SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER
|
|
- Christian Lindström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = = I det först fllet är det lätt tt, med hjälp v formeln för geometris summor, övertyg sig om tt svret bör bli : N ( ) ( ) N+ (3) = när N. I det ndr fllet går det ocså tt övertyg sig om tt summn bör bli oändlig: (4) = + ( ) ( ) ( ) + 6 } {{ } } {{ } } {{ } 4 = 4 8 = 8 6 = ( ) 3 } {{ } 6 3 = ( ) 64 } {{ } 3 64 = = n, där n n väljs hur stort som helst om vi br grupperr ihop tillräcligt mång termer. Men hur gör vi med följnde oändlig summor? Eempel 3. (5) eller ( ) =
2 MARTIN TAMM Eempel 4. (6) ( ) = I Eempel 3 går det nppst tt tl om något värde lls på summn. I Eempel 4 n mn, som vi s återomm till senre, summer västerledet till precis vilet reellt tl som helst om mn br lägger ihop termern i lämplig ordning (Se Kpitel 6)! Dess svårigheter hänger ihop med tt ddition v oändligt mång tl inte är något som är definiert i de tlsystem som vi nvänder. Ovnstående resonemng är därför i princip inte legitim, utn bygger på någon sorts intuitiv generlisering, bserd på vår unsper om ändlig summor. I mtemtien n den här typen v släpphänthet få tstrofl onsevenser. Vi n omöjligt ccepter metoder som iblnd leder rätt och iblnd fel, utn tt vi vet vrför. Därför är vi, för tt omm vidre, tvungn tt ersätt den intuitiv idén om oändlig summor med en strit definition: Definition. Ett uttryc på formen definiers som s = lim om dett gränsvärde eisterr. s N = = lls för en serie. Seriens summ s N N N =, = lls för seriens N:te prtilsumm. Mn n lltså säg tt vi återför begreppet oändlig summ på begreppet gränsvärde, som vi redn hr en br teori för. Det är vitigt tt noter tt definitionen fungerr li br för omple tlföljder { } = som för reell, även om vi här huvudsligen ommer tt disuter det sistnämnd fllet. För den llmänn teorin spelr det nästn ldrig någon roll vd är. Smm typer v resonemng fungerr för t e serier v följnde typer: (7), = 5, eller. =7 I fortsättningen formulerr vi de flest stser så tt indeeringen börjr från eller, och överlåter den trivil generliseringen till mer llmänn inde åt läsren. Som en först onsevens n vi noter tt serier lltså inte är summor utn gränsvärden. Med dett synsätt blir det ocså helt nturligt tt viss serier onvergerr (och tt vi då n tl om ders gränsvärden som summor), medn ndr serier divergerr (och därför snr summ). I prtien är det ocså ändmålsenligt tt tl om en series (oändlig) summ om s N ±. Om vi smmnfttr vår eempel ovn så gäller tt serien i Eempel ovn verligen hr summ medn seriens i Eempel är divergent (s = ). Serien i Eempel 3 är divergent och snr summ, eftersom vrnnn prtilsumm blir och vrnnn blir. I Eempel 4 medför definitionen ovn tt seriens summ blir
3 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 3 ln. Dett viss enlst med hjälp v McLurin-utveclingen v ln( + ) (se []): N ( ) + (8) ln( + ) = + ( ) N ( + θ) N+ n +, < θ <. Om vi nu sätter = och låter N, så ser vi tt resttermen går mot och tt högerledet därför onvergerr mot den givn serien, medn vänsterledet är li med ln. Det finns mång eempel på serier som går tt berän et, men det finns ingen systemtis metod för hur dett s görs. Eempel 5. Eempel n lätt generlisers till en godtyclig serie v typen (9) = om <. Observer tt även n vr omplet. Serien i Eempel 5 är ett eempel på en potensserie: () f() = ( ). Potensserier n i viss mening betrts som polynom v oändligt grdtl, och det finns mång liheter med vnlig polynom (men även oliheter). n vr en reell vribel, men det är ännu vnligre (och vitigre) tt studer potensserier där vribeln och även oefficientern får vr omple. Vi återommer till teorin för potensserier i ursen Anlys B. Eempel 6. Ett nnt eempel som vi lätt n berän är serien () ( + ). Vi gör observtionen () vilet ger (3) (( lim ) + N ( + ) = +, ( + ) = lim ( ) N N ( ( N N + Den tillsynes närbeslätde serien (4) = π 6 ) = + )) = lim N ( ) =, N + är det emellertid betydligt svårre tt omm åt (en vnlig metod är tt nvänd Fourier-nlys, men det finns ocså elementär bevis, se t e []). Men oft är inte den vitigste frågn tt et bestämm värdet på en serie. I mång fll räcer det tt vet om serien onvergerr eller divergerr. För tt vgör dett finns det förhållndevis effetiv metoder, och det är frmför llt dess som ommer tt ts upp i de följnde pitlen.
4 4 MARTIN TAMM. Integrler som är generliserde i + Det finns en när nlogi melln serier och generliserde integrler v typen f(). På smm sätt som serier egentligen inte s betrts som summor utn som gränsvärden (v summor), så s generliserde integrler inte heller betrts som integrler utn som gränsvärden (v integrler). För en integrl som är generliserd i + är definitionen Definition. f() = lim f(), R om dett gränsvärde eisterr ändligt. Den generliserde integrlen säges då vr onvergent, nnrs säges den vr divergent. Om gränsvärdet eisterr oegentligt så säger mn oft tt den är li med + eller. Eempel 7. (5) + = lim R + = lim R [rctn ]R = lim R rctn R = π. Den generliserde integrlen är lltså onvergent med värdet π/. I det här fllet n vi tol det som tt ren v det område i först vdrnten som ligger under grfen är ändlig med ren just π/. Eempel 8. (6) + = lim R + = lim R [ln( + )]R = lim ln( + R) =. R Den generliserde integrlen är lltså divergent (= + ), och ren v det område i först vdrnten som ligger under grfen är oändlig. Eempel 9. (7) cos = lim R cos = lim R []R = lim sin R. R Det sist gränsvärdet eisterr vren egentligt eller oegentligt så den generliserd integrlen är divergent (och det är lönlöst tt försö tl om något värde). Eempel. (8) = lim R I det här fllet visr det sig tt gränsvärdet ftist eisterr och är li med π/ (för onvergensen, se Sts 4 i Kpitel 7). Men det går inte tt tol resulttet som någon re. Det här eemplet påminner i mycet om Eempel 4 i Kpitel, men det är betydligt svårre tt utför beräningen v integrlen. En metod (som bygger på nlytis funtioner) gås igenom i Anlys B. Det n ocså påpes tt vi här behndlr integrlen som generliserd endst i oändligheten. Men vd händer egentligen när? Där blir ju integrnden ocså odefinierd? Ftum är tt den här typen v generlisering i stort sett är helt och hållet problemfri, eftersom funtionen ftist går tt utvidg till en funtion som är ontinuerlig även i origo. I fortsättningen ommer vi inte tt uppmärsmm
5 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 5 sådn singulriteter utn behndlr sådn generliserde integrler som om de hde hft ontinuerlig integrnder redn från börjn. Det finns mycet som är gemensmt i metodern för tt vgör onvergens och divergens hos serier och generliserde integrler. Men det finns ocså, som vi ommer tt upptäc, en del sillnder som är värd tt observer. 3. Generell egensper hos serier och generliserde integrler Innn vi går vidre med specifi riterier för onvergens och divergens så n det vr värt tt noter någr generell egensper. Lemm. (α + βb ) = α + β b, Dett är egentligen en trivil tillämpning v ränereglern för gränsvärden v tlföljder på följdern v prtilsummor. Precis som för vnlig gränsvärden s lemmt tols som tt om seriern i högerledet onvergerr så onvergerr även vänsterledet och lihet gäller. Anmärning. Mn n ocså formuler vrinter v lemmt som t e säger tt summn v en onvergent och en divergent serie är divergent, men detljern lämns åt läsren. Det är även värt tt observer tt (den formell) summn v två divergent serier mycet väl n vr onvergent, t e ( (9) ( ) + ( ) + = ( ) + ( ) +) = =. Här är det lltså i vänsterledet inte frågn om tt vi lägger ihop två tl, utn det hndlr om en rent formell opertion på serier. Motsvrnde lemm för generliserde integrler ser ut så här: Lemm. (αf() + βg()) = α f() + β g(). En nnn vitig egensp tt noter är tt en serie endst n onverger om termern går mot noll: Sts. Om är onvergent så följer tt. Dett följer v definitionen v prtilsumm i Definition ovn. Vi n helt enelt sriv = s s och noter tt om serien är onvergent med summn s så blir lim = lim s lim s = s s =. Sts n ftist vr ett nvändbrt riterium för tt vis tt viss serier inte onvergerr. I viss fll då inget nnt verr funger n det vr värt tt ontroller tt termern verligen går mot noll.
6 6 MARTIN TAMM Eempel. Serien! är divergent eftersom () =! = = Mn s t sig för tt tro tt villoret är ett tillräcligt villor för onvergens. T e går termern i serien i Eempel ovn mot noll, utn tt serien för den sull sulle onverger. Det visr sig tt nlogin till Sts för generliserde integrler är fls: Det finns eempel på generliserde integrler som är onvergent, trots tt integrnden inte går mot noll. Ett eempel på en sådn är () sin ( ). I själv veret övergår integrlen efter vribelbytet t = i () sin t t dt, som n viss onverger med smm metoder som vi senre ommer tt möt i Sts 4 i Kpitel Positiv serier En positiv serie är en serie sådn tt för ll. För en sådn serie utgör följden {s N } v prtilsummor en monotont vände tlföljd. Enligt stsen om monoton onvergens finns det därmed br två lterntiv: ntingen är följden v prtilsummor begränsd och serien är onvergent, eller så är den obegränsd och serien divergerr (hr summ + ). Oft nvänder mn därför för positiv serier betecningrn (3) < respetive = för tt mrer om de är onvergent eller divergent. Däremot s mn inte nvänd dem för serier som inte är positiv. Motsvrnde gäller för övrigt även generliserde integrler. Teorin för positiv serier är betydligt enlre än det llmänn fllet. Det visr sig tt om ll termer är positiv så leder vår intuitiv uppfttning om oändlig summor oss för det mest rätt. Dessutom n mn i mång fll nvänd positiv serier för tt dr slutstser om serier som inte är positiv med hjälp v Sts 5 nedn. Hur s mn gå tillväg för tt vgör om en positiv serie onvergerr? Om vi inte n berän serien et så n vi försö hitt en enlre serie tt jämför med: Sts (Jämförelseriterium I). Antg tt b för =,,... () Om b är onvergent så är även onvergent. () Om är divergent så är även b divergent.
7 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 7 Bevis: Dett är en diret följd v disussionen innn stsen: om b är onvergent så finns en övre begränsning B till seriens prtilsummor. Men eftersom N N (4) b B så blir smm B en övre begränsning till prtilsummorn till serien ger tt, vilet onvergerr. Andr hlvn viss på linnde sätt, genom tt tillämp lgen om oliheter för gränsvärden på en först oliheten i (4): Om så följer ju tt även N b. N Anmärning. Ett ändligt ntl termer i börjn v en serie n ldrig påver frågn om onvergens eller divergens. Därför räcer det i princip tt oliheten b är uppfylld för ll N för något visst N. En nnn observtion är tt det räcer tt vis tt cb för någon positiv onstnt c >, eftersom serien b onvergerr om och endst om cb gör det. Eempel. Serien + (5) och är onvergent. Dett beror på tt +, är onvergent enligt Eempel. + Eempel 3. Även serien är onvergent. Dett n i princip ocså viss med Jämförelseriterium I om vi t e observerr tt ( ) + (6), 3 + / ( ) för stor. Dett följer v tt = + 3 ( ) stället jämför med som ocså är onvergent. 3 ( ) 3. Vi n då i 4 Den här tillämpningen änns nse något mindre nturlig än föregående; vi måste själv gör viss överläggningr innn vi n tillämp stsen. Nedn s vi se tt det finns en lång rd med oli vrinter v Sts som pssr för oli situtioner.
8 8 MARTIN TAMM Sts 3 (Jämförelseriterium II). Antg tt <, b för ll stor, och ntg vidre tt lim = A, där < A <. Då gäller tt är onvergent om b och endst om b är onvergent. Beviset följer v Jämförelseriterium I: om tillämpr gränsvärdesdefinitionen på gränsvärdet lim = A med ɛ = A/ så följer tt b (7) A b < A A < < 3 A för N, b för något visst N. Det följer nu tt b (/A) för N, vilet enligt Sts och Anmärning ger tt om onvergerr så onvergerr även b. På linnde sätt ser vi tt 3 Ab, vilet ger tt om onvergerr även. Eempel 4. Avgör om serien + = + + b onvergerr så är onvergent. De dominernde termern i täljre respetive nämnre är respetive. Därför bör serien för stor bär sig åt ungefär som b =. Vi observerr tt (8) b = vilet enligt jämförelseriterium II medför tt om b gör det. Men lltså för., onvergerr om och endst är enligt Eempel divergent, så detsmm gäller Det är vitigt tt både och b förutsätts vr positiv i Jämförelseriterium II, vilet frmgår v följnde Eempel 5. Betrt de båd seriern (9) = ( ), = ) ln ( + ( ).
9 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 9 Eftersom ln( + ) för när, så verr det rimligt tt förmod seriern borde h smm onvergensegensper. Om vi som i Sts 3 betrtr gränsvärdet (3) lim = lim b ( ) ( ) =, ln + ( ) så verr dett stödj vår förmodn. Men den först serien är onvergent medn den ndr är divergent! Det är lltså inte orret tt dr någon slutsts v (3) i det här fllet eftersom seriern inte är positiv. Konvergensen v den först serien s vi vis lite senre i Sts 8. Här s vi br noter en orret tillämpning tt Sts 3 ger tt båd seriern inte n vr onvergent, eftersom sillnden melln dom ftist är en divergent serie. För tt se dett observerr vi tt McLurin-utvecling ger tt ln(+) = +O( 3 ), vilet med = ( ) / ger tt (3) = ( ) ln = ( + ( ) ) = = ( ( )) + O, 3/ där serien i högerledet är positiv för stor och därmed divergent, eftersom vi n nvänd jämförelseriterium II för tt jämför med serien i Eempel.. En nnn rftfull metod för tt vgör om en positiv serie onvergerr är tt jämför med integrler. Eftersom vi hr tillgång till integrllylens huvudsts så är det mycet lättre tt et berän integrler än tt berän summor. Men för tt unn nvänd dett måste vi ocså unn jämför summor med integrler. Den idé som gör dett möjligt är tt vi n uppftt ändlig summor som integrler v trppfuntioner. Om vi speciellt betrtr en positiv och vtgnde funtion f() på intervllet [, [ så är det lätt tt övertyg sig om tt (3) n+ f() f() + f() f(n). Högerledet n ju tols som integrlen över intervllet [, n + ] v den trppfuntion Ψ() f() som definiers v tt Ψ() = f() på [, + [. Se den övre grfen i Figur. Å ndr sidn hr vi ocså tt (33) f() + f(3) f(n) n f(), eftersom vänsterledet n uppftts som integrlen över [, n] v den trppfuntion Φ() f() som definiers v tt Φ() = f() på [, [. Se den undre grfen i Figur. Om vi sätter ihop dess oliheter får vi (34) n+ f() f() + f() f(n) f() + Ur dett ser vi tt prtilsummorn s n = om och endst om integrlern hr därmed bevist n n f(). n f() är uppåt begränsde (då n ) f() är uppåt begränsde (då n ). Vi
10 MARTIN TAMM Figur. Jämförelse melln trppfuntionerns och f():s integrler Sts 4 (Cuchys integrlriterium). För en positiv vtgnde funtion på [, [ gäller tt (35) f() onvergent f() onvergent. Eempel 6. För vil värden på α > onvergerr serien α? Enligt integrlriteriet gäller dett för precis smm α som för vil motsvrnde integrl onvergerr. Men (36) { α = (α ) om α >, om α. Vi drr slutstsen tt serien onvergerr om och endst om α >. (Vi n för övrigt observer tt det är trivilt tt serien divergerr för α, eftersom termern då inte går mot.)
11 Eempel 7. Serien (37) SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER = ln ln = lim N. är divergent eftersom integrlen N ln = lim N [ln(ln )]N =. Noter tt vi här som en vrition hr nvänt integrlriteriet på intervllet [, [ i stället. Integrlriteriet och jämförelseriterium II n vr mycet effetiv i ombintion med Tylor-utvecling: ( Eempel 8. Avgör om serien = sin sin ) är onvergent. Vi börjr med tt Mclurin-utvecl sin() = 3 + O( 5 ), eller med = /: (38) = sin sin = ( ) 3 + O 5. Vi vet nu tt serien för stor bär sig åt ungefär som serien b = 3 som enligt integrlriteriet ovn är onvergent. Det ligger därför när till hnds tt jämför just med denn. Vi observerr därför tt + O ( ) (39) = 3 5 b, 3 vilet enligt jämförelseriterium II medför tt om b gör det. är lltså onvergent. onvergerr om och endst 5. Andr onvergensriterier En fundmentl sts som återför en stor del v teorin för llmänn serier på teorin för positiv serier är följnde: Sts 5. Om onvergerr så onvergerr även. Bevis: Antg först tt serien är reell och låt + = m(, ) och = m(, ). Då gäller tt +,, och = +. Det följer tt (4) = +, eftersom seriern i högerledet är positiv och onvergent enligt jämförelseriterium I. Stsen följer därför v Lemm. Om = u + iv är omple så observerr vi tt u, v, vilet ger tt u och v är onvergent enligt jämförelseriterium I, vrefter den
12 MARTIN TAMM först delen v beviset ger tt u och är onvergent enligt Lemm. Om en serie hr egenspen tt v är onvergent och slutligen tt onvergerr så lls serien bsolutonvergent. Stsen ovn n därför smmnftts som tt bsolutonvergens för en serie medför onvergens. Serier som är onvergent utn tt vr bsolutonvergent lls betingt onvergent. För sådn serier n mycet märlig ser inträff. Vi återommer till dett i Kpitel 6. Ett eempel på ett mer specifit onvergensriterium, men som smtidigt oft är lätt tt nvänd är Sts 6 (Cuchys rotriterium). Antg tt serien är sådn tt (4) lim / = A för något A [, ]. Om A < så är serien bsolutonvergent. Om A > så är serien divergent. Idén bom stsen är mycet enel: förutsättningen säger tt A, dvs serien bär sig åt ungefär som en geometris serie med voten A, som ju är onvergent då A < och divergent då A >. För tt gör resonemnget precist nvänder vi gränsvärdesdefinitionen och jämförelseriterium I: Bevis: Om A < så n vi välj ett tl r så tt A < r <. Välj ett heltl N så stort tt N / < r. Då blir r för N, vilet betyder tt serien n uppstts med en onvergent geometris serie. Påståendet i stsen följer därför v jämförelseriterium I. I fllet A > så ger gränsvärdesdefinitionen i stället tt för ll N för något tl N. Därmed n inte termern gå mot noll och divergensen följer v Sts. Om vi nu återvänder till Eempel 3 så ser vi tt rotriteriet är ett mycet effetivre hjälpmedel än jämförelseriterium I för tt vis onvergens. Det räcer nu tt observer tt ( ) / + (4) / ( + )/ = = < när. Ett nnt eempel där rotriteriet fungerr väl är Eempel 9. Avgör om serien fll tt (43) / = ( ) är onvergent eller ej. Vi ser i dett ( ) < när, e vilet enligt rotriteriet visr tt serien är onvergent.
13 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 3 Å ndr sidn finns det mång fll där rotriteriet inte går tt nvänd. En vnlig typ v fll är då gränsvärdet A ovn blir, och rotriteriet inte ger någon slutsts lls. Dett gäller t e för ll serier v typen α. Ett riterium som hr linnde nvändningsområde som rotriteriet är följnde Sts 7 (d Alemberts votriterium). Antg tt serien för ll och är sådn tt + (44) lim = A för något A [, ]. Om A < så är serien bsolutonvergent. Om A > så är serien divergent. Idén i stsen är precis densmm som i Cuchys rotriterium, nämligen tt gränsvärdesvilloret medför tt bär sig åt ungefär som en geometris serie med voten A. Bevis: Om vi ntr tt A < n vi, precis som i beviset v rotriteriet, välj r så tt A < r < och med hjälp v gränsvärdesdefinitionen hitt N så tt (45) + < r för N, dvs + < r för ll N, vilet för ett godtycligt > N ger tt (46) < r < r <... < r N N+ < r N N. Vi n lltså (bortsett från de N + först termern) uppstt den givn serien med en onvergent geometris serie vilet ger påståendet. I fllet A > ger gränsvärdesdefinitionen i stället tt det finns N så tt för > N så måste (47) + >. Men då är + > för > N, vilet betyder tt följden { } =N är vände och lltså inte n gå mot. Oft är det en sms om mn vill nvänd rot- eller votriteriet. Men i viss fll n det en riteriet ge betydligt enlre räningr än det ndr. Eempel. Vi undersöer onvergensegenspern hos serien hjälp v votriteriet: (48) + (!) ()! = (( + )!) ()! (!) (( + ))! = ( + ) ( + )( + ) = + ( + ) 4 <, med vilet visr tt serien är onvergent. Observer tt det hde gått tt vis smm s med rotriteriet, men då hde vi behövt uppstt (!) / och (()!) /, t e med hjälp v Stirlings formel.
14 4 MARTIN TAMM 6. Betingt onvergent serier En serie som är onvergent men inte bsolutonvergent lls, som tidigre nämnts, betingt onvergent. Ett enelt eempel på en sådn är den så llde lternernde hrmonis serien i Eempel 4. Vi hr ju vist tt seriens summ är ln, men ocså tt motsvrnde serie när vi tr bsolutbeloppen v ll termer (den hrmonis serien i Eempel ) är divergent. Dett är ett eempel på en mer generell typ v betingt onvergent serier: Sts 8 (Leibniz onvergensriterium för lternernde serier). Låt { } vr en positiv vtgnde tlföljd sådn tt då. Då är serien ( ) + onvergent. Eempel. Seriern (49) är båd (betingt) onvergent. Bevis v stsen: Låt s N = ( ) + och ( ) + ln( + ) N ( ) + som vnligt betecn seriens prtilsummor. Vi tittr först på följden {s m } v prtilsummor med ett jämnt ntl termer. Denn följd är monotont vände eftersom (5) s (m+) s m = m+ m+, där vi i det sist steget nvänt tt följden är vtgnde. Följden är positiv eftersom den är vände och s =, men följden är ocså uppåt begränsd, eftersom (5) s m = m + m m = ( 3 ) ( 4 5 )... ( m m ) m } {{ } } {{ } } {{ } }{{} för ll m =,,... Enligt en änd egensp hos monoton tlföljder betyder dett tt följden {s m } onvergerr mot ett tl s som uppfyller s. Men även följden {s m+ } m= v prtilsummor med udd ntl termer onvergerr mot s, eftersom s m+ = s m + m+ s + = s. Ur dett följer tt hel följden {s N } N= onvergerr mot s, vilet bevisr stsen. Som tidigre nämnts hr betingt onvergent tlföljder gns ptologis egensper. För tt illustrer dett definierr vi en omordning η v de positiv heltlen Z + som en bijetiv vbildning η : Z + Z +. Givet en sådn omordning η n vi nu även definier motsvrnde omordning v en godtyclig tlföljd { }, som den ny tlföljden { η() }, och v en godtyclig serie som den ny serien η(). Sts 9 (Riemnns omordningssts). En reell betingt onvergent serie n lltid omordns så tt den ny seriens summ blir li med vilet på förhnd givet reellt tl som helst (eller li med + eller ).
15 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 5 Dett märlig resultt sll jämförs med följnde Sts. Om en bsolutonvergent serie hr summn s så hr även ll omordningr v serien summ s. Så fort vi släpper rvet på bsolutonvergens så blir lltså den ddition som serien ger sig ut för tt representer i llr högst grd ice-ommuttiv! Det är bl därför som det är bättre tt inte se sådn serier som ddition utn helt enelt som gränsvärden. Ingen v ovnstående stser är speciellt svår tt vis. Men för tt förstå idén med Riemnns omordningssts n det ändå vr bättre tt titt på ett onret eempel. Vi vet redn tt den lternernde hrmonis serien ( ) (5) = är onvergent med summn ln. Hur s vi ordn om termern om vi i stället vill tt summn s bli t e? Vi börjr med tt del upp termern i positiv och negtiv, och noterr tt dess bildr divergent serier: (53) (54) = = +, = =. Dett n enelt viss, t e genom tt jämför med den vnlig hrmonis serien i Eempel och nvänd Jämförelseriterium II. Men det följer ocså v generell egensper för betingt onvergent serier: Om den en v seriern (53) och (54) vore onvergent och den ndr vore divergent så sulle ju ders summ (5) ocså vr diverent (vilet vi vet är flst). Om å ndr sidn både (53) och (54) vore onvergent så sulle den vnlig hrmonis serien vr bsolutonvergent, eftersom denn just är sillnden melln (53) och (54) (vilet ocså är flst enligt Eempel ). Om vi vill tt summn s bli men smtidigt se till tt ll termer i båd seriern ommer med så är en nturlig strtegi tt välj en ordning där vi går igenom den övre följden i snbbre tt. Vi börjr därför med tt ploc så mång termer ur denn som behövs för tt ders summ s bli större än två. Det visr sig tt det behövs ått termer: (55) >. 5 Nu är det dgs tt stopp in den först negtiv termen: (56) <. Därefter fyller vi på med positiv termer tills summn blir större än igen: (57) >. 4
16 6 MARTIN TAMM Vi lägger nu till näst negtiv term /4 och därefter ytterligre positiv termer tills summn återigen blir större än : (58) >. 69 Efter ytterligre en negtiv term och tillräcligt mång positiv får vi: (59) >. Det är inte svårt tt se tt om vi fortsätter på dett sätt så ommer summorn tt onverger mot, och vi ommer ocså tt så småningom inluder ll termer i den ursprunglig serien, även om de positiv termern ts med i en betydligt snbbre tt. 7. Oli typer v generliserde integrler I Kpitel hr vi infört generliserde integrler v typen f() som hr mycet gemensmt med serier. Men det finns mång oli typer v generliserde integrler. En integrl n vr generliserd därför tt integrtionsintervllet är oändligt eller för tt integrnden är obegränsd, ntingen i det inre v integrtionsområdet eller då vi närmr oss någon v ändpuntern. Här följer någr eempel: Eempel. (6), e, π tn. Gemensmt för ovnstående eempel är tt de är odefinierde som vnlig integrler, men n ges mening som gränsvärden: = lim ɛ + ɛ [ ] = lim = lim ( ) ɛ + ɛ ɛ =, ɛ + (6) e = lim e = lim R R R [e ] R = lim ( e R ) =, R π tn = lim ɛ + π ɛ tn = lim ɛ + [ ln(cos )] π ɛ = lim ɛ + ( ln(cos( π ɛ) ) =. Men det är inte lls ovnligt tt integrler n vr generliserde på fler sätt t e: (6) e, ( )( ). Grundregeln för sådn generliserde integrler är tt mn s del upp dem i integrler över oli intervll, som vr och en endst innehåller en generlisering (en gränsövergång) i någon v intervllets ändpunter. Och den generliserde
17 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 7 integrlen är onvergent om och endst om ll delrn är det. tol den först integrlen som (63) e = = lim R e + R e = e + lim R e. Således n vi Att vi här vlt tt del upp integrtionsintervllet just i origo spelr ingen roll. Det är lätt tt övertyg sig om tt vi sulle få smm onvergensegensper och numeris värde om vi hde delt i någon nnn punt. När det gäller den ndr integrlen sulle motsvrnde indelning unn se ut så här (64) lim ɛ + / ɛ ( )( ) = + lim ɛ + ɛ / + lim ɛ + / 3/ +ɛ + / + lim ɛ + + 3/ ɛ 3/ + 3/ = lim + lim ɛ + +ɛ R I dess två fll visr det sig tt ll de ingående delrn är onvergent, vilet lltså betyder tt båd de generliserde integrlern i (6) onvergerr. Mn n fråg sig om det inte vore enlre tt t e tol den först generliserde integrlen i (6) som ett end gränsvärde? (65) e = lim R R e. Just i det här fllet sulle det inte spel någon som helst roll; vi sulle få et smm numeris värde med denn definition som med den i (63). Men så är inte lltid fllet. Jämför t e med följnde: (66) är divergent men lim R R =. Det som gör tt vi får lihet i (65) är, grovt tlt, tt integrnden är positiv. Motsvrnde gäller även under något llmännre villor, men vi går inte in på et villor här. Gränsvärdet till höger i (65) lls principlvärdet v den generliserde integrlen. Sådn principlvärden n vr mycet intressnt i mång tillämpningr, men mn bör omm ihåg tt de inte lltid betyder detsmm som motsvrnde generliserde integrler. Hur går mn då tillväg för tt vgör om en generliserd integrl onvergerr i de fll då den inte går tt berän et? Vi n börj med tt onstter tt de båd jämförelseriteriern för serier diret går tt översätt till integrler: Sts (Jämförelseriterium I). Antg tt f(), g() är ontinuerlig och f() g() för [, [. () Om () Om g() är onvergent så är även f() är divergent så är även f() onvergent. g() divergent. 3.
18 8 MARTIN TAMM Sts (Jämförelseriterium II). Antg tt f(), g() är ontinuerlig och < f() f(), g() för [, [, och ntg vidre tt lim = A, där < A <. Då g() gäller tt f() är onvergent om och endst om g() är onvergent. Här hr riteriern formulerts för fllet då integrlern är generliserde i +, men det går lätt tt översätt dem till ndr typer v generliseringr. Vi vstår från eplicit formuleringr, men se Eempel 4 nedn. Bevisen är ocså mycet snrli motsvrnde för serier och utelämns här. sin Eempel 3. Vi undersöer om den generliserde integrlen är + onvergent. Integrlen är generliserd i och eftersom sin är det nturligt tt uppstt integrnden med /( + ): (67) sin + + sin <, + enligt jämförelseriterium I, eftersom vi redn vet från Eempel 7 tt onvergerr. Eempel 4. Vi undersöer om den generliserde integrlen + är onvergent. Integrlen är generliserd i och i närheten v denn punt vet vi tt. Det ligger då när till hnds tt jämför integrnden med / : f() (68) lim + g() = lim + = lim + =, vilet ger tt den generliserde integrlen onvergerr enligt jämförelseriterium II, eftersom vi redn vet från Eempel tt integrlen v / är onvergent. När det gäller rotriteriet och votriteriet så finns det ingen nturlig motsvrighet för generliserde integrler. Däremot n begreppen bsolutonvergens och betingd onvergens lätt överförs på integrler: Sts 3. Om f() onvergerr så onvergerr även f(). Precis som för serier finns det gott om eempel där den först integrlen divergerr, medn den ndr onvergerr. Lisom för serier lls dett fenomen för betingd onvergens. Vi nöjer oss med tt nlyser ett eempel: Sts 4. Den generliserde integrlen En tenist reltivt enel bevismetoden ser ut så här: är betingt onvergent. Bevis: Vi måste både vis tt den generliserde integrlen onvergerr och tt motsvrnde med bsolutbelopp divergerr. Vi observerr först tt det inte spelr någon roll för onvergensen om vi i stället betrtr integrlen, eftersom integrnden är begränsd på [, ]. Vi
19 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 9 Figur. De reor som svrr mot. n nu prtilintegrer: (69) N = [ cos ] N N cos. Den först termen i högerledet onvergerr mot cos när N. Den ndr termen hr ocså ett ändligt gränsvärde eftersom observtionen cos och = < ger tt den är bsolutonvergent enligt Jämförelseriterium I. För tt vis tt = + observerr vi tt sin, vilet ger tt (7) (7) N N N sin = N cos = ln N 4 N [ sin cos ] N 4 N = sin, eftersom den sist integrlen är bsolutonvergent v smm säl som gällde för den sist termen i (69). Ovnstående rgument är nse det tenist enlste för tt vis stsen, men det ger ingen djupre insit i vrför integrlen ftist är betingt onvergent. Här följer ett lterntivt bevis som bygger på observtionen tt integrlen i stsen hr stor liheter med de summor som föreommer i Leibniz riterium för lternernde serier (Sts 8). Alterntivt bevis: Vi börjr med tt noter tt (7) s N = Nπ N = ( ) +, där = π ( )π där vi hr nvänt tt är positiv på [( )π, π] om är udd och negtiv om är jämnt (se Figur ). För tt vis tt följden {s N } N= onvergerr räcer det enligt Leibniz riterium för lternernde serier tt vis tt följden är vtgnde.,
20 MARTIN TAMM Figur 3. En uppsttning nedåt v integrlen v f(). Dett följer lätt genom ett vribelbyte, t = + π: (73) π (+)π sin(t π) = = dt t π ( )π π (+)π π sin t t dt = +. Strängt tget hr vi br vist tt lim eisterr när R ntr värden R π. För tt vis tt gränsvärdet eisterr när R är en godtyclig reell vribel, räcer det tt observer tt π (74) = R + π, där är det störst heltlet med egenspen tt π R. Den först termen i högerledet onvergerr enligt vd vi just vist, medn den ndr går mot noll eftersom (75) π R π π π π = då R. För tt vis tt integrlen divergerr noterr vi tt (76) π+5π/6 π+π/6 ( + )π π 3 = 3( + ). Här hr vi nvänt tt på ll intervll [π + π/6, π + 5π/6], oberoende v, och tt ( + )π på smm intervll, smt tt intervllets längd är π/3. Oliheten i (76) svrr i själv veret mot tt vi hr uppsttt integrlen med ren v motsvrnde retngel i Figur 3. Intervllen I = [π + π/6, π + 5π/6], =,,... är disjunt och är ll innehålln i [, [, vilet medför tt (77) 3( + ) = 3 = + enligt Eempel, vilet visr påståendet. I
21 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 8. Övningr 8.. Serier. Avgör om följnde serier onvergerr eller divergerr: ) d) g) j) m) + b) ( ) ln( + ) e) ( )! h) cos π + ) (ln(!)) n) = + 3 c) ( ) ln( + ) f) ( ) 3! i) ln( + ) ln l) ( ) o) + = ( cos ) ( ) + 4! ln(!) = (ln ) Svr: b, c, e, g, i, j,, m, n, o är onvergent, övrig divergentn. 8.. Generliserde integrler. Avgör om följnde generliserde integrler onvergerr eller divergerr: ) d) g) b) 3 + e) e h) ln( + ) c) ln( + ) ( ) f) ln e / + i) 3 π π π e cos ln() Svr:, b, c, g är onvergent, övrig divergent. Litterturförtecning [] Apostol The Mthemticl Intelligencer, September 983, Volume 5, Issue 3, pp 59-6 [] Persson & Böiers, Anlys i en vribel, Studentlittertur (3:e upplgn).
Induktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys
Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merSerier och potensserier
Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs mer4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar
Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning
ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs mer12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER
122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merRAPPORT. Kontroll av dricksvattenanläggningar 2009/2010. Tillsynsprojekt, Miljösamverkan Östergötland. DRICKSVATTEN
DRICKSVTTEN RPPORT Kontroll v dricsvttennläggningr 2009/2010. Tillsynsprojet, Miljösmvern Östergötlnd. Bgrund Ett behov v ompetensutvecling och smsyn vid ontroll v dricsvttennläggningr hr påtlts v flertlet
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merIntegralkalkyl. Den bestämda integralen. Om Maclaurinutvecklingar. Integralen mäter en area. Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter
Integrlll Anls6 (Grundurs) Instuderingsuppgifter Dess övningr är det tänt du s gör i nslutning till tt du läser huvudteten. De flest v övningrn hr, om inte lösningr, så i vrje fll nvisningr till hur uppgiften
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merPotensserier och potensserieutvecklingar av funktioner
Analys 36 En webbaserad analysurs Analysens grunder Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com Potensserier och potensserieutveclingar
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merNågot om funktionsföljder/funktionsserier
mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merInternetförsäljning av graviditetstester
Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs mer1 Föreläsning 14, följder och serier
Föreläsning 4, följder och serier. Följd I en följd {a n } n= sriver vi istället elementen som f(n). Följden {sin(n)} n= är begränsad, ty sin n. Följden {/ n} n= är onvergent mot 0: { Följden 2n 2 3n }
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merI den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merMonteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.
1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merOm konvergens av funktionsföljder
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merSpelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson
Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2
Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr
Läs merIV. Ekvationslösning och inversa funktioner
Analys 360 En webbaserad analysurs Grundbo IV. Evationslösning och inversa funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com IV. Evationslösning och inversa funtioner 1 (11) Introdution
Läs merMatematik 5 Kap 1 Diskret matematik I
Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet
Läs merNUMOPEN Om kvadratur. Exempel. NUMOPEN VT11 Förel JOp p 1(9) ν c. 10 tentor, Trapetsmetod poäng
Jp p 9 UMPE --7 m vdrtur tentor, rpetsmetod poäng Del p Del 5p / /5 ALLSÅ ör % v tiden ägns trpetsmetoden? - ormler - el - Etrpoltion mtls untioner QUAD, QUADL, QUADGK - Generliserde integrler singulritet
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentmen TEN, HF, mj 8 Mtemtis sttisti Kursod HF Srivtid: 4:-8: Lärre och emintor : Armin Hlilovic Hjälmedel: Bifogt formelhäfte ("Formler och teller i sttisti " och miniränre v vilen ty som helst Förjudn
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merINTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merGör slag i saken! Frank Bach
Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn
Läs merOm användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer
Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer
Läs merFÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis
FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merAddition och subtraktion
Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik
Läs merTATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merGrundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel.
Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s 38-40 2-6.1 (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel
Läs merCHECKLISTA FÖR PERSONALRUM
CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs mer