Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)"

Stefan Gustafsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt är konstnt.. Cirkelns ekvtion Cirkeln med centrum i (,) och rdien = hr ekvtionen ( ) +( ) = Cirkelns ekvtion på prmeterform: = p + cos t = q + sin t, där 0 t π (*) Anmärkning : Med hjälp v "trigonometrisk ettn " ser vi tt punkter definierde med (*) uppfller p q + = cos t + sin t = dvs ( p) + ( q) = som är ekvtionen för cirkeln med rdien och centrum i punkten (p,q). Anmärkning : Cirkelns ekvtion definierr två eplicit funktioner ( och därmed två funktionskurvor) som vi får genom tt lös ut ur ovnstående ekvtion: ( q) = ( p) = q ± ( p ) Övre hlvcirkeln ges v = q + ( p) medn = q ( p) är ekvtionen för nedre hlvn Härledning v cirkelns ekvtion: Låt P(,) vr en punkt på cirkeln med centrum i (,) och rdien =. Eftersom vståndet melln P och C är lik med hr vi: ( p) + ( q) =. Om vi kvdrerr åd leden får vi ( = p) + ( q). v 3

2 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Anmärkning 3. Endst en punkt(0,0) stisfier ekvtionen + =0 Anmärkning. Ingen punkt stisfierr ekvtionen + = De inre punkter (med rndpunkter) uppfller villkoret ( ) +( ) För de ttre punkter (med rndpunkter) gäller ( ) +( ) Uppgift. Rit cirkeln + + =. Lösning: Vi kvdrtkompletterr + + = (+) +( ) = (+) +( ) = 9 Om vi jämför med cirkelns ekvtionen ( ) +( ) =, ser vi tt =, = h = 9 eller =, = h = 3 Alltså C(-,) är centrum och =3 är cirkelns rdie. =3 C(-,,) - O Uppgift. Rit följnde punktmängd i -plnet v 3

3 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor A= {(,) Svr: R : + 9 } ===========================================================. ELLIPS Definition. En ellips är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till två givn punkter, rännpunktern, hr en konstnt summ. Ellipsen med centrum i origo (0,0) och hlvlrn, hr ekvtionen + =. Om = 0 får vi = ±. Om = 0 får vi = ±. Aren v en ellips vrs hlvlr är och är A = π. Om F (,0) och F (,0) är ellipsens rännpunkter då gäller c c = c 3 v 3

4 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Anmärkning 5: Ellipsen med centrum i origo, + =, kn nges med två ekvtioner på prmeter form: = cos t = sin t, där 0 t π (**) ( Med hjälp v "trigonometrisk ettn " ser vi tt + = cos t + sin t = dvs punkter som uppfller (**) stisfierr ellipsens ekvtion + = ) Anmärkning 6: Ekvtionen + = definierr två eplicit funktioner: = ± ( + tecken för övre hlvn ) Härledning v ellipsens ekvtion: Vi etrktr en ellips som hr rännpunktern F ( c, 0) och F (c, 0) som estår v de punkter vrs smmnlgd vstånd till två rännpunktern, hr en konstnt summ d + d =. Låt P(,) vr en punkt på ellipsen. Från d + d = hr vi ( + c) + + ( c) + = Vi flttr en rot till den vänstr sidn ( + c) + = ( c) + och kvdrerr åd sidor : ( + c) + = ( c) + + ( c) + Efter förenkling hr vi ( c) + = c Vi delr med och igen kvdrerr åd leden ( för tt eliminer roten) och därefter förenklr ekvtionen : v 3

5 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor + [( c) + ] = c c + [ c + c + ] = c c ( c + c + = c + c c ) + Vi inför eteckningen + = Om vi delr med + =. = ( = c ) c och får ellipsens ekvtion hr vi ellipsens ekvtion på formen Därmed hr vi härlett ellipsens ekvtion + = Anmärkning 7: Ett sätt tt få ekvtion för en ellips är tt i cirkelns ekvtion + = gör vrielte =/, =/ (med ndr ord ändrr vi skln på respektive -eln). Vi får + =. Anmärkning 8: Om ellipsens centrum ligger i punkten C(p,q) då hr ellipsen följnde () + () =. Smm ellipsen kn skrivs på prmeterform: = p + cos t = q + sin t, där 0 t π (***) p q ( Med hjälp v "trigonometrisk ettn " ser vi tt + = cos t + sin t = dvs ( p) ( q) punkter som uppfller (***) stisfierr ellipsens ekvtion + = ) Anmärkning 9: Endst en punkt(0,0) stisfierr ekvtionen Anmärkning 0: Ingen punkt stisfierr ekvtionen + + =. = Uppgift. En ellips hr ( den horisontell) hlveln = 5 och rännpunkter F ( 3,0) F (3,0). Bestäms ellipsens ekvtion. och 5 v 3

6 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Lösning: Från smndet = c hr vi = 5 9 = 6. Ellipsens ekvtion + = lir då + = 5 6 Svr: + = 5 6 Uppgift 3. Rit elipsen vrs ekvtion är + = Lösning: För tt skriv ellipsen på formen + = delr vi med ekvtionen + 3 = och får 3 + = som vi kn skriv på följnde sätt + = / 3 Om vi jämför med + = får vi: = = och = / 3 = / 3 Alltså hr ellipsen hlvlrn = och = / Uppgift. Bestäm tngenten till elipsen vrs ekvtion är + = 3 i punkten P= (, ) där >0. Lösning: Vi sustituerr = i ellipsens ekvtion: + = 3 = = ±. Eftersom, enligt ntgnde >0 tr vi =. Vi deriverr åd leden i implicit definierde funktionen + = 3 och får 6 v 3

