SF1625 Envariabelanalys

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "SF1625 Envariabelanalys"

Lennart Gustafsson
för 6 år sedan
Visningar:

1 SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys

2 Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen (se cnvs) SF1625 Envribelnlys

3 Modul 5: Integrler Integrler. Vi kommer tt gör följnde denn veck: En intuitiv idé om vd begreppet betyder En precis definition v vd begreppet betyder Huvudstsen: integrl och derivt är invers opertioner Beräkn integrler med primitiv funktion Tekniker: substitution, prtiell integrtion, prtilbråk SF1625 Envribelnlys

4 Intuitiv idé om integrler I mång tillämpningr uppkommer situtionen tt mn behöver summer termer som består v ett funktionsvärde gånger längden på ett intervll. Exempel: Are = höjd x bredd Arbete = Krft x väg Mss = Densitet x storlek Om höjden, krften eller densiteten är konstnt får mn i dess exempel br två tl gånger vrndr. Men om de är vribl är situtionen mycket svårre och leder frm till integrlbegreppet. SF1625 Envribelnlys

5 Intuitiv idé om integrler Vi sk nu säg vd f (x) dx betyder. Först intuitivt: Grundläggnde idé: Vi ntr tt f är begränsd på [, b]. Vi delr sedn in [, b] i ett ntl små delintervll och väljer en punkt i vrje delintervll. På vrje delintervll tr vi sedn funktionsvärdet i punkten vi hr vlt och multiplicerr det med delintervllets längd. Sedn summerr vi. Ungefärlig definition: Om vi genomför ovnstående idé med jättesmå delintervll så får vi integrlen f (x) dx. SF1625 Envribelnlys

6 Definition v begreppet Vi kommer nu till den precis definitionen v f (x) dx. Ant tt f är begränsd på [, b]. Välj punkter x 0, x 1, x 2,..., x n så tt = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b En sådn mängd punkter klls för en prtition v [, b]. Låt oss döp prtitionen vi hr gjort till P. Den delr in [, b] i delintervll. Längden v det först delintervllet är då x 1 x 0, låt oss beteckn den längden med x 1. På smm sätt är längden v delintervll nummer j x j = x j x j 1. Det störst v tlen x j klls för normen v prtitionen, betecknd P. Dvs P = mx 1 j n x j SF1625 Envribelnlys

7 Definition v begreppet Om f är kontinuerlig på [, b] så hr f ett minst och ett störst värde på vrje slutet delintervll. Ant tt för j = 1,..., n det minst värdet på delintervll j nts i punkten l j och det störst värdet i punkten u j. Bild den Lägre Riemnnsummn L(f, P) och den övre Riemnnsummn U(f, P) enligt L(f, P) = n f (l j ) x j j=1 = f (l 1 ) x 1 + f (l 2 ) x f (l n ) x n. n U(f, P) = f (u j ) x j j=1 = f (u 1 ) x 1 + f (u 2 ) x f (u n ) x n. (Om f inte är kontinuerlig men i ll fll begränsd så kn vi i konstruktionen ovn byt ut minst och störst värdet på vrje delintervll mot infimum och supremum och gör smm sk.) SF1625 Envribelnlys

8 Definition v begreppet Definition. Om det finns exkt ett tl I sådnt tt vi för ll prtitioner P hr tt L(f, P) I U(f, P) så säger vi tt f är integrerbr på [, b] och tlet I är då integrlen v f över [, b], dvs I = f (x) dx. SF1625 Envribelnlys

9 Allmänn Riemnnsummor När vi bildde lägre och övre Riemnnsummor så vlde vi punkter i vrje delintervll så tt f blev så liten respektive så stor som möjligt. Mn kn också välj ndr punkter. Då får mn en llmänn Riemnnsumm: Givet en prtition P v [, b] väljer vi en punkt i vrje delintervll. Dvs för j = 1,..., n väljer vi en punkt c j så tt x j 1 c j x j Låt C beteckn mängden {c 1,..., c n } och bild summn R(f, P, C) = n f (c j ) x j j=1 = f (c 1 ) x 1 + f (c 2 ) x f (c n ) x n. Dett klls för Riemnnsummn till f med vseende på prtitionen P och punktern C. SF1625 Envribelnlys

10 Allmänn Riemnnsummor Observtion. För en given prtition P gäller för vilket vl v C som helst tt L(f, P) R(f, P, C) U(f, P) Om f är integrerbr måste därför när n och P 0. lim R(f, P, C) = f (x) dx SF1625 Envribelnlys

11 Gör en egen Riemnnsumm Uppgift. Skriv upp en konkret Riemnnsumm till integrlen 1 0 x 2 dx SF1625 Envribelnlys

12 Ett villkor för integrerbrhet Observtion. Om mn genom vl v prtition kn få skillnden melln övre och lägre Riemnnsumm hur liten som helst, så måste f vr integrerbr. Dvs Om det för vrje ɛ > 0 finns en prtition P v [, b] sådn tt så är f integrerbr på [, b] U(f, P) L(f, P) < ɛ SF1625 Envribelnlys

13 Sådn funktioner är grntert integrerbr Sts. Om f är kontinuerlig på [, b] så är f integrerbr på [, b]. Sts. Vi kn utvidg integrlbegreppet till styckvis kontinuerlig funktioner och om f är styckvis kontinuerlig på [, b] så är f integrerbr på [, b]. SF1625 Envribelnlys

14 Tänk på integrler som summor Mn kn lltså tänk på integrler som (gränsvärden v) summor: f (x) dx n f (c j ) x j j=1 = f (c 1 ) x 1 + f (c 2 ) x f (c n ) x n. Med hjälp v det tänket så känns mång egenskper hos integrler självklr: SF1625 Envribelnlys

15 Enkl egenskper (sts 3 i boken) 1. (f (x) + g(x)) dx = 2. kf (x) dx = k f (x) dx f (x) dx + g(x) dx c c 3. f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx b 4. f (x) dx g(x) dx om f g i [, b] 5. f (x) dx f (x) dx (tringelolikheten) SF1625 Envribelnlys

16 Uppgift Uppgift. Bestäm en Riemnnsumm R, med fyr delintervll, som pproximerr integrlen t dt Förklr vrför din Riemnnsumm ger ett närmevärde till ln 3. SF1625 Envribelnlys

17 En ny medelvärdessts Medelvärdesstsen för integrler. Om f är kontinuerlig på [, b] så finns ett tl c melln och b sådnt tt f (x) dx = f (c)(b ). Tlet f (c) klls medelvärdet v f på [, b]. SF1625 Envribelnlys

18 Bevis v medelvärdesstsen för integrler Bevis för medelvärdesstsen för integrler. Då f är kontinuerlig och [, b] slutet och begränst måste f nt ett störst värde M och ett minst värde m när x vrierr i [, b]. Då måste (rit figur!) m(b ) f (x) dx M(b ) 1 Om vi dividerr med b ser vi tt f (x) dx ligger b melln m och M som är båd är funktionsvärden till f. Med stsen om mellnliggnde värden får vi tt det finns ett c melln och b så tt 1 b Det är precis vd vi skulle bevis. f (x) dx = f (c). SF1625 Envribelnlys

19 Huvudstsen Hittills hr vi br sysslt med tt slå fst vd begreppet integrl står för och härlett någr enkl egenskper hos dett begrepp. Vi hr inte försökt räkn ut integrler. Mn kn förstås gör det genom tt t gränsvärdet v summor. Det är jobbigt. Som tur är finns enklre sätt. Det bygger på huvudstsen som säger tt derivt och integrl är motstt opertioner och tt mn därför kn räkn ut integrler genom tt nti-deriver, eller hitt primitiv funktion. SF1625 Envribelnlys

20 Huvudstsen Huvudstsen (the fundmentl theorem of clculus). Antg tt f är kontinuerlig på [, b] Då gäller: DEL 1. Funktionen F(x) = till f, dvs F (x) = f (x). x f (t) dt är en primitiv funktion DEL 2. Om G är någon primitiv funktion till f, så är f (t) dt = G(b) G(). Bevis finns i boken och i filmen. SF1625 Envribelnlys

21 Huvudstsen Beräkn dess derivtor: A. B. C. D. d dx x 0 sin t dt d u sin v dv du 0 d dx 0 x sin t dt d x sin t dt dx 0 SF1625 Envribelnlys

22 Bestämd och obestämd integrler Observer tt om f är integrerbr på [, b] så gäller tt f (x) dx är ett reellt tl. Ovnstående klls en bestämd integrl. Vi inför en obestämd integrl också, utn gränser. Den hr en nnn betydelse: f (x) dx betyder: en godtycklig primitiv funktion till f. SF1625 Envribelnlys

23 Huvudstsen Beräkn dess integrler: A. B. C. D /2 1/2 x dx x 2 dx 1 x dx 1 1 x 2 dx SF1625 Envribelnlys

Relevanta dokument

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En