ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

Transkript

1 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som ett komplement till den ordinrie kurslitterturen till en kurs i envribelnlys vid Uppsl universitet. Grovt räknt är kompendiet uppdelt i fem delr: funktioner, derivt, integrler, serier och ordinär differentilekvtioner. Tnken är tt dess sk täck llt mteril som är relevnt för kursen i fråg. Istället för tt lägg fokus på flertlig exempel på vrje del hr jg försökt lägg fokus på förklringr för tt ök förståelsen för ämnet och dess koncept, oft med ett fåtl väl vld exempel för tt belys viktig detljer. Min förhoppning är tt dett kompendium sk kunn komm någon person till hjälp med någon del v envribelnlys, vilket jg ser som en viktig grund för fortstt mtemtik och en stor del v nturvetenskpen.. Funktionsbegreppet Innn vi kn börj studer funktioner måste vi först bestämm vd vi menr med en funktion. Begreppet mängd kommer för oss vr väldigt viktigt. Mängder är väldigt viktig och nvänds i nästn ll områden v mtemtiken. Mängder hr bstrkt och precis definitioner men för oss räcker det tt tänk sig en mängd som en väldefinierd smling objekt. Det får inte finns någon tvetydighet huruvid ett visst objekt ingår i mängden eller inte... Grundläggnde koncept. Definition.. En funktion f från en mängd D till en mängd V är en regel som till vrje element x D (läses x i D) ssocierr ett och endst ett element f(x) V. Vi skriver dett som f : D V. D klls för definitionsmängd och V klls för värdemängd. Om mn hr en given funktion mrkerr vi dess definitionsmängd genom tt skriv D f och smm för värdemängden. Noter tt fler element i D f kn vbilds på smm element i V f och tt två funktioner, även om de hr smm formel, är olik om ders definitionsmängder är olik. Från och med nu kommer både definitionsmängd och värdemängd vr delmängder v de reell tlen, R, för ll funktioner. Dett betyder tt de är en smling v reell tl, knske till och med ll. Om inget nnt nges nts dess vr så stor som möjligt där funktionen kn definiers. Att en mängd A är en delmängd v en mängd B skrivs som A B. All funktioner vi kommer håll på med är definierde på intervll v reell tl eller kombintioner v fler intervll. Vi beskriver dess mer ingående med en definition. Definition.. Givet två mängder A R och B R kn vi bild den ny mängden A B vilket är mängden v ll tl x så tt x A eller x B smt mängden A B vilket är mängden v ll tl x så tt x A och x B. Ett öppet intervll (, b) är mängden v ll tl x R så tt < x < b.

2 DAN STRÄNGBERG Ett slutet intervll [, b] är mängden v ll tl x R så tt x b. Vi kn även kombiner de olik typern så tt vi får till exempel [, b) Exempel.3. Intervllet (0, ) är ll tl 0 < x <. (0, ) (, 5 ] är ll tl 0 < x < smt ll tl < x 5. En viktig egenskp som ll intervll hr är tt de sitter ihop. Mn kn gå från en änden v intervllet till ndr utn tt stöt på någr hål... Grfer. Om vi hr en funktion f kn vi titt på dess grf. Grfen till f är ll punkter i plnet, som skrivs R, som uppfyller ekvtionen y = f(x), lltså ll punkter (x, y) R där y = f(x). En llmän punkt (x, y) i plnet ligger lltså på grfen v f om x D f och y = f(x). Att kunn skiss och föreställ sig grfer till funktioner kn underlätt väldigt mycket i problemlösning och grfern till viss stndrdfunktioner bör mn lär sig utntill. Att kunn visuliser ett problem kn ge ledtrådr till vd mn kn gör för tt lös det eller hjälp till tt se vd som skiljer ett problem från ett nnt. Figur. Grfen till funktionen f(x) = x.3. Speciell funktioner. Viss funktioner hr speciell egenskper som hr egn nmn och gör undersökndet v dess funktioner enklre. Definition.4. En funktion f klls () jämn om för vrje x D f även x D f och f( x) = f(x) (tänk f(x) = x ) () udd om för vrje x D f även x D f och f( x) = f(x) (tänk f(x) = x) (3) växnde (strikt) om x < x f(x ) f(x ) (f(x ) < f(x )) (4) vtgnde (strikt) om x < x f(x ) f(x ) (f(x ) < f(x )) Funktioner som uppfyller 3 eller 4 klls gemensmt för monoton funktioner.

3 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 3 Tnkeväckre: Vilk värden kn en udd funktion nt i x = 0? Glöm inte tt visuliser hur funktioner med dess egenskper kn se ut! Om vi hr ett pr funktioner f, g kn vi skp ny funktioner med hjälp v de vnlig räknesätten. Definition.5. Låt f, g vr funktioner. För vrje tl x som ligger i båd funktionerns definitionsmängder bildr vi funktionern () (f + g)(x) = f(x) + g(x) () (f g)(x) = f(x) g(x) (3) ((fg)(x) ) = f(x)g(x) f (4) (x) = f(x), om g(x) 0 g g(x) (5) (f g)(x) = f(g(x)), om x D g och g(x) D f Återigen, glöm inte tt försök visuliser hur dess ny funktioner ser ut i termer v de gml..4. Inversfunktioner. Definition.6. Låt f : D V. En inversfunktion till f är en funktion f : V D så tt (f f)(x) = x och (f f )(y) = y för ll x D och y V. Om f hr en invers klls f inverterbr. Om f hr en inversfunktion så hr den endst en sådn. Det följer även v definitionen tt inversefunktionen till f är f. Noter tt f inte är smm sk som f! Vd krävs för tt en funktion sk h en invers? Eftersom en funktion br får nt ett end värde för vrje element i sin definitionsmängd måste f uppfyll krvet f(x ) = f(x ) x = x eller det ekvivlent x x f(x ) f(x ) för nnrs skulle inversen behöv vbild ett och smm element på fler olik element. Dett klls tt f är injektiv eller ett-till-ett. Om f är definierd på ett intervll är f injektiv om och endst om f är strikt monoton. Sts.7. Låt f vr en inverterbr funktion. Då gäller: () x = f (y) y = f(x) () (f ) = f (3) Grfen v f är reflektionen i linjen y = x v grfen v f Det kn händ tt en funktion inte hr en invers på hel sin definitionsmängd men kn h det om mn begränsr definitionsmängden till en mindre mängd. Dett är vd mn gör med de trigonometrisk funktionern för tt hitt ders inverser. Till exempel hr sin x ingen invers på R men om vi begränsr oss till intervllet ( π, π ) blir den injektiv och vi kn då hitt en invers. Dessutom kn funktioner vr sin egen invers. Exempel.8. f(x) = x är sin egen invers eftersom (f f)(x) = f(f(x)) = f( x ) = x..5. Trigonometrisk funktioner. Enhetscirkeln ges v ekvtionen x + y =. Den består v ll punkter (x, y) R som hr vståndet till origo. Låt P t vr den punkt på enhetscirkeln som befinner sig på vståndet t från (, 0) längs cirkeln (inte det rk vståndet), räknt moturs om t > 0 och medurs om t < 0. Då hr P t koordinter (cos t, sin t). Dett definierr de båd funktionern cos och sin. Enligt denn definition ger lltså cos t x-koordinten v P t och sin t ger dess y-koordint. Direkt ur denn definition följer ett ntl viktig och nvändbr egenskper:

4 4 DAN STRÄNGBERG Egenskper.9. cos t + sin t =, klls för trigonometrisk ettn cos( t) = cos t, så cos är en jämn funktion sin( t) = sin t, så sin är en udd funktion cos( π t) = sin t sin( π t) = cos t cos(π t) = cos t sin(π t) = sin t cos(t + πn) = cos t, för ll heltl n sin(t + πn) = sin t, för ll heltl n De sist två egenskpern säger tt både cos och sin är π-periodisk. Med lite mer rbete kn mn även vis följnde två formler: Egenskper.0. sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t Härifrån följer ndr nvändbr formler. Om s = t får vi till exempel formlern för dubbl vinkeln. Med hjälp v sin och cos kn vi även definier en tredje funktion enligt tn t = sin t cos t. Dett är en π-periodisk funktion vilket kn viss genom tt nvänd formlern för summn v två vinklr för sin och cos..6. Gränsvärden. Definition.. En funktion f går mot gränsvärdet L när x går mot, skrivs lim x f(x) = L, om för vrje ε > 0 finns ett δ > 0 så tt om 0 < x < δ så gäller x D f och f(x) L < ε. Dett betyder tt om vi väljer x tillräckligt när så ligger f(x) när L och ju närmre x är till desto närmre är f(x) till L. Noter tt vi behöver öppn intervll runt, pg den strikt olikheten i definitionen. Sådn intervll klls för omgivningr v. Mn kn också definier gränsvärdet från endst ett håll, höger eller vänster. Vi skriver dett som lim f(x) = L respektive lim f(x) = L. Noter tt eftersom definitionen v gränvärde tr x + x båd sidorn v i nspråk smtidigt så gäller tt lim f(x) lim f(x) = L och lim x x + f(x) = L smtidigt. x För tt en funktion sk h ett gränsvärde i måste den lltså h både höger- och vänstergränsvärde och dess måste vr lik. Denn egenskp kn nvänds för tt vis tt en funktion hr eller inte hr ett gränsvärde i en viss punkt. Exempel.. Signumfunktionen ges v sgn(x) = x och sgn(0) = 0. Dett betyder tt den x ntr värdet för positiv x, för negtiv x och ntr värdet 0 i x = 0. Därför hr vi lim sgnx = x 0+ lim x 0 sgnx = vilket betyder tt gränsvärdet i x = 0 inte existerr eftersom höger- och vänstergränsvärden inte är lik. Det finns ett ntl räkneregler för gränsvärden som kn beviss direkt ur definitionen och som är viktig tt håll koll på. Vi formulerr dett i vår först sts. Sts.3. Låt lim f(x) = L, lim g(x) = M och låt k vr en konstnt. Då gäller x x () lim (f + g)(x) = L + M x () lim (f g)(x) = L M x

5 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 5 (3) lim (fg)(x) = LM x (4) lim kf(x) = kl x (5) lim x ( f g ) (x) = L M, om M 0 (6) lim x (f(x)) m n = L m n, för heltl m, n där L > 0 om n är jämnt och L 0 om m < 0 (7) Om f(x) g(x) för ll x i en omgivning v så gäller L M Dess gäller även för höger- och vänstergränsvärden. Mn kn säg tt gränsvärden fungerr som mn vill. Exempel.4. lim C = C där C är en konstnt. x lim x = x Med hjälp v dett och den tidigre stsen kn vi direkt hitt gränsvärdet v ll rtionell funktioner så länge det inte är ett nollställe till nämnren. Exempel.5. x + x lim x x 4 = lim x x(x + ) (x + )(x ) = lim x x x = 4 = Här är ett nollställe till nämnren men vi kn förkort bort det nollstället och kn då hitt gränsvärdet. Följnde sts är en direkt följd v sist delen v förr stsen och kn nvänds för tt hitt en del mer komplicerde gränsvärden Sts.6 (Krmstsen). Låt f(x) g(x) h(x) i en omgivning v utom möjligen i. Låt vidre lim f(x) = lim h(x) = L. Då gäller också lim g(x) = L. x x x ( ) Exempel.7 (Uppgift 78, sid. 7 i [?]). Vd hr funktionen g(x) = x sin för definitionsmängd? Vd är lim x sin? ( ) x x 0 x ( ) Funktionen x sin är definierd för ll x 0, lltså är D g = (, 0) (0, ) x För ( tt ) hitt gränsvärdet noterr vi tt sin x för ll x, lltså gäller x x sin x. Vidre hr vi lim x = lim x = 0 så vi kn nvänd krmstsen med x ( ) x 0 x 0 ( ) f(x) = x, g(x) = x sin, h(x) = x och vi får då lim x sin = 0. x x 0 x Slutligen sk vi titt på sk vi titt på vd som händer om x ± eller om f(x) ± när x. För dett ges två definitioner som bygger på den vnlig. Definition.8. lim f(x) = L om för vrje ε > 0 det existerr ett tl R så tt om x > R så x gäller x D f och f(x) L < ε och motsvrnde för. Definition.9. lim x f(x) = om för vrje positivt tl B det existerr ett δ så tt om 0 < x < δ så gäller x D f och f(x) > B och motsvrnde för På smm sätt som tidigre hr vi både höger- och vänstergränsvärden. Exempel.0. lim x 0 x =. lim x 0 x = men lim x 0+ x = så lim x 0 x existerr inte. Däremot gäller

6 6 DAN STRÄNGBERG. Kontinuitet och derivt Vi sk nu titt närmre på ett pr viktig typer v funktioner, nämligen de kontinuerlig och de deriverbr funktionern... Kontinuitet. En funktions värde i en punkt behöver inte vr smm som dess gränsvärde i den punkten, funktionen behöver inte ens vr definierd i gränsvärdet. Om en funktions gränsvärde i punkten är smm som dess värde i punkten så sitter funktionen ihop i den punkten, vi behöver inte lyft pennn för tt rit den punkten när vi ritr upp grfen. Dett leder oss till en definition. Definition.. En funktion klls kontinuerlig i en inre punkt D f om lim x f(x) = f(), nnrs klls funktionen diskontinuerlig i. Den klls kontinuerlig i en inre punkt eftersom definitionen v gränsvärde kräver en omgivning v, även fst denn kn vr hur liten som helst. Alltså kn mn lltid hitt tl på vrder sid om som fortfrnde ligger i definitionsmängden. På smm sätt som vi hr högeroch vänstergränsvärden kn en funktion också vr höger- och vänsterkontinuerlig. Dett sker genom tt helt enkelt byt ut gränsvärdet i definitionen mot motsvrnde. Definition.. En funktion f där D f = [, b] klls kontinuerlig i en vänsterändpunkt om den är högerkontinuerlig där och den klls kontinuerlig i en högerändpunkt om den är vänsterkontinuerlig där. Vi behöver en sist definition innn vi kn gå vidre. Definition.3. En funktion klls kontinuerlig på ett intervll I om den är kontinuerlig i vrje punkt i intervllet. En funktion klls kontinuerlig om den är kontinuerlig i vrje punkt i sin definitionsmängd. Nu är vi redo tt titt närmre på vilk funktioner som är kontinuerlig. I princip kn mn säg tt en funktion är kontinuerlig om mn kn rit upp dess grf utn tt lyft pennn men det finns viss undntg och det är viktigt kunn skilj på när en funktion är kontinuerlig och när den inte är det. Exempel.4. Funktionen f(x) = kn inte rits utn tt lyft pennn men den är ändå kontinuerlig eftersom punkten x = 0, som är den end där gränsvärdet kn skilj från funktionsvärdet x enligt förr föreläsningen, inte tillhör dess definitionsmängd. En funktion med en definitionsmängd som inte sitter ihop kn h en grf som inte sitter ihop men ändå vr kontinuerlig. Däremot måste grfen till en kontinuerlig funktion sitt ihop om dess definitionsmängd sitter ihop. Alltså måste en kontinuerlig funktion som är definierd på ett intervll h en grf som sitter ihop. All funktioner vi stött på tidigre är kontinuerlig på sin respektive definitonsmängder, utom signumfunktionen som inte är kontinuerlig eftersom dess gränsvärde i x = 0 inte ens existerr men dess värde är definiert till 0 (noter dock tt den skulle vr kontinuerlig om mn vlde tt inte definier den i x = 0). Alltså är ll polynom och rtionell funktioner, sin, cos, tn, x ll kontinuerlig. Följnde sts säger hur mn kn skp fler kontinuerlig funktioner om mn redn hr två. Sts.5. Låt f, g vr kontinuerlig i punkten x =. Då är även följnde funktioner kontinuerlig i x = : () f + g () f g

7 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 7 (3) fg (4) kf, för ll konstnter k R (5) f, om g() 0 g (6) (f(x)) n, om f() > 0 för jämn n (7) f g, om g är kontinuerlig i och f är kontinuerlig i g() Ovsett om g är kontinuerlig eller inte i x = men lim g(x) = L och f är kontinuerlig i L så x gäller ( ) lim f(g(x)) = f(l) = f lim g(x) x x Vi kn med ndr ord bryt ut kontinuerlig funktioner ur gränsvärden. Den sist egenskpen i stsen ovn kn då ses som ett specilfll v denn egenskp. Om en funktion är odefinierd eller diskontinuerlig i en punkt men kn definiers om så tt den blir kontinuerlig i säger vi tt f hr en borttgningsbr diskontinuitet i. Dett händer om lim f(x) = lim f(x) = L men f() L eller om / D f. Vi kn då skp en ny funktion x + { x f(x), för x F (x) = Denn funktion är då kontinuerlig och klls för en kontinuerlig L, för x = utvidgning v f. Exempel.6. Funktionen f(x) = + x3 är inte definierd för x = som är en borttgningsbr diskontinuitet eftersom vi x hr + x 3 x = ( + x)( x + x ) = x + x ( + x)( x) x x + x och lim = 3. Vi kn då definier funktionen x x + x 3, för x F (x) = x 3, för x = som då är en kontinuerlig utvidgning v f. Om däremot lim f(x) lim f(x) hr vi ingen möjlighet tt hitt en kontinuerlig utvidgning. Då hr f en hoppdiskontinuitet. Vi kn till exempel inte hitt någon kontinuerlig x + x utvidgning till f(x) = x i x = 0. Kontinuerlig funktioner definierde på slutn intervll hr någr väldigt viktig egenskper som vi formulerr i två stser. Sts.7 (Extremvärdesstsen). Låt f : [, b] R vr kontinuerlig. Då existerr punkter p, q [, b] så tt f(p) f(x) f(q) för ll x [, b]. f hr lltså ett minst värde och ett störst värde som den dessutom ntr. I synnerhet kn f inte väx mot oändligheten på [, b]. Noter tt stsen fllerr om f är diskontinuerlig i någon punkt i intervllet eller om intervllet inte är slutet. Sts.8 (Stsen om mellnliggnde värden). Låt f : [, b] R vr kontinuerlig och låt c vr ett tl så tt f() < c < f(b). Då existerr ett tl x (, b) så tt f(x) = c.

8 8 DAN STRÄNGBERG Den här stsen visr tydligt på liknelsen tt en funktion som är kontinuerlig på ett intervll kn rits utn tt lyft pennn eftersom den säger tt vrje tl melln f() och f(b) nts. Om vi nvänder extremvärdesstsen kn vi skärp stsen om mellnliggnde värden något så tt den visr tt ll tl melln funktionens störst och minst värde nts. Innn vi går vidre gör vi en sist definition som vi kommer nvänd oss v senre. Definition.9. En funktion f definierd på ett intervll [, b], utom möjligtvis i ett ntl punkter = x 0 < x < < x n = b i [, b] klls bitvis kontinuerlig på [, b] om det för vrje i existerr en funktion F i som är kontinuerlig på intervllet [x i, x i ] och som uppfyller F i (x) = f(x) för ll x (x i, x i )... Derivering. En linje i plnet kn skrivs som y = kx + m, där k är linjens lutning. Om vi hr två punkter (x 0, y 0 ) och (x, y ) på linjen kn vi få frm k enligt k = y y 0 = y x x 0 x. Antg nu tt vi hr grfen till en kontinuerlig funktion så tt y = f(x). Om vi väljer två tl x 0, x får vi två punkter (x 0, f(x 0 )), (x, f(x )) på grfen. Linjen som går melln dess två punkter hr då lutningen k = f(x ) f(x 0 ), eller om vi skriver x = x 0 + h så får vi k = f(x 0 + h) f(x 0 ) = x x 0 x 0 + h x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h f(x 0 + h) f(x 0 ) Om vi nu låter h 0 så tt x x 0 får vi lim vilket, om dett gränsvärde h 0 h existerr, ger oss lutningen på linjen som är tngent till grfen i punkten (x 0, f(x 0 ). Dett värde klls då grfens lutning i x 0. Vi kn nvänd dett för tt definier en ny funktion. Definition.0. Låt f vr en kontinuerlig funktion. Derivtn v f är en funktion f som uppfyller f f(x + h) f(x) (x) = lim för ll punkter x D f där gränsvärdet existerr. Om h 0 h f (x) existerr säger vi tt f är deriverbr i x. Om f är deriverbr i vrje punkt på ett intervll I säger vi tt f är deriverbr på I. Om f är deriverbr i vrje punkt i D f säger vi tt f är deriverbr. En punkt där en funktion inte är deriverbr klls singulär. f är lltså en funktion som i vrje punkt ger lutningen v f:s grf i den punkten. f mäter hur snbbt f förändrs. Det kn händ tt även f är en kontinuerlig funktion. Då klls f kontinuerligt deriverbr och vi kn deriver en gång till. Vi får då en funktion f som klls ndrderivtn till f. I llmänhet kn vi skriv n:te derivtn som f (n). Andr skrivsätt är dn f dx n och Dn f. Exempel.. Låt f(x) = x 3 + x 4x + 5. Då är f ((x + h) 3 + (x + h) 4(x + h) + 5) (x 3 + x 4x + 5) (x) = lim = h 0 h (x + h) 3 x 3 (x + h) x 4(x + h) ( 4x) 5 5 = lim + lim + lim + lim = h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h x 3 + 6x h + 6xh + h 3 x 3 x + xh + h x 4x 4x 4h = lim + lim + lim = h 0 h h 0 h h 0 h = 6x + x 4 Allmänt gäller tt om f(x) = x r så är f (x) = rx r och om f(x) = k där k är en konstnt så är f (x) = 0. Dett är två viktig stndrdderivtor.

9 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 9 Det är oft mycket svårre än så tt beräkn derivtor direkt ur definitionen. Det finns dock ett ntl deriveringsregler som underlättr. De först tre är direkt följder v räknereglern för gränsvärden. Sts. (Deriveringsregler). Låt f, g vr deriverbr i x. Då är även följnde funktioner deriverbr i x och ntr följnde värden: () (f + g) (x) = f (x) + g (x) () (f g) (x) = f (x) g (x) (3) (kf) (x) = kf (x), för ll konstnter k R (4) ((fg) ) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x), klls för produktregeln f (5) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (g(x)), klls för kvotregeln (6) (f g) (x) = f (g(x))g (x), om g är deriverbr i x och f är deriverbr i g(x), klls för kedjeregeln Egenskp 6 kn skrivs på ett snyggt sätt om vi nvänder ett nnt skrivsätt. Låt y = f(u) och u = g(x) så tt y = f(u) = f(g(x)) = (f g)(x). Då får vi dy dx = dy du du dx. Exempel.3. Låt f(x) = ( x ) 3. Enligt kedjeregeln är då f (x) = 3 ( x ) 5 ( 4x) = 6x( x ) 5. Ett pr ndr viktig stndrdderivtor som mn bör kunn utntill är derivtorn för de trigonometrisk funktionern. Dess är d sin x = cos x dx d cos x = sin x dx Exempel.4. Derivtn för tn x kn härleds med hjälp v kvotregeln. d dx tn x = d dx ( sin x cos x ) = cos x ( sin x) cos x där trigonometrisk ettn nvändes i sist steget. = cos x = + tn x När mn kn deriver funktioner kn mn börj fråg sig om en funktion är derivtn v någon nnn funktion. Givet en funketion f, existerr det en funktion F så tt F = f? Definition.5. En primitiv funktion till en funktion f är en funktion F så tt F (x) = f(x) för ll x D f. All stndrdderivtor kn nvänds för tt hitt primitiv funktioner. Till exempel hr vi tt sin x är en primitiv funktion till cos x. Primitiv funktioner, om de existerr, är inte unik. Eftersom derivtn v en konstnt funktion är 0 kn vi dder en konstnt till en primitiv funktion och få en ny primitiv funktion. Mer precist, låt F uppfyll F (x) = f(x) och bild funktionen G(x) = F (x) + k för någon konstnt k R. Enligt deriveringsreglern får vi då G (x) = (F + k) (x) = F (x) + k = F (x) + 0 = F (x) = f(x), lltså är även G(x) en primitiv funktion. Vi kommer prt mer om dett när vi kommer till integrler. Vi kn utök definitionen v derivt till slutn intervll genom tt nvänd höger- och vänstergränsvärden på smm sätt som vi gjorde med kontinuitet.

10 0 DAN STRÄNGBERG Definition.6. Vi säger tt en funktion f definierd på ett intervll [, b] är deriverbr i om existerr och i b om existerr. f( + h) f() lim h 0+ h f(b + h) f(b) lim h 0 h Vi kn nu säg lite mer om vilk funktioner som är derivtor. Sts.7. Låt f vr deriverbr på [, b] och låt f () < c < f (b). Då existerr ett tl x (, b) så tt f (x) = c Derivtor uppfyller lltså tt mellnliggnde värden nts och om en funktion inte uppfyller denn egenskp kn den heller inte h en primitiv funktion. Låt f vr en deriverbr funktion. Om (, f()) och (b, f(b)) är två punkter på dess grf kn vi bild linjen som går melln dess två punkter. Om vi nu tänker oss hur grfen kn se ut är det lätt tt övertyg sig om tt det måste finns minst en punkt på grfen där tngenten är prllell med den här linjen, ovsett hur konstig grfen ser ut melln dess två punkter och det finns mång exempel från vår omvärld som uppfyller denn egenskp. Om mn tillexempel färds melln två punkter med en viss medelhstighet måste mn under resn minst en gång h hft smm hstighet som sin medelhstighet. Dett beskrivs v följnde sts. Sts.8 (Medelvärdesstsen). Låt f vr kontinuerlig på [, b] och deriverbr på (, b). Då existerr en punkt c (, b) så tt f(b) f() b = f (c) Exempel.9 (Uppgift 4, sid. 8 i [?]). Låt f(x) = cosx + x på intervllet [0, x]. Enligt exempel på sidn 38 i [?] gäller sin x < x för ll x (0, ). Enligt medelvärdesstsen finns då ett c (0, x) så tt f(x) f(0) = f (c) cos x + x = sin c + c > 0 x 0 x där den vslutnde olikheten följer v nämnd exempel. Eftersom x > 0 multiplicerr vi båd sidor med x och får cos x + x > 0 cos x > x vilket gäller för ll x > 0. Eftersom båd sidor v denn olikhet är jämn funktioner gäller den även för ll x < 0. Följnde sts är ett specilfll v medelvärdesstsen där f() = f(b): Sts.0. Låt f vr kontinuerlig på [, b] och deriverbr (, b) smt f() = f(b). Då existerr ett tl c (, b) så tt f (c) = 0 Det finns även en generlisering v medelvärdesstsen. Sts.. Låt f, g vr kontinuerlig på [, b] och deriverbr på (, b) smt låt g (x) 0 för ll x (, b). Då existerr ett tl c (, b) så tt f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c)

11 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT.3. Implicit derivering. Vi sk nu titt på en tillämpning v kedjeregeln. Lösningsmängden till en ekvtion i två vribler F (x, y) = 0 (det vill säg ll punkter (x, y) R som uppfyller F (x, y) = 0) beskriver i llmänhet en kurv i plnet, till exempel kn en cirkel med rdie r ses som lösningsmängden till ekvtionen x + y = r. Denn kurv behöver inte vr grfen till någon funktion då smm x-värde kn h fler y-värden, som i exemplet. Iblnd kn mn lös ut y som en funktion v x, men br om kurvn smmnfller med grfen till en funktion v x och iblnd br på en viss del v kurvn. Låt oss istället tänk oss tt ekvtionen bestämmer y i termer v en eller fler funktioner v x implicit, till skillnd från explicit där vi hr en formel. Vi kn då fortfrnde hitt lutningen v kurvn i en v dess punkter genom tt nvänd en teknik som klls implicit derivering som bygger på kedjeregeln. Dett illustrers bäst med ett exempel: Exempel.. Vi vill hitt tngentens ekvtion till kurvn x y 3 x 3 y = i punkten (, ). Vi deriverr implicit: d dx (x y 3 x 3 y ) = d dx = 0 xy 3 + x d dx y3 3x y x 3 d dx y = 0 xy 3 + 3x y dy dx 3x y x 3 y dy dx = 0 vilket i punkten (, ) blir Tngentens ekvtion ges då v xy 3 3x y = x 3 y dy dx 3x y dy dx y 3xy = (x 3xy) dy dy dx = y 3xy x 3xy = 4 8 = 7 4 y y 0 = k(x x 0 ) y = 7 4 (x + ) y = 7 4 x Implicit derivering kn även nvänds för tt hitt speciell derivtor, så som derivtn v olik inversfunktioner. Exempel.3. Låt y = ln x. Då gäller e y = x d dx ey = d dx x = e y dy dx = dy dx = e y = x.4. l Hôpitls regler. Derivering [ ] kn även nvänds för tt lös viss typer v gränsvärden, 0 [ nämligen sådn v typen eller v typen. Dett görs med hjälp v två stser som 0 ] brukr klls l Hôpitls regler. dx

12 DAN STRÄNGBERG Sts.4. Låt f, g vr deriverbr på (, b) och låt g (x) 0 för ll x (, b). Låt vidre och Då är lim f(x) = lim g(x) = 0 x + x + f (x) lim x + g (x) = L f(x) lim x + g(x) = L Kommentr.5. L får vr vilket tl som helst, till och med ±, lim kn byts ut mot lim x + x b eller lim för något c (, b), = och b = tillåts också. x c Sts.6. Låt f, g vr deriverbr på (, b) och låt g (x) 0 för ll x (, b). Låt vidre och Då är lim g(x) = ± x + f (x) lim x + g (x) = L f(x) lim x + g(x) = L Smm modifiktioner som i förr stsen [ gäller ] även här. Noter vidre tt den här stsen k gäller även för ll gränsvärden v typen men det end intressnt fllet är just fllet då k = ± eftersom det nnrs blir 0. Det är viktigt tt komm ihåg tt t kvoten v derivtorn när mn nvänder någon v l Hôpitls regler och inte derivtn v kvoten. [ ] sin x 0 Exempel.7. lim är v typen x 0 x 0 och vi hr lim x 0 cos x sin x säger oss tt lim = så vi hr verifiert ett v stndrdgränsvärden. x 0 x f (x) Det kn händ tt även lim x g är v typen (x) l Hôpitl igen, om krven är uppylld. Exempel.8. = så l Hôpitls först regel [ ] 0 [ eller. Då kn mn prov tt nvänd 0 ] x [ ] lim x e x = x [ ] = lim x e x = = lim x e x = 0 Om vi byter ut mot ett godtyckligt tl och e mot ett nnt godtyckligt tl b kn vi nu x bevis ännu ett stndrdgränsvärde, nämligen lim x b x = 0. Slutligen kn viss ndr gränsvärden mnipulers så tt de blir v typen [ ] 0 [ eller. 0 ]

13 ( sin x Exempel.9 (Uppgift 8, sid. 3 i [?]). lim x 0 x ln( sin x x ) x så tt lim x 0 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 3 lim x 0 x x cos x sin x sin x ( x ) x cos x x sin x cos x lim x 0 4x sin x + x cos x = lim x 0 cos x 4 cos x + cos x x sin x = lim x 0 ) x = [ ]. Låt y = ( sin x x ln( sin x x lim ) x 0 x = [ 0 0 ] = x cos x sin x = lim x 0 x sin x sin x = [ 0 0 ] = 4 sin x + x cos x = [0 0 ] = cos x 6 cos x x sin x = 6 ) x ln y = lim y = x 0 e 6 Den sist impliktionen håller eftersom funktionen f(x) = e x är en kontinuerlig funktion, så tt ( ) lim y = lim f(ln y) = f lim ln y x 0 x 0 x 0.5. Kurvritning. Ett v de störst nvändningsområden för derivering är tt undersök funktioners egenskper. Till exempel sätter derivtn begränsningr på hur vilt en funktion får bete sig melln två punkter så tt vi med större säkerhet kn fyll gpet på rätt sätt. Vi sk nu se hur mn kn nvänd derivering för tt t red på hur en funktions grf ser ut. Vi börjr med tt undersök en speciell typ v punkt för en funktion. Definition.30. Låt f vr en deriverbr funktion. En punkt x D f klls kritisk om df dx (x) = 0. Vd innebär dett för grfen till en funktion? Eftersom derivtn i en punkt ger grfens lutning i den punkten betyder det tt grfens lutning i en kritisk punkt är 0, grfen är lltså prllell med x-xeln. Dett är lltså en punkt där funktionen beter sig som en konstnt. En funktion kn bete sig på fyr sätt vid en kritisk punkt som ll klssificers efter derivtns nollställen. Exempel.3 (Fll ). Låt x = vr en kritisk punkt till en funktion f(x) och låt f (x) 0 för x < och f (x) 0 för x > i en omgivning v. Det betyder tt funktionens värde vtr frm till x = där den stnnr v och sedn vänder så tt funktionens värde börjr ök igen efter x =. Det betyder tt f() är ett loklt minimum till funktionen, vilket betyder tt det är det minst värde som funktionen ntr i en omgivning v. Ett exempel på en sådn funktion är f(x) = x som hr en sådn kritisk punkt i x = 0. Exempel.3 (Fll ). Låt återigen x = vr en kritisk punkt till en funktion f(x) men låt denn gång f (x) 0 för x < och f (x) 0 för x > i en omgivning v. Den här gången ökr lltså funktionens värde frmtill x = där den vänder för tt sedn börj vt. Det betyder lltså tt punkten x = är ett loklt mximum till funktionen. Ett exempel på en funktion med ett loklt mximum är f(x) = x 4 x 3 som hr ett loklt mximum i punkten x = 0 Lokl mximum och minimum klls gemensmt för extremvärden. Ett globlt mximum är en punkt x 0 så tt f(x 0 ) f(x) för ll x D f och ett globlt minimum är en punkt x 0 så tt f(x 0 ) f(x) för ll x D f. I synnerhet är ett globlt mximum även ett loklt mximum och ett globlt minimum är även ett loklt minimum. Däremot kn en funktion h extrempunkter som inte är globl mximum eller minimum. En funktion behöver inte ens h ett globlt mximum eller minimum, så som till exempel f(x) = kx för k 0.

14 4 DAN STRÄNGBERG Exempel.33 (Fll 3). Låt x = vr en kritisk punkt till en funktion f(x) och låt f (x) 0 för ll x i en omgivning v. Det betyder tt funktionen vtr frm till x = där den tillfälligt stnnr v för tt sedn vt igen. Funktionen hr lltså en pltå i punkten x = som klls för tersspunkt. Till exempel hr funktionen f(x) = x 3 en sådn tersspunkt i x = 0. Exempel.34 (Fll 4). Låt x = vr en kritisk punkt till funktionen f(x) och låt f (x) 0 för ll x i en omgivning v. Det betyder tt funktionen växer frm till x = där den tillfälligt stnnr v för tt sedn väx igen. Återigen hr funktionen en pltå i punkten x = som också klls för tersspunkt. Till exempel hr funktionen f(x) = x 3 en sådn tersspunkt i x = 0. Genom tt hitt derivtns nollställen och gör upp en teckentbell kn mn identifier funktionens ll kritisk punkter och vilken typ dess hr. Dett hjälper väldigt mycket vid kurvritning men det räcker inte hel vägen. Låt oss börj med tt studer kontinuerlig funktioner definierde på slutn intervll. Extremvärdesstsen grnterr tt en sådn funktion hr ett globlt mximum och ett globlt minimum, men den säger oss inte hur vi sk hitt dess. Derivtn hjälper oss nu en bit på vägen genom tt låt hos hitt ll kritisk punkter och ge oss en ning om hur snbbt funktionen växer eller vtr vid olik punkter. Men det kn händ tt dess mximum och minimum inte är en kritisk punkt. Till exempel kn dess punkter vr singulär punkter eller ändpunkter. Därför måste dess punkter också undersöks och ll värden jämförs för tt kunn hitt de globl mximum och minimum. Exempel.35. Låt f(x) = x 3 x vr definierd på intervllet [, ]. f(x) är då deriverbr på hel sin definitionsmängd så vi behöver inte undersök någr singulär punkter för tt hitt dess globl mx och min. Vi börjr därför med tt hitt ll kritisk punkter och dess kritisk värden och jämför sedn dess med funktionens värden i ändpunktern. Vi börjr därför med tt lös ekvtionen f (x) = 0: d dx (x3 x) = 0 3x = 0 x = 3 x = ± 3 Båd dess punkter ligger i definitionsmängden så vi undersöker värdet i de båd punktern. f( ) = = f( ) = = f() = 8 = 6 f( ) = 8 + = 6 Slutligen måste vi även t red på vd f (x) hr för tecken på båd sidor v de kritisk punktern. Vnligtvis görs dett med en teckentbell men i det här fllet kn vi t en liten genväg. Eftersom derivtn är en jämn funktion behöver vi br titt på en sidn v x = 0 för tt bestämm den helt. Vi ser snbbt tt derivtn är negtiv på [0, ) och positiv på 3

15 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 5 Figur. Grfen till funktionen f(x) = x 3 x ( 3, ), och hr smm tecken på motsvrnde negtiv intervll eftersom derivtn är jämn, vilket betyder tt x = 3 är ett loklt minimum medns x = 3 är ett loklt mximum. Vi hr nu i princip llt vi behöver för tt kunn skiss grfen till f som ser ut som i figur 3.. Om vi istället hr en funktion definierd på ett öppet, ändligt intervll (, b) kn vi på precis smm sätt studer kritisk punkter och kontroller singulär punkter men istället för tt undersök värdet i ändpunktern måste vi istället titt på det ensidig gränsvärdet då funktionen går mot de båd punktern och b eftersom funktionen inte är definierd i ändpunktern. Vi är inte längre grnterde tt en sådn funktion ntr ett globlt mximum eller minimum. En så enkel funktion som f(x) = x definierd på (, ) ntr vrken störst eller minst värde eftersom till exempel ovsett hur när vi befinner oss x = vi lltid kn hitt ett tl som ligger lite närmre. Om definitionsmängden är ett intervll som är öppet i en änden och slutet i ndr får mn nvänd sig v rätt metod i rätt ände v intervllet. Om definitionsmängden består v fler intervll, till exempel om D f = (0, ) (, 7] kn vi titt på vrje intervll för sig. När vi hr en funktion definierd på ett öppet intervll (, b) kn det händ tt lim f(x) = x + ±. Vi säger då tt funktionen hr en vertikl symptot i punkten x =. Om vi lättr på krvet tt funktionen måste vr kontinuerlig på hel intervllet kn dett även ske i inre punkter på intervllet, inte br ändpunktern. Till exempel hr funktionen f(x) = en vertikl symptot x i x = 0. En vertikl symptot är lltså en linje x = c som när funktionen närmr sig linjen börjr funktionens grf väx så fort tt den ldrig korsr linjen; grfen försvinner bort i oändligheten innn den kommer frm. Noter tt det räcker tt det ensidig gränsvärdet går mot ± från en hållet för tt det sk vr en vertikl symptot. Om vi istället hr en funktion definierd på ett obegränst intervll, till exempel [0, ) eller hel R = (, ), kn det även händ tt lim f(x) = L (eller när x ). Vi säger då x tt funktionen hr en horisontell symptot y = L. Dett är lltså en linje som funktionens grf kommer närmre och närmre ju längre bort på x-xeln vi går men den kommer ldrig frm. Vår gode vän f(x) = bjuder på ett exempel även här eftersom lim x x x = lim x x = 0 så funktionen hr en horisontell symptot y = 0 åt båd hållen. Funktionen f(x) = rctn x hr två olik horisontell symptoter, y = π då x och y = π då x.

16 6 DAN STRÄNGBERG Det kn även händ tt en funktion hr en sned symptot. Vi säger tt en funktion f hr en sned symptot y = kx + m om lim (f(x) (kx + m)) = 0 eller lim (f(x) (kx + m)) = 0. Till x x x 3 exempel hr f(x) = en sned symptot y = x åt båd hållen eftersom, för x >>, x4 f(x) = x 3 x4 x3 x 4 = x3 = x3 x 4 x = x så lim x ± ( x 3 x4 x ) = 0. Slutligen sk vi se hur vi kn nvänd oss v ndrderivtn för tt skiss en funktions grf. För tt förstå dett bäst behöver vi se f (x) i sig som en egen funktion. Lutningen på f (x) ges då v funktionens ndrderivt, f (x). Om ndrderivtn är negtiv betyder det lltså f (x) lutr neråt, lltså vtr f (x) vilket i sin tur betyder tt f(x) böjer sig neråt. Vi kllr därför f konkv på ett intervl I om f (x) < 0 för ll x I. På smm sätt böjer f v uppåt om f (x) > 0 och vi säger tt f är konvex på ett intervll I om f (x) > 0 för ll x I. En punkt där f(x) byter från tt vr konkv till tt vr konvex klls för en inflektionspunkt. I en sådn punkt hr vi f (x) = 0. I synnerhet hr vi tt om x = är en kritisk punkt till f och f (x) < 0 så är punkten ett loklt mximum och om istället f (x) > 0 så är punkten ett loklt minimum. Om även f (x) = 0 kn vi inte dr någon slutsts. Att undersök ndrderivtn går oft snbbre än tt gör en teckentbell för tt undersök kritisk punkter men den ger oss ingen extr informtion. Däremot får vi informtion om hur grfens llmänn utseende eftersom vi får dess konkvitet. Vi vslutr med ett exempel. Exempel.36 (Uppgift 6, sid. 5 i [?]). Låt y = x. Eftersom dett är en rtionell funktion där täljren är v en grd högre än nämnren misstänker vi direkt tt denn grf hr sned symptoter. Vi testr därför följnde: ( ) ( x 3 x ) x lim x x (kx + m) = lim x x ( (kx + m) = x ) ( ) x lim x (kx + m) = lim (x (kx + m)) x x Vilket blir 0 om och endst om k =, m = 0 så vi ser tt y = x är en sned symptot till höger. På smm sätt kn vi se tt y = x är en sned symptot även åt vänster. Nämnren hr dessutom två nollställen, x = ± vilket får oss tt misstänk vertikl symptoter här. lim x lim x + lim x lim x + x 3 x = x 3 x = x 3 lim x lim x + x = lim x x 3 x = lim x + x3 x = x = x = x = Derivtn är, enligt kvotregeln, y (x) = 3x (x ) x 4 (x ) = x4 3x (x ) = x (x 3) (x så vi ) ser tt de kritisk punktern är x = 0 och x = ± 3.

17 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 7 Figur 3. Grfen till f(x) = x3 x (blå) och f(x) = x (grön). Andrderivtn är, igen enligt kvotregeln, y (x) = (4x3 6x)(x ) (x 4 3x ) (x )x (x ) 4 = x 5 + 4x 3 6x (x ) 4 = x(x + 3)(x ) (x ) 4 = x(x + 3) (x ) 3. Vi gör nu en teckentbell: x (, 3) = 3 ( 3, ) = (, 0) = 0 y > 0 0 < 0 odef < 0 0 y < 0 < 0 < 0 odef < 0 0 y odef x (0, ) = (, 3) = 3 ( 3, ) y < 0 odef < 0 0 > 0 y < 0 odef > 0 > 0 > 0 y odef Andrderivtn säger oss tt x = 3 är ett loklt mximum och x = 3 ett loklt minimum. Den säger oss inget om x = 0 men teckenväxlingen där säger oss tt det är en tersspunkt. Det end som återstår nu är tt undersök värdet i ll intressnt punkter. Nu kn vi skiss grfen, som vi ser i figur Integrler Vi sk nu börj titt närmre på en nnn del v klkylen som innefttr tt hitt ren som begränss v kurvor. För tt gör dett definierr vi integrlen som ger ren melln grfen v en funktion och x-xeln. Vi kommer sedn se tt dett är när kopplt till derivering. 3.. Integrlens definition. Vi sk börj med tt titt på hur vi kn beräkn ren under grfen till en kontinuerlig funktion definierd på ett slutet intervll I = [, b]. Antg tt vi hr

18 8 DAN STRÄNGBERG en mängd punkter P = {x 0, x,..., x n } så tt = x 0 < x < < x n < x n = b. Vi kllr en sådn mängd en prtition v I. Eftersom f är kontinuerlig på vrje intervll [x i, x i ] ntr den ett störst och minst värde på det intervllet enligt extremvärdesstsen. Kll den punkt som ger störst värdet för u i och den punkt som ger det minst värdet för l i, så tt f(l i ) f(x) f(u i ) för ll x [x i, x i ] och låt x i = x i x i smt låt P = mx x i, i n klld normen v prtitionen. Eftersom ren v en rektngel är lik med dess bs gånger dess höjd får vi f(l i ) x i A i f(u i ) x i där A i är ren under grfen på intervllet [x i, x i ]. Vi gör nu en definition: Definition 3.. Den undre Riemnnsummn L(f, P ) för funktionen f och prtitionen P = {x 0, x,..., x n } är summn n L(f, P ) = f(l ) x + f(l ) x + + f(l n ) x n = f(l i ) x i och den övre Riemnnsummn U(f, P ) är U(f, P ) = f(u ) x + f(u ) x + + f(u n ) x n = i= n f(u i ) x i Om vi hr två prtitioner P, P säger vi tt P är en förfining v P om vrje punkt i P också ingår i P. Det är inte svårt tt övertyg sig om tt ju finre uppdelning vi hr desto närmre kommer de båd Riemnnsummorn tt vr den fktisk ren under grfen på intervllet, om funktionen inte är för konstig. Därför hr vi tt L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P ). Dett leder oss till ännu en definition. Definition 3.. Om det existerr ett och endst ett tl I så tt för vrje prtition P v intervllet [, b] gäller L(f, P ) I U(f, P ) kllr vi funktionen f integrerbr på [, b] och vi kllr I för den definit integrlen v f på [, b] och skriver I = f(x)dx Vi kn tänk oss tt vi gör prtitionen finre och finre så tt den undre och den övre summn närmr sig vrndr. Till slut är de så när tt endst ett tl får plts melln dem och det är integrlen. Noter tt integrlen ger ren med tecken, den räknr re över x-xeln positivt medns den räknr re under x-xeln negtivt. Det är också viktigt tt komm ihåg tt integrlen br ger ett tl, den är enhetslös. Om vi beräknr en re med hjälp v en integrl måste vi därför lägg till en enhet eftersom en re hr enhet, till exempel kvdrtmeter. Vnligt är tt mn lägger till.e. för reenheter, vilket kommer följs här. Vi kllr, b gemensmt för integrtionsgränser, den undre och b den övre, f klls integrnd, x klls integrtionsvribel och dx klls för differentilen v x. Om integrnden beror v fler än en vribel nger differentilen vilken vribel mn integrerr över. Det visr sig tt ll kontinuerlig funktioner på ett slutet intervll är integrerbr över det intervllet. Följnde sts ger oss ett ntl räkneregler för integrlen. Sts 3.3. Låt f, g vr integrerbr på intervllet [, b] och låt c [, b]. Då gäller () f(x)dx = 0 i=

19 () (3) (4) f(x)dx = b f(x)dx (f(x) + bg(x))dx = f(x)dx = c f(x)dx + ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 9 c f(x)dx + b f(x)dx (5) Om f(x) g(x) för ll x [, b] så gäller (6) f(x)dx f(x) dx (7) Om f är udd gäller (8) Om f är jämn gäller c c c c f(x)dx = 0 f(x)dx = c 0 g(x)dx, för ll konstnter, b R f(x)dx f(x)dx g(x)dx Det finns även en medelvärdessts för integrler. Den säger tt det finns en rektngel, med smm bs som integrtionsintervllet och en höjd som överensstämmer med ett tl melln funktionens störst och minst värde på integrtionsintervllet, som hr smm re som den re funktionen begränsr. Sts 3.4. Låt f vr kontinuerlig på intervllet [, b]. Då existerr en punkt c [, b] så tt f(x)dx = (b )f(c) Vi kn nu definier medelvärdet v en funktion på ett intervll som f = f(x)dx b Om vi hr en funktion som är bitvis kontinuerlig på [, b] kn vi utök definitionen enligt f(x)dx = n x i i= x i f(x)dx Med ndr ord integrerr vi vrje kontinuerlig bit för sig och summerr ihop resulttet. 3.. Anlysens fundmentlsts. Vi sk nu koppl ihop integrering och derivering. Trots tt ders definitioner till ytn är väldigt olik är de tätt smmnkopplde. Dett beskrivs v en sts som klls nlysens fundmentlsts. Den är så viktig tt dess bevis ges trots det begränsde tidsutbudet på denn kurs. Stsen säger i princip tt integrering och derivering är vrndrs motstser. Sts 3.5. Låt f vr kontinuerlig på ett intervll I som innehåller punkten x =. Definier en funktion F (x) enligt F (x) = x f(t)dt Då är F deriverbr på I och är där en primitiv funktion till f. Vidre hr vi tt om G är en primitiv funktion till f på I gäller f(x)dx = G(b) G() = G(x) b = [G(x)] b

20 0 DAN STRÄNGBERG Bevis. Enligt definitionen v F hr vi F F (x + h) F (x) (x) = lim h 0 h ( x+h = lim f(t)dt h 0 h = lim h 0 h x+h x = lim h 0 h hf(c(h)) f(t)dt x f(t)dt ) enligt medelvärdesstsen för integrler Då h 0 minskr intervllet som c kn befinn sig i. Därför gäller lim h 0 c(h) = x och eftersom f är en kontinuerlig funktion följer lim f(c(h)) = f(x) h 0 så vi hr F (x) = f(x)och F är lltså en primitiv funktion till f. Vidre gäller tt om G(x) är en nnn primitiv funktion till f måste det exister ett tl C så tt F (x) = G(x) + C och därför hr vi även x f(t)dt = G(x) + C Om vi nu sätter x = vet vi tt integrlen blir 0 enligt integrlens egenskper vilket tvingr C = G(). Om vi slutligen sätter x = b får vi nu f(t)dt = G(b) G() Med hjälp v den här stsen reducers problemet tt hitt ren under en grf till problemet tt hitt en primitiv funktion till f och sedn evluer denn i rätt punkter. Därför kn vi helt enkelt vänd på vår stndrdderivtor för tt få tillgång till stndrdintegrler. Till exempel vet vi sedn tidigre tt d b dx (sin x) = cos x vilket lltså betyder tt cos xdx = sin x b = sin b sin Mer om reberäkningr. Utrustde med nlysens fundmentlsts sk vi nu gör ett återbesök i problemet tt beräkn ren under grfen till en funktion som inspirerde oss till tt definier integrlen från först börjn. Kom ihåg tt integrlen enbrt ger ren med tecken så delr v grfen som ligger ovnför x-xeln räkns positivt medns delr under x-xeln räkns negtivt. Om vi vill hitt ren som begränss v grfen till en funktion och x-xeln, ovsett om grfen befinner sig under eller över x-xeln, fungerr lltså integrlen br om grfen hel tiden befinner sig på en sidn om x-xeln (om det är under får vi byt tecken på integrlen för tt få ut ren). För tt bot dett problem kn vi se till tt grfen hel tiden befinner sig ovnför x-xeln så tt ll re räkns positivt. Dett kn vi gör genom tt integrer beloppet v funktionen istället för br funktionen. Vi bör lltså integrer f(x) dx om vi vill få ut den totl ren som begränss v grfen.

21 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT Dett ger oss genst ett problem. Även om vi kn hitt en primitiv funktion till f, hur hittr vi en primitiv funktion till f? Den enklste lösningen på problemet är tt helt enkelt del upp intervllet [, b] till fler intervll där funktionen f hr smm tecken över hel intervllet och integrer funktionen över vrt och ett v dess intervll eftersom vi där kn lös ut beloppstecknet. Exempel 3.6. För tt illustrer problemet och dess lösning nvänder vi oss v en enkel funktion så tt vi inte tppr bort intuitionen i en mss krånglig beräkningr. Låt därför f(x) = x på intervllet [, ]. En primitiv funktion till f får vi v F (x) = x +C där C är en godtycklig ( konstnt. ) ( Denn) konstnt hr ingen betydelse för integrlen eftersom F (b) F () = b + C + C = (b ) så för tt gör det enkelt för oss väljer vi C = 0. Aren som begränss v grfen till f är uppenbrligen inte 0 men eftersom integrlen räknr med tecken blir integrlens värde 0: xdx = x = ( ) = = 0 Det är i det här fllet lätt tt beräkn ren utn tt nvänd oss v integrlen. Om vi delr upp intervllet i [, 0] och [0, ] ser vi tt grfen på de båd intervllen utgör två tringlr med smm bs som höjd, i dett fll. Eftersom ren v en tringel är bsen höjden reenheter blir ren v dess båd tringlr + =.e. Vi ser tt F (x) = x ger just ren v en tringel med bs och höjd x. Om vi nu vill få frm denn re med hjälp v integrlen sk vi lltså istället integrer f(x) = x. Vi får då f(x) dx = = = 0 0 x dx x dx + ( x)dx + = ( ) 0 x ( = 0 = + = vilket som vi sett är rätt svr, precis som vi ville. ) x dx xdx + x 0 ( 0 Det händer också tt mn vill beräkn ren som begränss v två grfer,den en över den ndr, istället för en grf och x-xeln. Det finns en metod för tt lös även dett problem. Metoden går ut på tt beräkn integrlen v båd grfern och sedn dr bort integrlen v den undr grfen från integrlen v den övre grfen för tt på så vis t bort llt som inte ligger melln de båd grfern. Om vi hr två kontinuerlig funktioner f(x) g(x) för ll x [, b] och kllr ren v området melln funktionern för A kn vi skriv dett som A = g(x)dx f(x)dx = ) (g(x) f(x))dx

22 DAN STRÄNGBERG Denn formel gäller även om funktionern kn nt negtiv värden eftersom g(x) f(x) lltid är positivt eller 0 så länge f(x) g(x). Om vi vill gör oss v med krvet tt f(x) g(x) på hel intervllet kn vi lägg till beloppstecken så tt vi istället får A = g(x) f(x) dx som lltså gäller ovsett vd f(x) och g(x) ntr för värden så länge de båd är kontinuerlig. I prktiken resulterr dett, enligt diskussionen före, i tt mn delr upp integrlen i mång integrler över mindre intervll där f(x) g(x) eller g(x) f(x) gäller, där mn lltså nvänder den tidigre formeln. Exempel 3.7 (Uppgift 4, sid. 37 i [?]). Vi hoppr över skissningen v de båd kurvorn och hoppr direkt på beräkningen v ren som begränss v de båd funktionern f(x) = x x och g(x) = 6x x. För tt gör dett behöver vi först hitt ders skärningspunkter. Det intressnt området ligger melln dess. f(x) = g(x) f(x) g(x) = 0 (x x) (6x x ) = 0 x 8x = 0 x 4x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 x = 4 Det intressnt området ligger lltså melln x = 0 och x = 4. Innn vi kn beräkn ren behöver vi nu vet vilken funktion som är störst. Eftersom dess två punkter är de end skärningspunktern måste en och smm funktion vr överst på hel intervllet [0, 4] och det räcker därför med tt beräkn värdet v de båd funktionern i en punkt c (, b) för tt vgör vilken som är störst. Vi gör det lätt för oss och väljer x =. f() = =, g() = 6 = 5 f() så g(x) är störst på intervllet [0, 4] och därför beräknr vi integrlen Svret blir lltså 64 3.e. 4 0 (g(x) f(x))dx = = 8 = (8x x )dx [ x xdx ] 4 0 = = [ 3 x3 = 64 3 x dx 3.4. Indefinit och generliserde integrler. Innn vi börjr titt på olik metoder för tt beräkn integrler sk vi titt på två ndr typer v integrler som vi kn nvänd i fler situtioner än för tt integrer funktioner som är kontinuerlig på slutn intervll. Båd definitionern vi gör är inspirerde v vår gml definition och nlysens fundmentlsts. Definition 3.8. Den indefinit integrlen v en funktion f(x) på ett intervll I är funktionen, definierd på I, f(x)dx = F (x) där F (x) = f(x) för ll x I. ] 4 0

23 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 3 Den indefinit integrlen är lltså en opertion som ger en primitiv funktion till funktionen den nvänds på. Om inget nnt nges nts I vr det störst möjlig intervll på vilket mn kn definier en primitiv funktion. När vi beräknr en indefinit integrl är det viktigt tt komm ihåg tt dder en integrtionskonstnt, oft C. Integrtionskonstnten kn spel stor roll och vi kn hitt mång exempel på sådn situtioner i fysiken. För tt välj ett enkelt kn vi tänk oss en sten som fller fritt under påverkn v endst en konstnt grvittionskrft. Vi hr då (t) = g där är stenens ccelertion och g är grvittionsccelertionen (vi låter t [0, )). Eftersom ccelertionen är tidsderivtn v hstigheten kn vi skriv v(t) = (t)dt = gt + C och vi ser då tt v(0) = C. Integrtionskonstnten ger då lltså utgångshstigheten, den hstighet stenen hde när vi börjde räkn. Om stenen släpptes från stillstående vid tiden t = 0 så är C = 0 till exempel. Den ndr typen v integrl vi sk titt på gäller när ntingen gränsern i integrlen eller integrnden är obegränsd, lltså kn gå mot ±. Definition 3.9. Låt f vr kontinuerlig på intervllet [, ). Den generliserde integrlen v f över [, ) är då f(x)dx = lim r r f(x)dx och om f är kontinuerlig på (, b] är den generliserde integrlen v f över (, b] f(x)dx = lim r r f(x)dx Om gränsvärdet existerr säger vi tt integrlen konvergerr. Om gränsvärdet är respektive säger vi tt integrlen divergerr mot oändligheten respektive negtiv oändligheten. Annrs säger vi tt integrlen divergerr. Definition 3.0. Låt f vr kontinuerlig på [, b). Vi definierr då den generliserde integrlen f(x)dx = lim r b r f(x)dx och om f är kontinuerlig på (, b] definierr vi den generliserde integrlen f(x)dx = lim r + r f(x)dx På smm sätt som tidigre kn dess integrler konverger, diverger mot oändligheten, diverger mot negtiv oändligheten eller br diverger. Noter tt den senre definitionen tillåter funktioner där lim x b f(x) = och ndr liknnde situtioner.

24 4 DAN STRÄNGBERG Exempel 3.. Låt f(x) = x, g(x) = och h(x) = cos x. Då hr vi x f(x)dx = x dx = lim r [ln x]r = lim r ln r = så integrlen divergerr mot oändligheten. Däremot hr vi så integrlen konvergerr mot. Vidre hr vi 0 g(x)dx = x dx [ = lim ] r r x = lim ( r ) + r h(x)dx = vilket inte existerr så integrlen divergerr. Exempel 3.. Låt f(x) = x och g(x) = x 0 x dx = = 0 + = 0 cos xdx = lim r [sin x]r 0 = lim r sin r och låt <. Då hr vi så integrlen konvergerr mot. Däremot hr vi 0 0 x dx = lim x dx r 0+ r [ ] = lim x r 0 r = lim r r 0 = g(x)dx = 0 x dx = lim [ln x] r 0 r = ln lim ln r r 0 Så integrlen divergerr mot oändligheten. Innn vi går vidre behövs en sts som kn hjälp oss tt vgör om komlicerde integrler konvergerr eller divergerr genom tt jämför dem med enklre integrler.

25 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 5 Sts 3.3. Låt b och låt f, g vr två funktioner som är kontinuerlig på (, b) smt uppfyller 0 f(x) g(x) för ll x (, b). Då gäller tt om även f(x)dx det och vidre gäller tt Ett ekvivlent påstående är tt om det. f(x)dx g(x)dx g(x)dx konvergerr så gör f(x)dx divergerr mot oändligheten så gör även g(x)dx 3.5. Vribelsubstitution. Vi sk nu börj titt på någr olik metoder som finns för tt beräkn svårre integrler. Den först metoden vi sk titt närmre på klls vribelsubstitution och kn beskrivs som kedjeregeln i integrlform. Kedjeregeln säger tt d dx (f(g(x))) = f (g(x))g (x) Om vi nvänder en indefinit integrl på båd sidorn får vi då f (g(x))g (x)dx = f(g(x)) dy Om vi hr y = f(x) får vi dx = f (x) och vi kn nivt skriv dy = f (x)dx (det är inte definiert och vi hr inte tid tt gå in på det men lit på mig det funkr). Om vi då sätter t = g(x) får vi dt = g (x)dx och vi kn skriv om ekvtionen ovn på ett gnsk snyggt sätt: f (g(x))g (x)dx = f (t)dt = F (t) + C = F (g(x)) + C Om vi vill evluer definit integrler med den här formeln måste mn pss sig lite med gränsern, som följnde sts visr. Om mn inte vill evluer integrlen i vribeln u kn mn sätt in x igen innn mn evluerr och nvänd de ursprunglig gränsern. Sts 3.4. Låt g vr en differentierbr funktion på [, b] med g() = A, g(b) = B och låt f vr kontinuerlig på V g. Då gäller f(g(x))g (x)dx = B A f(u)du Exempel 3.5 (Uppgift, sid. 33 i [?]). x = ln t ln t t dt = dx = t dt = xdx = x + C = (ln t) + C Om vi hde hft gränser på integrlen hde vi kunnt välj tt sätt in dem ntingen vid x i vilket fll vi hde fått lov tt översätt gränsern från t till x eller så hde vi kunnt vänt tills vi hde kommit frm till (ln t) där vi br hde kunnt sätt in gränsern direkt.

26 6 DAN STRÄNGBERG Mn kn också gå åt ndr hållet, tt ersätt en vribel med en funkion. Det låter som tt det br skulle gör integrlen värre men i viss fll kn det fktiskt gör den vsevärt enklre tt beräkn. Vi sk titt lite närmre på ett pr viktig sådn. Exempel 3.6 (Uppgift, sid. 35 i [?]). Vi hr x dx. Noter tt bortsett från en 4x fktor x ser integrnden ut som derivtn v rcsin x. Det leder oss till tt prov en substitution som θ = rcsin x eller det lite trevligre uttrycket x = sin θ dx = cos θdθ och insättning i integrlen ger x dx = 4 sin θ cos θdθ 4x sin θ = sin θ cos θ dθ 8 cos θ = cos θ dθ 8 = ( cos θ)dθ 6 = (θ ) 6 sin θ = (θ sin θ cos θ) 6 = (rcsin x x ) 4x 6 Den sist likheten följer ur tt mn kn få ut både cos θ och tn θ genom tt nvänd sig v en rätvinklig tringel med sidor som pssr ihop med substitutionen x = sin θ. Dett exempel illustrerr tt integrnder som innehåller en term x oft kn görs betydligt enklre genom tt substituer x = sin θ. Vi kn då nvänd följnde tringel för tt få cos och tn: x θ x Liknnde figurer fungerr för ll trigonometrisk substitutioner. På smm sätt som en integrl med termen x kn led oss till tt prov x = sinθ kn en integrl med + x eller få oss tt misstänk tt en substitution x = tn θ + x kn hjälp.

27 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 7 Exempel 3.7 (Uppgift 6, sid. 353 i [?]). Den här gången hr vi integrlen x dx. Vi ( + x ) testr därför tt substituer x = tn θ dx = cos dθ så tt vi kn skriv om integrlen som θ x ( + x ) dx = tn θ ( + tn θ) cos θ dθ tn θ = cos θ dθ cos 4 θ = sin θdθ ( ) cos θ = dθ = θ cos θdθ = θ sin θdθ 4 = θ sin θ cos θ = ( rctn x x ) + x där vi fått formlern för sin θ och cos θ från en rätvinklig tringle ungefär som ovn. Andr substitutioner som kn vr nyttig tt komm ihåg är x + b = u n som kn nvänds för tt förenkl viss integrler som innehåller n ( ) θ x + b smt x = tn som kn förvndl viss typer v integrler som innehåller rtionell uttryck v sin θ och cos θ till vnlig rtionell funktioner i x, vi kommer snrt gå närmre in på hur vi kn integrer rtionell funktioner Prtiell integrering. Precis som substitutionsmetoden vr en integrlversion v kedjeregeln är prtiell integrtion en integrlversion v produktregeln. Låt F, G vr två deriverbr funktioner. enligt produktregeln hr vi då d dx (F (x)g(x)) = F (x)g(x) + F (x)g (x) och om vi integrerr båd sidor får vi F (x)g(x) = F (x)g(x)dx + F (x)g (x)dx vilket om vi flyttr om lite blir F (x)g(x)dx = F (x)g(x) F (x)g (x)dx Tnken är då tt vi sk trnsformer en svår integrl F (x)g(x)dx till en enklre integrl F (x)g(x) F (x)g (x)dx Vi kn även utför prtiell integrtion fler gånger. Speciellt effektiv är prtiell integrtion om den en funktionen är ett polynom eftersom mn då kn fortsätt tt deriver polynomet i

28 8 DAN STRÄNGBERG enlighet med formeln tills det br är en konstnt kvr och problemet som återstår är då br tt hitt ännu en primitiv funktion till den ndr funktionen. Exempel 3.8 (Uppgift 8, sid. 337 i [?]). Vi hr x sin xdx. ( ) cos x x sin xdx = x dx = xdx x cos xdx = 4 x ( x sin x ) sin xdx = 4 x ( x sin x + ) cos x + C 4 = 4 x 4 x sin x cos x + C 8 där vi på tredje rden bytte ut integrlen enligt formeln för prtiell integrtion med F (x) = cos x och G(x) = x. Prtiell integrtion kn också nvänds även om det till synes br är en funktion i integrnden genom tt bryt upp funktionen som f(x) = f(x) och behndl konstnten som en funktion Prtilbråksuppdelning. Prtilbråksuppdelning nvänds för tt evluer integrler v rtionell funktioner f(x) = P (x) där P, Q är polynom med reell koefficienter och deg P < Q(x) deg Q. Metoden går ut på tt först fktoriser polynomet Q(x) i sin rötter och sedn skriv den rtionell funktionen som en summ v enklre rtionell funktioner som mn sedn kn evluer vr för sig. Hur dess ser ut beror på vd Q hr för rötter. För tt ktegoriser llt dett sk vi titt på tre fll som kommer täck ll polynom som kn dyk upp (det först fllet är egentligen ett specillfll v det ndr fllet men det förtjänr betoning). Sts 3.9. () För vrje fktor (x ) som Q innehåller lägger vi till en term A x där A är en konstnt. () Om Q innehåller en upprepd fktor (x b) n A lägger vi till x b + A (x b) + + A n (x b) n. (3) Om Q innehåller termer (x +px+q) n som sknr reell rötter lägger vi till B x + C (x + px + q) + + B nx + C n (x + px + q) n. B x + C x + px + q + För tt identifier ll okänd konstnter lägger mn ihop llt på ett bråkstreck igen och jämför det med den ursprunglig funktionen. Dett illustrers bäst i ett exempel. Exempel 3.0 (Uppgift 4, sid. 345 i [?]). Vi sk hitt x dx (x )(x 4) Det först vi vill gör är tt fktoriser nämnren. Eftersom x = (x + )(x ) och x 4 = (x + )(x ) kn vi skriv om nämnren som (x )(x 4) = (x + )(x )(x + )(x )

29 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 9 Så vi vill skriv om integrnden på formen A x + + B x + C x + + D x och för tt hitt konstntern A, B, C, D sätter vi ihop ll på smm bråkstreck och jämför med den ursprunglig integrnden: A x + + B x + C x + + D x A(x )(x + )(x ) + B(x + )(x + )(x ) + C(x + )(x )(x ) + D(x + )(x )(x + ) = (x + )(x )(x + )(x ) = A(x3 x 4x + 4) + B(x 3 + x 4x 4) + C(x 3 x x + ) + D(x 3 + x x ) (x + )(x )(x + )(x ) Dett ger oss ett ekvtionssytem i koefficientern: A + B + C + D = 0 (x 3 ) A + B C + D = (x ) 4A 4B C D = 0 4A 4B + C D = 0 = (x) (konstnt) x (x + )(x )(x + )(x ) Löser vi dett ekvtionssystem ser vi tt A = 6, B = 6, C = 3, D =. Vi kn nu skriv 3 integrlen på en enklre form och evluer: x (x )(x 4) dx = ( 6 x + 6 x 3 x x x + dx 6 x dx 3 = 6 ) dx x + dx + 3 = 6 ln x + 6 ln x 3 ln x + + ln x 3 x dx = Vd gör vi om vi hr deg P (x) deg Q(x)? Då kn vi nvänd oss v polynomdivision för tt förenkl funktionen till summn v ett polynom (delen) och en rtionell funktion (resten) vrs täljre hr lägre grd än dess nämnre Volymsberäkningr. Det finns ett pr tekniker mn kn nvänd för tt beräkn volymen v kroppr med hjälp v integrler. Den först tekniken vi sk titt närmre på går ut på tt nvänd snittytor v kroppen. Antg tt vi hr en smmnhängnde kropp i 3 dimensioner melln två pln vid x = och x = b som är ortogonl mot x-xeln och tt snittytn melln ett pln som också är ortogonlt mot x-xeln vid x hr en re som kn beskrivs v en funktion A(x) som vi ntr är kontinuerlig på intervllet [, b]. Om vi nu hr en prtition P = {x 0, x,..., x n } v [, b] kn vi del upp kroppen i n stycken skivor v tjocklek x i = x i x i. Volymen V i v vrje sådn skiv ligger melln mximum och minimum v funktionen A(x) x i så stsen om mellnliggnde värden säger tt det finns ett tl c i [x i, x i ] så tt V i = A(c i ) x i. Vi kn då skriv hel kroppens volym som Riemnnsummn n n V = V i = A(c i ) x i i= i=

30 30 DAN STRÄNGBERG vilket om vi låter P 0 då n blir en definit integrl och vi får V = A(x)dx Denn metod bygger på tt mn kn hitt en funktion A(x) som beskriver vrje snittyts re och tt denn går tt integrer. Dett går givetvis inte tt gör för ll kroppr men det finns en speciell och viktig typ v kroppr för vilk vi lltid kn hitt en sådn funktion. Dess är kroppr som bilds genom tt roter en yt som begränss v y = f(x), y = 0, x =, x = b runt x-xeln. Dess är en speciell typ v rottionskropp. Rottionskroppr är de kroppr som kn bilds genom tt roter en kurv i ett pln runt en xel i plnet. I vårt fll kommer snittytorn vr diskr med rdie f(x) så tt ren kn beskrivs v funktionen π(f(x)). Volymen blir därför V = π (f(x)) dx Vi kn även undersök volymen v en sådn rottionskropp som sträcker sig oändligt långt (x ). Vi får då istället en generliserd integrl och om denn konvergerr hr kroppen en ändlig volym. Exempel 3. (Uppgift, sid. 398 i [?]). I den här uppgiften är rottionsxeln inte x-xeln utn linjen y = men problemet går tt lös ändå. Som lltid hjälper det tt försök visuliser problemet innn mn börjr. Området vi vill roter är det som begränss v 0 y x. Dett betyder tt vi är intresserde v intervllet [, ] på x-xeln. Om vi skär ytn med ett snitt ortogonlt mot x- xeln får vi en disk med rdien ( x ) = x (kurvn vi roterr tngerr rottionsxeln i x = 0 och ovnsidn ser precis ut som kurvn y = x + vilket om vi flyttr ner till x-xeln blir y = x ). Aren v ett sådnt snitt beskrivs lltså v funktionen A(x) = π(x ) = πx 4. Volymen blir lltså V = π x 4 dx = π [ 5 x5 ] = π ( ( )) 5 = π 5 v.e. där v.e. står för volymsenheter. Om vi istället hr en kurv x = f(y) som roters kring y-xeln kn vi beräkn volymen v rottionskroppen som bilds genom tt istället nvänd snitt längs y-xeln. Om vi däremot hr en kurv y = f(x) som roters kring y-xeln måste vi hitt en funktion x = g(y) för tt kunn nvänd denn metod och det är inte ens säkert tt en sådn funktion existerr. För tt lös sådn problem sk vi istället titt närmre på en metod som nvänder cylindrisk skl istället för snittytor. Låt 0 b, f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och P = {x 0, x,..., x n } vr en prtition v [, b]. Eftersom f är kontinuerlig kn vi enligt extremvärdesstsen hitt punkter l i, u i så tt f(l i ) f(x) f(u i ) för ll x [x i, x i ], som i definitionen v integrlen. Om vi följer de två rektnglrn f(l i ) x i och f(u i ) x i när kurvn roters kring y-xeln kommer

31 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 3 dess tt spänn upp två cylindrr med tjocklek x i och höjd f(l i ) respektive f(u i ) så tt de hr volym respektive πf(l i )(x i x i ) = πf(l i )(x i + x i )(x i x i ) = πf(l i )(x i + x i ) x i πf(u i )(x i + x i ) x i Volymen V i v kroppen i motsvrnde område kommer då tt ligg någonstns melln dess två värden och enligt stsen om mellnliggnde värden existerr då ett tl c i [x i, x i ] så tt V i = πf(c i )(x i + x i ) x i och vi kn nu beskriv hel kroppens volym som Riemnnsummn n n V = V i = πf(c i )(x i + x i ) x i i= i= vilket om vi låter P 0 då n blir integrlen V = π xf(x)dx eftersom x i + x i x. Med hjälp v denn formel kn vi nu hitt volymen v kroppr som beskrivs v en kurv y = f(x) som roters kring y-xeln. Exempel 3. (Uppgift 6, sid. 398 i [?]). Vår uppgift är tt hitt volymen v den kropp som bilds då vi roterr en disk med rdien R runt en v dess tngentlinjer. På grund v symmetrin i problemet spelr det ingen roll vilken tngent vi väljer och vi kn därför pss på tt gör det enkelt för oss. Vi väljer därför en disk vrs mittpunkt ligger på x-xeln i punkten x = R och som tngerr y-xeln. Vi vill nu hitt volymen v rottionskroppen som bilds när vi roterr denn kring y-xeln och för tt gör dett sk vi nvänd oss v cylindrisk skl. Vi kn beskriv ovnsidn v disken med kurvn y = R (x R) (kn härleds ur ekvtionen (x R) + y = R som beskriver cirkeln). Genom tt nvänd metoden med cylindrisk skl kommer vi frm till följnde integrl som vi multiplicerr med för tt få med undersidn: R π x [ ] t = x R R (x R) dx = dt = dx 0 = 4π = 4π R R R R = 0 + 4πR (t + R) R t dt t R R t dt + 4πR R ( ) πr = π R 3 v.e. R t dt där den sist rden följer v tt den först integrlen hr en udd integrnd över ett intervll som är symmetriskt kring x = 0 och den ndr integrlen är ren v en hlvcirkel. Noter tt π R 3 = πr(πr ), lltså ren v disken multiplicert med vståndet den färds när vi roterr den. Dett är ingen slump utn beskrivs v en sts som klls Pppus sts. Precis som mn kn nvänd metoden med snittytor för tt hitt volymen v rottionskroppr som bestäms v en kurv x = f(y) när den roters kring y-xeln kn vi även nvänd metoden med cylindrisk skl för tt hitt volymen v rottionskroppr som bestäms v en kurv x = g(y) när den roters kring x-xeln. Vi nvänder då horisontell rektnglr som ritr ut cylindrr runt x-xeln istället.

32 3 DAN STRÄNGBERG Metoden med snittytor kn generlisers till ndr kroppr än rottionskroppr. Allt som krävs är tt vi kn beskriv snittytns re som en funktion A(x). Till exempel kn snittytorn vr tringlr eller rektnglr. Det som är viktigt tt komm ihåg är formeln V = A(x)dx Båglängd. Vi sk nu titt på hur vi kn nvänd integrler för tt hitt längden v en kurv y = f(x). Låt A, B R vr två punkter i plnet och låt C vr en kontinuerlig kurv från A till B. Låt AB beteckn den rk linje som går melln A och B och låt AB vr dess längd. Om vi betecknr längden v C med C vet vi tt C AB eftersom den kortste sträckn melln två punkter är en rk linje vrs längd vi kn beräkn med Pythgors sts. Idén är nu tt pproximer C med mång kort rk linjer. Om vi väljer ett ntl punkter A = P 0, P,..., P n = B i ordning längs C och bildr ll linjer P i P i kn vi pproximer längden v C med summn v ll de rk linjerns längder. Vi skriver längden v denn pproximtion som n L n = P i P i i= Nu är vi redo tt definier längden v C ordentligt. Definition 3.3. Längden, eller båglängden, v C är det minst tl x som uppfyller L n x för ll pproximtioner v C. Vi betecknr längden v C med C. Vi kn också se C som gränsvärdet v L n då n och P i P i 0 vilket kommer vr till hjälp. Vi sk nu titt på vd vi kn gör om C är grfen v en kontinuerligt deriverbr funktion f på [, b]. Låt P = {x 0, x,..., x n } vr en prtition v [, b]. Vi får då en pproximtion v dess grf genom tt sätt P i = (x i, f(x i )) vrs längd är n L n = P i P i = = i= n ( xi ) + (f(x i ) f(x i )) i= n ( ) f(xi ) f(x i ) + x i x i i= Nu kn vi nvänd medelvärdesstsen som då säger tt det finns ett tl c i [x i, x i ] så tt vilket ger oss formeln f(x i ) f(x i ) x i = f (c i ) L n = n + (f (c i )) i= Intuitivt betyder dett tt kurvn kn rits utn tt lyft pennn. En ordentlig genomgång v vd dett betyder hör hemm i flervribelnlys så vi sk br nvänd oss v dett för tt motiver specilfllet där kurvn är grfen v en funktion.

33 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 33 Här hr vi en Riemnnsumm som ger oss integrlen + (f (x)) dx som är lik med längden v C enligt definitionen. Noter tt vi på smm sätt kn få frm längden v en kurv x = g(y) vilket resulterr i smm formel med vribeln y och funktionen g istället för x och f. Exempel 3.4 (Uppgift 4, sid. 409 i [?]). Vi sk hitt längden v kurvn y = ln ln(e x ) ln(e x + ) melln x = och x = 4. Först beräknr vi dy dx : dy dx = d dx (ln(ex ) ln(e x + )) = ex e x ex e x + = ex (e x + ) e x (e x ) (e x )(e x + ) = ex e x Vi nvänder dett i formeln för båglängd: 4 ( ) dy 4 ( + dx = + dx = = = = = = = e x (e x ) ) dx e 4x e x + + 4e x (e x ) dx (e x + ) (e x ) dx e x + e x dx e x e x dx + e x e x dx + e x e x dx + e x e x dx 4 e x dx + e x e x e x dx 4 4 e x e x dx dx = [ ln(e x ) ] 4 [x]4 = (ln(e 8 ) ln(e 4 )) (4 ) = ln ( e 8 e 4 ) = ln ( e 4 + ), 0 4 e x e x dx ( e x ) e x = +

34 34 DAN STRÄNGBERG 3.0. Areberäkningr igen. Vi sk nu nvänd vd vi kn om båglängder för tt beräkn ren v rottionsytor. Vi kn tänk oss rottionsytorn som sklet på en rottionskropp. När vi skpde rottionskroppr roterde vi hel området under en grf runt en xel. Nu sk vi br roter grfen. För tt gör det enkelt för oss kommer vi enbrt tt motiver dett med hjälp v differentiler. Den som känner sig extr mbitiös kn ro sig med tt härled dess formler mer formellt med hjälp v Riemnnsummor på liknnde sätt som tidigre. Vi får frm ren v rottionskroppen genom tt summer ll reelement da. Hur ser då dess relement ut? När vi roterr ett litet båglängdselement dl = + f (x)dx på vståndet r från xeln sveper det ut reelementet da = πrdl och genom tt summer ll dess får vi ren v hel rottionsytn. Om rottionsxeln är x-xeln hr vi r = f(x) och om rottionsxeln är y-xeln hr vi istället r = x. Dett leder oss till följnde sts vrs bevis lämns till den som känner sig extr mbitiös. Sts 3.5. Låt f vr en funktion som är kontinuerligt deriverbr på [, b] och låt S vr rottionsytn som bilds då kurvn y = f(x) roters runt x-xeln. Då ges ren A(S) v A(S) = π x=b y dl = π x= f(x) + f (x)dx Om S istället bilds genom rottion runt y-xeln ges ren v A(S) = π x=b x dl = π x= x + f (x)dx Smm sk gäller om vi hr en kurv x = g(y) om vi byter ut det som behövs. Exempel 3.6 (Uppgift 37.(), sid. 40 i [?]). Vi roterr området melln kurvn y = x och x-xeln runt x-xeln för x [, ) och beräknr dess volym. Kroppen ser lltså ut som en oändligt lång näverlur. För tt gör dett nvänder vi snittytor längs x-xeln. Enligt formeln från tidigre hr vi V = π = π [ x (f(x)) dx x dx ] = π = π(0 ( )) = π v.e. Exempel 3.7 (Uppgift 37.(b), sid. 40 i [?]). Upplägget är smm som i?? men denn gång är uppgiften tt beräkn ren v den rottionsyt som bilds då kurvn roters kring x-xeln.

35 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 35 Enligt formeln för ren hr vi A = π = π = π π = π = π y dl + x x 4 + x x 4 dx x 4 x x 4 dx dx x x dx ( x ) dx så ytn hr en oändlig re. = π [ln x] ( ) = π lim ln x 0 = x Dess två exempel visr tt rottionskroppen hr en ändlig volym men en oändlig re. Dett kn verk som en prdox men är en helt korrekt slutsts. Problemet ligger inte i mtemtiken utn snrre i vår förmåg tt hnter oändlig objekt. I [?] ges en förklring till vrför dett sker med hjälp v målrfärg. För tt mål denn näverlur krävs ett lger färg som hr en viss konstnt tjocklek. Eftersom luren blir mindre och mindre ju längre åt höger vi tittr kommer vi till en punkt då det får plts mindre färg inuti luren än som finns i färglgret på utsidn och därför går det åt mer färg för tt mål den än tt fyll den. Vi sk nu lämn integrlern och titt på någonting nnt. 4. Tlföljder och serier 4.. Tlföljder. Vi hr redn stötit på en del ändlig tlföljder (en prtition v ett intervll till exempel) men vi sk nu börj titt närmre på oändlig tlföljder. För enkelhetens skull nvänder vi br tlföljd och utesluter oändlig. Intuitivt är en tlföljd en mängd tl {,, 3,... } med en börjn men utn slut. Vi kn även tänk oss följder som inte är tl i vnlig mening men följdern vi är intresserde v nu är följder där ll i är reell tl. Mer specifikt är en tlföljd en funktion som till vre positivt heltl ssocierr ett tl, f(n) = n. Det är lltså en ordnd mängd v (uppräkneligt) oändligt mång tl. Vi kllr följden rekursiv om vi kn beräkn n utifrån de tidigre tlen,,..., n om vi specificerr tillräckligt mång för tt börj. Till exempel kn Fibonccitlen beskrivs som följden =, =, n = n + n Vi kn även nvänd tlföljder som börjr på 0 eller till och med ett negtivt heltl utn problem. Oft börjr mn på ett tl som gör tt formeln för följden blir så smidig som möjligt. Ett vnligt skrivsätt för tt indiker tt någonting är en oändlig följd är { n } n=. Vi kommer br tt skriv { n } om det inte är viktigt tt specificer vr följden börjr och det är då underförstått tt den är oändlig.

36 36 DAN STRÄNGBERG Terminologin för olik typer v följder är i stort sett lånd från motsvrnde typ v funktion. Definition 4.. En tlföljd { n } klls () neråt begränsd v L och vi säger tt L är en undre begränsning om L n för ll n. () uppåt begränsd v M och vi säger tt M är en övre begränsning om n M för ll n. (3) begränsd om den är både uppåt begränsd och neråt begränsd. (4) positiv om 0 är en undre begränsning. (5) negtiv om 0 är en övre begränsning. (6) växnde (strikt) om n n+ ( n < n+ ) för ll n. (7) vtgnde (strikt) om n n+ ( n > n+ ) för ll n. (8) monoton om den är ntingen växnde eller vtgnde. (9) lternernde om n n+ < 0 för ll n. n n+ < 0 gäller om och endst om n och n+ hr olik tecken, vilket förklrr vrför de klls lternernde. Om någon v dess egenskper gäller för ll n efter ett visst N säger vi tt den uppfyller det till slut. Till exempel kn en följd vr vtgnde till slut. På liknnde sätt som vi titt på hur en funktion f(x) beter sig när x kn vi titt på hur en tlföljd { n } beter sig när n. Vi gör därför en definition lik den för gränsvärden v funktioner. Definition 4.. En tlföljd { n } konvergerr mot gränsvärdet L och vi skriver lim n n = L om det för vrje positivt tl ε existerr ett heltl N så tt n L < ɛ för ll n N. Definitionen säger tt för en konvergernde följd kn vi komm hur när gränsvärdet som helst genom tt välj ett tillräckligt stort n. Den säger också tt för ll tillräckligt stor n kommer följden lltid tt befinn sig på ett visst vstånd från gränsen, följden kn ldrig lämn den omgivningen v gränsvärdet. Exempel 4.3. Följden n = n konvergerr mot 0. För tt vis dett ntr vi tt det finns ett tl ε så tt följden ldrig når [0, ε). Det betyder tt ε < n n < ε för ll n N, men eftersom ε är ett positivt tl existerr ett minst heltl så tt N > ε så för dett N, och ll större heltl, hr vi ε > N = N. Denn motsägelse visr tt vårt grundntgnde tt följden inte konvergerr mot 0 vr felktigt. Mn kn generliser det tidigre exemplet till tt vis tt följden n = b konvergerr mot np 0 för ll b R och p > 0. Precis som tidigre säger vi tt en följd divergerr mot oändligheten, negtiv oändligheten eller br divergerr om den inte konvergerr. Om vi hr en funktion f(x) och sätter f(n) = n får vi tt om lim x f(x) = L så gäller även lim n = L och därför gäller räknereglern för gränsvärden v funktioner också för gränsvärden n v följder. Till exempel hr vi tt om n b n till slut hr vi tt lim n lim b n och på n n motsvrnde sätt med krmstsen. Vi sk nu gå igenom ett pr stser som hjälper oss tt vgör om viss typer v följder konvergerr eller inte.

37 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 37 Sts 4.4. Om följden { n } konvergerr så är den begränsd. Sts 4.5. Om { n } är växnde (vtgnde) till slut så är den ntingen uppåt (neråt) begränsd och konvergerr eller så är den inte det och divergerr mot oändligheten (negtiv oändligheten). 4.. Oändlig serier. En oändlig serie, eller oändlig summ, är en summ över oändligt mång termer. För tt gör dett mer ordentligt behöver vi börj med en följd { n } och vi kn sedn definier n = n= Precis som vi kn h följder som börjr på ndr tl än kn vi även h serier som börjr på ndr tl än. Noter tt när vi hr oändligt mång termer kn ordningen vi summerr i h stor betydelse. Därför summerr vi lltid från vänster till höger i en oändlig serie. För tt gör dett definierr vi en ny följd, följden v prtilsummor, enligt s = s = s +. s n+ = s n + n+ Vi kn nu definier vd det innebär tt en oändlig serie hr en ändlig summ. Definition 4.6. Vi säger tt serien n konvergerr mot summn s om följden v prtilsummor konvergerr mot s. n= Om serien inte konvergerr nvänder vi smm terminologi som för följder. Vi sk nu titt lite på ett pr slutstser vi kn dr om serier direkt från vår kunskp om följder. Om n = s betyder det enligt definitionen tt lim s n = s så skillnden melln vrje pr n= n v på vrndr följnde steg i följden s n måste minsk och gå mot 0 (här finns nånting djupre, konceptet om en Cuchyföljd, som är väldigt viktig inom nlys och topologi). För tt dett sk vr möjligt måste lim n = 0 gäll. Dett leder oss till följnde sts. n Sts 4.7. Om n= n konvergerr gäller lim n n = 0. Denn sts betyder också tt om lim n 0 eller inte existerr så kommer serien n tt n n= diverger. Det är viktigt tt komm ihåg tt omvändningen v stsen inte gäller. Vi kommer se exempel på serier där n 0 men n divergerr. Sts 4.8. Serien n konvergerr om och endst om n= n=n n konvergerr för ll heltl N. Den här stsen säger tt vi kn strunt i ett ändligt ntl termer i en serie utn tt påverk dess konvergens. Det lättste sättet tt inse det på är knske tt se serien som en följd v prtilsummor. Om vi tr bort börjn v följden ändrr det inte på hur följden beter sig i slutet.

38 38 DAN STRÄNGBERG Följnde sts är en direkt följd v stsen tt en följd som är växnde till slut måste ntingen konverger eller diverger mot oändligheten tillämpd på följden v prtilsummor. Sts 4.9. Om följden { n } är positiv till slut så kommer serien n ntingentt konverger eller diverger mot oändligheten. Slutligen kn vi nvänd oss v gränsvärdet för följder för tt få frm någr räkneregler för serier. Sts 4.0. Låt n = A < och b n = B <. Då gäller () () n= n= k n = ka för ll konstnter k R. n= ( n ± b n ) = A ± B. n= (3) Om n b n för ll n så gäller A B. Vi sk nu definier ett ntl olik typer v series som vi kommer tt titt närmre på näst föreläsning. Definition 4.. En serie n klls positiv om n 0 för ll n. n= Om en serie är positiv kommer dess följd v prtilsummor tt vr positiv och växnde. Definition 4.. En serie n klls bsolutkonvergent om n konvergerr. Om en serie n= är konvergent men inte bsolutkonvergent säger vi tt den är betingt konvergent. Mn kn vis tt en serie som är bsolutkonvergent också är konvergent. Sts 4.3. Om serien n konvergerr så konvergerr även n. n= Definition 4.4. En serie n klls lternernde om n n+ < 0 för ll n. n= Vi sk nu titt på en typ v sere som är väldigt vnlig och väldigt viktig. Definition 4.5. En geometrisk serie är en serie på formen r n = + r + r + n= En geometrisk serie hr egenskpen tt n+ = rn = r. Denn egenskp kn vi utnyttj n rn för tt beräkn dess prtilsummor. Vi hr vilket ger oss, förutstt tt r, s n = + r + r + + r n rs n = r + r + + r n s n rs n = s n ( r) = r n = ( r n ) s n = ( rn ) r n= n= n=

39 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 39 Om r = kn vi enkelt räkn ut prtilsummn enligt n s n = r i = = n i= Vi kn nu t gränsvärden och få frm värdet v en geometrisk serie. Vi formulerr resulttet i en sts. Sts 4.6. n= r n Exempel 4.7 (Uppgift 8, sid. 509 i [?]). = 0 om = 0 = om r < r = om r och > 0 = om r och < 0 divergerr om r och 0 e n = ( ) n e Eftersom e < kn vi få ut svret direkt ur formeln för en geometrisk serie där vi hr = och r = e. e n = e = e e = e e 4.3. Positiv serier. Det finns mång tester mn kn gör på positiv serier för tt vgör dess konvergens. Det först testet vi sk titt närmre bygger på liknelsen mn kn gör melln en oändlig serie och ren v oändligt mång rektnglr som ll hr bredd och den n:te hr höjden n. Vi kn då nvänd oss v en integrl för tt vgör om serien konvergerr eller divergerr. Om vi hr en funktion f(x) så tt f(n) = n till exempel och vi vet tt integrlen divergerr så är det rimligt tt serien n också divergerr. Det visr sig tt vår intuition i dett fll leder oss till följnde sts. n= Sts 4.8. Låt { n } vr en följd och låt f vr en positiv, kontinuerlig och vtgnde funktion på intervllet [N, ) så tt n = f(n). Då kommer serien och integrlen N n= n f(x)dx båd tt konverger eller diverger mot oändligheten. Den här stsen är nvändbr när vi hr en sekvens som vi enkelt kn beskriv som värdet v en funktion i heltl. Vi visr dett med ett exempel.

40 40 DAN STRÄNGBERG Exempel 4.9. Serien n= klls för den hrmonisk serien. Vi ser tt vi kn beskriv serien n med n = f(n) där f(x) =. Eftersom det här är en funktion som vi kn integrer kn vi x nvänd integrltestet för tt vgör om serien konvergerr eller divergerr. x dx = [ln x] = ( lim ln x ln ) x = Eftersom integrlen divergerr säger integrltestet oss tt även serien måste diverger. Dett exempel ger oss även ett exempel på en serie där lim n = 0 men serien ändå divergerr. n Vi kn nvänd integrltestet för tt vis ett mer llmänt och viktigt resultt. n= n p { konvergerr om p >. divergerr om p. Dess serier klls p-serier. Mn kn även nvänd idén bkom integrltestet för tt pproximer summn v en serie. Vi kommer inte tt titt närmre på dett utn lämnr det till den intresserde tt undersök sken på egen hnd. Näst test vi sk undersök närmre kn sägs vr en serieversion v jämförelsetestet för indefinit integrler som vi stötte på tidigre (sts??). Sts 4.0 (Jämförelsetestet). Låt { n } och {b n } vr två tlföljder för vilk det existerr en konstnt K så tt 0 n Kb n till slut. Då gäller tt om serien b n konvergerr gör även n det. Dessutom, om n divergerr mot oändligheten gör även b n det. n= n= I nvändndet v denn sts vill vi lltså jämför med en serie som vi redn vet konvergerr eller divergerr. Här är geometrisk serier väldigt nvändbr. Exempel 4. (Uppgift 6, sid. 59 i [?]). Vi hr serien n=8 π n. Här kn vi nvänd oss v + 5 en geometrisk serie och stsen ovn för tt vis tt den konvergerr. Vi gör på följnde sätt. π n + 5 π ( n = π vilket vi kn t som vår följd b n med K =. Vi hr ( ) n = π π ) n = π π eftersom det är en geometrisk serie med = och r =. Eftersom denn serie konvergerr ( ) π måste även n konverger och vi kn då nvänd jämförelsetestet för tt vis tt den π n=8 n= n=

41 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 4 ursprunglig serien också konvergerr. n=8 π n + 5 p-serier är också väldigt nvändbr i jämförelsetestet, speciellt när termern är på formen där P är ett polynom. P (n) Det finns en lite mindre generell men enklre version v jämförelsetestet som kn vr enklre tt nvänd. Sts 4.. Låt { n } och {b n } vr två serier så tt där L 0 eller L =. Om L < och lim n n= n b n = L L > 0 och b n divergerr så divergerr även n. n= b n konvergerr så konvergerr även n= n= n. Om Vi ger ing exempel på nvändndet v denn sts (den kn nvänds i princip i smm tillfällen som den vnlig jämförelsestsen) utn går istället vidre till näst konvergenstest. Sts 4.3 (Kvottestet). Låt { n } vr en tlföljd som är strikt positiv till slut och så tt L = n+ lim existerr eller är. n n () Om 0 L < konvergerr n. n= () Om < L så gäller lim n = och n divergerr mot oändligheten. n n= (3) Om L = ger testet ingen informtion. p-serier hr ll L = och ders konvergens eller divergens kn därför inte vgörs med kvottestet. Därför är kvottestet inte nvändbrt när termern är rtionell funktioner v n. Som tur vet vi redn hur p-serier beter sig. Exempel 4.4 (Uppgift 8, sid. 59 i [?]). Vi hr n. Vi testr kvottestet: så serien konvergerr enligt kvottestet. n+ lim = lim n n n n= (n + ) 4 (n + )! n 4 n! n! (n + ) 4 = lim n (n + )! n 4 ( ) 4 n + = lim n n + n = 0 < n 4 n!. Följden { n} är strikt positiv för ll Vi sk titt på ett sist konvergenstest som är exklusivt för positiv serier innn vi går vidre.

42 4 DAN STRÄNGBERG Sts 4.5 (Rottestet). Låt { n } vr en tlföljd som är strikt positiv till slut och för vilken L = lim ( n) n existerr eller är. n () Om 0 L < konvergerr. n= () Om < L så gäller lim n = och n divergerr mot oändligheten. n n= (3) Om L = ger testet ingen informtion. Som kn misstänks från dess utseende kn rottestet vr nvändbrt när vi hr serier där termern hr n som en exponent. Exempel 4.6 (Uppgift 38, sid. 59 i [?]). Vi hr ll n. Vi testr rottestet: så serien konvergerr enligt rottestet. n= ( lim ( n) /n n+ = lim n n n n = lim n /n = lim n /n n = 0 < n+ n n. Följden { n} är strikt positiv för 4.4. Alternernde och icke-positiv serier. Ingen v testen i förr vsnittet kn nvänds för serier där termern ntr både negtiv och positiv värden. Vd vi kn gör är tt undersök om serien istället är bsolutkonvergent. Om serien är bsolutkonvergent vet vi från förr föreläsningen tt den även är konvergent i vnlig mening. Om serien är bsolutkonvergent kn testt med de tidigre testern. Om serien inte är bsolutkonvergent vet vi dock inte om den divergerr eller om den är betingt konvergent. För lternernde serier hr vi dock följnde sts. Sts 4.7. Låt { n } vr en följd som uppfyller () n+ n < 0 för ll n N. () n+ < n för ll n N. (3) lim n n = 0 Då konvergerr serien n. n= Exempel 4.8. Den lternernde hrmonisk serien ( ) n konvergerr. Vi kn nvänd n= n stsen ovn för tt vis dett: () n+ n = ( )n ( ) n = ( )n < 0 för ll n. n + n n(n + ) () Eftersom { n } är följden v termer för hrmonisk serien som är strikt vtgnde följer tt n+ < n för ll n. ( ) n (3) lim = 0 vilket kn viss med till exempel krmstsens motsvrighet för följder. n n Den lternernde hrmonisk serien uppfyller lltså ll krv och konvergerr lltså. Eftersom vi vet tt den inte är bsolutkonvergent är den lltså betingt konvergent. ( n ) /n n n ) /n

43 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 43 En serie som endst är betingt konvergent kräver tt termern dyker upp i en viss ordning för tt tillräckligt mång utv dem sk kunn t ut vrndr. Till exempel kn vi rrnger om termern i den lternernde hrmonisk serien så tt den divergerr mot oändligheten eller negtiv oändligheten. Mn hr fktiskt stor vlmöjlighet när mn rrngerr om termern i en betingt konvergent serie, som vi ser v följnde sts. Sts 4.9. Låt L vr ett reellt tl. Då kn en betingt konvergent serie rrngers om så tt den är betingt konvergent mot L eller divergerr mot ± eller br divergerr. En sboslutkonvergent serie konvergerr mot smm tl ovsett ordningen på termern Potensserier. Definition En potensserie runt b är en serie på formen n (x b) n = 0 + (x b) + (x b) + Konstntern { n } klls för koefficienter. Punkten b klls för centrumpunkt. Vi kn se en potensserie som en geometrisk serie där r beror v x och inte längre behöver vr konstnt. Konvergensen för en potensserie är lite mer subtil än för ndr serier. Eftersom en potensserie är en funktion kn den konverger eller inte beroende på i vilken punkt vi befinner oss. En potensserie runt b konvergerr lltid i b eftersom den end term som inte är 0 är den först, 0. Följnde sts beskriver konvergensen v en potensserie. Sts 4.3. För en potensserie runt b gäller en v följnde: () Serien konvergerr endst i centrumpunkten x = b. () Serien konvergerr för ll tl x R. (3) Det existerr ett tl R R så tt serien konvergerr i ll tl x (b R, b + R) och divergerr för ll x (, b R) (b + R, ). I smtlig fll är serien bsolutkonvergent där. Vd som händer i ändpunktern x = b R och x = b+r i fll 3 beror på seriens utseende. Dess punkter måste undersöks seprt och serien kn h olik beteende i punktern. Till exempel kn den vr betingt konvergent i en men diverger mot negtiv oändligheten i ndr. Tlet R i fll 3 klls för seriens konvergensrdie. Vi utvidgr konvergensrdien till de övrig två fllen genom tt säg tt R = 0 i fll och R = i fll. Genom tt nvänd kvottestet på en potensserie kn mn oft hitt dess konvergensrdie. Det leder oss till följnde sts. Sts 4.3. Låt { n } vr en sts där L = lim n+ n n existerr. Då hr potensserien n (x b) n konvergensrdien R =. Om L = 0 är R = och om L = är R = 0. L

44 44 DAN STRÄNGBERG Exempel Låt n =. Enligt stsen ovn hr vi då: n! så potensserien konvergerr för ll x R. Fktum är tt den här potensserien smmnfller med e x. x n n! lim n n+ n = lim n (n + )! n! = lim n n + = 0 R = Eftersom potensserier också är funktioner kn mn funder på vd vi kn gör med dess funktioner, till exempel ddition, derivering och integrering. Vi sk nu gå in på det och för tt förenkl det för oss sk vi begräns oss till potensserier med x = 0 som centrumpunkt (om mn vill h diskussionen för llmänn potensserier kn mn genomför vriebelbytet x = y b). Vi börjr med tt titt på ddition v två potensserier. Om vi hr två potensserier med smm centrumpunkt är det inte svårt tt tänk sig tt dess borde gå tt dder eller subtrher under rätt förutsättningr. En rimlig förutsättning för dett är tt båd potensseriern sk konverger i punktern mn tittr på. Dett visr sig vr fllet och vi formulerr resulttet mn kn komm frm till i följnde sts. Sts Låt n x n vr en potensserie med konvergensrdi R och låt b n x n vr en potensserie med konvergensrdie R b smt låt k vr en konstnt. Då gäller följnde: () (k n )x n hr konvergensrdie R och dess värde smmnfller med k n x n för ll () x där n x n konvergerr. n ( n + b n )x n hr konvergensrdie R min{r, R b } och dess värde smmnfller med n x n + b n x n för ll x där båd seriern konvergerr. För multipliktion inför vi en ny produkt melln serier, Cuchyprodukten. Definition Cuchyprodukten v två potensserier n x n och b n x n är potensserien c n x n där c n = n i b n i=0 Den här definitionen motivers enkelt v tt genomför en formell multipliktion v de båd seriern och sml ihop ll termer som hör till smm potens v x. Det visr sig precis som i fllet med summn tt denn ( ny potensserie hr konvergensrdie R min{r, R b } och tt dess ( ) värde smmnfller med n x n) b n x n där de båd summorn konvergerr. Division v potensserier går också men är mer komplicert än multipliktion. Vi kommer inte tt t upp

45 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 45 det här utn den intresserde kn läs om det på wikipedi, som för övrigt är ett utmärkt komplement där mn kn spender timmr i sträck på tt läs om rolig och spännnde mtemtik. Nu sk vi titt på derivering och integrering v potensserier. Eftersom en potensserie kn likns med ett oändligt långt polynom kn mn förvänt sig tt derivering och integrering fungerr som för polynom inom potensseriens konvergensrdie, så tt vi kn deriver och integrer term för term. Det visr sig tt vår förväntningr infris. Sts Låt potensserien R > 0 är seriens konvergensrdie. Då gäller följnde: n x n konverger till summn f(x) för ll x ( R, R) där () f är deriverbr på ( R, R) och f (x) = n n x n n= för ll x ( R, R). () f är integrerbr över ll slutn delintervll [, b] ( R, R) och om x < R hr vi x 0 f(t)dt = n n + xn+ I synnerhet säger den här stsen tt f, eftersom dess derivt också är en potensserie med smm konvergensrdie, är en oändligt deriverbr funktion inom konvergensrdien. Fktum är tt funktioner som kn beskrivs med en potensserie klls för nlytisk funktioner och därför är ll nlytisk funktioner oändligt deriverbr. Däremot är inte ll oändligt deriverbr funktioner nlytisk! I synnerhet måste en potensserie då vr kontinuerlig i hel intervllet ( R, R). Fktum är tt den dessutom är kontinuerlig i eventuell ändpunkter där den konvergerr. Dett brukr klls Abels sts. Specifikt betyder dett tt om n R n konvergerr för något R > 0 så gäller tt lim x R n ( R) n. n x n = n R n och om n ( R) n konvergerr hr vi lim x R+ n x n =

46 46 DAN STRÄNGBERG Exempel Låt f(x) = x n. Vi hr redn sett tt denn potensserie konvergerr för ll n! x R. Med hjälp v ovnstående sts kn vi nu deriver och integrer den. f (x) = n n x n = = n= n= n= nx n n! x n (n )! = [ m = n ] x m = m! m=0 = f(x) så dess derivt är smm funktion. På smm sätt kn vi få frm tt dess integrl också är smm funktion Tylorserier. Vi sk nu titt närmre på kopplingen melln potensserier och funktioner som vi hr snuddt vid. Vi sk återgå till tt titt på serier med godtycklig centrumpunkt x = b. Först gör vi en definition för tt gör det hel mer precist. Definition En potensserie n (x b) n med konvergensrdie R som på intervllet (b R, b + R) smmnfller med en funktion f klls för en representtion v f på det intervllet. Genom tt deriver en representtion v en funktion term för term kommer vi frm till följnde sts. Sts Låt n (x b) n vr en representtion v funktionen f på intervllet (b R, b+r) där R > 0 är potensseriens konvergensrdie. Då hr vi för ll n 0. n = f (n) (b) n! Vi hr redn sett tt en funktion som är nlytisk på ett intervll, lltså hr en representtion där, är oändligt deriverbr på intervllet. Denn sts säger oss dessutom tt det br finns en unik representtion med centrumpunkt x = b. Dett leder oss till följnde definition. Definition Låt f vr en funktion som är oändligt deriverbr i punkten x = b. Då klls serien f (n) (b)(x b) n n! för Tylorserien v f runt b. Om b = 0 nvänds oft Mclurinserie istället. Prtilsummn s n v serien ovn klls för f:s Tylorpolynom v ordning n. Vi kn nu säg tt en funktion är nlytisk i en punkt x = b om den hr en Tylorserie där och Tylorserien konvergerr till funktionen i en omgivning v b. Vi är dock inte grnterde tt en Tylorserie gör dett även om funktionen den representerr är oändligt deriverbr (ll oändligt deriverbr funktioner vr ju inte nlytisk). Vi är fktiskt br grnterde tt den

47 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 47 konvergerr till funktionens värde i centrumpunkten. Även om Tylorserien konvergerr utnför centrumpunkten är vi inte grnterde tt den konvergerr mot funktionen. Vi kn nu vis tt potensserien som vi misstänker beskriver funktionen f(x) = e x fktiskt gör det. För tt gör dett tr vi frm funktionens Tylorserie runt x = 0, ser tt den är smm som potensserien vi tidigre rbett med och visr tt den konvergerr mot e x överllt. Exempel 4.4. Låt g(x) vr f:s Tylorserie runt x = 0. Enligt definition hr vi då. f (n) g(x) = (0)(x 0) n n! e 0 = n! xn = x n n! vilket är smm serie som vi hr stötit på tidigre. Sedn tidigre vet vi dessutom tt g(x) konvergerr för ll x R och tt den uppfyller ekvtionen g (x) = g(x). Dett är en differentilekvtion v först ordningen. Vi sk titt närmre på differentilekvtioner näst föreläsning men vi löser denn med en gång. Vi hr då d dx ( ) g(x) = g (x)e x g(x)e x e x e x = g(x)ex g(x)e x e x = 0 så vi hr g(x) = C där C är en konstnt. Därför hr vi g(x) = Ce x. Om vi sätter in x = 0 får e x vi g(x) = e x eftersom g(0) = =. Alltså smmnfller f och dess T ylorserie för ll x R och vi vet då tt e x är en nlytisk funktion på hel R. Viss Mclurinserier kn också fås direkt v en geometrisk serie. Till exempel får vi tt x = x n för ll x (, ). Vi kn även nvänd oss v termvis derivering och integrering för tt hitt Tylorserier till en funktions derivt respektive integrl på rätt konvergensintervll. Vi vslutr med tt titt på närmre på Tylorpolynomen. Sts 4.4 (Tylors sts). Låt f vr n + gånger deriverbr i en omgivning v x = b och låt P n (x) vr f:s Tylorpolynom v grd n runt x = b. Då gäller följnde formel som klls för Tylors formel: f(x) = P n (x) + R n (x) där restermen R n (x) ges v de båd formlern R n (x) = f (n+) (n + )! (z)(x b)n+ för något z melln x och b R n (x) = n! x b (x t) n f (n+) (t)dt

48 48 DAN STRÄNGBERG Med hjälp v Tylors sts kn mn vis tt en funktion är nlytisk i en punkt genom tt vis tt R n (x) 0 då n. 5. Differentilekvtioner 5.. En snbb klssificering. Det finns mång olik typer v differentilekvtioner. Vi måste börj med tt gå igenom nomenklturen. Definition 5.. En differentilekvtion är en ekvtion som innehåller en eller fler derivtor v en okänd funktion. En lösning till en differentilekvtion är en funktion som uppfyller ekvtionen. Denn definition utesluter givetvis inte tt ekvtionen även innehåller funktionen själv eller ndr specificerde funktioner. Vi sk nu börj speciliser oss mot något vi kn lös med hjälp v vd vi hittills hr lärt oss. Det finns även system v differentilekvtioner som är ekvtionssystem där vrje ekvtion är en differentilekvtion. Vi sk inte gå in på dess utn br håll oss till ensmm differentilekvtioner. Definition 5.. En ordinär differentilekvtion (ODE) är en differentilekvtion som br innehåller derivtor med vseende på en vribel. Ordningen v en differentilekvtion är den högst derivt som förekommer i ekvtionen. Vi kommer här br tt undersök ordinär differentilekvtioner v ordning och. En differentilekvtion som innehåller derivtor med vseende på fler än en vribel klls för en prtiell differentilekvtion (PDE). Dess är mycket svårre tt lös och en ordentlig genomgång v dess ges inte förrän på msternivå. Definition 5.3. En linjär ODE v ordning n är en differentilekvtion som kn skrivs på formen n (x)y (n) (x) + n (x)y (n ) (x) + + (x)y (x) + 0 (x)y(x) = f(x) En linjär ODE klls homogen om f(x) = 0, nnrs klls den inhomogen. Noter tt termen homogen nvänds på ett nnt sätt för ordinär differentilekvtioner som inte är linjär. Vi kommer inte tt gå in på dess men det är värt tt komm ihåg, speciellt om mn kommer läs mer om ordinär differentilekvtioner (mång v er kommer gör det!). Vi är nu redo tt säg lite mer. Sts 5.4. Om y (x) och y (x) är två lösningr till den linjär, homogen ODEn n (x)y (n) (x) + n (x)y (n ) (x) + + (x)y (x) + 0 (x)y(x) = 0 så är även ll linjär kombintioner y(x) = Ay (x) + By (x) också lösningr. Stsen är inte svår tt bevis, det är br tt stopp in den ny funktionen y(x) = Ay (x) + By (x) i ekvtionen och nvänd linjäriteten för tt sml ihop ll y -termer och y -termer för sig och se tt llt blir 0. Det finns även en liknnde sts för inhomogen ODEer. Sts 5.5. Om y (x) är en lösning till den linjär, homogen ODEn n (x)y (n) (x) + n (x)y (n ) (x) + + (x)y (x) + 0 (x)y(x) = 0 och y (x) är en lösning till den linjär, inhomogen ODEn n (x)y (n) (x) + n (x)y (n ) (x) + + (x)y (x) + 0 (x)y(x) = f(x) då är även funktionen y(x) = y (x) + y (x) en lösning till den linjär, inhomogen ODEn.

49 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 49 En ODE kn också ges tillsmmns med krv på en lösnings värde i en viss punkt x 0 smt på lösningens derivtors värde i x 0. En sådn ekvtion klls för ett initilvärdesproblem. Eftersom lösningen v en differentilekvtion innefttr integrtion kommer lltid godtycklig integrtionskonstnter tt följ med. I ett initilvärdesproblem kn en eller fler v dess konstnter bestämms. Det kn dock också händ tt den llmänn lösning vi får frm genom tt lös differentilekvtionen inte kn uppfyll initilvärdesproblemet för något värde på konstntern. I så fll sknr initilvärdesproblemet lösning. Vi sk nu börj titt närmre på någr ODEer som vi kn lös med hjälp v metodern vi utvecklt under kursens gång. En viktig sk tt komm ihåg när mn löser ODEer är tt det lltid går tt kontroller sin lösning genom tt sätt in den i ekvtionen och se om den är uppfylld. Om ni är osäkr, gör det! 5.. Först ordningens seprbl ODEer. Den först typen v ekvtioner vi sk titt på är ODEer v först ordningen som är seprbl. En seprbel ODE v först ordningen är en ODE som kn skrivs som dy dx = f(x)g(y) Vi börjr med tt skriv om ekvtionen som dy = f(x) och integrerr sedn båd sidorn g(y) dx med vseende på x vilket ger oss dy g(y) dx dx = f(x)dx g(y) dy = f(x)dx Dett ger oss vår lösning. Det är möjligt tt vi inte kn lös ut y som en funktion v x, men vi kn lltid deriver implicit och om vi gör dett för vår lösning kommer vi se tt den uppfyller ekvtionen. Exempel 5.6 (Uppgift 8, sid. 45 i [?]). dy dx = + y dy + y dx dx = + y dy = rctn y = x + C y = tn(x + C) Funktionen y(x) är då vår lösning till ekvtionen. Vi kn kontroller dett genom tt sätt in den i ekvtionen: Så lösningen är korrekt. dy dx = d (tn(x + C)) dx = + tn (x + C) = + y dx dx

50 50 DAN STRÄNGBERG 5.3. Först ordningens linjär ODEer. En llmän linjär ODE v först ordningen kn skrivs på formen dy + f(x)y = g(x) dx Som tidigre klls den homogen om g(x) = 0 för ll x där vi löser ekvtionen. Den homogen ekvtionen är seprbel och kn löss med metoden vi gick igenom nyss. Vi får då lösningen y = Ce F (x) där F är en primitiv funktion till f och C är en konstnt. Det finns två metoder för tt lös en sådn ekvtion om den är inhomogen. Den först metoden nvänder sig v en så klld integrernde fktor. Vi kommer tt gå igenom denn metod i detlj. Den klls så eftersom den integrernde fktorn gör tt vänsterledet blir en derivt. Den ndr metoden klls prmetervrition och går ut på tt vi byter ut konstnten i lösningen för den motsvrnde homogen ekvtionen mot en okänd funktion C(x) så tt vi får en funktion y(x) = C(x)e F (x) och sätter in denn ny funktion i ekvtionen och löser för C(x). Denn metod ingår inte i kursen men den fungerr utn modifiktion för ll typer v linjär ODEer, inte br v först ordningen, och även för mång PDEer. Den som är intresserd kn läs mer om denn metod på sidn 449 i [?]. Tillbks till den llmänn linjär ODEn v först ordningen: dy + f(x)y = g(x) dx Som integrernde fktor sk vi nvänd oss v e F (x) eftersom vi, om vi multiplicerr båd sidor v ekvtionen med denn funktion, får ( ) dy e F (x) dx + f(x)y = e F (x) F (x) dy g(x) e dx + ef (x) f(x)y = e F (x) g(x) d ( ) e F (x) y = e F (x) g(x) enligt produktregeln dx e F (x) y = e F (x) g(x)dx y(x) = e F (x) e F (x) g(x)dx Då är lltså funktionen y(x) som vi hr fått frm en lösning till ekvtionen. Exempel 5.7 (Uppgift, sid. 45 i [?]). Ekvtionen vi sk lös är dy dx + y x = x Eftersom den är linjär, v först ordningen och inhomogen nvänder vi oss v en integrernde fktor. Eftersom f(x) = x får vi F (x) = ln x så vår integrernde fktor blir e ln x = x. Vi multiplicerr båd sidorn v ekvtionen med denn och får då x dy dx + xy = d dx (x y) = x y = x + C y(x) = x + C x Egentligen borde vi vr försiktig i sist steget när vi dividerr med x eftersom dett kn vr 0. Vi kn dock se från ekvtionens ursprunglig utseende tt x måste vr skilt från 0. Vi

51 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 5 kontrollerr: dy dx + y x = x C x 3 + x + C x 3 så lösningen är korrekt. = x 5.4. Andr ordningens linjär ODEer med konstnt koefficienter. En llmän linjär ODE v ndr ordningen hr utseendet f (x) d y dx + f (x) dy dx + f 0(x)y = g(x) Vi sk titt närmre på specilfllet där ll f n (x) = n, konstnter. Vi börjr med tt titt närmre på den homogen ekvtionen: d y dx + dy dx + 0y = 0 dy Inspirerde v motsvrnde problem v först ordningen, + y = 0 som hr lösningen dx y(x) = Ce x, nsätter vi en lösning på formen y(x) = e rx. Insättning ger då d y dx + dy dx + 0y = 0 r e rx + r e rx + 0 e rx = 0 r + r + 0 = 0 Dett är en vnlig ndrgrdsekvtion som kn löss på vlfritt sätt, till exempel kvdrtkomplettering eller p q-formeln. Vi får tre fll beroende på om vi hr två olik reell rötter, en dubbelrot eller två komplex rötter. Det enklste fllet är om vi hr två olik reell rötter, r och r. Då är både y (x) = e rx och y = e rx lösningr till ekvtionen. Eftersom ekvtionen är linjär och homogen kommer då funktionen y(x) = Ay (x) + By (x) tt vr en lösning för ll konstnter A, B enligt stsen från vår llmänn diskussion om differentilekvtioner. Om vi hr två olik komplex rötter, som då utomtiskt är vrndrs konjugt, r = + bi och r = bi får vi y = e rx = e x e ibx och y = e rx = e x e ibx som två lösningr. Precis som i förr fllet hr vi då tt ll funktioner på formen y(x) = Ay (x) + By (x) också är lösningr. Det kn dock vr onsenligt tt h komplexvärd funktioner som lösningr till reell differentilekvtioner. Därför kn mn nvänd sig v identiten e ix = cos x + i sin x för tt skriv om lösningen. Med rätt vl v konstnter kn vi då istället skriv y(x) = Ce x cos(bx) + De x sin(bx) Om vi hr en dubbelrot r = r = r blir situtionen lite nnorlund. Vi hr fortfrnde en lösning y (x) = e rx men vi får ingen ndr lösning. Eftersom vi i de båd ndr fllen fick två lösningr misstänker vi tt vi borde kunn få en ndr lösning även här. Vi nvänder oss därför v prmetervrition och nsätter en ndr lösning på formen y (x) = C(x)y (x) som vi sätter

52 5 DAN STRÄNGBERG in i ekvtionen och löser för C(x). Vi finner då tt C(x) = x ger oss en ndr lösning. Precis som tidigre får vi då tt ll funktioner på formen är lösningr. y(x) = Ay (x) + By (x) = Ae rx + Bxe rx Nu sk vi ge oss i kst med tt lös den inhomogen ekvtionen d y dx + dy dx + 0y = f(x) Vi såg i den llmänn ekvtionen tt om y är en lösning till en inhomogen differentilekvtion och y löser den motsvrnde homogen ekvtionen så är även funktionen y(x) = y (x) + y (x) en lösning till den inhomogen ekvtionen. Eftersom vi redn vet hur vi hittr lösningr till den homogen ekvtionen består därför rbetet br v tt hitt en så klld prtikulärlösning y p (x), som löser den inhomogen biten. Vi får då tt ll funktioner på formen y(x) = y p (x) + Ay (x) + By (x) = y p + y h är lösningr, där y, y är lösningrn till den motsvrnde homogen ekvtionen. Det går tt hitt prtikulärlösningen med hjälp v prmetervrition, vi nsätter då med det extr krvet tt y p (x) = g (x)y (x) + g (x)y (x) g (x)y (x) + g (x)y (x) = 0 Efter insättning v y(x) i ekvtionen kn vi då lös ut g (x) och g (x) och få frm vår prtikulärlösning genom tt integrer dess. Eftersom denn metod inte ingår i kursen kommer vi inte titt närmre på denn utn den som är intresserd får vänd sig till kpitel 7 del 6 i [?], en lärobok i differentilekvtioner eller wikipedi. Istället sk vi hitt prtikulärlösningen med hjälp v kvlificerde gissningr. Vi vet redn tt prtikulärlösningen inte kn h formen v någon v lösningrn till den homogen ekvtionen. Därför testr vi istället en prtikulärlösning som hr ett utseende som liknr f(x) men multiplicerr denn eventuellt med ett polynom för tt se till tt prtikulärlösningen inte hr smm form som någon v de homogen lösningrn. Dett viss bäst med ett exempel. Exempel 5.8 (Uppgift 0, sid. 967 i [?]). Vi hr ekvtionen y + y + y = e x sin x. Vi löser först den homogen ekvtionen för tt få de homogen lösningrn. Dett leder till ekvtionen r + r + = 0 r = ± och vi får då röttern r = + i och r = i vilket ger oss den homogen lösningen y h = Ae x cos x + Be x sin x. Eftersom f(x) = y (x) kn vi inte test en prtikulärlösning på smm form som f(x). Vi testr därför tt multiplicer den med ett lämpligt polynom. Vi testr y p = Axe x sin x + Bxe x cos x. Eftersom jg hr förmågn tt fusk väljer jg br y p (x) = Axe x cos x: y p(x) = A(e x cos x xe x cos x xe x sin x) y p (x) = A( e x cos x e x sin x e x cos x + xe x cos x + xe x sin x e x sin x + xe x sin x xe x cos x) = A( e x sin x e x cos x + xe x sin x)

53 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 53 Insättning i ekvtionen ger oss y p (x) + y p(x) + y p (x) = A( e x sin x e x cos x + xe x sin x + e x cos x xe x cos x xe x sin x + xe x cos x) = A( e x sin x) Alltså måste vi h A = vilket ger oss y p = xe x cos x. Vi slänger nu ihop denn med de homogen lösningrn och får y(x) = xe x cos x + Ae x sin x + Be x cos x 5.5. Lösningsmängden. Vi hr sett tt det finns lösningr till ll differentilekvtioner vi hr gått igenom. Men finns det fler än de som vi fått frm? Det visr sig, knske inte så förvånnde, tt ett initilvärdesproblem v först ordningen v gnsk generell ntur hr unik lösning. Vi hittde trots llt formler för lösningen. För de ekvtioner vi undersökte v ndr ordningen är det inte lik självklrt. i gjorde trots llt br gissningr. Det visr sig dock tt så är fllet. Vi vslutr med en liten förklring v hur dett fungerr. Dett är lite överkurs. Definition 5.9. Vi kllr två funktioner f(x), g(x) linjärt oberoende om ekvtionen Af(x) + Bg(x) 0 br hr lösningen A = B = 0. Det är inte så svårt tt vis tt de lösningr vi fick frm för ndr ordningens linjär ODEer med konstnt koefficienter är linjärt oberoende. Vi sk nu titt på ett test för tt vis om två lösningr är linjärt oberoende. Definition 5.0. Wronskinen för två funktioner f, g är determinnten ( ) f(x) g(x) W (x) = det f (x) g (x) Sts 5.. Låt y, y vr två lösningr till ekvtionen d y dy + f(x) dx dx + g(x)y = 0 Då kommer Wronskinen ntingen tt vr nollskild överllt, i vilket fll de två lösningrn är linjärt oberoende, eller vr identisk noll,i vilket fll de två funktionern är linjärt beroende. Noter tt stsen är mer generell än det fll vi hr tittt på. Koefficientern behöver inte vr konstnt, de ekvtioner vi undersökte kn ses som ett specilfll v en ekvtion som i stsen ovn. Vi är nu redo tt ge stsen som visr tt vi hr hittt ll lösningr. Kom ihåg tt vi i ll tre fll hittde två linjärt oberoende lösningr. Sts 5.. Låt y, y vr två linjärt oberoende lösningr till ekvtionen d y dy + f(x) dx dx + g(x)y = 0 Då kn ll lösningr y skrivs på formen y(x) = Ay (x) + By (x) för någr konstnter A, B.

54 54 DAN STRÄNGBERG Bilg A. Topologi på R Topologi är ett stort område v mtemtiken som kn sägs hndl om kontinuerlig funktioner. Topologin börjr med definitionen v ett så kllt topologiskt rum som innehåller ett minimum v egenskper för tt mn sk kunn definier och studer kontinuerig funktioner på dess rum. Topologi hr mång tillämpningr, både i ndr grenr v mtemtiken och i fysiken. Vi kommer inte gå igenom topologi i sin mest generell form, dett skulle vr ett lldeles för stort projekt för ett ppendix, utn begränsr oss till hur R kn görs till ett topologiskt rum och vilk egenskper det hr. Dett gör tt mång bevis blir väldigt enkl. A.. Öppn mängder. Ett topologiskt rum är i princip en mängd där mn även hr specificert vilk delmängder mn nser som öppn. Dett vl v vilk öppn mängder som finns klls för en topologi. Vi hr tidigre tlt om öppn intervll och dess är nturligtvis kopplde till topologin på R. Vi gör det hel mer konkret med en definition. Definition A.. Ett öppet intervll är en delmängd (, b) R, dvs (, b) = {x R < x < b}. En delmängd A R klls öppen om A kn skrivs som en union v öppn intervll eller om A =. Denn union kn vr ändlig, uppräkneligt oändlig eller till och med överuppräkneligt oändlig. Vi skriver A R för tt indiker tt A är en öppen delmängd. Exempel A.. Följnde mängder är öppn: (0, ) (, 3) är unionen v två öppn intervll och är därför öppen. (, ) och (b, ) är båd öppn för vrje vl v, b R eftersom de kn skrivs som till exempel n= ( n, ) respektive n= (b, b + n). R som helhet är en öppen mängd. Till exempel hr vi R =,b R (, b) där vi låter (, b) = om b <. Unionen v öppn mängder är lltid öppen. Övning A.3. Vis tt en union v öppn mängder lltid är öppen, ovsett om unionen är ändlig eller inte. Mn kn även vis tt ett ändligt snitt v öppn mängder lltid är öppen men tt dett inte gäller för oändlig snitt. För tt kunn rbet med snitt på ett br sätt introducerr vi också slutn mängder. Definition A.4. En mängd klls sluten om dess komplement är en öppen mängd. Slutn mängder hr egenskpen tt snittet v slutn mängder, ovsett om det är ändligt eller ej, lltid är en sluten mängd. På motsvrnde sätt hr vi tt en ändlig union v slutn mängder lltid är sluten men dett gäller inte för oändlig unioner. Exempel A.5. Följnde mängder är slutn: [, b] är en sluten mängd för ll, b R eftersom dess komplement är (, ) (b, ) som enligt ovn är en öppen mängd. Både R och är slutn eftersom de är vrndrs komplement och båd är öppn. En viktig detlj tt noter är tt det finns mängder som är både öppn och slutn. I exemplen ovn finns till exempel R, som exempel på dess. Ett vnligt nmn för sådn mängder är slöppn mängder (clopen sets på engelsk). Det finns även delmängder som är vrken öppn eller slutn, till exempel intervll på formen [, b).

55 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 55 A.. Kontinuerlig funktioner. Vd hr då dett med kontinuerlig funktioner tt gör? Vi sk nu börj titt närmre på denn koppling. Vi gör så genom tt börj med en definition och diskuterr sedn denn definition. Definition A.6. En funktion f : D f R klls kontinuerlig i en punkt x D f om urbilden v vrje öppen mängd som innehåller y = f(x) är en öppen mängd, dvs. om B R innehåller y så är även A = f (B) = {x R f(x) B} en öppen mängd. Om funktionen är kontinuerlig i vrje punkt x D f klls funktionen kontinuerlig. Noter tt vi inte hr nämnt någr epsilon och delt. Dett är en definition som fungerr för en funktion f : A B där A, B är vilk topologisk rum som helst, inte br R med topologin från ovn (det finns ndr topologier på R där de öppn mängdern är nnorlund, den vi hr definiert här är den som leder till smm resultt som vi hr från tidigre). Fktum är tt för ett llmänt topologiskt rum kn mn inte prt om en definition v kontinuerlig funktioner med epsilon och delt eftersom dess bygger på tt vi kn prt om vstånd i vårt rum, vi behöver en så klld metrik. En mängd med en metrik klls för ett metriskt rum. Med hjälp v en metrik kn mn definier en nturlig topologi som leder till smm kontinuerlig funktioner som mn får från metriken. Däremot finns det topologisk rum där det inte går tt definier en metrik. Vrje metriskt rum är lltså också ett topologiskt rum men det finns topologisk rum som inte är metrisk rum. Denn definition v kontinuerlig funktioner är lltså mer generell än den gml. Det är viktigt tt det i definitionen är urbilden v en öppen mängd och inte bilden v en öppen mängd. Till exempel vill vi tt funktionen f(x) = x sk vr en kontinuerlig funktion men f(, ) = [0, ) som inte är en öppen mängd. Vd definitionen däremot säger är tt för vrje öppen mängd finns det en öppen mängd som vbilds in i den först mängden, dvs. för ll öppn mängder B R finns en mängd A R så tt f(a) B. Vi skulle kunn nvänd dett som vår definition istället. Här finns även kopplingen till den gml definitionen och en ledtråd till hur mn skpr öppn mängder från en metrik: Välj en punkt y R och ett öppet intervll (, b) som innehåller y. Om enfunktion f : R R är kontinuerlig sk vi lltså för vrje sådnt intervll, ovsett hur litet vi gör det, kunn hitt en öppen mängd vrs bild under f ligger inuti dett intervll. Låt f(x) = y och välj ett intervll (y ε, y+ε). Vi sk då kunn hitt ett intervll (x δ, x+δ) sådnt tt f(x δ, x+δ) (y ε, y+ε). Här hr vi vår gml definition igen. Noter dock tt vi här hr ntgit tt intervll v formen (x δ, x + δ) = { R 0 < x < δ} är en öppen mängd. Men här hr vi nvänt en metrik, nämligen vståndet melln punktern x, R är x. Om vi hr tillgång till en metrik kn vi på dett sätt skp öppn öppn mängder och sedn definier vår topologi som ll mängder som kn skrivs som unioner v dess öppn mängder. Innn vi går vidre nämner vi också tt en funktion är kontinuerlig om och endst om urbilden v vrje sluten mängd också är sluten. Med ndr ord, vi kn byt ut öppen mot sluten i definitionen v en kontinuerlig funktion utn tt förändr någonting. För tt kunn nlyser kontunerlig funktioner noggrnnre ur en topologisk synvinkel behöver vi nu någr fler definitioner. Definition A.7. En mängd A R klls smmnhängnde om den inte kn skrivs på formen A = B C där både B och C är icke-tomm, disjunkt, öppn mängder. En mängd A klls kompkt om den är sluten och begränsd, dvs vståndet melln två punkter x, y A är ldrig större än ett visst tl M <.

56 56 DAN STRÄNGBERG Noter tt vår definition v kompkt bygger på tt R är ett metriskt rum. Det finns en definition v en kompkt mängd som enbrt refererr till topologin på mängden men denn är mycket mer bstrkt och skulle t tid tt förklr. Vi nöjer oss med tt nämn tt för R är vår givn definition ekvivlent med denn rent topologisk definition. En typisk kompkt mängd A R är [, b]. Även en ändlig union v dess är kompkt. En typisk smmnhängnde mängd är ett intervll, även hel R är smmnhängnde. Det kn vr br tt tänk på dess typer v mängder när mn rbetr med dem för tt få en intuition. Det är dock viktigt tt komm ihåg tt det kn se nnorlund ut. Vi skulle nu vilj se vd kontinuerlig funktioner gör med dess speciell typer v mängder. Sts A.8. Låt f : D f R vr kontinuerlig och låt D f R vr smmnhängnde. Då är f(d f ) också smmnhängnde. Bevis. Låt B = f(d f ). Antg tt B inte är smmnhängnde, dvs. vi kn skriv B = U V där både U och V är smmnhängnde. Då är f (U) och f (V ) också öppn, icke-tomm, disjunkt delmängder v R. Dessutom hr vi D f = f (U) f (V ). Men då är D f unionen v två icke-tomm, disjunkt, öpnn mängder så D f är inte smmnhängnde. Denn motsägelse bevisr stsen. Sts A.9. Låt f : D f R vr kontinuerlig och låt D f R vr kompkt. Då är f(d f ) också kompkt. Beviset v denn sts är betydligt enklre om mn nvänder den mer bstrkt definitionen v vd ett kompkt rum är, vilket visr hur viktigt det kn vr tt h rätt definitioner. Vi utelämnr dett bevis och låter den intresserde läsren koll upp den topologisk definitionen v kompkt och beviset för ovnstående sts. Referenser. Robert A. Adms, Christopher Essex, Clculus: complete course, 7th edition, Person (00)