert ren v en buktig yt R r u r v dudv smt integrler R F bnds, som oft klls en normlytintegrl Här integrerr vi den komponent v ett vektorfält F som är norml till kurvn ( bn) i punkter på ytn I en ytintegrl v msstyp integrerr vi inte ett vektorfält F: R R, som i R F bnds,, utn ett sklärt fält f : R R Vi summerr helt enkelt värden v funktionen f(, y, z) på ytn Alltså: Definition En ytintegrl v msstyp f : R R är en integrl v typen f(r)ds f(r) r u r v dudv S D där S är en regulär yt med prmeterfrmställning r(u, v), där (u, v) D Här är nturligtvis r u r v dudv ytelementet Eempel 5 (5b) Beräkn ytintegrlen R (y +z)ds där S är den del v S plnet +y +6z som ligger i först oktnten Lösning: Ytn S är plnet +y +6z begränst v,y och z Sätter vi in dess ekvtioner får vi y +6z (dvs y +z ), +6z (dvs +z 6)och +y Om vi tr och y som prmetrr (vi kn också kll dem u och v) såär y y z y en prmeterfrmställning (om vi kllr prmetrrn u och v hr vi lltså u, y v och z u v), där och y begränss v,yoch +y 5

6 y Integrtionsområdet Integrtionsområdet är kn lltså beskrivs som 6, y lterntivt som y, 6 y Vi kn skriv denn även som r (, y, y) Vi sk beräkn R D f(r) r u r v dudv Funktionens värden f(r) på ytn S får vi genom tt sätt in prmeterfrmställningen: y +z y +( y) så Här är r (,, ) och r y (,, ), r r y (,, ), och r r y (,, ) r r r

7 Då hr vi ll ingredienser i R D f(r) r u r v dudv Vi får 6 f(r) r u r v dudv ( )7 6 ddy D ( (6 )ddy (6 )( )d [ 9 +] 6 6 ( 8 + )d 7 9 ( ) 9 Svr: R D f(r) r u r v dudv Eempel 6 () Beräkn ytintegrlen R S ( + y )ds där S är konen z + y då z Lösning: En prmeterfrmställning för konen är r cos t y r sin t z r, med t π och r Denn prmeterfrmställning uppfyller ekvtionen z + y insättning bekräftr det med hjälp v en trigonometrisk ett Med r(r, t) (r cos t, r sin t, r) får vi r r (cost, sin t, ) och r t ( r sin t, r cos t, ), så r r r t (cost, sin t, ) ( r sin t, r cos t, ) ( r cos t, r sin t, r), och r r y r cos t + r sin t + r r Integrnden + y blir + y r, så vi får π f(r) r u r v dudv r r drdt D Svr: R D f(r) r u r v dudv π π[ r ] π 7

Relevanta dokument

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i