7 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor + = 0 =. I punkten P= (,) hr vi ( P) =. Tngentens ekvtion lir: ( ) = ( ) eller efter förenkling + = 3. Svr: + = 3 Uppgift 5. Vis tt ellipsen + = hr ren A = π. Lösning: Från + = får vi två eplicit funktioner = ± = ±. Vi estämmer ren v fjärde delen v ellipsen som ligger i först kvdrnten. A = d = = π / 0 π / 0 0 sin cosv cosv dv v cosv dv π Sustitutionen = sin v där 0 v ger d = cosvdv Gränser: = 0 sin v = 0 v = 0 π = sin v = sin v = v = π / π / π + cosv sin(v) = cos v dv = dv = [ v + ] 0 0 sin( π ) sin(0) = ( / ) (0 ) = π + + π π =. / 0 [( / + 0) (0 + 0) ] Från A π = hr vi A = π (vilket skulle eviss). 7 v 3

8 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Uppgift 6. Rit följnde punktmängd i -plnet ) M = {(, ) R : + } Svr: Området egränss v ellipsen + =. Från = och = får vi hlvlrn = och =. Uppgift 7. Rit följnde punktmängder i -plnet ) M = {(, ) R : + } ) M = {(, ) R : + < } c) M 3 = {(, ) R : + = } d) M = {(, ) R : +, > 0} e) M 5 = {(, ) R : + <, 0} f) M 6 = {(, ) R : +, 0} Svr: ) ) Rndpunkter tillhör inte mängden M 8 v 3

9 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor c) d) B o C A e) B o C f) B o C A A ================================================================ 3.HYPERBEL Definition. En hperel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till två givn punkter, rännpunkter hr en konstnt skillnd. ( Ekvtionen för en hperel härleder vi på liknnde sätt som för en ellips.) Två oft förekomnde är följnde ekvtioner: = (hr skärningspunkter med -eln) och =. (hr skärningspunkter med -eln) Anmärkning : Ekvtionen = definierr två eplicit funktioner: = ± ( + tecken för övre hlvn ). Härv får vi definitionsmängden 0 dvs (, ] [, + ) och två sned smptoter enligt formlern: T e för = + och hr vi 9 v 3

10 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor k = limm f ( ) + = lim + = lim = n = lim( f ( ) k ) = lim = lim [ ]= lim + + = = lim == lim konstnt). + + = 0 ( nämnrenn går mot, täljren = Därmed är = + 0 en sned smptot till = + d då. På smm sätt får vi tt = är en vänster smptot till = + då. På liknnde sätt visr vi tt = + och = är sned smptoter ( vänster respektive höger) till nedre delen v hpereln. Om F ( c,0) och F ( e,0) är hperelns rännpunkter då gäller + = c Anmärkning. Ekvtionen = 0 k kn fktorisers och skrivs som ( )( + ) = 0. och därmed punkter som stisfierr ekvtionen ligger på två linjer 0 v 3

Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor = 0 h + =0. Uppgift 8. Rit hpereln 8 =8. Lösning: För tt estämm och skriver vi ekvtionen på formen =. Vi delr ekvtionen 8 = 8 med 8 och får = = h =.

11 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor = 0 h + =0. Uppgift 8. Rit hpereln 8 =8. Lösning: För tt estämm och skriver vi ekvtionen på formen =. Vi delr ekvtionen 8 = 8 med 8 och får = = h =. Därför är = hperelns smptoter. Vi ritr smptoter och, med hjälp v en rektngel ( se ilden), skisserrr vi hpereln. ======= =========== =========== =========== ========== ========== =========. PARABLER Här är två oft förekomnde ekvtioner: = ++ Eempel 3. ( där 0 ) och = + + ( där 0 ) ======= =========== =========== =========== ========== ========= v 3

12 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Definition. En prel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given linje, strlinje (direktris) och en given punkt rännpunkt är lik. Anmärkning 3: Prelns verte, ( toppunkt) ligger i mitten v vinkelrät sträckn från rännpunkten till direktrisen. Den red linjen i figuren ovn är prelns strlinje, F etecknr rännpunkt (fokus) och V är prelns verte (toppunkt) Uppgift 9. Bestäm ekvtionen för den prel vrs vstånd till linjen är lik. = och punkten F (, 0) Lösning: Q(-,) P(,) (-,0) O F(,0) Låt P(,) vr en punkt på preln. Avståndet melln P och direktrisen ( strlinjen) är d = + medn vståndet melln P och rännpunkten är d = ( +. ) Från d = d + = ( ) + (kvdrer åd leden) v 3

13 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor ( + ) = ( ) = + + = Svr: = Uppgift 8. Bestäm ekvtionen för den prel som hr rännpunkten F(,5 ) och verte V(.6). Lösning: Genom rännpunkten F(,5 ) och verte V(.6) går prelns smmetrilinje medn direktrisen (strlinjen) skär vinkelrät smmetrilinjen i den punkt D som uppfller krvet tt vståndet melln D och V är lik med vståndet melln V och F. Direktrisens ekvtion är därmed = 7. (Se figuren.) För en punkt P(,) på preln hr vi d = d ( 7 ) = ( ) + ( 5 (kvdrer åd leden) ) (7 ) = ( ) 9 + = = Svr: = = ( 5) v 3

Relevanta dokument

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt