KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER"

Anton Åberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn typ n n Definition Element i en vdrtis mtris med rdindexolonnindex,,,, nn, säges ligg på digonlen eller huvuddigonlen En digonlmtris är en vdrtis mtris där ll element utnför digonlen är nollor Exempel Någr digonlmtriser,, C, D 9 4 Definition Summn v ll digonlelement i en vdrtis mtris lls mtrisens spår och betecns tr från engelsns trce Exempel Låt Då är tr 7 Definition 4 En vdrtis mtris är en tringulär mtris om mtrisen hr endst nollor på en sidn v digonlen En mtris sägs vr övertringulär uppåt tringulär högertringulär om ll tl under digonlen är och eventuell nollsild tl ligger på eller ovnför digonlen En mtris sägs vr undertringulär nedåt tringulär vänstertringulär om ll tl ovnför digonlen är och eventuell nollsild tl ligger på eller under digonlen Exempel Nednstående mtris är övertringulär nollsild element finns endst ovnför och på digonlen, medn mtrisen är undertringulär: 8 4, 4 8 Definition En enhetsmtris är en vdrtis mtris där ll digonlelement är ettor och ll element utnför digonlen är nollor En enhetsmtris betecns oft med eller E Exempel 4 Någr enhetsmtriser

2 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser,, 4 DEERMNN V EN KVDRSK MRS Determinnter v ndr ordningen Determinnten v en vdrtis mtris det eller och definiers enligt följnde: är ett tl som betecns Exempel Exempel 6 erän följnde determinnter: c b d b c 4 d 4 e f x x g x x x h Svr: d bc b c 8 d e f x x g x x h 4 Determinnter v tredje ordningen Determinnten v en mtris är ett tl som betecns det eller och n beräns med hjälp v Lplceutvecling " Utvecling efter en rd vilen som helst eller en olonn vilen som helst : Utvecling efter först rden

3 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser Utvecling efter en rd eller en olonn Låt D För tt berän determinnten n vi nvänd en v följnde metoder: Utvecling efter rd nummer i i i i D i i i i i i Utvecling efter ollon nummer D dess utveclingr är i underdeterminnten m p pltsen i, som vi får om vi tr bort rd nummer i och olonn nummer från determinnten D ecenschem för i Exempel 7 erän följnde determinnter: 4 b c 4 Lösning: Vi nvänder och jämför två metoder, utvecling efter rd och utvecling efter olonn Metod Utvecling efter rd 6 Metod Utvecling efter olonn där vi hr två -element 6 Det är enlst tt utvecl en determinnt efter den rd eller ollon med fler -element Svr - b c C Determinnter v n:te ordningen

4 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR 4 v nvers mtriser D n n n n nn Utvecling efter en rd eller en olonn n Låt D n n n nn För tt berän determinnten n vi nvänd en v följnde metoder: Utvecling efter rd nummer i i i i n D i i i i Utvecling efter ollon nummer D dess utveclingr är i underdeterminnten m p pltsen i, som vi får om vi tr bort rd nummer i och olonn nummer från determinnten D in n in n n ecenschem för i NVERS MRSER Definition 6 Låt vr en vdrtis mtris v typ n n Mtrisen är inverterbr om det finns en vdrtis mtris, v smm typ n n sådn tt, där är enhetsmtrisen v typ n n En sådn mtris lls en invers mtris till Den invers mtrisen betecns med lltså om mtrisen hr inversen då gäller och SS OM NVERERR MRSER Låt vr en KVDRSK mtris v typ n n Följnde påstående är evivlent är inverterbr

5 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v Rng n Mtrisens reducerde trppstegsform är där enhetsmtrisen n typ n n 4 Mtrisen hr n oberoende rder Mtrisen hr n oberoende olonner 6 det b 7 evtionssystemet X hr precis en lösning för vrje Då är lösningen X b b n 8 evtionssystemet X hr precis en lösning, den trivil lösningen, X nvers mtriser Exempel 8 Undersö om mtrisen är inverterbr b c 4 d e 6 4 f Svr: Mtrisen är inverterbr eftersom det b Mtrisen är NE inverterbr eftersom det c inverterbr reguljär d inverterbr e Ej inverterbr singulär f Ej inverterbr eräning v inversen för en mtris b Låt c d Mtrisen är inverterbr om det dvs d bc nversen n beräns med följnde formel: d b det c Exempel 9 d b evis formeln det c evis: d b Låt Vi behöver vis tt och det c b d b d bc Vi beränr det c d c d bc På smm sätt får vi tt d bc

6 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR 6 v nvers mtriser Därmed hr vi bevist tt det d c b är inversen till Exempel erän den invers mtrisen för nednstående mtriser 4 b 4 c C d D Svr: det, så är mtrisen inverterbr 4 / / 4 / b / 4 4 c C d D eräning v inversen för en n n mtris Guss-Jordn metod lls ocså Jcobis metod för mtrisinvertering Låt vr en inverterbr vdrtis mtris det v typ n n och enhetsmtrisen v smm typ Vi plcerr enhetsmtrisen till höger om och bildr en mtris v typ n n Med elementär rd opertioner ombildr vi till Om ~, så är - nmärning: Om mtrisen inte är inverterbr så är det omöjligt tt ombild till Exempel erän den invers mtrisen för nednstående mtriser 4 b c C

7 7 v rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR nvers mtriser d D e E Svr: 4 Vi delr rd med och rd med / / ~ vå elementer rdopertioner: r*-r, r4*-r / / ~ Härv / / b / / / c / C d Mtrisen D är NE inverterbr e Mtrisen E är NE inverterbr För tt bevis tt är inversen till räcer det tt vis tt, som vi nvänder i nednstående exempel Exempel EVS: Om är en inverterbr mtris och λ ett tl sild från då är t t evis: t t t t Dett medför tt t t Exempel EVS: Om är en inverterbr mtris då är

8 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR 8 v nvers mtriser evis: Vi nvänder ränelgen P Q QP Dett medför tt Exempel 4 EVS: Om en mtris är en produt v två inverterbr mtriser, PQ, då är inverterbr och Q P evis: Vi behöver endst vis tt Q P Dett får vi enelt från Q P PQQ P PP PP Exempel är en vdrtis mtris som stisfierr O b 4 O Vis tt är inverterbr och bestäm Lösning O lltså, det finns en mtris sådn tt Därför är inverterbr och b Svr 4 Exempel 6 Om är en vdrtis mtris sådn tt vis tt är inverterbr och 4 t Lösning: nmärning: Om vi, för en mtris P, visr tt det finns Q så tt PQ betyder dett enligt definitionen för inversmtris tt P är inverterbr och tt Q är inversen till P Vi multiplicerr eftersom Därmed hr vi vist tt är inverterbr och t 4 Exempel 7 KS 8 Mtrisen X stisfierr evtionen X X är en given mtris v typ n n sådn tt och existerr estäm mtrisen X b Om är en vdrtis mtris sådn tt 4 vis tt är inverterbr och bestäm c Om C är en vdrtis mtris sådn tt C vis tt C är inverterbr och bestäm C Lösning: Vi multiplicerr evtionen X X från vänster med som existerr enligt ntgnde och får

9 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR 9 v nvers mtriser X X X Den sist evtionen multiplicerr vi från höger med och får X existerr enligt ntgnde b Dett visr tt är inverterbr och 4 c Eftersom C hr vi C C C C lltså C C C Därför är C är inverterbr och C C C n Exempel 8 Om är en vdrtis mtris sådn tt vis tt är inverterbr och bestäm Svr: n Exempel 9 Om är en inverterbr mtris EVS tt om och endst om evis: i Vi ntr först tt vi multiplicerr med från höger och nvänder nu multiplicerr vi med från vänster och nvänder lltså vi hr bevist implitionen * ii Nu ntr vi tt vi multiplicerr med från höger vi multiplicerr med från vänster Nu hr vi bevist ** De två implitioner, * och ** ger tillsmmns evivlensen

10 rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser Exempel EVS: Om är inverterbr då är båd eller båd singulär ice inverterbr och inverterbr evis: i Först ntr vi tt är inverterbr Då gäller Vi hr srivit istället för * * Visr tt vi hr srivit som en produt v två inverterbr enligt ntgnde i mtriser och därför är ocså inverterbr Vi n även berän inversen [ ] ii Nu ntr vi tt är inverterbr Då gäller lltså n srivs som en produt v två inverterbr enligt ntgnde ii mtriser och därför är ocså inverterbr Vi hr genom i och ii bevist tt är inverterbr om och endst om är inverterbr Med ndr ord: Mtrisern och är ntingen båd inverterbr eller båd singulär ice inverterbr Exempel nt tt givn inverser existerr och bevis följnde lihet: evis: Metod Vi bevisr påståendet genom en följd v evivlent liheter: Vi inverterr båd leden inversern finns enligt ntgndet först multiplicerr vi från höger med vi multiplicerr från vänster med * Den sist liheten * är snn och eftersom den först liheten är evivlent med den sist, hr vi bevist vår påstående Vi n bevis smm påstående diret men, den här gången, får vi mer omplicerd beräning med diret metoden Metod Vi bevisr påståendet diret genom tt vis tt högerledet är inversen till

11 v rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR nvers mtriser Vi multiplicerr Vi ersätter med Därför vd sulle beviss

Relevanta dokument

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio