Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson"

Britt-Marie Bergman
för 6 år sedan
Visningar:

1 Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x x. x = =

2 lim x + Två problem till vilk fullständig lösningr sk redoviss. Definitionsmängden är x >. Nollställe är x =. Vertikl symptot är y-xeln där y = +. Horisontell symptot är y = där lim y = +. x y = ln x x ln x ln x( ln x) x = x med nollställen x = och x = e. Då y(x) ll x > är y() = givetvis funktionens minst värde. Adms gåv på intervllet ], [ ger tt y(e ) = 4/e är störst värdet till höger om x =. För funktionen som helhet är det dock ett loklt mximum. y = x ln x x ln x x + ln x x = x (ln x ln x + ) Nollställen för y ges v de x för vilk ln x = ± 5. Dett ger inflexionspunkter ty y hr teckenväxling här. Inflexionspunkterns lägen i förhållnde till de lokl extrempunktern ges v tt < 5 < < Låt I() = x e x. Ett lösningsförslg är tt nvänd Theorem i Adms Ch 6.5, A comprison theorem for integrls smt Theorem om p-integrls i smm vsnitt. Vi hr olikheten < x e x < x på intervllet ], ]. Eftersom för > är lltså I() konvergent om >. Vi hr även olikheten x e x e x > på intervllet ], ]. Eftersom divergent för är lltså I() då också divergent. endst om >. x är konvergent x är Därmed är I() konvergent

3 Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen H Avelin, H Usck-Wehlou Tent del - lösningrn ANALYS MN Integrlklkylens huvudsts: Antg tt en funktion f är kontinuerlig på ett intervll I och låt I. vi definierr följnde funktion F : I R: F (x) = x f(t)dt. Då är F deriverbr i I och F (x) = f(x) för ll x I. Alltså, F är en primitiv funktion till f i I: d x f(t)dt = f(x). om G(x) är en primitiv funktion till f(x) i I, lltså G (x) = f(x) för ll x I, då hr vi för ll b I: b OBS: beviset hittr du i Adms, p. 8. f(x) = G(b) G().. Stsern om konvergens v p-integrler och p-serier: stsen om konvergens v p-integrler Om < <, då: ) b) stsen om konvergens v p-serier n p = n= x p konvergerr mot p om p > p divergerr mot oändligheten om p. x p konvergerr mot p om p < p divergerr mot oändligheten om p. n= n p konvergerr om p > divergerr mot oändligheten om p. -Vänd-

4 Mn kn härled stsen om p-serier (br för p > ) ur den om p-integrler (ur stsens först del, med = ) genom tt nvänd integrltestet (sts 8 på sidn 55 i Adms). För p > och < p jämför vi p-serier med motsvrnde p-integrler np x p. n= Mn kn nvänd integrltestet eftersom f(x) = x p är positiv, kontinuerlig och vtgnde över [, ) om p >. För p är det nödvändig villkoret för konvergensen (sts 4 på sidn 5 i Adms) inte uppfyllt för p-seriern, ty lim n n p, lltså är seriern för p divergent (divergent mot oändligheten, ty ll serierns element är positiv).. För tt vgör om serie lltså: n= n n! n n är konvergent eller divergent, nvänder vi kvottestet: n = n n! n n n+ = n+ (n + )! (n + ) n+ = n n! (n + ) (n + ) n n + n+ n = ( n+ n n n= n n! (n + ) n n n n n! = ( n+ n )n n e, = n n! (n + ) n, (vi hr nvänt tt lim )n = e). Eftersom < e <, då gäller det tt e > och n n! kvottestet säger då tt serie n n är divergent. 4. Vi sk bestämm ett polynom p(x) v grd högst, sådnt tt följnde funktion f : R R blir deriverbr för ll x: ; x < f(x) = p(x) ; x ; x >. Vi nsätter p(x) = x + bx + cx + d och sk beräkn, b, c och d. Eftersom ll polynomen är deriverbr i ll x R, räcker det tt koll för vilk värden v prmetrr, b, c och d funktion f är deriverbr i x = och x =. Dett innebär 4 villkor: kontinuiteten v f i x = och x = (eftersom deriverbrhet implicerr kontinuitet - se sts på sidn i Adms), lltså p() = och p() = (jämför högeroch vänstergränsvärden i x = och i x =!) och deriverbrheten v f i x = och x =, vilket betyder tt: högerderivtn v f i x = (lltså högerderivtn v p i x = ) måste vr lik med vänsterderivtn v f i x =. Vänsterderivtn är noll, eftersom f är konstnt för x <. vänsterderivtn v f i x = (lltså vänsterderivtn v p i x = ) måste vr lik med högerderivtn v f i x =. Högerderivtn är noll, eftersom f är konstnt för x >.

5 OBS: Det går br tt beräkn högerderivtn och vänsterderivtn v p enligt vnlig formeln för derivtn v polynomen, eftersom extensionen v p över hel R, d.v.s. polynomet P (x) = x + bx + cx + d är deriverbr i hel R och P (x) = x + bx + c, lltså vänster- och högerderivtor i vrje punkt beräkns också enligt formeln. Dett gäller också för restriktionen v P till intervllet [, ], vilket är p. Vi hr lltså p(x) = x +bx +cx+d och p +(x) = x +bx+c, p (x) = x +bx+c (där p + och p är beteckningr för höger- resp. vänsterderivtor v p) och vi kn skriv ner ll 4 villkor på följnde sätt (villkoren för f:s kontinuitet i två först rder v det först ekvtionssystemet och villkoren för f:s deriverbrhet i två sist rder): p() = p() = p +() = p () = d = + b + c + d = c = + b + c = + b = + b = = b =, vi fick lltså =, b =, c = och d =, vilket ger lösningen till problemet: p(x) = x + x. Här är vi färdig med tt lös uppgiften, men du får gärn funder vidre på följnde: Försök tt vis tt grd är den minst möjlig grden v p för tt uppgiften skulle h en lösning. Vis lltså tt grder och inte duger. Du kn lös uppgiften genom tt ställ upp och lös ekvtionssystemen för polynomen v grd och v grd som vi just gjorde för grd (och dom är överbestämd - vi hr mer ekvtioner än obeknt). Men du kn också skisser en grfik v f och försök tt pss in ett polynom på intervllet [, ]. För grden hittr du lätt p(x) = x + b så tt f utbrett genom p på [, ] blir kontinuerlig, men är funktionen också deriverbr? För grden kn du svr på följnde fråg: kn derivtn v p(x) = x + bx + c h TVÅ nollställen? Motiver. Om grden är, får vi exkt en lösning. Vrför? Om grden är däremot större än, då får vi mer än en (t.o.m. oändligt mång!) lösning(r) till problemet. Vrför? Vilket sort ekvtionssystem får mn då? (se kursen linjär lgebr!).

Relevanta dokument

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel