ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM"

Lars-Olof Engström
för 7 år sedan
Visningar:

1 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r, e r i pln är en ortonormerd bs om följnde villkor är uppflld: 1 bsvektorern är prvis vinkelrät ortogonl bsvektorern hr längden 1, dvs e r 1, e r 1 oh e r z 1 Då är tillhörnde Oz ett ortonormert kortre ON koordintsstem ONkoordintsstemet klls även det krtesisk koordintsstemet efter frnske mtemtiker Rene Desrtes Alltså, i ett ortonormert sstem är lrn vinkelrät oh enhetssträkorn hr smm längd -eln z-eln Betekning: Bsvektorer i ett ON-sstem betekns oftst i r, r j oh k r men även som ovn e r, e r, e r z eller e r 1, e r, e r 3 Längden v en vektor oh vståndet melln två punkter i ett ON-Sstem Det är väldigt enkelt tt gör vståndsberäkningr i ett ON-koordintsstem vi kn nvänd Ptgors sts på rätvinklig tringlr Avståndsberäkning i plnet O med ON-koordintsstem: r v r är längden v vektorn v, Om A 1, 1 oh B, är två punkter i plnet med ON koordintsstem då är

2 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet AB 1, 1 oh längden blir, enligt ovnstående formel, AB 1 1 Avståndet melln två punkter A oh B som vi beteknr da,b är smm som längden v vektorn AB dvs da,b AB 1 1, som vi kn även se direkt Ptgors sts på nednstående figur da,b AB 1 1, På liknnde sätt beräknr vi längden v en vektor i 3D-rummet med ett ON koordintsstem r Låt v,, z r Då är vektors längd v z Om A 1, 1, z1 oh B,, z är två punkter i 3D-rummet med ett ON koordintsstem då är AB 1, 1, z z1 oh längden blir, enligt ovnstående formel AB 1 1 z z1 r Nednstående grf förklrr formeln v z r v d z z Därför r v z

3 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 3 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Eempel: Bestäm längden v vektorn v r 1,,3 b Bestäm vståndet melln punktern A1,1,1 oh B -1,, 1 Bestäm den enhetsvektor som hr smm riktning som u r 1,, Lösning: v r z le b Först AB,, z z,1, Därför da,b AB 1 5 le u r z Den enhetsvektor som hr smm riktning som u r är 1 r 1 1 r u 1,,,, u r r u u Svr: v r 1 b da,b 5 1 r 1 r u 1,, u 1 Cirkel oh irkelskiv Definition En irkel är mängden v ll punkter i ett pln som ligger på smm vstånd, irkelns rdie till en given punkt irkelns entrum I ett ortonormert koordint sstem kn vi nge en irkel med rdien r oh entrum i punkten C,, som mängden v ll punkter P, som stisfierr ekvtionen r Cirkelns ekvtion: r

4 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Definition En sluten öppen irkelskiv med rdien r oh entrum i punkten C är mängden v ll punkter i plnet vrs vståndet till C är r < r 1 r C, P, Alltså, för vrje punkt P, på en sluten irkelskivn med rdien r entrum i punkten C,, gäller r i ett ON koordint sstem O 1 3D motsvrigheter till irkel oh irkelskiv är sfär oh klot Sfär oh klot Definition En sfär är mängden v ll punkter i 3D-rummet som ligger på smm vstånd, sfärens rdie till en given punkt sfärens entrum Sfärens ekvtion i ett ON sstem: r z z Definition Ett slutet öppet klot med rdien r oh entrum i punkten C är mängden v ll punkter i 3D-rummet vrs vståndet till C är r < r

5 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 5 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Slutet klot i ett ON koordintsstem: z z r Öppet klot i ett ON koordintsstem: z z < r Ellips Definition En ellips är mängden v ll punkter i ett pln vrs vstånd till två givn punkter, brännpunktern, hr en konstnt summ d 1 d konstnt Ellipsen med medelpunkten,, oh hlvlrn, b som ligger på resp -eln hr ekvtionen 1 b Brännpunktern om >b är F 1 -, oh F, där b Anmärkning: Ellipsen med medelpunkten,, oh hlvlrn, b som är prllell på resp -eln hr ekvtionen 1 b

6 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 6 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ÖVNINGAR: Uppgift 1 A1,1,1 oh B,3, är två punkter i rummet Beräkn längden v vektorn AB b Bestäm två enhetsvektorer en med smm oh en med motstt riktning som är prllell med AB Bestäm två vektorer med längden 5 som är prllell med AB d Bestäm mittpunkten S på sträkn AB Lösning: AB 1,,3 AB b v r 1 AB 1,,3 AB v r AB 1,,3 AB 1 v r 5 w 1 5v 1 1,,3, 1 v r 5 w 5v 1,, z1 z d Mittpunkten på sträkn AB är S,,,,,, Uppgift Beräkn omkretsen v tringeln ABC, där A1,1,1, B 1,,5, C3,,3 b Använd Ptgors sts för tt bestämm om ABC är en rätvinklig tringeln Bestäm tngdpunkten T för tringeln ABC Lösning: Först, vektorn AB,3, Avståndet melln A,B är d A, B AB 3 5 AC,1, d A, C AC 1 3 BC,, d B, C BC 1 3 Därmed blir omkretsen b Ptgors sts gäller för en tringel om oh endst om tringeln är rätvinklig Sidn AB är störst i vårt fll Tringeln är INTE rätvinklig eftersom d Tngdpunkten för tringeln ABC är

7 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 7 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet 1 T 3 Svr: Omkretsen 3 3, Uppgift 3 Bestäm en punkt P sådn tt 1 3 z1 z z ,,,, b Nej T,, AP PB CD där A1,1,1, B,,3, C,,1 oh D 1,, är fr punkter i rummet Lösning: Låt P,,z Vi beräknr vektorern AP 1, 1, z 1 PB,,3 z CD 1,,3 substituerr i ekvtionen AP PB CD oh får 1, 1, z 1,,3 z 1,,3 Efter förenkling hr vi,,z, 1,,3 Härv 1, oh z3 Till slut 1/, 1 oh z1/ Därmed P1/, 1, 1/ Svr: P1/, 1, 1/ 7, 3 3 Uppgift Låt A,1,1, B,3, Bestäm den punkt P som delr sträkn AB i förhållndet 3:7 Lösning: Låt P,,z Från 3 AP AB 1 hr vi 3, 1, z 1,,3 1 Härv -, -1 6/1 oh z-1 9/1 eller, 16/1 oh z19/1 Svr: P, 16, 19 Uppgift 5 Rit den irkel vrs ekvtion i ett ortonormerd O-koordintsstem är

8 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Tips Använd kvdrtkomplettering oh skriv irkeln på formen r Lösning: vi grupperr termer oh -termer oh kvdrtkompletterr Om vi jämför ovnstående med irkelns ekvtion på formen r ser vi tt, 1 oh r 9, dvs, 1 oh r 3 Cirkeln hr entrum i punkten C-,1 oh rdien r 3 Uppgift 6 Rit elipsen vrs ekvtion är Lösning: För tt skriv ellipsen på formen 1 delr vi med ekvtionen b 3 oh får 3 som vi kn skriv på följnde sätt 1 / 3 Om vi jämför med 1 får vi: b oh b / 3 b / 3 Alltså hr ellipsen hlvlrn oh b /

9 9 v 1 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Uppgift 7 Härledning v ellipsens ekvtion Vi betrktr en ellips som hr brännpunktern F 1 -, oh F, som består v de punkter vrs vstånd till två brännpunktern, hr en konstnt summ d 1 d Vi inför betekning * b Bevis tt ellipsen hr ekvtionen 1 b Lösning: Låt P, vr en punkt på ellipsen Från d 1 d hr vi Vi flttr en rot till den vänstr sidn oh kvdrerr båd sidor : Efter förenkling hr vi Vi delr med oh igen kvdrerr båd leden för tt eliminer roten oh därefter förenklr ekvtionen : ] [ ] [ Enligt * inför vi betekningen b oh får ellipsens ekvtion

10 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet b Om vi delr med 1 b b b hr vi ellipsens ekvtion på formen

Relevanta dokument

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT. Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild