Kan det vara möjligt att med endast

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kan det vara möjligt att med endast"

Linda Jonsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp v 4-formtet. n det vr möjligt tt med endst tre vikningr v ett kvdrtiskt ppper få frm gyllene snittets proportioner, utn tt nvänd något verktyg, inte ens en penn? yllene snittet är en mycket intressnt proportion. Inte br mtemtiker är intresserde v det gyllene snittet utn också konstnärer och filosofer m fl. ess förhållnde är så mgnifik och därför hr den fått en så briljnt benämning. n kn se det gyllene snittet på mång ställen i nturen och i konstformer från ll jordens hörn. är människor letr efter vckr proportioner, då hittr mn det gyllene snittet. et är en v de finste proportioner som fötts v nturen. yllene snittet kn definiers i bred mening. g tr här br upp en definition v uklides. är mn delr en given sträck, skll förhållndet melln den större delen och den mindre delen vr smm som förhållndet melln hel sträckn och den större delen. el sträckn orio Torimoto är Origmi ster vid ippon Origmi ssocition och bostt i Sverige sedn 97 en här proportionen är inte lls svår eftersom den är tillverkd v nturen. turen gör inte svår sker. Tvärtom, nturen gör det enklst möjlig. r människn krånglr till det. et gäller också irrtionell tl ( 2 ) som nvänds för tt beskriv 4-formtet, som jg beskrev i den förr rtikeln. n kn skrämm folk och ge intryck v tt gyllene snittet är svårt. är är någr exempel på hur mn kn uttryck det gyllene snittet så tt det kn skrämm folk. et gyllene snittet uttryckt som ett tl kn beteckns med den grekisk bokstven ϕ och är då det numerisk värdet v kvoten ovn. enn kvot kn skrivs ϕ = eller ϕ = ång delen ort delen ång : ort = el (lång + kort) : ång Vrför får mn intrycket v tt gyllene snittet är svårt? ärför tt det uttrycks med tl. Siffror kn vr mycket br verk- ÄR R 4 35

2 tyg för tt studer eller bevis mtemtisk smbnd, men de hr sin begränsning. Siffrorn är tillverkde v människn. åt oss för en stund glömm verktyget siffror och t frm ett nnt verktyg, bilden eller det geometrisk verktyget. å blir plötsligt det gyllene snittet så enkelt. et är som trolleri. Vi börjr med det vnlig 4-formtet i bild. är är förhållndet melln sidorn : 2, vilket beskrevs i rtikeln i ämnren nr 2 (Torimoto, 2002). ild. är en kvdrt. är 4-formtet. =. ormtet i bild 2 hr ett förhållnde melln den kort och den lång sidn som är just det gyllene snittet. 2 ild 2. är en kvdrt. delr kvdrten mitt itu. =. P yllene snittet är inte svårt när mn ser det som bild. ftersom mn ser 4-formt vrje dg känner mn tt den formen är när. På smm sätt känner mn tt gyllene snittet inte är svårt därför tt det finns gemenskp med 4-formtet. Vi sk studer gyllene snittet lite till. g berbetr bild 2 lite mer och får figuren i bild 3. ild 3. u sk du titt på punkt. et är den mgisk punkten och du kn ldrig glömm den Punkt delr sträckn som gyllene snittet. lltså är den lång sträckn och är hel sträckn (lång + kort). Vrför blir det så? et kn du funder på själv. u kn kontkt mig om du inte kn red ut vrför. I figuren i bild 3 hr vi tt ( betyder vinkel) P = därför tt P och är prllell, = därför tt tringeln är liksidig, vilket ger tt P =. g tr bort lite från bild 3 och får bild 4. P e två formern hr mycket lik egenskper, eller hur? et går tt hitt fler likheter. Om vi hlverr 4-formtet får vi 5. ess båd formt är likformig. ett gäller för ll -formten, de hr smm proportioner. Se på rektngeln i bild 2 vrs sidor hr det gyllene snittets proportion. är hr vi tt rektnglrn P och P är likformig och lltså hr smm proportioner. ild ÄR R 4

3 Vik ett kvdrtiskt ppper u sk vi t frm en liksidig femhörning med hjälp v det gyllene snittets proportion. Vi behöver inte nvänd någr verktyg utn sk br vik ppper. Skp en liksidig femhörning x ild 5. et finns sex bilder men det är br tre vikningr. en sist bilden visr de viklinjer som är resulttet. ess är precis desmm som i bild 4 och vi hr således funnit punkten som delr kvdrtens sid i gyllene snittets proportioner. är den lång sträckn. är den kort sträckn och är hel sträckn och vi hr tt = (eller hellre : = : ) Vd som är svårt eller enkelt är oklrt. Är svår sker verkligen svår? tt t frm gyllene snittet med origmi är inte lls svårt, eller hur? n viker ett kvdrtiskt ppper br tre gånger utn tt nvänd något verktyg, inte ens en penn. n undervisr inte mycket om gyllense snittet i skoln, vrken i pn eller i Sverige. g tycker tt om mn undervisr på ett br sätt så kn det pss redn på högstdiet. et är inte lls svårt utn mycket roligt och gör tt mtemtiken blir intressnt. Viknvisning lvikning ergvikning Vik frm Vik bk Vik och vik tillbk x Vik så punktern möts Vänd Vrid modellen örstor ild 6. örhållndet melln digonler och sidor i en liksidig femhörning är precis det gyllene snittet. ång sträckn = X = = ort sträckn = X = el sträckn (lång + kort) = kvdrtens sid = = Vd är det vi vet?. tt v femhörningens hörn,, finns på det kvdrtisk ppprets mittlinje,. 2. Smtlig hörn utom finns på det kvdrtisk ppprets sidor. 3. n liksidig femhörning hr följnde egenskper. en är symmetrisk ll sidor är lik lång örhållndet melln digonler och sidor i en liksidig femhörning är precis det gyllene snittet. u fortsätter vi med det kvdrtisk pppret i bild 5 där vi konstruert gyllene snittets proportioner längs en sidn. örj med tt vänd och vrid pppret. x ÄR R 4 37

4 ild 7. örnet är smm som tidigre i bild 5.. örj med tt vik sidn så tt hörnet träffr. Vik tillbk. å får vi viklinjen vid punkten. 2. Vik sedn sidn, så tt träffr och träffr. Vik tllbk. Viklinjen delr kvdrten mitt itu. 3. Vik en gång till längs och vik tillbk båd ppperslgren vid. å får vi punkten och där är lik lång som. Sträckn är en v femhörningens sidor. Vd hr vi gjort? o, vi hr förflyttt den lång sidn i gyllene snittet,, till mitten v sidn. u fortsätter vi med de ndr sidorn i femhörningen. Vi börjr med sidn. Se bild 8 näst sid. 4. Vik pppret vid så tt träffr sidn, där är punkten. Vik längs så tt vi får viklinjen. u hr vi tt är lik lång som och när vi öppnr vikningrn hr vi som den ndr sidn i femhörningen. 5. ör likdnt på ndr sidn. å hittr vi punkten och tredje sidn,, i femhörningen. u återstår endst tt hitt punkten. ftersom femghörningen är symmetrisk så finns på kvdrtens mittlinje,. 6. ortsätt med tt vik in pppret längs och. enom tt vik upp på och på mittlinjen hittr vi punkten och då får vi en femhörningen genom vik in återsående delr v kvdrten. u är det färdigt! ITTRTUR Torimoto,. (2002). Origmi. ämnren 29 (2), ÄR R 4

5 ild 8 ÄR R 4 39

Relevanta dokument

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde