Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Transkript

1 Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A om x ligger tillräckligt när, men x. c B A Figur 1: Funktionen hr gränsvärdet A när x (men A f()). När x är gränsvärdet B = f(). Funktionen sknr gränsvärde när x c. Även om denn formulering gnsk precist säger vd det hel går ut på finns det ett prolem i den: vd etyder när och tillräckligt när? Stängt tget är yttrndet cos(x) ligger när cos(1) när x ligger tillräckligt när 1 inget påstående eftersom det inte går tt vgör om det är snt eller flskt. I mtemtik nvänder mn definitioner v egrepp för tt rigoröst evis olik företelser. Sådn evis är omöjlig om definitionern inte är precis. För tt preciser vd f(x) A, när x, sk etyd försöker vi först preciser närhet. Ett symmetriskt öppet intervll runt ett tl r klls en omgivning till tlet. En omgivning till r är lltså ett intervll v formen (r ɛ, r + ɛ), för något tl ɛ > 0. r ε r r+ε Figur 2: Omgivning till r med rdie ɛ. Definition 1.1 Att f(x) A, när x etyder tt det till vrje omgivning (vrje närhet ) till A finns en omgivning (en närhet ) till, så tt f(x) ligger i omgivningen till A när x ligger i omgivningen till, men x. Eftersom det ilnd är lättre tt hnter tl än egrepp som omgivningr, är det r tt h följnde omformulering v definitionen: Definition 1.2 Att f(x) A, när x, etyder tt det till vrje ɛ > 0 (omgivning till A) finns ett δ > 0 (omgivning till ) så tt f(x) A < ɛ (f(x) ligger i omgivningen till A), när 0 < x < δ (x ligger i omgivningen till, men är ). A+ε A A ε A+ε A A ε f(x) δ +δ f(x) δ +δ A+ε A A ε Figur 3: Till vrje omgivning kring A finns en omgivning kring, så tt grfen till f(x), när x i denn, helt ligger i det fönster kring (, A), som omgivningrn ger upphov till. Ett tillåtet fönster. Funktionen f(x) hr gränsvärdet A, när x. f(x) δ +δ 1 Figur 4 och 5: Ovsett hur A väljs finns det en fönsterhöjd (2ɛ) så tt ingen fönsterredd (2δ) ger ett tillåtet fönster kring (, A). Funktionen f(x) sknr gränsvärde när x.

2 Att f(x) A, när x, skrivs oft lim x 0 och tlet A klls gränsvärdet v f(x), när x går mot. Oserver tt f(x) A när x, etyder smm sk som f(x) A 0, när x. När mn visr egenskper för gränsvärden hr mn oft nvändning v två räkneregler för gränsvärden. Den först är den så kllde tringelolikheten: om och är reell tl, så gäller + +. För tt förstå tt dett stämmer oserverr mn tt om och åd är 0 eller, är åd sidorn i själv verket lik. Det räcker därför tt se tt det stämmer när < 0 <. I dett fll är < + < och + till och med mindre än det störst v de två tlen och. Den ndr är likheten =, som är uppenr om mn tänker på vd soluteloppet etyder. Exempel 1.1 Vis tt x 2 2, när x. Påståendet verkr vr fullkomligt uppenrt på den intuitiv nivån i vår förståelse v det. Men då ör det heller inte vr särskilt svårt tt vis tt det stämmer enligt definitionen. Antg lltså tt vi hr ett tl ɛ > 0. Vår uppgift är tt tl om hur (eller tt) vi kn hitt ett tl δ > 0, så tt x 2 2 < ɛ när 0 < x < δ. (1) Vi hr x 2 2 = x x +. Om vi förutsätter tt x < δ får vi v dett x 2 2 < δ(2 + δ). Vi hr här nvänt tringelolikheten : x + = (x ) + 2 x + 2 = δ + 2. Påståendet (1) kommer lltså tt stämm om vi väljer δ så tt δ(2 + δ) ɛ, dvs så tt 0 < δ < ɛ +. Som vi ser ledde verifiktionen v det till synes självklr påståendet tt lim x x 2 = 2, till en del räkningr. Det är uppenrt tt det ehövs räkneregler för gränsvärden. Innn vi går in på det ör det påpeks tt det inte är säkert tt en funktion f(x) hr något gränsvärde när x. I sådn fll säger mn tt gränsvärdet inte existerr och symolen lim x f(x) är i så fll meningslös och ör då inte nvänds. T.ex sknr sin(1/x) gränsvärde när x 0 : i vrje omgivning till 0 finns tl där funktionen ntr värdet 1 liksom det finns tl där den ntr värdet 1. För tt undvik trist verifieringr v tillsynes uppenr gränsvärden skffr mn sig llmänt giltig räkneregler för gränsvärden. Innn vi går in på dem ehöver vi någr ytterligre egrepp. Definition 1.3 En mängd M v reell tl är uppåt (respektive nedåt) egränsd, om det finns en konstnt U (respektive L), så tt vrje tl x i M är U (respektive L). Den är egränsd om den är åde uppåt och nedåt egränsd. Exempel 1.2 Mängden M v ll positiv reell tl är nedåt egränsd v t.ex. L = 1 (men också v L = 0), men inte uppåt egränsd. Intervllet (2, 3] är egränst, nedåt v t.ex. L = 2 och uppåt v t.ex. U = 3.2. Definition 1.4 En funktion är (uppåt/nedåt) egränsd på en mängd om dess värdemängd där är (uppåt/nedåt) egränsd. U f(x) Figur 6: Funktionen uppåt egränsd (v U) på mängden v reell tl, men (tillsynes) inte nedåt egränsd. Därmed är den heller inte egränsd. f(x) K K Figur 7: Funktionen egränsd (v K) på mängden v reell tl. Ett lterntivt sätt tt uttryck tt en funktion f(x) är egränsd är tt säg tt det finns en konstnt K så tt f(x) K, för ll x (i definitionsmängden). Exempel 1.3 Funktionen 1/x definierd på intervllet (0, ) är nedåt egränsd v t.ex. L = 0, men inte uppåt egränsd. Funktionen sin x är egränsd; uppåt t.ex. v U = 1 och nedåt v L = 1. Alterntivt är sin x 1 = K, för ll x. 2

3 Om f(x) A, när x, är f(x) egränsd på en omgivning till : till ɛ = 1, finns en omgivning till, så tt A 1 < f(x) < A + 1, när x ligger i omgivningen till, men är. Mn säger tt f(x) är egränsd i närheten v. Mn kn nvänd denn oservtion för tt rgumenter för tt viss gränsvärden inte existerr. T.ex. är 1/x inte är egränsd i någon omgivning till 0, så 1/x inget gränsvärde när x 0. Sts 1.1 Om f(x) A och g(x) B, när x, och c är en konstnt, så gäller 1. f(x) + g(x) A + B, när x, 2. cf(x) ca, när x, 3. om f(x) h(x) g(x), i en omgivning till och A = B, så hr vi tt h(x) A(= B), när x. 4. f(x)g(x) AB, när x, 5. om B 0, tt f(x)/g(x) A/B, när x. Bevis. 1) Låt ɛ > 0 vr givet. Enligt förutsättningrn finns δ 1 och δ 2, så tt f(x) A < ɛ/2 och g(x) B < ɛ/2, när 0 < x < δ 1, respektive när 0 < x < δ 2. Dett ger oss, med hjälp v tringelolikheten, tt f(x) + g(x) A B f(x) A + g(x) B ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ, när 0 < x < δ, där δ är det minst v de två tlen δ 1 och δ 2. 2) Låt ɛ > 0 vr givet. Enligt förutsättningrn finns δ så tt f(x) A < ɛ/ c, när 0 < x < δ. Vi hr då cf(x) ca = c f(x) A c ɛ/ c = ɛ, när 0 < x < δ. 3) Vi hr, enligt förutsättningrn tt f(x) A h(x) A g(x) A i närheten v. Givet ɛ > 0 finns vidre δ 1 och δ 2, så tt f(x) A < ɛ och g(x) A < ɛ, när 0 < x < δ 1, respektive när 0 < x < δ 2. Från dett ser vi tt h(x) A < ɛ, när 0 < x < δ, där δ är det minst v tlen δ 1 och δ 2. 4) Vi hr f(x)g(x) AB = (f(x) A)g(x) + A(g(x) B) f(x) A g(x) + A g(x) B. En konsekvens v förutsättningrn är tt g(x) är uppåt egränsd när, låt oss säg v konstnten K. Vi får då 0 f(x)g(x) AB f(x) A K + A g(x) B. Enligt 2) går högr ledet mot 0 K + A 0 = 0, x. Av 3) följer nu tt f(x)g(x) AB 0, dvs f(x)g(x) AB, när x. 5) Vi hr 1/g(x) 1/B = B g(x) /( g(x) B ) och tt g(x) är nedåt egränsd v någon konstnt K > 0, i en omgivning till, eftersom g(x) B 0, när x. Vi får 0 1/g(x) 1/B B g(x) /(K B ), där högr ledet (liksom vänstr) går mot 0, när x. Påståendet i 5) följer nu från påståendet i 4). Med hjälp v sts 1.1 kn mn nu, från den enkl oservtionen tt lim x x = (välj δ = ɛ i definitionen), eräkn fler gränsvärden utn tt ehöv verifier enligt definitionen. T.ex. ger punkt 4 då tt x 2 2, när x. Upprepning ger sedn tt x n n, när x. Kominerr vi nu dett med punktern (1) och (2) ser vi tt Exempel 1.4 Om p(x) är ett polynom, så är lim x p(x) = p(). Tillsmmns med punkt (3) ger dett i sin tur tt Exempel 1.5 Om p(x)/q(x) är en rtionell funktion med q() 0, så är lim x p(x)/q(x) = p()/q(). Exempel 1.6 Bestäm konstnten så tt gränsvärdet v x 1 x x (x + 2)(x 1) existerr när x 2. Bestäm också gränsvärdet för dett. 3

4 Vi skriver på gemensmt råkstreck och får x (x + 2)(x 1) Eftersom nämnre går mot 0 när x 2, måste vi välj, så tt även täljren gör det (nnrs skulle uttrycket inte vr egränst i närheten v 2). Gränsvärdet v täljren är 4 + 1, så vi sk välj = 5. Täljren lir då x 2 4 = (x 2)(x + 2) och efter förkortning sk vi estämm gränsvärdet v (x 2)/(x 1), som enligt räknereglern lir 4/ 3 = 4/3, när x 2. Punkt (3) i sts 1.1 klls instängningsregeln och här är ett exempel på hur den kn nvänds. sin x x 1 sin x Av figur 8 ser vi tt 1 x Figur 8: Bågens längd är i åd fllen x. Den streckde höjden är i åd fllen sin x. Dett ger sin x x, eller x sin x x. x sin x x, när π/2 < x < π/2. Eftersom x 0, när x 0, följer det v (2) och (3) tt sin x 0, när 0. Ersätter vi x med x/2 i olikheten ovn får vi x/2 sin x/2 x/2 och instängningsregeln ger också sin x/2 0, när x 0. Använder vi nu cos x = cos 2 x/2 = 1 sin 2 (x/2) ger (1), (2) och (4) tt cos x 1, när x 0. Följnde stndrdgränsvärde (dvs ett gränsvärde som nses känt och inte ehöver verifiers) ger ett exempel där intuitionen inte omedelrt ger vd gränsvärdet sk vr. Sts 1.2 sin x lim x 0 x = 1. Bevis Titt på figur 9, där 0 < x < π/2. sin x x tn x tn1 Jämför vi reor hr vi därför (efter multipliktion med 2) Figur 9: I figuren finns två tringlr med s 1. Den en hr höjden sin x, den ndr tn x. Mn ser också en cirkelsektor med åge v längd x och rdie 1. 1 sin x x sin x cos x. Om vi multiplicerr den först olikheten med 1/x (som är > 0) och den ndr med cos(x)/x (som är > 0) får vi sin x sin x < 1 respektive cos x < x x. Ersätter vi x med x ändrs inte uttryckens värden (de är jämn) så olikheten gäller när π/2 < x < π/2 och x 0. Vi ser nu tt gränsvärden som vi känner till och instängningsregeln när x 0 ger stsen. 1.2 Vritioner v gränsvärdesegreppet I lnd hr mn nledning tt nvänd så kllde ensidig gränsvärden, t.ex. vill mn knske tt x r sk närm sig från höger (eller uppifrån)(på tllinjen). Definition 1.5 Att f(x) A när x + etyder tt det till vrje ɛ > 0 finns ett δ > 0, så tt f(x) A < ɛ, när < x < + δ. Mn skriver då lim x + A. 4

5 På liknnde vis definiers gränsvärden då x går mot nerifrån, x. A Figur 10: Funktionen hr gränsvärdet A när x, men sknr gränsvärde när x +. Räknereglern i sts 1.1 gäller även dess gränsvärden. Reltionen melln dess ensidig gränsvärden och det vnlig ges v Exempel 1.7 För funktionen lim A precis när lim x A och lim x 1 när x < 0 x 2 sin x när x 0 A. x hr lim x 0 lim x 0 1 = 1 och lim x 0 + lim x 0 + x 2 sin x = 0 0 = 0. Dett etyder tt funktionen sknr gränsvärde när x 0. Exempel 1.8 Bestäm ett polynom p(x) v så låg grd som möjligt, så tt funktionen (x + 1)/x när x < 1 p(x) när 1 x 2 1/(x 2 + 1) när x > 2 hr gränsvärde dels när x 1, dels när x 2. Vi hr f(x) 2, och f(x) p(1), när x 1, respektive x 1 +. Vi hr också f(x) 1/5 smt f(x) p(2), när x 2 +, respektive x 2. Vi sk lltså välj p(x), så tt p(1) = 2 och p(2) = 1/5. Därmed är p(x) = 9x/5 + 19/5 I lnd, t.ex. när mn söker så kllde sned symptoter till en funktion, hr mn också nledning tt undersök funktioner när x ±. Definitionen v gränsvärden är i dett fllet: Definition 1.6 Att f(x) A när x etyder tt det till vrje ɛ > 0 finns ett tl ω, så tt f(x) A < ɛ, när x > ω. Mn skriver då lim x A. På motsvrnde sätt definiers gränsvärden när x. y= Figur 11: Funktionen sknr gränsvärde när x, men hr gränsvärdet, när x. x= Räknereglern sts 1.1 gäller även dess gränsvärden. Exempel 1.9 Bestäm konstnten så tt (x 3 + 3x 2 + 3)/(x 2 4) x hr ett gränsvärde när x. Vi skriver på gemensmt råkstreck och får ((1 + )x 3 + 3x 2 + 4x + 3)/(x 2 4). Division med x 2 i täljre och nämnre ger nu (1 + )x /x + 3/x2 1 4/x 2. Vi ser tt vi sk välj = 1, för tt gränsvärdet sk exister. Det lir då 3/1 = 3, när x. 5

6 1.3 Oestämd uttryck och oegentlig gränsvärden För en del funktioner gäller tt ders värden försvinner iväg mot när vrieln närmr sig ett speciellt värde (uppifrån eller nerifrån). För en sådn funktion f(x) skriver mn då f(x), när x (eller x ± ). Alterntivt kn mn skriv lim x. När symolen (eller ) nvänds som värde på ett gränsvärde tlr mn om oegentlig gränsvärden. I figur 11 illistrers en funktion med de oegentlig gränsvärden och, när x respektive x +. Exempel 1.10 För 1/x gäller f(x), när x 0 + och f(x) infty, när x 0. Däremot hr f(x) inget gränsvärde (inte ens oegentligt sådnt) när x 0. Oserver tt räknereglern ovn inte gäller för oegentlig gränsvärden; det är ju t.ex. oklrt vd 0 skulle etyd i punkt (4). För räkning med ± kn mn nvänd följnde regler c + = om c c = om c > 0 eller c = c = om c < 0 eller c = c/ = 0 om c, 1/0 = ± eroende på hur täljren i 1/0 närmr sig 0 som gör tt räknergelern för vnlig gränsvärden fortsätter tt gäll för oegentlig sådn. Det återstår ett ntl uttryck som rukr eteckns som oestämd. Dess är 0/0, och /. Utn ytterligre räkningr kn inget sägs om värdet v dess. I själv verket kn dess uttryck stå för vilket tl som helst inkludernde ±. Exempel 1.11 Uttrycket sin(x)/x är v typen 0/0 när x 0, liksom 2 sin(x)/x. Vi från sts 1.2 och räkneregler tt det först uttrycket hr värdet 1 medn det ndr hr värdet 2 när x 0. Litet tillspetst kn mn säg tt oestämd uttryck är orsken till tt mn ehöver en stringent definition v gränsvärdesegreppet. Avslutningsvis sk sägs tt de är mycket vnlig i nlysen. Vi sk återkomm till dett i definitionen v egreppet derivt. 2 Kontinuitet och derivt 2.1 Kontinuerlig funktioner I förr vsnittet såg vi tt om f(x) är en rtionell funktion, som är definierd i, så gäller tt lim x f(). Dett är en viktig egenskp och mn inför ett speciellt egrepp för dett fenomen i llmänhet. Definition 2.1 En funktion f(x) är kontinuerlig i om f(x) hr ett gränsvärde när x och dett gränsvärde är är f(). Oserver tt den punkt som x närmr sig, måst ingå i funktionens definitionsmängd, för tt det sk vr meningsfullt tt fråg sig om den är kontinuerlig i. T.ex. är det meningslöst tt fråg om 1/x är kontinuerlig i x = 0, eftersom den inte är definierd där. Exempelvis är lltså en rtionell funktion kontinuerlig i ll punkter där den är definierd. Mer llmänt sk vi senre se tt de elementär funktionern är kontinuerlig (eftersom de är deriverr, se nedn). En funktion som är kontinuerlig i vrje punkt i sin definitionsmängd är kontinuerlig (utn specifiktion). Rtionell funktioner är lltså kontinuerlig. Den intuitiv förställningen om kontinuitet är tt grfen till en kontinuerlig funktion ovn för ett intervll i definitionsmängden kn rits utn tt lyft pennn. Grfen till 1/x kn, ovnför vrje intervll i definitionsmängden rits utn tt lyft pennn, men inte i sin helhet rits på dett vis. 6

7 Figur 12: Funktionen är kontinuerlig utom i x = och x = c. Den kn inte vr kontinuerlig i x =, eftersom den inte ens är definierd där. c x= Det är värt tt gör två omedelr oservtioner, som utn vidre kommentrer kommer tt utnyttjs i den följnde texten. De är 1. om f(x) är kontinuerlig i, så är f(x) egränsd i närheten v, eftersom f(x) hr ett gränsvärde då x. 2. om f(x) är kontinuerlig i och f() > 0, så är f(x) > 0 i närheten v, eftersom f(x) hr gränsvärdet f(), då x. f() f() Figur 13: Funktionen är kontinuerlig i och därför egränsd i en omgivning till. Den är > 0 i och därför, på grund v kontinuitet i, också > 0 i en omgivning till. Oserver tt funktionen inte är egränsd (över llt) och heller inte > 0 (över llt). Till exempel finns det ingen möjlighet tt estämm konstnten, så tt funktionen 1/x när x 0 när x = 0 lir kontinuerlig i x = 0. Funktionen sknr gränsvärde när x 0. Oserver tt funktionen är kontinuerlig i ll punkter utom 0 (ovsett vd är). Det finns i princip två olik situtioner när en funktion f(x) inte är kontinuerlig i en punkt (där den är definierd): f(x) sknr gränsvärde när x, f(x) hr ett gränsvärde när x, men det är f(). Exempel på dett ges v respektive x 1 när x < 0 0 när x 0 x 2 x 3x 2 när x < 0 4x 2 när x = 0 Det först exemplet hr inget gränsvärde när x 0, medn det ndr hr gränsvärdet 1/4 f(0) = 2. Från räknereglern för gränsvärden följer omedelrt Sts 2.1 Om f(x) och g(x) är kontinuerlig i x =, och c är en konstnt, så gäller 1. f(x) + g(x) är kontinuerlig i, 2. cf(x) är kontinuerlig i, 3. f(x)g(x) är kontinuerlig i, 4. f(x)/g(x) är kontinuerlig i, om g() 0. Vi vet t.ex. tt x är kontinuerlig. Av räkneregelern följer nu tt x 2 är kontinuerlig, liksom x n, där n är ett heltl. Dett, tillsmmns med räknereglern, ger tt ll polynom och rtionell funktioner är kontinuerlig. 7

8 Exempel 2.1 Funktionen x = x när x < 0 x när x 0 är kontinuerlig. Bortnför x = 0 är funktionen ett polynom ( x när x < 0 och x när x > 0) och är därför kontinuerlig där. Vi hr dessutom lim x 0 som ger tt lim x 0 x = 0 = 0. x = lim x = 0 smt lim x = lim x = 0, x 0 x 0 + x 0 + Exempel 2.2 Vis tt mn kn estämm konstntern och så tt funktionen x 3 x 2 + x 2 + x 2 när x 2 + 3x + 2 när x = 2 lir kontinuerlig. Vi hr x 2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) och x 2 + x 2 = (x + 2)(x 1), så funktionen är definierd utom i ±1. Kontinuiteten är inget prolem ortnför 2, eftersom funktionen där är summ v två rtionell funktioner. För tt få kontinuitet i 2 sk vi estämm, så tt det rtionell uttrycket hr ett gränsvärde när x 2, och sedn välj som dett gränsvärdet. När x 2 hr vi (x 3)(x + 1) + (x 1). (x + 2)(x + 1)(x 1) Eftersom nämnren går mot noll när x 2, måste även nämnre gör det för tt gränsvärdet sk exister. Dett ger tt vi sk välj så tt ( 5)( 1) + ( 3) = 0, dvs = 5/3. Tlet sk vr gränsvärdet v (x 3)(x + 1) + 5(x 1)/3 (x + 2)(x + 1)(x 1) = (x + 2)(x 7/3) (x + 2)(x 1)(x + 1) = x 7/3 (x 1)(x + 1), som lir ( 2 7/3)/(( 3)( 1)) = 13/9, når x 2. Svret är lltså = 5/3 och = 13/ Deriverr funktioner Mn kn h två lite olik inställningr till egreppet derivt. Det en är tt derivtn v f(x) i x = mäter den (momentn) reltiv förändringen v f(x) i x =. Den ndr är tt derivtn i x = estämmer (riktningskoefficienten) till tngentlinjen till grfen i punkten (, f()). I envrielnlysen smmnfller dess två egrepp, men de skiljer sig åt i flervrielnlysen. Tr vi vår utgångspunkt i den först inställningen är derivtn v f(x) i x = gränsvärdet v differenskvoten f(x) f(), x när x. Differenskvoten mäter funktionensvärdet förändring i förhållnde till föränderingen i vrieln melln x och, dvs den reltiv förändringen. När vi låter x, inneär det tt vi mäter den momentn reltiv förändringen v funktionen i punkten. (x 3,f(x 3)) (x 2,f(x 2)) (,f()) x x x (x,f(x )) 1 1 Figur 14: Förändring v funktionsvärde f(x) i förhållnde till förändring v vrieln x (kring ) är den reltiv förändringen v funktionens värde (melln och x). Förhållndet, som klls differenskvot, kn tolks som riktningskoefficient för en seknt till grfen. Definition 2.2 Funktionen är deriverr i om differenskvoten hr ett gränsvärde när x. Dett gränsvärde eteckns då f f(x) f() f( + h) f() () = lim = lim. x x h 0 h 8

9 Oserver tt definitionen v derivt är ett gränsvärde v typen 0/0 (om f är kontinuerlig i ). För tt definitionen v derivt i sk vr meningsfull, rukr mn också kräv tt funktionen f(x) är definierd i en omgivning till. Om en funktion är deriverr i vrje punkt i sin definitionsmängd är den deriverr (utn specifiktion). Mn nvänder då eteckningen f (x), för derivtn i x och skriver differenskvoten (f(x + h) f(x))/h, och hr tt f (x) är gränsvärdet v dett när h 0. Fler ndr skrivsätt finns t.ex. df/dx = D(f) = f. Tr vi i stället vår utgångspunkt i den ndr inställningen sk vi estämm tlet m, så tt linjen y = m(x ) + f() nsluter så väl som möjligt till grfen v f i punkten (, f()). Avvikelsen E(x) = f(x) m(x ) f() klls felet (när f(x) pproximers med den linjär funktionen m(x ) + f()).vi sk nturligtvis h tt dett fel går mot 0, när x. Men det gör det om f är kontinuerlig i, ovsett hur vi väljer m. Om vi däremot kräver tt det reltiv felet R(x) = E(x)/(x ) = (f(x) f())/(x ) m, sk gå mot 0, ser vi tt vi måste välj m som (den tidigre) derivtn till f i x =. L(x)=m(x )+f() (,f()) x x E(x)=f(x) L(x) f Figur 15: Mn söker den linje (tngentlinjen) som äst nsluter till grfen i punkten (, f()). Den är grfen till L(x), som klls den linjär pproximtionen till (eller lineriseringen v) f(x) i x =. Skillnden E(x) melln f(x) och L(x) klls felet och R(x) = E(x)/(x ) är det reltiv felet. Det gäller tt estämm m, så tt R(x) 0, när x. Derivtn f () estämmer llstå (riktningskoefficienten för) tngentlinjen till grfen v f i punkten (, f()). Funktionen f ()(x )+f() klls lineriseringen v f i punkten. När f är deriverr i går lltså inte r felet, E(x), utn även det reltiv felet, R(x), som görs när f estätt med f ()(x )+f() mot 0, när x. Det är vnlig tt mn, när f är deriverr, löser ut f(x) med hjälp v R(x) ur det uttryck som definierr R(x). Mn får då f() + f ()(x ) + R(x)(x ), (2) där lltså R(x) 0, när x 0, om f är deriverr i. Oserver tt R() inte är definiert, eftersom definitionen då inneär en otillåten division med noll. Men om vi nu definierr R() som 0, R() = 0, så kommer R(x) tt vr kontinuerlig i. Dett är en viktig detlj som vi sk utnyttj i eviset v sts 2.5 sidn 12 (kedjeregeln) nedn. Låt oss med en gång konstter tt Sts 2.2 Om f(x) är deriverr i, så är f(x) kontinuerlig i. Bevis Vi hr (x )(f(x) f())/(x ) + f(), som hr gränsvärdet 0 f () + f() = f(), när x. Det är däremot inte riktigt tt en funktion som är kontinuerlig i en punkt också är deriverr där, vilket exemplet x visr. Den är kontinuerlig, men inte deriverr, i x = 0. Differenskvoten där är x /x, som ntr värden ±1 i vrje omgivning till 0, och därför sknr gränsvärde när x 0. För derivtor gäller lnd nnt följnde llmänn räkneregler: Sts 2.3 Antg tt f och g är deriverr i och tt c är en konstnt. Då gäller 1. (f + g) () = f () + g (), 2. (cf) () = cf (), 3. (fg) () = f ()g() + f()g (), 4. (f/g) () = (f ()g() f()g ())/g() 2, om g() 0. 9

10 Bevis. För 1) sk vi etrkt kvoten (f(x) + g(x) f() g())/(x ) = (f(x) f())/(x ) + (g(x) g())/(x ), som hr gränsvärdet f () + g (), när x. För 2) sk vi etrkt kvoten (cf(x) cf())/(x ) = c(f(x) f())/(x ), som går mot cf (), när x. I 3) är kvoten (f(x)g(x) f()g())/(x ) = ((f(x) f())g(x) + f()(g(x) g()))/(x ), som hr gränsvärdet f ()g() + f()g (), när x. Vi hr utnyttjt tt g är kontinuerlig i, eftersom den är deriverr där. I 4) räcker det tt koll fllet när f är konstnt 1. Det llmänn resulttet följer sedn v 3). Kvoten är då (1/g(x) 1/g())/(x ) = (g() g(x))/(x ) (1/(g(x)g())), som hr gränsvärdet g ()/g() 2, när x. Vi hr återigen nvänt tt g är kontinuerlig i. Från 3) följer det med induktion tt (x n ) = nx n 1, när n 0 är ett heltl. När n = 0 och n = 1 kn vi kontroller formeln direkt: vi sk eräkn gränsvärdet v (1 1)/h = 0 respektive (x + h x)/h = 1, som nturligtvis är 0 respektive 1, i överensstämmelse med formeln. Antg nu tt (x p ) = px p 1, där p 1. Vi hr då enligt 3) ovn tt (x p+1 ) = (x p x) = (x p ) x + x p 1 = px p 1 x + x p = (p + 1)x p. Formeln följer nu enligt induktionsprincipen. Med hjälp v dett och punktern (1) och (2) ser vi tt om p(x) är ett polynom p(x) = x + 2 x n x n, så är p(x) deriverr med derivt p (x) = x n nx n 1. Punkt (4) ger nu dels tt rtionell funktioner (kvot melln polynom) är deriverr, dels en formel för tt eräkn ders derivt. Exempel 2.3 Bestäm, om möjligt, konstnten så tt funktionen x 2 x + 2 när x 1 2 när x = 1 lir deriverr. Ovsett hur vi väljer kommer f (x) = 2x, när x 1. Så det end prolemet är derivtn i x = 1. Vi hr där differenskvoten (f(x) f(1))/(x 1) = x(x )/(x 1). För tt gränsvärdet v dett när x 1, sk exister måste vi h = 1 och vi får då f (1) = Vnlig funktioners derivtor och ytterlig räkneregler Eftersom definitionen v derivt involverr ett gränsvärde v typen 0/0 är det inte lltid helt enkelt tt estämm derivtn. För tt kringgå dett härleder mn (en gång för ll) formler för derivtor v elementär funktioner, smt ytterligre någr räkneregler för derivtor. När mn deriverr sådn funktioner nvänder mn lltså inte derivtns definition, utn de formler och regler mn kommit frm till Exponentilfunktioner Exponentilfunktionen x hr differenskvoten (1/h)( x+h x ) = (1/h)( h 1) x, och D( x ) är gränsvärdet v dett när h 0. Vi ser tt om vi kn välj så tt ( h 1)/h 1, när h 0, så får vi D( x ) = x. Om vi räknr lite slrvigt sk vi lltså h ( h 1)/h 1. Löser vi ut får vi (1 + h) 1/h, och pproximtionen ör li ättre ju mindre vi väljer h. Dett tyder på tt vi då sk h = lim h 0 (1+h) 1/h. Mn kn vis tt dett verkligen fungerr och vi kn välj lim (1 + h 0 h)1/h = e som en definition v tlet e. Vi hr lltså, med viss motivtion men utn evis tt, e h 1 lim = 1 smt D(e x ) = e x. h 0 h Allmänt hr vi tt x = e x ln och differenskvoten lir 10

11 x+h x h = h 1 h = eh ln 1 h ln x = eh ln 1 h x = x ln = sätt t = h ln } = et 1 t x ln, som går mot x ln, när t 0, dvs när h 0. Vi hr därför Anmärkning om kontinuerlig och årlig ränt D( x ) = x ln. Antg tt kpitlet C plcers på ett konto med 100r procent årlig vkstning. Efter ett år är då ehållningen C(1 + r). Antg nu tt vi får dglig ränt på kpitlet. Vi lägger ut räntn på 365 dgr och efter en dg ehållningen C(1 + r/365) och efter ett år C(1 + r/365) 365. Vi är otålig och vill h ränt vrje sekund eller till och med vrje tidpunkt och delr in året i n lik stor delr, där n är stort. Efter ett år hr vi då ehållningen C(1 + r/n) n. Eftersom vi är otålig låter vi n. Vilken ehållning hr vi då efter ett år? Vi hr (1 + r/n) n = (1 + r/n) (n/r)r = sätt h = r/n } = ( = (1 + h) 1/h) r e r när h 0 dvs när n, enligt definitionen v tlet e. Om vi kräver ränt i vrje stund (kontinuerlig ränt) med räntestsen r ger dett ehållningen Ce r efter ett år, i stället för C(1 + r), som vi får vid årlig ränt. De två olik sätten tt förhåll sig till ränt (tillväxt) klls kontinuerlig respektive årlig ränt (tillväxt). Vid smm räntests (100r procent) ger kontinuerlig ränt högre vkstning än årlig ränt eftersom e x > 1 + x, när x > 0, men skillnden är inte stor när x är när 0. Oserver tt 1 + x är lineriseringen v e x kring x = Derivt till invers funktion och logritmer Genom tt nvänd tt grfen till en inverterr funktion f och grfen till dess invers f 1 är vrndrs spegelilder i linjen x = y, kn mn vis Sts 2.4 Antg tt f är inverterr och deriverr i med derivt 0. Då är f 1 deriverr i f() med derivt (f 1 ) (f()) = 1/f (). f f 1 v u u v Vi kn också formuler det så tt (f 1 ) (x) = 1/f (f 1 (x)). Figur 16: I figuren är f() = och lltså f 1 () =. Tngenten till f i punkten (, ) hr lutning v/u. Det etyder tt tngentlinjen till f 1 i (, ) hr lutningen u/v. Dett motiverr tt derivtn till f 1 i är 1/f () = 1/f (f 1 ()). Med dett kn vi estämm derivtn till ln(x) som är inversen till e x. Eftersom D(e x ) = e x ger stsen tt D(ln x) = 1/e ln x = 1/x Kedjeregeln för smmnsättningr och potensfunktioner Vi hr tidigre konsttert tt vi kn deriver polynom och rtionell funktioner. För tt deriver x p, där p är en konstnt (som inte är ett positivt heltl) gör vi omskrivningen x p = e p ln x och ser den som en smmnstt funktion; en logritmfunktion följd v en exponentilfunktion. Denn omskrivning är r giltig när x > 0, eftersom ln x nnrs inte är definierd. 11

12 För tt deriver smmnsättningr hr mn nvändning v följnde Sts 2.5 (Kedjeregeln) Antg tt f(x) är deriverr i g() och tt g(x) är deriverr i. Då är f(g(x)) deriverr i med derivt f (g())g (). Dett kn också skrivs (f(g(x))) = f(g(x))g (x). I dett smmnhn klls g (x) för den smmnstt funktionens inre derivt. Bevis. Vi sk undersök kvoten (f(g(x)) f(g()))/(x ). Eftersom f är deriverr i g() hr vi tt f(g(x)) f(g()) = f (g())(g(x) g()) + R(g(x))(g(x) g()), där R(x) är det reltiv felet till den linjär pproximtionen v f(x) i g(). Vi nvänder här tt vi definiert R(g()) = 0, och tt R(x) då är kontinuerlig i g(). (Se (2) sidn 9) Eftersom g(x) är deriverr i är den kontinuerlig i, så g(x) g(), när x. Dett ger tt R(g(x)) R(g()) = 0, när x. För den ursprunglig kvoten får vi nu f(g(x)) f(g()) x = f g(x) g() g(x) g() (g()) + R(g(x)), x x där högr ledet går mot f (g())g () + 0 g () = f (g())g (), när x. Med stsen får vi tt derivtn v x p = e p ln x är e p ln x D(p ln x) = x p p/x = px p 1, eller D(x p ) = px p 1, när x > 0. När p är ett heltl 0 är x p ett polynom och formel giltig utn egränsning på x. När p är ett heltl < 0 är x p en rtionell funktion definierd när x 0 och formeln är giltig utn ytterligre egränsning på x. När p är 1/2 är x 1/2 r definiert när x 0, men för ndr rtionell p (t.ex. p = 1/3) kn x p ( 3 x) ges mening även för negtiv x. Formeln är då giltig utom möjligen för x = 0. Exempel 2.4 Vi hr enligt formeln tt D( x) = D(x 1/2 ) = (1/2)x 1/2 = 1 2 x. Exempel 2.5 Funktionen 3 x = x 1/3 är definierd för ll reell tl x, och deriverr över llt utom i x = 0. Där är differenskvoten (f(x) f(0))/(x 0) = x 2/3, som sknr gränsvärde när x Trigonometrisk funktioner Formler för derivtor till trigonometrisk funktioner kn eräkns med hjälp v det stndrdgränsvärde som finns i sts 1.2 och de räkneregler vi nu hr. Mn ehöver också någr trigonometrisk formler, lnd nnt dditionsformeln sin(x + h) = cos x sin h + sin x cos h. För tt deriver sin(x) sk vi undersök gränsvärdet v differenskvoten sin(x + h) sin x h = cos x sin h + sin x cos h sin x h = cos x sin h h = cos x sin h h = cos x sin h h + sin x cos h 1 h = = + sin x 2 sin2 (h/2) h = + sin x (h/2) sin2 (h/2) (h/2) 2 Vi hr nvänt tt cos(2α) = 1 2 sin 2 (α). Stndrd gränsvärdet ovn ger nu lltså tt differenskvoten hr gränsvärdet cos(x) sin(x) 0 1, när h 0. Vi hr lltså D(sin x) = cos x. För tt deriver cos(x) räcker det nu tt gör omskrivningen cos x = sin(π/2 x). Kedjeregeln ger nu D(cos x) = cos(π/2 x)( 1) = sin x. 12

13 För tt deriver tn(x) kn vi skriv tn x = sin x/ cos x och deriver som en kvot. Vi får då D(tn x) = (cos 2 x + sin 2 x)/ cos 2 x = 1 + tn 2 x = 1/ cos 2 x. Båd är nvändr uttryck för derivtn v tngensfunktionen och väl värd tt uppmärksmms. Arcusfunktionern är inverser till de trigonometrisk funktionern med lämpligt inskränkt definitionsmängder och de är därför deriverr. För tt härled ders derivtor kn mn nvänd kedjeregeln och t.ex. identiteten sin(rcsin x) = x. Derivering v dett ger cos(rcsin x)d(rcsin x) = 1. Eftersom cos(rcsin x) = 1 x 2 får vi D(rcsin x) = 1, när x < 1. 1 x 2 På smm vis ger derivering v tn(rctn x) = x tt (1 + tn 2 (rctn x))d(rctn x) = 1, så D(rctn x) = x 2. 3 Stser om kontinuerlig och deriverr funktioner En v nledningrn till tt mn i väljer tt uppmärksmm just kontinuerlig och deriverr funktioner är tt mn, förhållndevis enkelt, kn vis en rd stser om sådn funktioner. Fler v dess stser är v krktären tt de är uppenr ur ett intuitivt perspektiv. Dett räcker emellertid inte som evis i ett mtemtiskt perspektiv, där den okstvstrogn definitionen är det som utgör grunden. Dett hindrr förstås inte tt intuitionen är en mycket viktig inspirtionskäll för evisen. För tt förered evisen för de stser om funktioner vi sk vis, sk vi först titt lite närmre på en grundläggnde egenskp hos mängden v reell tl (dvs (oändlig) decimlutvecklingr). 3.1 Fullständighet hos de reell tlen och Inkpslingsstsen Antg först tt vi r tillåter oss nvänd nturlig tl (dvs heltl 0). Vrje delmängd till dess innehåller då ett minst tl. Men det finns delmängder till N som inte innehåller något störst tl, t.ex. mängden v jämn nturlig tl. Om vi däremot tr en delmängd till N som är uppåt egränsd, dvs vrje tl i delmängden är mindre än något fixt nturligt tl K, så innehåller mängden inte r ett minst tl utn också ett störst. Om vi nu istället tillåter oss (tt som vnligt) nvänd reell tl. Då hr i llmänhet en delmängd till dess vrken ett störst eller ett minst tl. T.ex. finns det inget störst eller minst tl i intervllet ]1, 2[. Det hjälper inte ens tt denn mängd är så väl uppåt som nedåt egränsd. (Se definition 1.4 på sidn 2.) Däremot finns det gott om så kllde undre egränsningr till mängden; ett tl så tt x, för vrje x i mängden. T.ex. är 1 men också 0 undre egränsningr till ]1, 2[. Det finns också gott om övre egränsningr till denn mängd; ett tl B så tt x B, för vrje x i mängden. Vi ser tt det finns en störst undre egränsning 1, och en minst övre egränsning 2. Dett är ett llmänt fenomen: Sts 3.1 Vrje uppåt egränsd icke-tom mängd v reell tl hr en minst övre egränsning. För en uppåt egränsd mängd M v reell tl klls denn minst övre egränsning för supremum v mängden och eteckns sup M, t.ex. hr vi sup]1, 2[= 2. Beviset v denn sts utnyttjr hur de reell tlen konstruers och ligger utn för rmen v envrielkursen. På motsvrnde vis hr en nedåt egränsd icke-tom mängd M v reell tl en störst undre egränsning, som klls infimum v M och eteckns inf M. T.ex. är inf]1, 2[= 1. I exemplet vi nvänt är det mycket lätt tt estämm infimum och supremum. Så är det inte i llmänhet. Om vi t.ex. låter M vr mänden v tl v formen sin n, där n är ett heltl, så är det klrt tt 1 och 1 är övre respektive undre egränsningr till M, eftersom 1 sin n 1 för vrje n. Enligt stsen hr mängden M därför hr ett infimum och ett supremum, dvs en störst undre egränsning och en minst övre egränsning. Det är inte lätt tt förstå vd de är utn tt räkn och rgumenter. För tt förstå tt stsen ovn verkligen innehåller någon informtion om de reell tlen, kn mn tänk sig tt mn r tillåter sig tt nvänd rtionell tl (kvoter melln heltl). Då gäller inte sts 3.1. Om 13

14 mn t.ex. låter M vr (den egränsde) mängden v rtionell tl x sådn tt x 2 2, så finns det ingen rtionell övre egränsning som är mindre än vrje nnn rtionell sådn. Om mn tillåter sig tt nvänd de reell tlen finns supremum v mängden och är 2 (som inte är rtionellt). Med en vtgnde följd v intervll mens en (oändlig) svit v intervll I 0 I 1... I n.... I llmänhet finns det då inget reellt tl som ingår i smtlig dess intervll. Ett exempel får vi om vi sätter I k = (0, 1/(k + 1)], k = 0, 1,.... Om det funnes ett tl r i smtlig dess intervll skulle r vr > 0, förstås, men smtidigt 1/(k + 1), för vrje heltl k 0. En orimlighet, eftersom 1/(1 + k) 0, när k. Följnde lemm, där mn förutsätter tt intervllen är slutn (dvs v formen [, ]), innehåller därför väsentlig informtion Lemm 3.1 (Inkpslingsstsen) Om I k, k = 0, 1..., är en vtgnde följd v slutn intervll, så finns det ett reellt tl r som ingår i smtlig intervll Figur 17: I figuren hr intervllen lyfts upp för åskådlighet. I själv verket ligger de inuti vrndr likt rysk Boushk-dockor. Målet är tt inse tt, när ll intervll är slutn, det måste finns (minst) ett tl som ingår i ll oändligt mång intervll. Bevis. Vi hr tt I k = [ k, k ] för någr reell tl k och k. Vi låter M vr mängden v ll sådn k. Eftersom följden v intervll är vtgnde är vrje k en övre egränsning till M, som därför hr ett supremum r (minst övre egränsning). För dett tl r gäller dels tt k r, dels r k, för vrje k. Det etyder tt r är ett tl som ingår i smtlig intervll I k. 3.2 Värdemängden till en kontinuerlig funktion Ett viktigt uppgift, som oft dyker upp i prktiken, är tt försök estämm det störst som en funktion ntr. (Så kllde optimeringsprolem.) Kom ihåg tt ll deriverr funktioner är kontinuerlig och tt ll elementär funktioner är deriverr. (Med små undntg.) Från örjn kn vi konstter tt det inte lltså är säkert tt en funktion ntr ett störst och ett minst värde. T.ex ntr funktionen x, vrken ett störst eller ett minst värde på intervllet ]1, 2[. Funktionen ntr ett minst värde på intervllet [1, [, men inget störst värde. Funktionen 1/x när x 0 0 när x = 0 ntr vrken ett störst eller minst värde på intervllet [ 1, 1]. Därför innehäller följnde sts väsentlig informtion Sts 3.2 Om f(x) är kontinuerlig på det slutn egränsde intervllet [, ], så ntr funktionen ett störst och ett minst värde i intervllet. Figur 18: Funktionen är kontinuerlig i ], ] men inte egränsd på intervllet. Figur 19: Funktionen är inte kontinuerlig i [, ] och heller inte egränsd på intervllet. För tt vis stsen sk vi först vis Lemm 3.2 Om f(x) är kontinuerlig på det slutn egränsde intervllet [, ], så är f(x) uppåt egränsd på intervllet. 14

15 Bevis Antg tt påståendet inte stämmer. Om vi delr intervllet mitt itu kommer f då tt inte vr uppåt egränsd på minst en v de två delrn. Beteckn denn del [ 1, 1 ]. Dess längd är ( )/2. Proceduren kn uppreps och vi får en hälft [ 2, 2 ] v [ 1, 1 ] där funktionen inte är uppåt egränsd. Upprepning leder till en v tgnde följd v intervll [ n, n ] v längd ( )/2 n, där f inte är uppåt egränsd. Inkpslings stsen ger tt det finns ett tl r som ingår i smtlig intervll. Eftersom f är kontinuerlig i r gäller tt f är egränsd i en omgivning till r. Men en omgivning till r innehåller något [ n, n ] där f inte är uppåt egränsd. En orimlighet. Antgndet tt f inte är uppåt egränsd är lltså fel och därmed är f uppåt egränsd på intervllet. Bevis v stsen Vi vet tt f är uppåt egränsd. Det etyder tt värdemängden till f hr en minst övre egränsning M, så f(x) M, för ll x i [, ] och M är det minst tlet med denn egenskp. Antg nu tt f(x) inte ntr värdet M. Funktionen 1/(M f(x)) är då kontinuerlig och positiv på [, ]. Den är därför uppåt egränsd v någon konstnt, säg m > 0. Vi hr då 1/(M f(x)) m, eller f(x) M 1/m, vilket strider mot tt M vr den minst övre egränsningen till f. Alltså måste f nt värdet M på intervllet [, ]. Funktionen f är också kontinuerlig på [, ] och ntr, enligt vd vi vist, ett störst värde, låt oss kll det L, där. L är då det minst värde som f ntr på intervllet. När vi nu vet tt en kontinuerlig funktion på ett intervll [, ] lltid ntr så väl ett störst som ett minst värde är det nturligt tt undr om den ntr ll värden melln dess två. Om funktionen inte är kontinuerlig ehöver det inte vr så, men vår intuition om kontinuitet säger oss tt det måste gäll för kontinuerlig funktioner. Vi sk nu se ett evis för dett, som återigen utnyttjr tekniken med tt hlver intervllet [, ]. Beviset ger också en, låt vr primitiv metod, för tt estämm närmevärden till lösningr v ekvtioner. Sts 3.3 (Stsen om mellnliggnde värden) Låt f(x) vr en funktion som är kontinuerlig på intervllet [, ]. Om v är ett tl som ligger melln f() och f(), så finns det ett tl c i [, ] sådnt tt f(c) = v. Figur 20: Funktionen är inte kontinuerlig i [, ] och ntr inte värdet 0 som ligger melln f() och f(). Figur 21: Funktionen är kontinuerlig i [, ] och ntr därför ll värden melln f() och f(). Bevis Vi delr [, ] i två delr lik stor delr med delningspunkten ( + )/2. Om nu f:s värde i denn delningspunkt eller någon v eller är v är vi klr, nnrs måste f nt värden så väl större som mindre än v på någon v de två hälftern v I 0 = [, ]. Låt i så fll I 1 = [ 1, 1 ] vr en sådn hälft. Det hr längd ( )/2. Proceduren kn nu uppreps. Antingen kommer då f tt nt värdet u i någon v de delningspunkter vi inför, eller så får vi en vtgnde svit v slutn intervll I 0 I 1 I 2... I n... där I n hr längd ( )/2 n. I det först fllet väljer vi c som en v delningspunktern. Annrs ger inkpslingsstsen tt det finns ett tl c som ligger i smtlig intervll I n. Om nu f(c) > v (eller f(c) < v) ger kontinuiteten hos f tt det finns en omgivning till c där f(x) > v (respektive f(x) < v). Eftersom längdern v intervllen går mot noll när n, kommer en sådn omgivning tt innehåll något I n. Men på ett sådnt intervll ntr f värden som är så väl större som mindre än v. En orimlighet. Alltså måste f(c) = v. Sedn tidig skolår hr mn livit vn vid tt nvänd symolen 2 som symol för den positiv lösningen till ekvtionen x 2 2 = 0, tt mn väl knppst längre reflekterr över frågn om ekvtionen verkligen hr en (positiv) lösning. Vi vet tt det inte finns något rtionellt tl (kvot melln två heltl) som löser ekvtionen. Det etyder tt en eventuell lösning till ekvtionen måste h en oändlig decimlutveckling (som ldrig tr slut). En 15

16 sådn utveckling kn förstås inte skrivs ned på ändlig tid, och även om vi kunde det så skulle vi inte kunn multiplicer det med sig självt för tt kontroller tt svret lir 2. Om mn säger tt , så påstår mn tt kvdrten på ligger när 2, men v det kn vi inte dr slutstsen tt ekvtionen hr en lösning. Stsen om mellnliggnde värden ger en enkel lösning på dilemmt. Funktionen f(0) = x 2 2 är kontinuerlig på intervllet [1, 2] och tlet 0 ligger melln f(0) = 1 och f(2) = 2. Det finns därför ett tl c (som vi normlt kllr 2) melln 1 och 2, så tt f(c) = 0. Successiv hlvering v [1, 2] ger oss en metod tt kpsl in 2. Algoritmen i eviset ger oss sviten [ 2 [1, 2] 2, 3 [ 5 2] 4, 6 [ 11 4] 8, 12 ] 8 [ 22 16, 23 ] v intervll som smtlig innehåller 2. Eftersom 22/16 = och 23/16 = vet vi t.ex. tt < 2 < Tillsmmns ger sts 3.2 och sts 3.3 följnde Sts 3.4 Om f är en kontinuerlig funktion definierd på ett slutet intervll [, ], så är funktionens värdemängd ett slutet intervll. Bevis Sts 3.2 ger tt f ntr ett störst och ett minst värde på intervllet [, ]. Kll dess för M respektive m. Sts 3.3 ger tt f ntr ll värden melln dess åd tl. Alltså är värdemängden intervllet [m, M]. Oserver tt sts 3.2 inte ger någon metod för tt estämm störts och minst värdet till en kontinuerlig funktion; llt den och dess evis ger är tt dess värden finns. I näst vsnitt sk vi se tt mer kn sägs om denn fråg för deriverr funktioner. Av denn nledning sk vi vänt med exempel på nvändning v sts Deriverr funktioners växnde/vtgnde I dett vsnitt sk vi se hur mn kn nvänd derivt för tt vgör funktioners växnde respektive vtgnde. Vi kommer också tt se hur mn kn ring in en funktions (eventuell) störst och minst värde med hjälp v derivtn. Definition 3.1 En funktion f hr ett loklt mximum eller minimum i en punkt om f(x) f(), respektive f(x) f(), för ll x i snittet melln en omgivning till och definitionsmängden till f(x). Den något krystde formuleringen i slutet v definitionen motivers v tt vi vill tt en funktion f(x), med grf som i figur 22 sk h ett loklt mximum i. c d e Figur 22: Funktionen hr loklt mximum i, c och e. Den hr loklt minimum i och d. Sts 3.5 Antg tt f hr ett loklt mximum eller minimum i och är deriverr i en omgivning till denn punkt. Då är f () = 0. Bevis. Antg tt f hr ett loklt mximum i. Differenskvoten är Q = (f(x) f())/(x ). När x > är dett uttryck 0, och när x < är det 0. Av dett följer tt gränsvärdet f () v Q måste vr noll, när x. Beviset när f hr ett loklt minimum i är liknnde. Tillsmmns ger stsern 3.4 och 3.5 en (viss) möjlighet tt estämm värdemängden till en kontinuerlig funktion på ett slutet egränst intervll. Vi illustrerr dett med ett exempel. 16

17 Exempel 3.1 Bestäm värdemängden till x 3 3x + 2 på intervllet [ 1/2, 2]. Eftersom funktionen är kontinuerlig vet vi tt värdemängden är [m, M], där m och M är funktionens störst respektive minst värde på intervllet [ 1/2, 2]. Ett sådnt störst eller minst värde nts i 1/2, 2 eller i en punkt där emelln där f = 0. Vi hr f( 1/2) = 19/8, f(2) = 4 och ekvtionen 0 = f = 3x 2 3 ger x = ±1, där r x = 1 är intressnt. Eftersom 2 = f(1) hr vi m = 2 och M = 4. Värdemängden är lltså [2, 4]. Oserver tt f () = 0 inte i llmänhet etyder tt f hr ett loklt mximum eller minimum i. T.ex. hr x 3, derivtn f (0) = 0, men f hr vrken loklt mximum eller minimum i 0. Tlet 0 är det mn rukr kll en terrsspunkt till funktionen. Följnde sts, som knyter ihop kontinuitet och deriverrhet, rukr klls Rolles sts Sts 3.6 Antg tt f är kontinuerlig på [, ] och deriverr på (, ). Om då f() = f(), så finns det ett tl c, så tt < c <, och f (c) = 0. c Figur 23: I först fllet uppfylls förutsättningrn i stsen och det finns ett tl melln och, så tt f(c) = 0. I ndr fllet är f() = f(), men det finns inget tl c melln och, där f (c) = 0. Bevis. Om f är konstnt så är f (c) = 0, för vrje vl v c melln och. Annrs ntr f ntingen ett störst eller ett minst värde (f är kontinuerlig på [, ]) i någon punkt c melln och. Eftersom f är deriverr i c är f (c) = 0. Den förmodligen llr viktigste stsen om deriverr funktioner är Sts 3.7 (Medelvärdesstsen) Antg tt f är kontinuerlig på [, ] och deriverr på (, ). Då finns ett tl c melln och, så tt f() f() = f (c). Figur 24: Den streckde linjen i mitten hr lutningen (f() f())/( ). I exemplet finns två tl melln och där tngenten till grfen hr smm lutning som denn linje. Bevis. Sätt h(x) = f(x) (f() f())(x )/( ) f(). Då är h kontinuerlig på [, ] och deriverr på (, ). Dessutom är h() = 0 = h(), så Rolles sts ger ett c melln och, så tt 0 = h (c) = f (c) (f() f())/( ). En rd ndr känd påståenden om deriverr funktioner är konsekvenser v medelvärdesstsen. Sts 3.8 Antg tt f är kontinuerlig på [, ] och deriverr på (, ). 1. Om f (x) > 0, på (, ), så är f strängt växnde på [, ], 2. om f (x) 0, på (, ), så är så är f växnde på [, ]. Bevis. Antg tt x 0 < x 1 är två tl i [, ]. Medelvärdesstsen ger ett c melln x 0 och x 1, så tt f(x 1 ) f(x 0 ) = f (c)(x 1 x 0 ). I fll 1) ger dett f(x 1 ) > f(x 0 ), och i fll 2) f(x 1 ) f(x 0 ). Det är klrt tt om f är konstnt så är f (x) = 0, för ll x. Men omvändningen gäller också: Sts 3.9 Om f är kontinuerlig på [, ] och deriverr på (, ), och f (x) = 0 för ll x melln och, så är f konstnt på [, ]. Bevis. Tg två tl x 0 och x 1 i [, ]. Medelvärdesstsen ger ett c melln dess åd tl, så tt f(x 1 ) f(x 0 ) = f (c)(x 1 x 0 ) = 0. Dett etyder tt f är konstnt på [, ]. 17

18 4 l Hospitls regel Oft, t.ex. i derivtns definition, dyker det upp så kllde gränsvärden v typen 0/0. l Hospitls regel ger hjälp vid eräkning v sådn gränsvärden. Antg till exempel tt vi vill eräkn gränsvärdet v f(x)/g(x), när x och tt f(x) och g(x) åd år deriverr i x = hr f() = g() = 0. Kvoten kn då skrivs f(x) f() f(x) g(x) = x g(x) g() som går mot f ()/g (), om g () 0, när x. Vd händer om g () = f () = 0 i dett uttryck? För tt svr på frågn ehöver vi en generlisering v medelvärdessvärdesstsen. Sts 4.1 Antg tt f och g är kontinuerlig på [, ] och deriverr i ], [. Om g() g(), så finns ett tl c melln och, så tt f() f() g() g() = f (c) g (c). x Vi får den tidigre medelvärdesstsen om vi ovn sätter g(x) = x. Bevis Sätt h(x) = f(x) (f() f())(g(x) g())/(g() g()) f(). Vi hr då tt h() = 0 = h() och förutsättningrn i Rolles sts är uppfylld. Dett ger ett c melln och, så tt 0 = h (c) = f (c) (f() f())g (c)/(g() g()). Sts 4.2 (l Hospitls regel) Antg tt f och g är deriverr i en omgivning till, tt f() = 0 = g(), men tt g(x) 0 i en omgivning till, när x. Om då f (x)/g (x) A, när x. så gäller även tt f(x)/g(x) A, när x. Bevis Enligt utvidgningen v medelvärdesstsen finns det ett tl c melln x och, så tt f(x)/g(x) = f (c)/g (c). Vi ser tt c, när x, vilket ger resulttet. Konklusionen i stsen kn också skrivs f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x), om f() = g() = 0, och gränsvärdet i höger led existerr. Förutsättningen tt gränsvärdet är v typen 0/0 är väsentlig! T.ex. hr kvoten (x 1)/x gränsvärdet 0, när x 1, medn D(x 1)/D(x) = 1/1, hr gränsvärdet 1. Exempel 4.1 Beräkn gränsvärdet v (cos(2x) 1)/x 2 när x 0. Vi ser tt det är fråg om ett gränsvärde v typen 0/0. Uttrycket hr därför smm gränsvärde som kvoten D(cos(2x) 1)/D(x 2 ) = 2 sin(2x)/(2x). Även här är det fråg om ett gränsvärde v typen 0/0. Kvoten hr därför smm gränsvärde som D( sin(2x))/d(x) = cos(2x)/1, som går mot 1, när x 0. Exempel 4.2 Undersök om mn kn estämm konstnten, så tt funktionen (e 2x cos(x))/x när x 0 när x = 0 lir deriverr. Är derivtn kontinuerlig? Det är inget prolem tt deriver med hjälp v formler ortnför x = 0. För tt undersök derivtn i x = 0, sk vi undersök differenskvoten (f(x) f(0))/(x 0) = (e 2x cos(x) x)/x 2, när x 0. Vi ser tt det är fråg om ett gränsvärde v typen 0/0, ovsett vd är. Kvoten hr därför smm gränsvärde som (2e 2x + sin(x) )/(2x). Här ser vi tt nämnren går mot 0, när x 0, så även täljren måste gör det för tt gränsvärdet sk exister. Dett ger = 2. Kvoten ger då ett gränsvärde v typen 0/0, och hr därför smm gränsvärde som (4e 2x + cos(x))/2, dvs 5/2, när x 0. Vi hr lltså tt f är deriverr även i x = 0, om vi sätter = 2, och derivtn där är då f (0) = 5/2. 18

19 Vi hr följnde formel för derivtn: f (x) = ((2x 1)e 2x + x sin x + cos x)/x 2 när x 0 5/2 när x = 0 Av formeln ser vi tt f (x) är kontinuerlig utom möjligen i x = 0. För tt undersök kontinuitet där sk vi undersök gränsvärdet v kvoten ((2x 1)e 2x + x sin x + cos x)/x 2, när x 0. För kontinuitet i x = 0 krävs tt dett existerr och är f (0) = 5/2. Vi ser tt det är fråg om ett gränsvärde v typen 0/0 och kvoten hr därför smm gränsvärde som ((2+4x 2)e 2x +sin x+x cos x sin x)/(2x) = (4e 2x +cos x)/2. Denn sist kvot hr gränsvärdet (4+1)/2 = 5/2 = f (0), när x 0. Dett visr tt f (x) är kontinuerlig. 5 Vektorer och nlytisk geometri Kursoken innehåller väsentligen llt om vektorer som ingår i kursen. Här sk r införs en speciell eteckning och ges någr tillämpningr inom vståndseräkningr. 5.1 Svenssons symol I kurslitterturen nges en formel för eräkning v kryssprodukt v två vektorer i rummet. Den ygger på så kllde 3 3-determinnter. Det lir gnsk joigt tt skriv upp den vid konkret eräkningr, men de stämmer utmärkt med t.ex. fysikers eteckningssätt för koordinter; de skriver i + j + c k för (,, c). För tt förekl kn mn inför eteckningen } ( v1 v 2 v 3 = v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 ) w 1 w 2. Kryssprodukten v vektorern (v 1, v 2, v 3 ) och (w 1, w 2, w 3 ) ges då v } v1 v (v 1, v 2, v 3 ) (w 1, w 2, w 3 ) = 2 v 3. w 1 w 2 w 3 Exempel 5.1 Bestäm kryssprodukten v vektorern (2, 1, 1) och (2, 2, 3). Mn får (2, 1, 1) (2, 2, 3) = = (1, 8, 6). } = (( 1)( 3) 1 2, (2( 3) 1 2), 2 2 ( 1)2) = 5.2 Avståndseräkningr Avstånd melln punkt och pln Antg tt Q är en punkt och tt vi hr ett pln som går genom P med norml n. Vi är intresserde v tt estämm (det kortste) vståndet från Q till plnet. n Q d n Q P P d Figur 25: Avståndet melln Q och plnet är längden v den ortogonl projektionen v P Q på normlen n, där P är en punkt, vilken som helst, i plnet. 19

20 Dett ges v längden v den ortogonl projektionen v P Q på n och är lltså P Q n n 2 n P Q n =. n Exempel 5.2 Bestäm vståndet melln punkten (1, 2, 3) och plnet x 2y 2z + 4 = 0 Plnet hr norml n = (1, 2, 2) v längd n = 9 = 3. Vi ehöver välj en punkt (P ) i plnet. Det spelr inge roll hur vi gör det, men det är förnuftigt tt välj en med enkl koordinter (som uppfyller plnets ekvtion). Vi väljer (0, 2, 0). Vektorn melln denn punkt och den givn hr därmed koordintern (1 0, 2 2, 3 0) = (1, 0, 3). Avståndet melln den givn punkten och är lltså Avstånd melln punkt och linje (1, 0, 3) (1, 2, 2) 3 = 5 3 Antg tt en linje i rummet hr riktningsvektorn v och går genom Q. Vi är intresserde v tt estämm (kortste) vståndet melln en punkt P och denn linje. Låt d vr dett vstånd. = 5 3. PQ Q v PQ Figur 25: Avståndet melln Q och linjen är d. Aren v prllellogrmmen i figuren är dels d v, dels P Q v, där P är en punkt, vilken som helst, på linjen. P v Prllellogrmmen som spänns v vektorern v och P Q hr då ren d v, men också P Q v. Dett ger d = P Q v. v Exempel 5.3 Bestäm vståndet melln punkten (1, 2, 3) och linjen som går genom de åd punktern (1, 1, 0) och (2, 1, 2). Linjens åd punkter ger oss riktningsvektorn v = (1, 2, 2) v längd 3. Nu väljer vi en punkt, vilken som helst, på linjen. Låt oss t (1, 1, 0). Vektorn melln denn och punkten (1, 2, 3) hr koordintern (0, 1, 3). Kryssprodukten v denn med riktningsvektorn är } (0, 1, 3) (1, 2, 2) = = (2 + 6, 0 + 3, 0 1) = (8, 3, 1) och hr längd = 74. Avståndet melln den givn punkten och linjen är lltså 74/ Avstånd melln två linjer Antg tt vi hr två linjer i rummet med riktningsvektorer u och v och tt de går genom punktern P respektive Q. u Q d u Q u x v v P v P Figur 25: Avståndet melln de två linjern är smm som vståndet melln Q och plnet genom P med norml u v. 20