Integraler och differentialekvationer

Transkript

1 Question 33. Whether it e true tht the re of rectngle whose sides hve lenghts B nd H respectively, is the product of those numers, BH? This is one question of which every intelligent person ought to e le to guess the right nswer, t lest fter he hs red the correct definition of rectngle. A rectngle is geometric figure composed of two pirs of prllel line segments, perpendiculr to ech other, such tht ech line segment meets ech of the perpendiculr line segments in its endpoints. Bsiclly then, rectngle is mde up of four lines. And yet people sy tht the re of rectngle is the product of se times height! I nswer tht the re of rectngle is never the product of se times height. This is ecuse the se of rectngle is the length of line segment, nd so cnnot e ; neither cn the height e. But the re of rectngle is lwys, since it is ovious tht line segment hs re, nd hence so hs the union of four line segments. If we re to spek of res, we ought to spek of the re of the conve hull of rectngle, or the inside of rectngle. The fence round the frmer s field is rectngle, perhps; the field is its conve hull. Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Ett kort vsnitt ur oken Mthemtics mde difficult Crl E. Linderholm Mikel P. Sundqvist 5 decemer 6

2 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens huvudsts och primitiv funktioner 4 4 Linjär differentilekvtioner 53 5 Integrtionstekniker 9 6 Först ordningens differentilekvtioner smt integrlekvtioner 7 7 Generliserde integrler 7 8 Tillämpningr v integrler 39 9 Lokl pproimtioner 6 Blndde uppgifter 87 A B Logritmfunktionen, eponentilfunktionen och potenser 97 Kort om ickeelementär och speciell funktioner 5 C Bevis v lgerns fundmentlsts Svr på tl 5 Referenser 43 Skregister 44

3 Någr ord till läsren Dett dokument innehåller sånär som komple tl och polynom hel det mteril vi skll ehndl i kursen. Då vi ehöver komple tl och polynom skll vi nyttj kursoken [4]. Efter tt jg i mång år hft en gngnde känsl v tt vi undervisr momenten i nlyskursen i fel ordning, utn någon tydlig röd tråd och ilnd med rgument som inte är optiml kände jg tt det vr dgs tt försök skriv ihop egn föreläsningsnteckningr, där jg åtminstone stuvde om så tt momenten kom i den ordning som jg önskde (dett visde sig vr lättre sgt än gjort). Redn 998 då jg själv läste motsvrnde kurs i Göteorg kände jg tt något vr onturligt. Då nvände vi [5] som kursok, (vilken tycks h vrit en stor inspirtionskäll då [4] skrevs). Till eempel upplevde jg tt vi lde oproportioneligt stor möd på tt eräkn ll möjlig konstig primitiv funktioner vid en tidpunkt då nyttn v dett vr oklr, åtminstone för mig som student. Ett nnt moment jg inte lyckts få rätsid på är differentilekvtionern. Speciellt vsnittet om de linjär där jg tycker tt mn nvänt en metod som inte är llmängiltig helt i onödn. Dess nteckningr vr tänkt som föreläsningsnteckningr till kursomgången höstterminen 6, men hr vuit efterhnd. Eftersom de ändå skll nvänds till kursen i envrielnlys på LTH så är innehållet mycket styrt utifrån dett. Hde jg vrit helt fri tt skriv om integrler och differentilekvtioner, utn tt h någon specifik kurs i åtnke, hde slutresulttet delvis livit ett nnt. Jg insåg gnsk snrt tt det skulle li rörigt tt läs denn tet och gör övningr här och där i övningshäftet, vrför jg eslöt tt lägg till övningr i teten. Därefter vr det nturligt tt även sml övningr i slutet v vrje kpitel. Då du läser teten ör du se övningrn som är inkt i teten som enkl övningr som testr tt du förstår det du just hr läst. Oft finns det något eempel str innn som det skll gå tt följ. Övningrn i slutet v kpitlen är sedn en påyggnd, där fler 4

4 enkl uppgifter hr lndts med mer utmnnde. Någr v de knivigre hr mrkerts med * och de kn mn vstå ifrån. Ett fåtl uppgifter är etr utmnnde (överkurs), och de hr mrkerts med **. Även någr vsnitt i teten hr mrkerts med *. Det etyder inte tt de är överkurs utn snrre tt de innehåller en del teori som det inte är meningen tt du skll fstn på vid en först genomläsning. Jg rekommenderr dig därför tt även läs dess vsnitt, men tt endst skumläs, eller rentv hopp över, evisen. I ppendi hr ytterligre mteril smlts. Dett stoff ingår inte direkt i kursen, utn läses v den intresserde. Det resultt från förr delkursen som vi hr mest nvändning v är en följd v medelvärdesstsen. Vi formulerr resulttet här så vi enkelt kn hänvis till den senre. Sts Om derivtn v en funktion är noll på ett helt intervll så är funktionen konstnt där. Mång v övningrn här kommer från övningshäftet som nvänds på LTH, ndr kommer från gml skrivningr (då nges det vilken uppgift och vid vilken tent uppgiften är hämtd ifrån). Ilnd hr uppgiftern formulerts om för tt de skll pss ättre in här. Förutom eventuell tryckfel hävdr jg ingen originlitet vd gäller övningrn. Apropå tryckfel så finns det förmodligen en hel uppsjö v dem. Du får gärn skick erev till mig (mickep@mths.lth.se) om du hittr tryckfel eller om det är något som är oklrt. Tck till Jn Gustvsson, Anders Holst, Mrio Ntiello och Toms Persson som påpekt fler tryckfel och oklrheter. Nu finns länkr till Jons videor. Klick på ikonen för tt titt. Oserver tt vår metoder skiljer sig lite åt. Dett gjorde tt jg vr lite tveksm till tt lägg till länkr. Men nu finns de där. Huvudsken är tt du, käre läsre, är medveten om tt metoden vi nvänder i teten (till eempel vd gäller nsättningr v prtikulärlösningr) skiljer sig från den som nvänds i videorn. Lund, novemer 6 Mikel P. Sundqvist 6 Introduktion till kursen. Inledning I mång tillämpde vetenskper rets det med mtemtisk modeller, och förhoppningen är tt studerndet v dess skll generer kunskp om den verklighet vi lever i. Vnligtvis är modellern formulerde som differentilekvtioner, dvs ekvtioner där den oeknt är en funktion, och där denn funktion även förekommer deriverd i ekvtionen (vi skll inte ge någon mer precis definition v vd en differentilekvtion är, men du kommer snrt tt stöt på fler eempel). Det ultimt målet kn vr tt lös dess differentilekvtioner, vilket inneär tt estämm ll funktioner som uppfyller dem. Men det kn också vr så tt mn endst är intresserd v tt vet om det finns en lösning, eller värdet v en lösning i en specifik punkt, eller hur en lösning eter sig efter lång tid (om det nu är tiden som är vrieln). I ndr smmnhng kn differentilekvtionen innehåll prmetrr, och då knske mn är intresserd v tt estämm värden på dess så tt lösningrn till differentilekvtionen får någon viss egenskp. I vilket fll som helst så hr det oft vist sig vr frmgångsrikt tt studer differentilekvtioner. I denn kurs kommer vi tt etrkt någr enkl, i modeller vnligt förekommnde, differentilekvtioner och koncentrer oss på tt lös dess. Vi ägnr speciellt kpitel 4 och 6 åt dett, men eftersom vi låter differentilekvtionern spel huvudrollen i kursen så kommer vi även tt stöt på dem i ndr kpitel. Ett nnt fundmentlt egrepp är Riemnnintegrlen. Vi kommer tt inför den i kpitel som ett sätt tt mät re, men det visr sig snrt tt det finns mång fler tillämpningsområden, lnd nnt koppls integrtion ihop med lösndet v differentilekvtioner. Någr ndr tillämpningr diskuters i kpitel 8. kpitel

5 Integrlklkylens huvudsts (sts 3.) får ses som den mtemtisk höjdpunkten i kursen. Stsen säger tt integrering och derivering är invers opertioner. Det är dessutom den som ger den nyss nämnd kopplingen melln lösndet v differentilekvtioner och integrler. En direkt följd v huvudstsen är insättningsformeln som ger oss ett enkelt sätt tt eräkn integrler under villkoret tt vi kn estämm primitiv funktioner, funktioner vrs derivt är den funktionen vi vill integrer. Dett invers prolem är mycket svårre än tt deriver, och vi kommer därför tt ret en hel del med det, speciellt i kpitel 5. Mång nturligt förekommnde prolem kn inte löss ekt. Det kn till eempel vr integrler som resulterr i primitiv funktioner som inte går tt uttryck med de funktioner vi känner, de så kllde elementär funktionern (se ppendi B för en kort diskussion). Det kn också vr så tt de uttryck mn retr med är så komplicerde tt det lir ohnterrt. Även om uttrycket i någon mening är enkelt, så kn det vr r tt h en metod tt få ett numeriskt värde. Säg till eempel tt vi eräknr mssn hos en kropp och får som resultt tt den lir π ln kg. Hur stort är det? Om vi nvänder en miniräknre kn vi enkelt få frm närmevärdet π ln.8, men det kn ju vr r tt vet hur mn med hndräkning tr frm ett närmevärde. Denn typ v prolem skll vi diskuter närmre i kpitel 9, där vi speciellt kommer tt studer Mclurin- och Tylorutvecklingr, vilk hjälper oss tt loklt (i en omgivning v en punkt) pproimer komplicerde funktioner med polynom. Vi kommer på vägen tt ehöv teori för polynom och komple tl. För de vsnitten kommer vi tt nvänd kursoken [4]. I kpitel hr vi dock smlt en hel del prolem v lndd krktär, inklusive uppgifter på komple tl och polynom. Nu skll vi fortsätt dett inlednde kpitel med tt etrkt någr enkl modeller. Målet är lnd nnt tt öv oss i konsten tt utifrån en prolemtet ställ upp en lämplig differentilekvtion. Vi skll också repeter lite derivering då vi gör något förhållndevis enkelt, nämligen verifierr tt en viss funktion löser en differentilekvtion. Vi skissr även lösningr till differentilekvtioner med hjälp v riktningsfält.. Differentilekvtioner som modeller Vi visr med någr enkl eempel hur differentilekvtioner kn uppstå. Eempel. Den 3 juli 6 hoppde Luke Aikins utn fllskärm från ett flygpln på 76 m höjd (hn lndde lyckligtvis i ett 3 m 3 m uppspänt nät, oskdd). Vi etecknr nedn med h(t) Lukes höjd i meter över mrknivån t sekunder efter hoppet. Först ntr vi tt hn endst påverks v grvittionen. Då kommer höjden h enligt Newtons ndr lg (som säger tt mssn multiplicerd med ccelertionen ges v den krft som påverkr kroppen) tt uppfyll mh (t) = mg. (.) Här etecknr m kroppens mss och g grvittionskonstnten. Mssn kn förkorts ort. Ekvtion (.) är ett eempel på en differentilekvtion. Den oeknt funktionen h förekommer deriverd två gånger som mest, och därför säger vi tt differentilekvtionen är v ndr ordningen. Med tt lös differentilekvtionen (.) menr vi tt estämm smtlig funktioner h som då de derivers två gånger och sedn multiplicers med m lir konstnt lik med mg, dvs estämm ll funktioner h sådn tt ekvtionen (.) lir en identitet. Uppgift. Verifier tt funktionen h (t) = gt / uppfyller (.). Vis sedn tt även h (t) = C + C t gt / gör det, ovsett värdet på konstntern C och C. Lösningen h i uppgiften ovn är fktiskt den mest llmänn lösningen som finns till differentilekvtionen. Konstntern C och C ovn kn estämms om vi känner till mer informtion, ivillkor. Till eempel kn vi h egynnelsevillkor, h() = h och h () = v. Då kn C och C uttrycks i termer v h och v. Dett gör du i uppgift.5. Vi kommer se tt det i llmänhet dyker upp godtycklig konstnter vid lösndet v differentilekvtioner, och tt vi estämmer dem med hjälp v egynnelsevillkor eller rndvillkor (villkor i ändpunktern v ett intervll). Antlet godtycklig konstnter som dyker upp rukr vr lik med ordningen v differentilekvtionen. Figur. 8 Version: 5 decemer 6 9

6 Figur. Eempel. En troligre modell tr även hänsyn till luftmotståndet. För enkelhets skull kn vi nt tt krften som uppstår som en följd v luftmotståndet är proportionell mot hstigheten, vilket etyder tt den är på formen kh (t) för någon konstnt k >. Differentilekvtionen (.) övergår därför i mh (t) = kh (t) mg. (.) Oserver tt h (t) < och tt vi därför sutrhert kh (t) i högerledet eftersom krften från luftmotståndet verkr uppåt. Uppgift. Vis tt de ägge funktionern h (t) = mg k t, och h (t) = mg k t + C + C e kt/m löser differentilekvtionen (.). Dett oeroende v konstntern C och C. Eempel.3 Vi hr, helt utn något fysikliskt rgument, ntgit tt luftmotståndet är proportionellt mot hstigheten. I en nnn modell kn mn tänk sig tt luftmotståndet istället är proportionellt mot kvdrten på hstigheten, vilket skulle ge en differentilekvtion på formen mh (t) = k(h (t)) mg. (.3) Vilken modell som eskriver den ktuell situtionen äst kn, och ör, diskuters, men den diskussionen får ske någon nnnstns. Vi skll i stället studer modeller som är hämtde från olik områden. Vi kommer tt diskuter metoder tt lös någr differentilekvtioner, lnd nnt de vi just skrivit ned, men det gör vi senre. Vi ger i stället ytterligre ett pr eempel på situtioner där differentilekvtioner nturligt dyker upp. och lik med förhållndet v desmm i tmosfären. När en orgnism dör slutr den tt t upp den rdioktiv isotopen, och den mängd som redn finns i orgnismen sönderfller. Genom tt mät förhållndet melln de två isotopern kn mn därför få en ungefärlig tidpunkt för när orgnismen dog. Om vi låter N(t) eteckn ntlet 4 C-tomer i ett grm v den död orgnismen vid tiden t (i lämplig enheter) så gäller det tt N vid vrje tidpunkt ändrs med en hstighet som är proportionell mot N. Därför uppfyller N differentilekvtionen N (t) = kn(t) för någon positiv proportionlitetskonstnt k. Eempel.5 Strömstyrkn i(t) i kretsen i figur.3 uppfyller L i (t) + R i(t) = E(t). (Vi förväntr oss inte i denn kurs tt du skll kunn rgumenter för tt differentilekvtionen lir den påstådd.) Givet spänningen E vill mn estämm strömstyrkn i. Låt oss t ett mer mtemtiskt eempel som (åtminstone till synes) inte hr någon direkt tillämpning. Eempel.6 (5, ) Låt f [, ] (, ) vr en kontinuerlig funktion, deriverr på (, ). Antg vidre tt tngenten i punkten (, f()) till grfen y = f() skär -eln i punkten (/, ) för ll i intervllet (, ). Vis tt f uppfyller differentilekvtionen f() = f () ( ), < <. och estäm f om f() =. L E(t) R Figur.3 Eempel.4 Kol-4-metoden utveckldes på senre delen v 94-tlet v meriknen Willrd Liy (hn tilldeldes 96 Noelpriset i kemi). Det är en metod som nvänts flitigt v rkeologer för tt dter gml ojekt. Den ygger på tt kol förekommer i levnde mteri i två isotoper, C och 4 C, där den förstnämnd är stil och den ndr sönderfller. I levnde mteri är förhållndet melln isotopern ungefär konstnt,.3 Riktningsfält Vi skll etrkt ett pr modeller för popultioner, och målet är lnd nnt tt vi skll lär oss tt rit riktningsfält och tt kunn egrip lite mer v en modell med en differentilekvtion utn tt fktiskt lös differentilekvtionen. Version: 5 decemer 6

7 Figur.4 Eempel.7 Vi låter P(t) eteckn ntlet individer i en popultion vid tidpunkten t (t mätt i lämplig enhet). Under gynnsmm förhållnde kn mn tänk sig tt popultionen väer oehindrt vi tänker oss tt popultionens tillväthstighet vid vrje tidpunkt är proportionell mot popultionens storlek vid smm tidpunkt. Det inneär tt P uppfyller P (t) = kp(t), där k > är en proportionlitetskonstnt. För tt förenkl ntr vi för tillfället tt k =, vilket ger differentilekvtionen P (t) = P(t). (.4) Vi känner ju fktiskt till en funktion som är sin egen derivt, nämligen eponentilfunktionen. Målet just nu är dock tt t red på informtion om lösningen utn tt h den uttryckt lgeriskt. Differentilekvtionen ger oss informtion. Till eempel, om vi vet tt P() = så vet vi även tt P () = P() =. Med ndr ord, om vi vet vr lösningen efinner sig, så vet vi även vilken lutning den hr, se figur.4, där vi hr ritt ett litet linjestycke med riktningskoefficient som skär punkten (, ). Dett lir mer nvändrt om vi gör det för fler punkter smtidigt. I figur.5 till vänster hr vi ritt ett riktningsfält, linjestycken för fler punkter. Punkten (, ) är speciellt mrkerd. Till höger i figuren hr vi ritt ut grfen till den funktion P som skär just (, ), och som vi ser så följer den med linjestycken i riktningsfältet. med tnke på tt resursern på vår jord är egränsde inte kn håll i evighet. Eempel.8 En modell som kompenserr för dett är den så kllde logisktisk modellen, P (t) = kp(t)(m P(t)). Här är k en proportionlitetskonstnt som tidigre, och M > den miml möjlig popultionen. Vi skll snrt se vrför M kn tolks så, men noterr först tt om P(t) är gnsk liten jämfört med M så kommer M P(t) M, vrför P (t) kmp(t), så vi hr i princip den tidigre modellen. Om P(t) M så är i stället M P(t), vrför P (t). Dett inneär tt popultionen då i princip är konstnt. Det verkr gäll tt P väer om P är liten, men i princip är konstnt om P närmr sig M. I figur.6 hr vi ritt motsvrnde riktningsfält i det fllet då k = och M = 3, tillsmmns med en lösningskurv. Här ser vi tt det är precis som vi nämnde ovn, P väer gnsk mycket för små t, men lir sedn i princip konstnt (och den konstnten är M = 3). P Figur.6 P P t Figur.5 t Den här modellen för tillvät v popultioner hr stor rister. Om P är positiv så kommer P också tt vr det, och P är lltså vände. Dessutom så lir P större med P; ju större popultion, desto snre tillvät, vilket t Differentilekvtionen P = P(3 P) kn skrivs P = f(p) där f är funktionen f(p) = P(3 P). Differentilekvtioner på denn form (till skillnd från de på formen P (t) = f(p, t), där funktionen f även eror på vrieln t) klls för utonom och vi kommer tt studer dem utförligre i kpitel 6. Genom tt studer f (vi hr ritt grfen i figur.7) så kn vi dr en del slutstser. Om P < så är f(p) < vrför P <, så lösningr måste vr vtgnde där. Om < P < 3 så är f(p) > vilket inneär tt P >, och därmed tt P är vände. Om P > 3 så är f(p) < igen, och därmed är P vtgnde. f(p) Figur.7 P Version: 5 decemer 6 3

8 Nollställen till f klls för jämviktslägen I vårt eempel så är lltså P = och P = 3 jämviktslägen. Utn tt gör någon strikt definition så nämner vi tt jämviktsläget P = 3 är stilt eftersom lösningr som strtr när det kommer tt närm sig det då tiden går. Jämviktsläget P = är instilt. Vill mn (försök) vr lite fräsig kn mn (idén hr vi hämtt från []) rit åde grfen till f och riktningsfältet i smm figur, vilket vi gjort i figur.8. P Uppgifter Svr till uppgiftern finner du på sidn 5. Du kn klick på vrje uppgiftsnummer för tt komm till dess svr..3 Verifier, genom tt deriver, tt funktionen u() = / uppfyller u () = u()..4 Vis tt funktionen y p () = e 3 / är en lösning till differentilekvtionen Figur.8 Givet en funktion så kn vi vgör om den löser en differentilekvtionen genom tt deriver och förenkl. Eempel.9 Vi visr tt funktionen P(t) = 3/( + e 3t ) löser differentilekvtionen P (t) = P(t)(3 P(t)) med egynnelsevärdesvillkoret P() =. Vi deriverr (och nvänder kedjeregeln) 4 3 P (t) = ( + e 3t ) D( + 8e e 3t ) = 3t ( + e 3t ). Högerledet P(t)(3 P(t)) kn förenkls till smm uttryck, P(t)(3 P(t)) = = 3 + e 3t (3 3 + e 3t ) 3 + e 3t 3( + e 3t ) 3 8e + e 3t = 3t ( + e 3t ). Alltså gäller det tt P (t) = P(t)(3 P(t)). Insättning v t = ger dessutom P() = 3/( + e 3 ) =. t y () 3y() = 9 e 3 /. (Du kommer tt estämm ll lösningr till differentilekvtionen i uppgift 4.33.).5 Vi återkommer till den först modellen för den fllnde kroppen i eempel., och utgår ifrån tt den llmänn lösningen till differentilekvtionen ges v funktionen h i uppgift.. ) Bestäm C och C om h() = h och h () = v. Vd lir h? ) Om vi ntr tt Lukes hstighet (i vertiklt led) vr noll vid uthoppet, efter hur lång tid lndde hn, och vilken hstighet hde hn då?.6 (5, 988) Ange ett tl så tt funktionen y() = ln är en lösning till differentilekvtionen y y =..7 Skriv ner en differentilekvtion som löses v u() =..8 I figur.9 hr vi ritt ett riktningsfält som pssr ihop med en v differentilekvtionern nedn, vilken? ) y = y + y ) y = y y c) y = (y + y ) d) y = (y y ) Version: 5 decemer 6 5

9 y mängden v rdium. Hlveringstiden är 6 år, dvs efter 6 år finns hälften v mängden kvr. (Se vidre uppgift 4.3.) Figur.9.9 Antg tt y(t) löser differentilekvtionen i föregående uppgift. Vd tror du gäller för y(t) då t, om ) y() =, ) y() =, c) y() =, d) y() = 3?. I deluppgiftern nedn skll du inför lämplig eteckningr och ställ upp den differentilekvtion som eskriver situtionen. Du skll inte lös den nu. t. Om vi tömmer en tnk så kommer den förr eller senre tt li tom, och sedn kommer den tt fortsätt tt vr tom. Dett medför tt den differentilekvtion som uppstår i prolem som hr med Torricellis lg tt gör (se uppgift.) kn vr lite lurig tt hnter. Till eempel gäller det tt egynnelsevärdesprolemet y = y, y() = (.5) hr lösningen y(t) = (t ) /4. Men den lösningen är r giltig för t, därefter lir y =, se figur. där vektorfältet och den just nämnd lösningen är utritde. H dett i åtnke då du löser uppgift.3. Din uppgift här får li tt verifier tt funktionen y(t) = { (t ) /4, t,, t >, verkligen löser (.5). y ) Lufttrycket i tmosfären vrierr med höjden över hvsytn, på så vis tt tryckförändringstkten (med vseende på ändring v höjden) är proportionell mot lufttrycket. (Se vidre uppgift.4.) ) Enligt Newtons vsvlningslg vtr temperturen hos en vrm kropp (plcerd i en svlre omgivning) med en hstighet som vid vrje tidpunkt är proportionell mot skillnden melln omgivningens och kroppens tempertur, (omgivningen nts h konstnt tempertur). (I uppgift 6. löser du ett sådnt prolem.) c) Torricellis lg säger tt om vi tömmer en (rimligt formd) tnk på vätsk så kommer utflödeshstigheten vid vrje tidpunkt tt vr proportionell mot kvdrtroten v vätskns höjd. (Se uppgift.3 för en uppgift där dett ingår.) d) Det rdioktiv ämnet rdium sönderfller på så vis tt ändringen v mängden per tidsenhet vid vrje tidpunkt är proportionell mot 6. I den här uppgiften etrktr vi differentilekvtionen u () = u() + u(). (.6) ) Vis tt u () = / är en lösning till (.6). ) Vis tt u () = också löser (.6) om <. Differentilekvtionen (.6) hr lltså två olik lösningr som uppfyller u() =. Vi refererr till figur. och örjn v kpitel 6, där det finns en liten diskussion om entydighet. Version: 5 decemer 6 7 t Figur.

10 Figur. u Integrlegreppet kpitel. Introduktion Vårt mål med dett kpitel är tt introducer integrlegreppet. Du hr förmodligen stött på det förut, och då knske uttrycket f() d infördes som ett mätetl för ren v området som egränss v linjern =, =, y = och kurvn y = f() (se figur.). Dessutom fick du säkert en formel för hur integrler eräkns. y y = f() Figur. Vi kommer också tt definier integrlen som ett sätt tt eräkn reor. För tt gör det nöjer vi oss dock inte med en formel som ger resulttet, vi funderr i stället på vd vi fktiskt menr med re, och definierr sedn integrlen på ett förhållndevis krångligt sätt. Först i näst kpitel skll vi se tt definitionen v integrl som vi ger här kommer tt vr lyckosm, i den meningen tt vi med hjälp v den kn vis den formel som du förmodligen redn känner till för eräkning v integrler (den formel vi tlr om här är den så kllde insättningsformeln, (3.)). Vi örjr därför med tt diskuter reegreppet. 8

11 Figur.. Vd är re? Vi skll introducer integrlegreppet som ett verktyg för tt mät re, och vi kommer tt koncentrer oss på ren under funktionsgrfer som i figur.. Men vd menr vi egentligen med re? Låt oss konstter tt vi redn hr en uppfttning om vd re är och redn kn eräkn ren v fler olik geometrisk ojekt, så om vi inför ett nytt reegrepp så måste det ge smm mätetl. Till eempel är ren v en rektngel med sidorn och lik med, ren v en tringel med s och höjd h lik med h/ och ren v en cirkelskiv med rdie r lik med πr. För tt erhåll ren för en cirkelskiv kn vi nu tänk oss tt vi skriver in polygoner i den på ett sådnt sätt tt skillnden melln cirkeln och polygonern i någon mening lir llt mindre. Eftersom vi i princip kn eräkn ren för vrje polygon så är tnken tt vi kn få cirkelnskivns re med hjälp v ett gränsvärde. En sådn polygoninskrivning illustrers i figur.4, där regelundn inskrivn polygoner med 4, 5, 8 respektive 6 hörn nvänts i en cirkel med rdie, och där respektive polygonre nges under cirkeln. Det tycks vr klrt ifrån figuren tt polygonerns reor (vit i figuren) närmr sig det vi tänker oss som cirkelskivns re A då ntlet hörn lir llt större, och tt de orde stämm överens då ntlet hörn i polygonen väer över ll gränser. Dett rgument kllr vi för ett uttömningsrgument. Tyvärr förklrr det inte hur tlet π kommer in i ilden. Figur.3 Att det förhåller sig så hr vi lärt oss någon gång som rn, och du som läser dett tycker förmodligen tt det är helt självklrt. Eller? Att ren för en rektngel är produkten v sidorns längd känns helt fundmentlt och är svårt tt rgumenter emot. I själv verket skll vi senre nvänd just dett som grund då vi definierr integrlegreppet. Formeln för ren v en tringel kn enkelt härleds om vi känner ren för en rektngel (gör gärn det som en övning). Men tt ren v en cirkelskiv med rdie r är πr är förmodligen inte lik självklrt om du tänker på det en stund. Vi hr lärt oss tt det är så, men hur dyker tlet π upp? Och vd skll vi egentligen men med ren v en cirkelskiv? Vi skll härnäst ge ett förslg på hur mn skulle kunn gå tillväg för tt ge mening åt ren v en cirkelskiv, nämligen genom så klld uttömning. Argumentet går åtminstone tillk till greken Arkimedes (87 f.kr.), och är lltså minst sgt gmmlt. Vi utgår ifrån tt ren v rektngeln och tringeln är känd. Om vi kn eräkn ren v tringlr kn vi eräkn ren v en godtycklig polygon. Det gäller nämligen tt en sådn kn dels in i deltringlr, se figur.3. Vi tänker oss vidre tt re är dditiv i den mening tt om vi delr ett område i två eller fler delr så kn vi få dess re genom tt summer delreorn Dessutom, om mn vill mn vr kritisk (och det vill mn ju), så kn mn lnd nnt nför tt vi inte säkert vet tt vi får just cirkelskivns re i då ntlet hörn i polygonen väer över ll gränser. Det ör vr klrt tt A skll vr större än vrje sådn polygonre, men tänk om det i gränsgången lir fel, ntingen i den meningen tt vi inte får den re vi söker, eller tt vi inte får konvergens lls! Ett sätt tt komm föri dett prolem är tt även etrkt polygoner som omsluter cirkeln. Vi hr ritt någr sådn i figur Det tl A vi tänker oss som cirkelskivns re måste egränss nedifrån v de inre polygonerns reor och ovnifrån v de yttre polygonerns Figur.4 Figur.5 Version: 5 decemer 6

12 reor, och om vi tror på siffrorn i figurern så gäller det enligt fllet med 6-hörningen tt 3.6 A 3.8. Om det är så tt vi kn få dess polygonreor tt närm sig smm tl då ntlet hörn väer så kn vi så kn vi nvänd dett tl som definition v vd vi menr med cirkelns re. Vi hr ännu inte gjort någr eräkningr som visr på tt ren måste li π, och vi kommer fktiskt inte tt gör det förrän i vsnitt 5.3 (du kn gör rgumentet med polygoner själv, det kommer tt dyk upp ett känt stndrdgränsvärde), och då med vårt stundnde integrlegrepp och inte (direkt) med polygoner. Det viktigste tt h med sig från dett vsnitt är idén tt om vi hr ett område som vi vill eräkn ren v, så pproimerr vi det med områden med känd reor, och tt vi med hjälp v dess områden kn stäng in den sökt ren åde underifrån och ovnifrån. Det visr sig vr tillräckligt tt nvänd rektnglr för tt pproimer, vilket är r eftersom det är enkelt tt eräkn ders reor. Resternde del v dett kpitel kn upplevs som svårt och tekniskt. Vid en först läsning kn det därför vr lämpligt tt skumläs eller rent v hopp över evis. H ändå i khuvudet tt vi hel tiden jor mot tt definier integrlen som ett reegrepp, och tt vi gör det genom tt stäng in underifrån och ovnifrån..3 Integrler v styckvis konstnt funktioner Vi övergår nu till ret med funktioner, och tr med oss metoden tt pproimer re underifrån och ovnifrån. Vi skll pproimer en godtycklig egränsd funktion med styckvis konstnt funktioner. På så vis kommer vi endst tt ehöv eräkn reor v rektnglr. c s () d = s( ). Integrltecknet är ett slgs utdrget S (här tycks finns en historisk koppling till summtionssymolen Σ, den grekisk okstven sigm) och klls ilnd för integrlhls och indikerr tt den undre gränsen är och den övre är. Vidre är s den funktion vi integrerr (senre enämnd integrnden), och d skriver vi för tt indiker tt det är med vseende på vi integrerr (eteckningen d kn tycks märklig nu, men dess fördel skll li tydlig då vi ehndlr vrielyte i integrler i vsnitt 5.3). Vi kommer tt nvänd smm eteckning för integrlen v godtycklig integrerr funktioner längre frm. Oserver tt c s d = s( ) stämmer väl överens med tt ren för en rektngel ges v sen multiplicerd med höjden. Om konstnten s är negtiv så lir även integrlen negtiv. I själv verket mäter integrlen ovn lltså re med tecken. Vi återkommer till det. Antg härnäst tt intervllet [, ] är indelt i N delr, = < < < N = och tt f är en funktion som är lik med s k på intervllet ( k, k ) (hur f ser ut i ändpunktern spelr ingen roll). En sådn funktion sägs vr styckvis konstnt och vi kllr den för en stegfunktion. I figur.7 kn du se ett eempel på hur grfen till en stegfunktion kn se ut då N = 5. s s s 3 s 4 s 5 Figur Figur.6 s Vi definierr integrlen v ovn nämnd stegfunktion f som summn s ( ) + s ( ) + + s N ( N N ). Vi definierr integrlen v den konstnt funktionen c s s från till som produkten v s och, och skriver Med eteckningen f() d för integrlen och Δ k = k k för de olik steglängdern kn vi skriv Version: 5 decemer 6 3

13 Figur.8 Figur.9 4 f() d = N k= s k Δ k. (.) Eempel. Antg tt = och tt = 6 och tt f är den stegfunktion vrs grf återfinns i figur.8 till vänster. Då är f() d = ( ) + 3(3 ) + ( 3)(4 3) + ( )(5 4) + (6 5) =. Vi understryker igen tt de s k som är större än noll ger positivt idrg till integrlen och de s k som är mindre än noll ger negtivt idrg (se figur.8 till höger). Uppgift. Låt g vr den stegfunktion vrs grf återges i figur.9. Beräkn 6 g() d..5 3 Följnde lemm säger tt integrlen för stegfunktioner är monoton, dvs ren med tecken under grfen väer om funktionsvärden görs större Lemm. Antg tt f och g är stegfunktioner på intervllet [, ], och tt f() g() för ll [, ]. Då är f() d g() d. Bevis Antg tt f och g hr smm indelningspunkter k, k N. Om så inte är fllet så kn vi r t unionen v ders indelningspunkter och på så vis etrkt dem som stegfunktioner med smm indelningspunkter. Låt vidre f och g nt värden s k respektive t k på ( k, k ). Enligt ntgndet är f g vrför s k t k. Vi får f() d = N k= s k Δ k N k= t k Δ k = g() d. Lemm. Antg tt f och g är stegfunktioner på [, ] och tt α och β är reell tl. Då är αf + βg d = α f d + β g d. Bevis Liksom i föregående lemm ntr vi tt f och g är definierde vi smm uppdelning, och således tt f = s k och g = t k på intervllet ( k, k ). Då är αf + βg = αs k + βt k på dett intervll, vrför vi kn nvänd lineriteten hos summering, αf + βg d = N k= = α Version: 5 decemer 6 5 (αs k + βt k )Δ k N k= s k Δ k + β N k= = α f d + β g d. t k Δ k Uppgift. Låt f och g eteckn stegfunktionern som viss i figur.8 respektive figur.9. Beräkn följnde integrler. ) 6 f + g d ) 6 g d c) 6 4f 3g d Vi skll härnäst t ett kliv mot vår uttmömningsliknnde konstruktion v integrlen, och ehöver inför egreppen supremum och infimum, vilk är näresläktde med m och min.

14 .4 Kort om infimum och supremum Antg tt vi hr en mängd M med reell tl som inte är tom. Antg vidre tt mängden är egränsd. Med det menr vi tt det finns ett tl C så tt ll i M uppfyller < C. Eempel. Se figur., där ll i någon mängd M ritts ut på en tllinje (de fetre delrn v tllinjen representerr element i M, oifylld cirkel etyder tt punkten inte är med). All i M uppfyller < 4 (tlen ±4 är mrkerde i rött för tt vis tt dess duger som egränsningr). Figur Vi säger tt 4 och 4 utgör undre respektive övre egränsningr till M. Men de är inte de äst egränsningrn. Vi kn tänk oss tt vi tr den vänstr röd pricken och trycker den åt höger tills dess tt vi träffr M. Och på smm sätt kn vi tänk oss tt vi tr den högr röd pricken och trycker den åt vänster tills vi träffr M. Då vi gjort dett ser det ut som i figur.. Figur..5 3 Det gäller lltså tt.5 är den störst undre egränsningen och 3 den minst övre egränsningen (3) mängden M. Dess tl klls för infimum och supremum v M och vi skriver inf M respektive sup M. I vårt eempel är lltså inf M =.5 och sup M = 3. Vi oserverr tt inf M i dett fllet tillhör M medn sup M inte tillhör M. Ovsett vilket så kn vi inte press vår röd punkter närmre vrndr utn tt psser punkter i mängden (och därmed förstör egenskpen tt de utgör en undre respektive övre egränsning). En fundmentl egenskp hos de reell tlen (och en nledning till tt vi gör nlys på de reell tlen i stället för de rtionell) är tt till vrje icke-tom mängd v reell tl som är egränsd ovnifrån så finns precis ett reellt tl (nämligen supremum för mängden) som utgör en minst övre egränsning till mängden. Dett klls supremumiomet. Anlogt, till vrje icke-tom mängd v reell tl som är egränsd nedifrån finns ett reellt tl (nämligen infimum för mängden) som utgör 6 en störst nedre egränsning. Mn rukr endst ehöv en v dess egränsningr, men om vi skll likställ dem så kn vi kll det ndr påståendet för infimumiomet. Vi skll väsentligen nvänd två egenskper hos supremum:. Om M och M är icke-tomm mängder, egränsde ovnifrån, och om M M, dvs vrje element i M är också ett element i M, så gäller det tt sup M sup M. Dett följer v tt vrje övre egränsning till M även är en övre egränsning till M.. Om m = sup M så finns i M sådnt tt > m ϵ, ovsett hur litet ϵ > är. Hur pssr det ihop med mängden i figur., tycker du? Även om vi inte direkt tryckt på det tidigre, så hr supremumiomet (eller någon ekvivlent formulering) redn hjälpt oss. Det är nämligen det som ligger kom fler v de djup stser som vi stött på: Bolznos sts som säger tt om f är kontinuerlig på [, ] och om f() och f() hr olik tecken så finns (minst) ett nollställe till f i (, ). Weierstrss sts som säger tt vrje kontinuerlig funktion på ett slutet intervll ntr störst och minst värde. Från Weierstrss ovn nämnd sts följer dessutom medelvärdesstsen. Och från medelvärdesstsen följer tt om derivtn v en funktion är positiv på ett intervll så är funktionen vände där, och, vilket vi kommer tt nvänd ännu mer, om derivtn till en funktion är noll på ett intervll så är funktionen konstnt där, dvs sts. Om du tycker tt det verkr krångligt med infimum och supremum så skll du inte vr lltför orolig. Efter tt vi nvänt dem i vår uttömningsliknnde konstruktion v integrlen så kommer vi inte tt ehöv ret med dem mer i den här kursen..5 Under- och överintegrlen Antg tt f är en godtycklig egränsd funktion definierd på det slutn egränsde intervllet [, ]. Låt vidre tlen s = inf [,] f() och Version: 5 decemer 6 7

15 Figur. S = sup [,] f() eteckn den störst nedre respektive den minst övre egränsningen till f på [, ], och sätt 8 U = { Φ() d Φ f, Φ stegfunktion }. Mängden U estår lltså v de tl som kn fås som Φ() d, där Φ f är en stegfunktion (en stegfunktion som mjorers v f klls för en underfunktion till f eller kort och gott en underfunktion). Tlet s( ) tillhör mängden U eftersom den konstnt funktionen Φ = s är en stegfunktion som uppfyller villkoren, och s d = s( ). Vidre är U uppåt egränsd v S( ) eftersom vrje stegfunktion som mjorers v f också mjorers v S. I figur. hr vi ritt grfen till en funktion f och mrkert s respektive S. f s Supremumiomet ger oss nu eistensen v sup U, dvs en minst övre egränsning till U. Vi definierr underintegrlen v f på intervllet [, ], etecknd f() d, som dett supremum. Oserver strecket under integrltecknet! Alltså, f() d = sup U = sup Φ f Φ() d. Vi påminner om tt Φ etecknr underfunktioner, och tt supremumet lltså ts över ll reell tl som kn fås som Φ() d där Φ f är en stegfunktion. Helt nlogt kn vi definier överintegrlen v f på [, ]. Vi kllr stegfunktioner som mjorerr f för överfunktioner, och etecknr dem i llmänhet med Ψ. Det gäller lltså lltid tt Ψ f. Vi definierr således överintegrlen v f på intervllet [, ] som f() d = inf Ψ f Ψ() d. S Oserver strecket över integrltecknet! Precis som för underintegrlen, så följer det tt överintegrlen eisterr för ll egränsde funktioner. Det gäller ju nämligen tt Ψ = S är ett eempel på överfunktion, och ll överfunktioner är egränsde nedifrån v s. Innn vi definierr vd som mens med integrerrhet oserverr vi tt underintegrlen ldrig kn vr större än överintegrlen. Proposition.3 Antg tt f är en egränsd funktion på det kompkt intervllet [, ]. Då är f() d f() d. Bevis För godtycklig under- och överfunktioner Φ och Ψ gäller det tt Φ f Ψ, vrför det enligt lemm. följer tt integrlen v Φ mjorers v integrlen v Ψ. Vi tr supremum över Φ och får f() d = sup Φ f Φ() d Ψ() d. Denn olikhet gäller för ll överfunktioner Ψ. Tr vi infimum över Ψ lndr vi i den påstådd olikheten..6 Definition v integrerrhet och integrl Antg tt f är en egränsd funktion på intervllet [, ]. Om det är så tt under- och överintegrlern v f på [, ] är lik så säger vi tt f är integrerr på [, ] och definierr integrlen v f från till som det gemensmm värdet v under- och överintegrlern. Vi etecknr då denn integrl med f() d, och det gäller lltså tt f() d = f() d = f() d. Att vgör vilk funktioner som fktiskt är integrerr är inte helt enkelt, men i kpitel 3 visr vi tt ll kontinuerlig funktioner är integrerr. Integrtionsvrieln i f() d enkelt kn yts ut mot vilken nnn ledig vriel som helst. Således etyder till eempel f(t) dt och f(r) dr smm sk som f() d. Version: 5 decemer 6 9

16 Vi kommenterr också tt det enligt proposition.3 gäller tt f är integrerr om f() d f() d. Ψ 5 Figur.4 Figur.3.7 Någr eempel Eempel.3 Antg först tt f() = s är konstnt på [, ]. Då lir de konstnt funktionern Φ() = Ψ() = s optiml under- respektive överfunktioner, vrför f är integrerr, och s d = s( ). Det är i överensstämmelse med den integrldefinition vi gjort för konstnt funktioner. Smm slutsts gäller för stegfunktioner (jämför (.)), och det skll vi vr gld för, ty nnrs hde vår definition inte vrit lyckd. För funktioner som inte är styckvis konstnt lir det snt tekniskt. Eempel.4 tt 3 d =. Vi fortsätter med ett mindre trivilt eempel, och visr Resulttet i sig ör inte vr någon överrskning eftersom ren v en tringel med s och höjd som eknt är /. Det ekräftr snrre tt vår definition är rimlig, åtminstone för denn funktion. Räkningrn lir rätt lång och reltivt komplicerde. Vi skll snrt (i kpitel 3) vis ett mycket enklre sätt tt eräkn integrler, vilket reducerr räkningrn i just dett eempel till en rd. Antg lltså tt f() = och tt intervllet vi integrerr över är [, ]. Vi skll del in intervllet i itr och skp under- och överfunktioner vrs integrler närmr sig vrndr. För enkelhets skull gör vi en likformig indelning v intervllet. Vi låter N N eteckn ntlet delintervll, och sätter k = k/n för k N. Dess k delr således in intervllet [, ] i N lik stor delr. Vi definierr härnäst en underfunktion Φ N och en överfunktion Ψ N hörnde till denn indelning (N:et i Φ N och Ψ N indikerr förstås tt dess under- och överfunktioner hör till indelningen i N delr). Vi sätter Φ N () = Ψ N () =, och låter sedn Φ N () = k och Ψ N () = k på vrje delintervll ( k, k ], k N. I figur.4 hr vi ritt grfern till Φ 5 (vänster) och Ψ 5 (höger). Även grfen till f är utritd. Oserver tt det gäller tt Φ 5 f och Ψ 5 f. Φ 5 Låt oss eräkn Φ N() d och Ψ N() d. Enligt konstruktionen v Φ N och Ψ N får vi en summ v N rektngelreor där vrje rektngel hr s /N. För Φ N är höjdern v de olik rektnglrn /N, /N, /N och så vidre änd till den sist som är (N )/N. Alltså är Φ N () d = N N + N N + N N + + N N N. Summn till höger känner vi igen som en ritmetisk summ (differens /N ). Vi hr lärt oss tidigre tt värdet v en ritmetisk summ ges v medelvärdet v först och sist termen multiplicert med ntlet termer, vrför Φ N () d = ( N N + N N N) N = N. För integrlen v Ψ N får vi på smm sätt Ψ N () d = ( N N + N N N) N = + N. (.) Alltså gäller det, för vrje N N, tt d N, och Version: 5 decemer 6 3 d + N. Eftersom dett gäller för vrje positivt heltl N så följer det tt d d. Men eftersom det lltid gäller tt underintegrlen är mjorerd v överintegrlen (se proposition.3) så gäller det tt

17 Figur.5 3 d = d =. Enligt definitionen v integrerrhet hr vi vist tt funktionen f() = är integrerr på intervllet [, ], och tt f() d = /. Det vslutr denn reltivt krånglig räkning, och förutom tt resulttet lev r kn vi även glädj oss åt tt vi efter tt h evist insättningsformeln i kpitel 3 slipper fler räkningr v denn typ. Uppgift.3 Övertyg dig om tt räkningen i (.) är korrekt. Uppgift.4* Använd smm metod som vi nvänt i vsnitt.7 (för f() = ) för tt eräkn integrlen (i figur.5 är motsvrnde re skuggd) d. Du kn utn evis nvänd tt N k= k = 6N( + N)( + N). Om mn inte sett eotisk eempel tidigre så kn mn lätt invggs i tron tt ll funktioner är integrerr. Så är dock ej fllet. Eempel.5 Vi påminner om tt Q etecknr de rtionell tlen, dvs de tl som kn skrivs som p/q för heltl p och q. Låt vidre f vr definierd på [, ] som f() = {, Q,, Q. I vrje delintervll v [, ] (som inte estår v en punkt) kommer det tt finns åde rtionell och icke-rtionell tl. Det följer tt de optiml under- och överfunktionern är Φ = respektive Ψ =. Det gäller därför tt f() d = = f() d, så f är inte integrerr. *.8 Egenskper hos under- och överintegrlern Vi smlr någr egenskper hos och. Proposition.4 Nedn är f och g godtycklig egränsde funktioner definierde på det ändlig intervllet [, ], α, β och c (, ). Det gäller tt: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) f() d f() d. f() + g() d f() d + g() d. f() + g() d f() d + g() d. αf() d = α f() d. αf() d = α f() d. βf() d = β f() d. βf() d = β f() d. c viii) f() d = f() d + f() d. i) c f() d = f() d + f() d. ) Om f g så är f() d g() d. i) Om f g så är f() d g() d. c c Bevis Den först egenskpen hr vi redn vist i proposition.3. Vi ger rgument för ii), iv), viii) och ). Övrig påståenden viss helt nlogt, dvs med precis smm rgument. ii) Om Φ och Φ är en underfunktioner till f respektive g så gäller det tt Φ + Φ är en underfunktion till f + g. Dessutom gäller Version: 5 decemer 6 33

18 c Figur.6 iv) 34 det tt Φ + Φ d = Φ d + Φ d enligt lemm.. Påståendet följer. Dett påstående följer v tt Φ är en underfunktion till f precis då αφ är en underfunktion till αf, och tt, om Φ() = s k på intervllet ( k, k ) så kn vi ryt ut α och få αφ() d = N k= = α N k= αs k ( k k ) s k ( k k ) = α Φ() d. viii) Låt ϵ > vr givet, och låt Φ vr en underfunktion till f på [, ] sådn tt (en sådn Φ eisterr enligt den ndr egenskpen vi listde för supremum på sidn 7) Φ() d > f() d ϵ. Då är restriktionern v Φ till [, c] och [c, ] underfunktioner till f på respektive intervll. Dessutom gäller det (se figur.6) tt Det följer tt c c Φ() d = Φ() d + Φ() d. c f() d + f() d Φ() d + Φ() d c c c > f() d ϵ. (.3) Å ndr sidn så finns det (åter enligt ovn nämnd egenskp hos supremum) underfunktioner Φ till f på [, c] och Φ till f på (c, ] som uppfyller c c c Φ () d > f() d ϵ/ Φ () d > f() d ϵ/. c och Givet dess underfunktioner Φ och Φ på respektive delintervll så är Φ() definierd som Φ () på [, c] och Φ () på (c, ] en underfunktion till f på hel intervllet [, ], och Det följer tt c c Φ() d = Φ () d + Φ () d. f() d + f() d ϵ < Φ() d c Version: 5 decemer 6 35 c f() d. (.4) Kominerr vi (.3) och (.4) så finner vi tt f() d är instängd melln c f() d + c f() d ϵ och c f() d + c f() d + ϵ. Eftersom dett gäller för ll ϵ > så måste det råd likhet. ) Antg tt f g på [, ]. Om Φ är en underfunktion till g så är Φ även en underfunktion till f, vrför (se den först egenskpen hos supremum som vi nämner i vsnitt.4) sup Φ g Φ () d sup Φ f Φ () d, vilket precis etyder tt f() d g() d. För tt se tt det inte lltid råder likhet i ii), tg f som i eempel.5 och g = f. Då lir f d + g d = + =. Å ndr sidn lir f + g d = d =.

19 .9 Egenskper hos integrler Sts.5 Antg tt f och g är integrerr på intervllet [, ] och tt α är ett reellt tl. i) f + g är integrerr på [, ] och 36 f() + g() d = f() d + g() d. ii) αf är integrerr på [, ] och iii) Om c (, ) så är αf() d = α f() d. c f() d = f() d + f() d. iv) Om f g så är f() d g() d. v) Om f är kontinuerlig på [, ], f och f() d = så är f =. Kommentr: De två först egenskpern tillsmmns säger tt integrering är en linjär opertion. Vi återkommer till lineritet i vsnitt 4.4. Bevis Det mest följer från proposition.4. i) Från proposition.4, ii) och iii), och integrerrheten hos f och g följer det tt f() + g() d f() d + g() d c = f() d + g() d f() + g() d. Eftersom den omvänd olikheten lltid gäller så följer det tt likhet råder ovn, vrför f + g är integrerr. Formeln för integrlen följer nu v tt över- och underintegrlern är lik. ii) Dett följer direkt ifrån motsvrnde påståenden för under- och överintegrlern, se proposition.4, del iv) vii). iii) Dett följer direkt ifrån proposition.4, del viii) och i). iv) Eftersom f och g är integrerr är dess under- och överintegrler lik med dess integrler, vrför påståendet följer v proposition.4, del ) och i). v) Vi ntr, för tt få en motsägelse, tt f uppfyller villkoren, men tt f inte är konstnt. Då finns ett c [, ] sådnt tt f(c) >. Men då finns ett δ > tt f() f(c)/ på [c δ, c + δ] (om c är en ändpunkt så nöjer vi oss med [c, c + δ] lterntivt [c δ, c]). Låt därför g vr den stegfunktion som är f(c)/ på ovnstående delintervll och noll i övrigt. Det gäller då tt f g på [, ], vrför f() d g() d. Men g() d = δf(c) (eller δf(c)/ om c vr en ändpunkt), dvs g() d >. Alltså är f() d >. Vi hr fått en motsägelse, och lltså måste det gäll tt f =. Vi hr definiert f() d och tyst ntgit tt <. Om > visr det sig lämpligt tt definier f() d = f() d. Dessutom låter vi f() d =, dvs integrlen över en punkt ger inget idrg. Med denn konvention lir ntgndet c (, ) i sts.5, del iii) ovn överflödigt om r f är integrerr på smtlig delintervll. Vi nvänder smm konvention för under- och överintegrlern. Uppgift.5 Antg tt f() d = 3 och g() d = 5. Vd lir då nednstående integrler? ) f() + g() d ) Version: 5 decemer f() d Uppgift.6 Beräkn integrlen d.

20 y y = f() Figur.7 Figur.8 Uppgift.7 f() d. Vis tt om f är integrerr på intervllet [, ] så är. Definition v re under funktionsgrf Vi definierde integrlen med hjälp v rektnglr och nvände tt vi kände till ren hos dess. Om f är en positiv funktion kn vi nu definier ren v det område som egränss v linjern =, =, y = och kurvn y = f() som f() d, se figur.7. Om f skiftr tecken så kommer de delr där f är positiv tt ge positivt idrg till f() d och de delr där f är negtiv tt ge negtivt idrg. I figur.8 nedn etecknr A och A reorn v respektive område (positiv tl). Integrlen över hel intervllet lir därför A A. A A. Ekvivlent formuleringr v integrerrhet De definitioner v integrerrhet och integrl som vi hr nvänt oss v tycks gå tillk till den itliensk mtemtikern Volterr (86 94). Den frnske mtemtikern Drou (84 97) föreslog en nnn definition: En egränsd funktion f på [, ] sägs vr integrerr enligt Drou precis då det givet ϵ > eisterr under- och överfunktioner Φ och Ψ sådn tt Ψ() d Φ() d < ϵ. Det är ingen inskränkning tt nt tt stegfunktionern är definierde vi smm indelning. Det entydig tl I D som efinner sig melln underoch överintegrlern klls för Drouintegrlen v f. Den tyske mtemtikern Riemnn (86 866), vrs nmn oftst är förknippt med den integrl vi nvänder, nvände följnde definition: En egränsd funktion f på [, ] är Riemnnintegrerr med Riemnnintegrl I R om det för vrje ϵ > finns ett δ > så tt om P är en indelning v intervllet [, ], P : = < < < n =, k n, sådn tt k k < δ och ξ k tillhör intervllet [ k, k ] så är Om f och g är två integrerr funktioner på intervllet [, ] och f g definierr vi ren v området melln f och g som integrlen (f() g()) d. Betrktr vi figur.9 ett slg verkr dett fullt rimligt, särskilt då vi hr lineriteten i åminne, (f() g()) d = f() d g() d. n I R f(ξ k )( k k ) < ϵ. k= Dess tre sätt tt definier integrlen är ekvivlent i den mening tt en egränsd funktion f på [, ] ntingen är integrerr i smtlig tre meningr eller inte i någon. Dessutom är dess integrler desmm. I folkmun hr det livit så tt integrlen klls för Riemnnintegrlen. Summorn på formen y y = f() n k= f(ξ k )( k k ) Figur.9 y = g() klls för övrigt för Riemnnsummor. Enligt Riemnns definition är en funktion lltså integrerr om Riemnnsummorn konvergerr mot ett tl (integrlens värde) då indelningen görs tillräckligt fin. Vi skll nvänd dett då vi diskuterr längd, re och volym i kpitel Version: 5 decemer 6 39

21 Uppgifter.8 Givet tt integrlern eisterr, ordn dem i storleksordning. 4 d, + d, + d, + d.9 Givet tt integrlern eisterr, vilken är störst v π/4 d, π/4 sin d, och π/4 tn d?. Ett område egränss v linjern y = +, y = och =. Beräkn dess re.. Vis, under förutsättning tt integrlen eisterr, olikheten 3 ( + e ) d 6.. (5, 439) För vilket värde på, π 3π, är funktionen π sin t t dt miniml respektive miml? (Här utgår vi ifrån tt integrlen eisterr.).3 (5, ) Vis följnde påstående: Om en kontinuerlig (och som vi skll se, därför även integrerr) funktion f uppfyller f() < 7 för ll [, ] så gäller 8 f() d < 63. (Om du vill kn du nöj dig med tt vis 63 i stället för < 63.).4* Antg tt f är konve och integrerr på [, ]. Vis tt + ( )f ( ) f() d ( ) f() + f(). Integrlklkylens huvudsts och primitiv funktioner 3. Introduktion Vi definierde i kpitel vd vi menr med tt en egränsd funktion på ett egränst intervll är integrerr, och definierde även vd vi mende med dess integrl. Definitionen är teknisk, och om vi fktiskt vill eräkn en integrl med hjälp v den så måste vi vis tt under- och överintegrlern är lik och eräkn minst en v dem, och det lir snt tekniskt. Som tur är finns det ett resultt som gör det väldigt enkelt tt eräkn mång integrler, och det är det vi nu skll diskuter. 3. Huvudstsen Vårt mål här är tt vis följnde sts. Sts 3. (Integrlklkylens huvudsts) Antg tt f är kontinuerlig på intervllet [, ]. Då är f integrerr. Dessutom är funktionen f(t) dt deriverr på [, ], och d d f(t) dt = f(). I ändpunktern och vser vi höger- respektive vänsterderivt. Beviset vi skll ge är inspirert v [6], och en v fördelrn med det är tt vi får åde integrerrheten hos kontinuerlig funktioner och resulttet om tt funktionen f(t) dt är deriverr. Det vnligste eviset kpitel 3

22 v integrerrhet hos kontinuerlig funktioner går nnrs vi något som klls likformig kontinuitet (se till eempel [4] och [5]), ett egrepp som vi lltså slipper inför. Vi örjr med tt vis påståendet för över- och underintegrlern. Oserver tt vrje kontinuerlig funktion på ett kompkt intervll är egränsd, och tt över- och underintegrlern därför grntert eisterr. Lemm 3. Antg tt f är kontinuerlig på intervllet [, ]. Då är de ägge funktionern 4 f(t) dt, och f(t) dt deriverr i [, ] med derivt f(), dvs d d f(t) dt = d d f(t) dt = f(). Bevis Vi visr endst påståendet för underintegrlen, eftersom eviset för överintegrlen är helt nlogt. Vi skll etrkt differenskvoter. Antg tt c [, ] och tt tt h är så litet tt c + h [, ]. Då är, enligt proposition.4, c+h c c+h f(t) dt f(t) dt = f(t) dt. (3.) Eftersom f nts vr kontinuerlig så kn värden v f inte vrier så mycket då t rör sig i intervllet med c och c + h som ändpunkter om h är litet. Mer precist, givet ϵ > så kn vi finn δ > (som lltså får ero på ϵ) så tt om h < δ så är f(c) ϵ f(t) f(c) + ϵ för ll t i nyss nämnd intervll. Från monotoniciteten hos underintegrlen, se proposition.4, följer det tt c+h c f(t) dt hr ett värde melln c+h c f(c) ϵ dt och c+h c f(c) + ϵ dt. Men integrndern i de senre två integrlern är konstnt, vrför ders värden lir h(f(c) ϵ) respektive h(f(c) + ϵ). Kominerr vi vår uppskttning med (3.), får vi, efter tt h delt med h, tt f(c) ϵ h( c+h c c f(t) dt f(t) dt ) f(c) + ϵ, h < δ. Eftersom ϵ > vr godtyckligt följer det enligt definitionen v derivt tt f(t) dt är deriverr då = c, med derivt f(c). Vidre, då c [, ] vr godtyckligt, så följer deriverrheten för ll [, ], och d d f(t) dt = f(). Vi är nu redo tt ge eviset v integrlklkylens huvudsts. Bevis (v sts 3.) Enligt föregående lemm hr vi nu två funktioner, f(t) dt och f(t) dt, som ägge hr derivt f() för ll (, ). Men om två funktioner hr smm derivt på ett intervll skiljer de sig enligt sts åt med en konstnt, så det eisterr ett tl C sådnt tt f(t) dt = f(t) dt + C för ll [, ]. Men med = fås = + C, så C =. Det följer tt f är integrerr på [, ]. Låter vi = får vi tt f är integrerr på [, ]. Eftersom f(t) dt = f(t) dt och den senre är deriverr med derivt f(), så följer det tt även f(t) dt är deriverr, och tt dess derivt lir f(). Eempel 3. d d d d Det gäller tt cos t dt = cos, ln t dt = ln, d /t dt = d d d Version: 5 decemer 6 43 /t dt = /. Oserver tt tecknet ändrs då vi yter plts på gränsern i integrlen.

23 Uppgift 3. ) Deriver nednstående funktioner (med vseende på ). sin u du ) t dt ( ) Om det inte står utn en funktion v som gräns i integrlen så dyker det upp en inre derivt. Eempel 3. d d Låt nämligen Det gäller tt cos t dt = cos( ). y S(y) = cos t dt. Då är S (y) = cos y och det vi vill deriver är S( ). Alltså får vi d d cos t dt = d d S( ) = S ( ) = cos( ). Vnligtvis är vi inte så intresserde v tt deriver integrler, utn v tt eräkn dem. Det gör vi med hjälp v insättningsformeln. Korollrium 3.3 (insättningsformeln) på intervllet [, ]. Då är Antg tt f är kontinuerlig f (t) dt = f() f(). (3.) Bevis Funktionern f (t) dt och f hr ägge derivt f. Alltså finns det en konstnt C så tt f (t) dt = f() + C för ll [, ]. För = får vi f (t) dt = f() + C, dvs = f() + C. Alltså är C = f(). Med = får vi därför (3.). Eempel 3.3 Vi eräknr integrlen t dt som vi jode en hel del med i vsnitt.7. Med f(t) = t / lir f (t) = t, vrför Hopps tt du uppskttr den kortre räkningen! Vnligtvis skjuter mn in ett mellnsteg [f(t)] för tt underlätt okföringen. Då ser räkningen ut så här: t t dt = [ ] = =. Uppgift 3. Beräkn integrlern nedn. (Här hr vi nvänt olik nmn på vrilern i de olik integrlern med flit. Oserver tt det är den vriel som står unden med d:et som är den som vi integrerr med vseende på.) ) d) π d ) sin t dt e) 3 d c) + u du f) ln e s ds + d Om integrnden är kontinuerlig överllt förutom i ett fåtl punkter dels intervllet med fördel in i delintervll där integrnden är kontinuerlig, och sedn nvänds sts.5, del i), och så slutligen insättningsformeln på vrje ny integrl. Eempel 3.4 Funktionen f() = {, <,,, är inte kontinuerlig i. Men vi kn ändå eräkn f() d, Uppgift 3.3 f() d = Beräkn 8 f() d då d + d = + = t dt = =. f() = {, < 3, 3 +, 3. Version: 5 decemer 6 45

24 3.3 Primitiv funktioner Nu är det läge tt inför egreppet primitiv funktion. För tt integrer funktionen t t ovn med hjälp v insättningsformeln så nvände vi funktionen t t / eftersom D(t /) = t. Vi kllr t / för en primitiv till t. I llmänhet säger vi tt funktionen g är en primitiv funktion (eller r primitiv) till f på ett intervll om det gäller tt g = f där. För tt nvänd insättningsformeln skll vi lltså först estämm en primitiv funktion till den funktionen vi integrerr. Även om dett i mång fll är ett mycket enklre uppdrg än tt integrer med hjälp v definitionen så kommer det tt våll oss en hel del huvudry. Vi kommer tt ägn hel kpitel 5 åt tt öv upp färdighet i tt estämm primitiv funktioner. Eempel 3.5 Eftersom sin = cos så är sin en primitiv funktion till cos, vilket ger 46 π/ cos d = [sin ] π/ = sin(π/) sin =. Oserver tt en primitiv funktion fortsätter tt vr just en primitiv funktion även om en konstnt dders till den. Tillämpt på eemplet ovn, D(sin + C) = cos för vrje konstnt C, vrför följnde räkning är giltig för vrje C: π/ cos d = [sin + C] π/ = (sin(π/) + C) (sin + C) =. Vi ser tt insättningsformeln tr hnd om konstntern. Eftersom vi vet tt differensen v två funktioner med smm derivt på ett intervll är konstnt där så inser vi tt vi kn få smtlig primitiv funktioner genom tt till en given primitiv dder en godtycklig konstnt. Ilnd lir räkningrn kortre om mn väljer C på ett smrt sätt (se eempel 5.6). Den godtycklig konstnten leder till något v en mrdröm då mn skll inför en eteckning för primitiv() funktion(er). Vid konkret räkningr spelr det inte så stor roll eftersom vilken primitiv funktion som helst rukr dug. Den eteckning som nvänds överllt, och som vi också skll nvänd, är f() d. Vi låter f() d = {g() : g () = f()}, dvs f() d etecknr mängden v ll funktioner som hr derivt f(). Enligt den definitionen gäller det lltså eempelvis tt sin cos d och sin +5 cos du eftersom derivtn v åde sin och sin +5 är cos. Att ret med mängder v funktioner på dett vis lir åde otympligt och oöverskådligt. Dessutom skiljer funktioner i mängden f() d sig enligt sts som mest åt med en konstnt. Därför visr mn istället vid räkningr tt det är en mängd mn jor med genom tt dder en godtycklig konstnt, vnligtvis klld C. Det låter knske krångligre än vd det är, vrför vi illustrerr med ett pr eempel. Eempel 3.6 ) ) Det gäller tt: cos d = sin + C. d = + C ( > eller < ). Konstnten C som förekommer nts lltid vr godtycklig om inget nnt nämns. Vi påminner om tt vid eräkning v integrler med hjälp v insättningsformeln så ehövs endst en primitiv funktion. Då är det lämpligt tt gör som vi gjorde först i eempel 3.5 ovn, nämligen tt välj den enklst möjlig primitiv funktionen. Uppgift 3.4 Bestäm nednstående primitiv funktioner (genom tt hänvis till känd derivtor). ) c) 3 d ) e s ds u du ( u < ) d) dt (t > ) t Hur hde svret ändrts i d) om det istället gällt tt t <? Uppgift 3.5 Använd de derivtor du känner till för tt estämm en primitiv till funktionern nedn (här hr vi nvänt som vriel). ) / ( > ) Version: 5 decemer 6 47

25 ) + tn = /cos ( π/ < < π/) 3.4 Sklning v funktioner Vi skll som sgt utök den mängd v funktioner som vi klrr v tt hitt primitiv funktion till i kpitel 5. För tt kunn hnter lite fler eempel innn dess etrktr vi dock sklningr. Kedjeregeln för derivtor ger tt D(e ) = e. Det följer tt e / är en primitiv funktion till e. På smm sätt följer det tt e k /k är en primitiv till e k om k är en konstnt. Allmänt gäller det tt f(k)/k är en primitiv till f (k), dvs Eempel 3.7 Uppgift 3.6 ) 48 π Uppgift 3.7 ) f (k) d = f(k) + C, k. k Enligt diskussionen ovn gäller det tt e d = e + C och Beräkn integrlern nedn. sin d ) / d c) 4 Bestäm de primitiv funktionern nedn. + 4 d ) cos 3 d = sin 3 + C d c) e / d cos () d Uppgift 3.8 Givet tt f() d = 3, vilken/vilk v nednstående integrler kn eräkns, och vd lir resulttet? ) f() d ) f() d c) 3.5 Koppling differentilekvtion integrl f(/) d Från huvudstsen (sts 3.) följer det tt vi kn lös differentilekvtioner på formen u = h genom tt integrer. Sts 3.4 Antg tt h är kontinuerlig på ett intervll I som innehåller. Då gäller följnde ekvivlens på I: u () = h() u() = u + h(t) dt. (3.3) { u( ) = u Eempel 3.8 Differentilekvtionen u () = med ivillkor u() = hr lösningen u() = + t dt = + [t ] = +. Vi kn lös differentilekvtionen med primitiv funktion istället. Sts 3.5 Antg tt h är kontinuerlig på ett intervll. Då gäller det tt u () = h() u() = h() d (3.4) på det intervllet. Eempel 3.9 Det gäller tt u () = u() = d = + C för någon konstnt C. Men u() = ger + C =, så C =, och lltså är u() = +. I det först steget då vi funnit tt u() = + C säger vi tt vi funnit den llmänn lösningen till differentilekvtionen u () =. Dess ägge sätt tt okför lösndet v differentilekvtioner hr sin för- och nckdelr. Om vi endst hr en differentilekvtion (lltså utn ivillkor) så är den ndr oft nturligre. Vi kommer tt nvänd åd tillväggångssätten, utn tt kommenter det vidre. Version: 5 decemer 6 49

26 Uppgift 3.9 Lös differentilekvtionern med tillhörnde ivillkor. ) u () = cos, u() =. ) u () = /cos, u() =. Här kn nämns tt den först differentilekvtionen hr mening för ll reell tl, medn den ndr inte hr det eftersom cos = för viss. Vi tänker oss, för tt slipp skriv så mycket, tt det är underförstått det störst intervll där de ingående termern hr mening, och som innehåller eventuell ivillkor. I dett fllet hr vi ett villkor för =, vrför det är nturligt tt låt π/ < < π/. 3.6 (5, 433) Låt f vr en funktion, definierd på hel R, f() = 3. I figur 3.3 viss grfen för derivtn f i intervllet [, 6]. y y = f () 3 5 Figur 3.3 Uppgift 3. Bestäm den llmänn lösningen till Beräkn f(3) smt f(6). Ange även ett uttryck för f() då 6. ) y () = sin ) v (t) = + t + t c) s (t) = + t Om du löste smtlig uppgifter ovn med hjälp v primitiv funktion kn du test tt lös åtminstone en v dem med (3.3). Hur löser du det med och u som förekommer i (3.3)? Uppgifter 3. Repeter stndrdderivtorn. Skp en motsvrnde tell med stndrdprimitiver. Du kommer tt ehöv kunn dem i fortsättningen. 3.7 Vis olikheten sin t t dt <, då >. 3.8 (3, 433) De två kurvorn y = cos, y = sin vgränsr tillsmmns med y-eln området i figur 3.4. Beräkn dess re. 3.9 Bestäm den llmänn lösningen till differentilekvtionen y = e. Bestäm också den lösning som uppfyller egynnelsevillkoret y() =. Figur 3.4 Figur Beräkn ren v det område som efinner sig melln -eln och kurvn y = sin då vrierr melln och det först nollstället till sin. Området är ritt i figur Vis tt funktionen u() = C + (ln ) / (här är C en konstnt) löser differentilekvtionen u () = ln. Bestäm sedn den lösning till differentilekvtionen som uppfyller u() =. Figur Beräkn ren v det skuggde området i figur 3., vilket egränss 3. Bestäm derivtn v v den rät linjen y = och preln y = (3 ). sin t dt, < < π cos. 3.4 Förklr vd som är fel med följnde räkning 3. Vis tt d = [ ] =. / Beräkn integrlen π + u du = dt, R. t sin t dt. (Tips: tänk först, räkn sen!) Version: 5 decemer 6 5 5

27 Linjär differentilekvtioner kpitel 4 4. Introduktion I det här kpitlet skll vi studer differentilekvtioner på formen u (n) + n u (n ) + + u + u = h. (4.) Här nts koefficientfunktionern,,, n smt h i högerledet vr känd och u den funktion som eftersöks. Vidre söker vi i om inget nnt sägs lösningr u som är definierde på hel R. Differentilekvtioner på formen (4.) sägs vr linjär och v ordning n, och de dyker upp i mång tillämpningr. Oftst är de då v ordning eller. Om n = kn vi lltid lös (4.) med en slug omskrivning och produktregeln för derivtor, i vrje fll om vi tillåter tt lösningen uttrycks med en icke-eplicit primitiv funktion. Då n > och koefficientfunktionern är konstnt skll vi se tt vi genom tt lös en polynomekvtion v grd n och sedn integrer n gånger kn lös (4.), åtminstone om funktionen h i högerledet är hygglig. 4. Ordning ett, integrernde fktor Vi etrktr här differentilekvtioner på formen (4.) i det fll då n =. Vrje sådn kn skrivs på formen u () + ()u() = h(). (4.) Enklste fllet Vi örjr med tt lös ett enkelt men viktigt fll v (4.), som lnd nnt täcker in kol-4-metoden från eempel.4 smt popultionsmodellen i eempel.7. 5

28 Sts Antg tt k och u är konstnter. Differentilekvtionen u () = ku(), u() = u (4.3) hr den entydig lösningen u() = u e k, R. Uppgift 4. Vis tt den påstådd lösningen i stsen ovn verkligen är en lösning. Det gör du genom tt deriver, sätt in, och förenkl. Bevis Det återstår tt vis entydigheten, dvs tt u() = u e k är den end lösningen. Antg för ändmålet tt v är en (godtycklig) lösning till (4.3). Vi skll vis tt v i själv verket måste vr u, dvs tt v() = u e k. För tt gör det visr vi tt kvoten v v och e k måste vr konstnt. Vi deriverr med produktregeln, D(v()e k ) = v ()e k + v()( ke k ) = kv()e k v()ke k = Eftersom derivtn v v()e k är noll följer det v sts tt det finns ett tl C så tt v()e k = C. Men låter vi = får vi v() = C, så C = u eftersom v() = u. Vi drr slutstsen tt v() = u e k. Entydigheten följer. Det är förstås inte vgörnde tt u ntr värdet u just i =. Om vi strtr med u( ) = u så visr du i uppgift 4. del d) nedn tt lösningen lir u() = u e k( ). Uppgift 4. Lös differentilekvtionern nedn. ) u = 3u, u() = ) u + u =, u() = c) u = u, u() = d) u = ku, u( ) = u Uppgift 4.3 Antg tt u löser u () = ku(). Avgör hur u() eter sig då i nednstående fll. ) k = och u() = ) k = och u() = c) k = och u() = d) k = Uppgift 4.4 Antg tt u löser u () = ku(), där k. ) Motiver, endst genom tt etrkt differentilekvtionen (dvs utn tt lös den), tt om u hr en sttionär punkt i så är u( ) =. ) Om u hr en sttionär punkt så är u =. Slutstsen v denn uppgift är tt vrje lösning till u = ku är ntingen vände, vtgnde eller noll. Metoden med integrernde fktor Vi skll härnäst härled en metod som kn tillämps för tt lös smtlig differentilekvtioner på formen (4.). För funktioner u och g som är deriverr ger produktregeln och kedjeregeln för derivtor tt D(e g() u()) = e g() g ()u() + e g() u () Multiplicerr vi med e g() får vi därför e g() D(e g() u()) = g ()u() + u (). (4.4) Vi oserverr tt högerledet är skrivet på smm form som vänsterledet i (4.) med () = g (). Enligt (4.4) ovn kn denn differentilekvtion skrivs e g() D(e g() u()) = h(). Multiplicerr vi med e g() finner vi tt D(e g() u()) = e g() h(). Men här står det tt derivtn v en okänd funktion (e g() u()) skll vr lik med en känd funktion (e g() h()). Vi hr lärt oss (se (3.4)) tt vi kn få den okänd funktionen genom tt integrer. Termen e g() klls för integrernde fktor. Oserver tt vi kn multiplicer och del med den precis som vi vill utn tt risker tt del med. Sts 4. där tt Antg tt g och h är kontinuerlig på ett intervll. Då gäller u () + g ()u() = h() u() = e g() eg() h() d. Version: 5 decemer 6 55

29 Vi understryker än en gång tt det i eteckningen för primitiv funktion finns en godtycklig konstnt inkd. I stället för tt nvänd dess formler som mn ändå inte kommer ihåg etrktr vi ett pr eempel, där vi väsentligen gör räkningrn som leder frm till resulttet vrje gång. Eempel Vi örjr med tt lös u () + 3u() = 6, u() =. (4.5) För funktionen g() = 3 gäller det tt g () = 3. Vi multiplicerr därför differentilekvtionen med den integrernde fktorn e 3, och får e 3 u () + 3e 3 u() = 6e 3, vilket enligt Leiniz produktregel kn skrivs som D(e 3 u()) = 6e 3. Integrerr vi får vi tt e 3 u() = 6e 3 d = e 3 + C, för någon konstnt C. Eftersom u() = följer det genom insättning tt C =. Multiplicerr vi med e 3 så får vi tt u() = e 3, som lltså är lösningen till (4.5). Oserver tt vi, då vi hr ett ivillkor, kn nvänd (3.3) i stället för (3.4). Vi yter då nmn på vrieln från till t och integrerr från till (se (3.3)), vilket ger u()e 3 = u()e 3 + 6e 3t dt = + [e 3t ] = e3. Multiplicerr vi slutligen med e 3 lndr vi i u() = e 3 precis som tidigre. Eempel 4. Vi ger oss härnäst på differentilekvtionen u () + u() =, u() =. (4.6) Vänsterledet är på formen u () + g ()u() för g() = /. Efter tt h multiplicert med den integrernde fktorn e g() får vi differentilekvtionen e / u () + e / u() = e /, som kn skrivs D(u()e / ) = e /. Integrerr vi från till får vi enligt (3.3) u()e / = u()e / + te t / dt. Multiplicerr vi med e / och ersätter u() med dess värde får vi därför tt u() = e / + e / te t / dt. (4.7) Vi hr i nuläget inte diskutert någon metod som kn hnter integrlen i högerledet. Av en händelse hr vi dock tur här tck vre vår integrernde fktor, Det ger te t / = g (t)e g(t) = D e g(t) = D e t /. te t / dt = e /, och således u() = + e /. I uppgift 5. kommer du tt eräkn integrlen med hjälp v ett vrielyte. Som vi just såg så stöter vi ilnd på integrler som vi inte kn hnter. I kpitel 5 kommer vi tt diskuter någr integrtionstekniker som skll hjälp oss tt lös mång fll. Det kn dock vr r tt h i khuvudet tt det finns fll då det inte går tt estämm en primitiv funktion i termer v de elementär funktioner som vi retr med. Se ppendi B för en liten diskussion om dett. Uppgift 4.5 Lös nednstående differentilekvtioner. ) (f()) = ( > ) + ) ( + )u () + u() = ( > ) c) u (t) = u(t) + (t > ) Version: 5 decemer 6 57

30 4.3 Ordning två, och högre Vi skll nu studer linjär differentilekvtioner v högre ordning och örjr med ordning två. Även om ett pr teoretisk resultt ehndlr llmänn koefficientfunktioner så skll vi koncentrer oss på fllet då de är konstnt. Vi studerr lltså differentilekvtioner på formen Eempel 4.4 Polynomet p(λ) = λ + λ 8 ger upphov till differentilopertorn p(d), som verkr på funktionen u som p(d)u = (D + D 8)u = u + u 8u. u () + u () + u() = h(), (4.8) där och är konstnter. Vi ntr vidre tt funktionen h i högerledet är kontinuerlig på det intervll vi är intresserde v, om inget nnt sägs. Om λ och λ är nollställen till polynomet p(λ) = λ + λ + så kn vi enligt fktorstsen skriv p som p(λ) = (λ λ )(λ λ ). Differentilopertorer Vi skll nu reducer smtlig sådn differentilekvtioner till två linjär v först ordningen, vilk vi kn lös med hjälp v integrernde fktor (åtminstone i termer v integrler). För tt gör det så örjr vi med tt diskuter vänsterledet u + u + u lite mer i detlj. Vi nvänder eteckningrn D u = u och D u = u och kn skriv vänsterledet som D u + D u + u = (D + D +)u. (4.9) I högerledet hr vi i prentesen smlt ihop llt vi vill gör med u. Vi säger tt D + D + är en differentilopertor, och även om det finns en mss intressnt teori för dess så kommer de för oss mest tt vr ett verktyg för tt sköt okföringen med. Du ör se vänsterledet i (4.9) som en definition v vd vi menr med högerledet. Eempel 4.3 Vi kn skriv u + u 8u som (D + D 8)u. Polynomet p(λ) = λ + λ + klls för det krkteristisk polynomet hörnde till (4.8). Givet ett polynom p(λ) = λ + λ + kn vi definier en differentilopertor p(d) genom tt låt p(d)u = (D + D +)u. Med denn eteckning kn vi skriv differentilekvtionen (4.8) som Eempel 4.5 Polynomet p(λ) = λ + λ 8 hr nollställen 4 och, vrför p(λ) = (λ + 4)(λ ). Tck vre tt koefficientfunktionern och är konstnt kn vi gör motsvrnde fktorisering v differentilopertorn p(d). Om p(d) = D + D + och polynomet λ + λ + hr nollställen λ och λ så kn vi skriv p(d) på formen p(d) = (D λ )(D λ ). Vi måste preciser lite närmre vd vi menr med (D λ )(D λ ). Då vi eräknr (D λ )(D λ )u så skll vi först eräkn (D λ )u, dvs det som står närmst funktionen u. Vi får (D λ )u = u λ u. Därefter skll vi pplicer D λ på resulttet, (D λ )(D λ )u = (D λ )(u λ u) = D(u λ u) λ (u λ u) = u λ u λ u + λ λ u. = u (λ + λ )u + λ λ u. p(d)u = h. Eempel 4.6 Det gäller tt 58 Version: 5 decemer 6 59

31 Uppgift 4.6 (D +4)(D )u = (D +4)(u u) = u u + 4u 8u = u + u 8u. Skriv nednstående uttryck på formen u + u + u. ) (D )(D +3)u ) (D +)(D )u c) (D +) D u Uppgift 4.7 Skriv nednstående uttryck på formen (D λ )(D λ )u för lämplig λ och λ. ) u + 3u 8u ) u 9u c) u 4u Eftersom koefficientfunktionern och nts vr konstnt spelr ordningen v fktorern ingen roll, (D +4)(D )u = (D )(D +4)u, vilket följer v det du gör i uppgift 4.8 tillsmmns med eempel 4.6. Uppgift 4.8 Vis tt (D )(D +4)u = u + u 8u. Bägge dess är linjär differentilekvtioner v först ordningen, och kn lltså löss med integrernde fktor. Den först v dem innehåller endst den okänd funktionen v, så den löser vi först. Vänsterledet kn skrivs som v () + 4v(), vrur det följer tt e 4 är en integrernde fktor. Differentilekvtionen kn därför skrivs som (jämför vsnitt 4.) D(e 4 v()) = e 5. Denn ekvtion integrers och multiplicers med e 4, vilket resulterr i tt v() = e /5 + Ce 4, för någon konstnt C. För tt estämm u löser vi nu den ndr differentilekvtionen i (4.). Infogr vi uttrycket för v får vi u () u() = v() = 5 e + Ce 4. Som vi tidigre nämnt är även denn differentilekvtion linjär och v ordning ett. Vi multiplicerr med den integrernde fktorn e, och får med produktregeln Upprepd nvändning v integrernde fktor Vi visr med ett eempel hur denn fktorisering hjälper oss tt lös ndr ordningens differentilekvtioner genom upprepd nvändning v metoden med integrernde fktor. Eempel Vi estämmer den llmänn lösningen till u () + u () 8u() = e. (4.) Denn differentilekvtion är på formen (4.8) med h() = e. Vänsterledet känner vi igen från eempel 4.6 ovn, vrför vi kn skriv det som (D +4)(D )u(). Vi inför hjälpfunktionen v som v() = (D )u(). Då är (D +4)(D )u() = (D +4)v(), vilket inneär tt differentilekvtionen (4.) ekvivlent kn skrivs som ett pr differentilekvtioner, (D +4)v() = e, och (D )u() = v(). (4.) D(e u()) = 5 e + Ce 6. Vi integrerr och multiplicerr med e, och får slutligen u() = 5 e + C e 4 + C e. (4.) Här är C = C/6 och C godtycklig konstnter. Oserver tt koefficientern frmför :en i eponentiltermern med godtycklig konstnter, 4 och, stämmer överens med lösningrn till den krkteristisk ekvtionen. Dett är ingen slump, och vi skll återkomm till det i näst vsnitt. Uppgift 4.9 Lös differentilekvtionern nedn. ) (D )(D +3)u() = ) (D +5 D +6)u() = e c) (D +4)(D )u() = e d) u () u () = e Version: 5 decemer 6 6

32 4.4 Lineritet medför struktur I dett kpitel ehndlr vi linjär differentilekvtioner, och vi hr i eempel 4.7 nvänt en metod med vilken vi i princip kn lös vilken linjär differentilekvtion (med konstnt koefficienter) som helst r vi klrr v tt utför integrtionern. Vi hr ännu inte ordt något om vd denn lineritet fktiskt etyder eller hur den kn hjälp oss, men det skll vi gör nu. Antg tt p(d) = D + D + är en differentilopertor. (Här kn vi etrkt mer generell differentilopertorer v ordning n som fötts ur ett uttryck v smm form som vänsterledet i (4.). Argumentet vi skll för nedn fungerr för övrigt även då koefficientfunktionern är ickekonstnt, men låt oss etrkt det enklre fllet med p(d) som ovn, och med och konstnt). Lineriteten Det gäller tt p(d) är linjär i följnde mening. Antg tt u och u är funktioner som är två gånger deriverr och tt α och β är reell tl. Om funktionen u är summn v αu och βu så gäller det tt p(d)u är summn v αp(d)u och βp(d)u, dvs 6 p(d)(αu + βu ) = αp(d)u + βp(d)u. Denn egenskp följer v räknereglern för reell tl smt upprepd nvändning v det fktum tt derivering är linjär, dvs tt D(αu + βu ) = α D u + β D u. Den v lineriteten ärvd strukturen I fortsättningen kommer vi även tt h nytt v motsvrnde homogen differentilekvtion, u () + u () + u() =, (4.3) vilken vi erhållit genom tt låt h = i (4.8). Det kommer tt vis sig tt estämm smtlig lösningr till (4.8) är ekvivlent med tt estämm smtlig lösningr till den homogen differentilekvtionen (4.3), och till dem dder en godtycklig lösning till (4.8). Eempel 4.8 Vi återkommer till eempel 4.7. Vi örjr med tt ersätt högerledet e med, och etrktr således den homogen differentilekvtionen. De två differentilekvtionern i (4.) övergår i (D +4)v() =, och (D )u() = v(). (4.4) Vi estämmer först v (med integrernde fktor) till v() = Ce 4. Den ndr differentilekvtionen övergår därmed i u () u() = Ce 4, och vi får med hjälp v integrernde fktor tt u() = C e 4 + C e. Smtlig lösningr till den homogen differentilekvtionen kn lltså skrivs på den formen. Oserver tt vi hr fått två konstnter, en vid vrje integrering. Vidre kn vi verifier tt den kvrvrnde termen i (4.), e /5, fktiskt är en lösning till den ursprunglig differentilekvtionen (4.). Det gäller nämligen tt (D + D 8)( e /5) = e ( /5 /5 + 8/5) = e. Uppgift 4. Lös smtlig differentilekvtioner som förekommer i uppgift 4.9, men där högerledet är utytt mot. Antg tt u är en lösning till (4.8) och tt u löser den motsvrnde homogen differentilekvtionen (4.3). Då är u = u + u också en lösning till (4.8), eftersom lineriteten ger p(d)u = p(d)(u + u ) = p(d)u + p(d)u = h + = h. Innehållet i följnde sts är tt smtlig lösningr till (4.8) kn skrivs på denn form. Sts 4.3 Antg tt u är en given lösning till (4.8). Vrje lösning u till (4.8) kn då skrivs på formen u = u + u där u är en lösning till den homogen differentilekvtionen, (4.3). Bevis Antg tt u och u ägge löser (4.8). Låter vi u = u u så lir u = u + u, och p(d)u = p(d)(u u ) = p(d)u p(d)u = h h =, dvs u löser den homogen differentilekvtionen (4.3). Version: 5 decemer 6 63

33 Den fi lösningen u i stsen klls för en prtikulärlösning till (4.8). Eempel 4.9 Vi hr sett tt e /5 är en prtikulärlösning till (4.). Det är inget speciellt med just denn prtikulärlösning. Det gäller även tt e e /5 är en prtikulärlösning, vilket du kn verifier. För tt lös linjär differentilekvtioner kn vi lltså följ dett recept:. Lös den homogen differentilekvtionen (din lösning kommer tt innehåll integrtionskonstnter).. Bestäm en lösning till (den ickehomogen) differentilekvtionen. 3. Den llmänn lösningen lir summn v dess lösningr. 4. Om det finns ivillkor (egynnelsevillkor eller rndvärden) så kn oft de integrtionskonstnter som dykt upp eller de prmetrr som finns i prolemet estämms med hjälp v dess. Jämför dett med hur vi i eempel 4.7 löste (4.). Den homogen differentilekvtionen För tt det skll vr någon vits med tt lös differentilekvtionern enligt receptet ovn så måste den homogen differentilekvtionen vr enkel tt lös. Dessutom ör det inte vr lltför svårt tt estämm en prtikulärlösning. Annrs skulle vi lik gärn kunn nvänd metoden med integrernde fktor upprepde gånger. Följnde sts ger oss en enkel metod tt estämm den llmänn lösningen till den homogen differentilekvtionen. Sts 4.4 Antg tt och är konstnter, och etrkt den homogen differentilekvtionen u + u + u =. Antg tt den krkteristisk ekvtionen λ + λ + = hr (reell) lösningr λ och λ. i) Om λ λ så hr differentilekvtionen lösningrn 64 u() = C e λ + C e λ. ii) Om λ = λ så hr differentilekvtionen lösningrn u() = (C + C )e λ. Här etecknr C, C och C godtycklig konstnter. Bevis Beviset liknr räkningrn i eempel 4.8. Eftersom λ och λ är nollställen till det krkteristisk polynomet λ + λ + kn vi enligt diskussionen ovn skriv u +u +u = som (D λ )(D λ )u =. Vi låter därför v = (D λ )u, och får det ekvivlent systemet (D λ )v =, och (D λ )u = v tt lös. Den först differentilekvtionen hr lösningr v() = Ce λ, där C är en godtycklig konstnt. Vi sätter in det uttrycket för v i den ndr differentilekvtionen, och skll lltså estämm u så tt u () λ u() = Ce λ. Vi multiplicerr med den integrernde fktorn e λ, vilket ger den ekvivlent differentilekvtionen D(e λ u()) = Ce (λ λ ). Då denn skll integrers får vi två fll. Om λ λ så lir e λ u() = Ce (λ λ ) d = C e (λ λ ) + C, där C = C/(λ λ ). Multiplicerr vi med e λ får vi det i stsen påstådd uttrycket för u. Om λ = λ så är e (λ λ ) = e =, vrför e λ u() = C d = C + C. Vi multiplicerr med e λ = e λ och döper om konstnten C till C, vilket ger u() = (C + C )e λ. Eempel 4. För tt lös differentilekvtionen u + 3u + u = så noterr vi tt det krkteristisk polynomet λ + 3λ + = (λ + )(λ + ) hr nollställen λ = och λ =. Det följer v sts 4.4 tt den llmänn lösningen lir u() = C e + C e. Eempel 4. Differentilekvtionen u + 4u + 4u = hr llmän lösning u() = (C + C )e. Det följer från sts 4.4, eftersom det krkteristisk polynomet λ +4λ+4 = (λ+) hr det dul nollstället λ = λ =. Version: 5 decemer 6 65

34 Uppgift Lös de homogen differentilekvtionern nedn. ) u 5u + 4u = ) u 6u + 9u = Kort om högre ordning Högre ordningens homogen linjär differentilekvtioner kn löss på smm sätt. Den norske mtemtikern Ael visde dock 84 tt det i llmänhet inte går tt lös polynomekvtioner v grd fem och högre med hjälp v rotutdrgningr. Vi kommer tt håll oss till enkl fll där vi kn finn nollställen till de polynom vi etrktr. Vi formulerr endst ett specilfll v hur lösningrn till den homogen differentilekvtionen ser ut för högre ordning, och ger sedn ett pr eempel, där det ör frmgå hur det lir i det llmänn fllet. Proposition 4.5 Antg tt n är ett heltl. Den llmänn lösningen till den homogen differentilekvtionen (D λ) n u = är u() = (C + C + + C n n )e λ. Här etecknr C, C,, C n godtycklig konstnter. Eempel 4. Differentilekvtionen u 3u + 3u u = hr llmän lösning u() = (C + C + C )e. Dett följer v tt det krkteristisk polynomet p(λ) = λ 3 3λ + 3λ i fktoriserd form lir p(λ) = (λ ) 3. Polynomet p hr därför nollstället med multiplicitet 3. Om det krkteristisk polynomet hr fler nollställen, så dderr vi endst termer som svrr mot olik nollställen: Eempel 4.3 För tt lös differentilekvtionen u u 6u = så noterr vi tt det krkteristisk polynomet p(λ) = λ 3 λ 6 kn skrivs p(λ) = (λ 4)(λ + ). Nollställen till p lir λ = λ = och λ 3 = 4. Den llmänn lösningen till differentilekvtionen lir därför u() = (C + C )e + C e 4. Uppgift 4. Lös differentilekvtionern nedn. ) (D ) (D +3)u = ) u u + u = En niv metod tt estämm prtikulärlösningr Vi skll nu diskuter en enkel, men inte generell, metod tt estämm prtikulärlösningr. Den egränsr oss just nu till högerled som estår v polynom, eponentilfunktioner smt produkter v dess. Prtikulärlösningen i eempel 4.8 vr på smm form som högerledet. Är det lltid så? Vi örjr med tt etrkt ett pr eempel. Eempel 4.4 Vi skll nu se tt det går tt estämm en prtikulärlösning u till u + 4u + 4u = e 4 genom tt nsätt en lösning på smm form som högerledet, u () = Ae 4. Här är A en konstnt som estäms genom insättning. Vi deriverr, och får u () = 4Ae4 och u () = 6Ae4, vrför u + 4u + 4u = e 4 är ekvivlent med (här hr vi förkortt ort e 4 ) 6A + 6A + 4A =, dvs A = /36. Vår nsättning vr lyckosm, u () = e 4 /36 är en prtikulärlösning till u + 4u + 4u = e 4. Eempel 4.5 Om högerledet är ett polynom, så testr vi tt nsätt ett polynom v smm grd. Till u + 4u + 4u = + nsätter vi lltså u () = A + B. Derivering ger u () = B och u () =, vrför u + 4u + 4u = + 4B + 4(A + B) = 4(A + B) + 4B. Vi jämför koefficienter och finner tt u + 4u + 4u = + precis då 4(A + B) = och 4B =. Det följer tt A = och B = /4, och lltså är u () = /4 en prtikulärlösning till u + 4u + 4u = +. Vi ger nu ett eempel där vår gissningsmetod inte fungerr, vilket visr tt situtionen inte riktigt är så enkel som mn knske kunde hopps på. Eempel 4.6 Vi nsätter u () = Ae som prtikulärlösning till u + 4u + 4u = e. Derivering och insättning ger Version: 5 decemer 6 67

35 68 u () + 4u () + 4u () = 4Ae 8Ae + 4Ae =. Att termern med A tr ut vrndr inneär tt hur vi än väljer A så kn det inte gäll tt u är en prtikulärlösning. Prolemet är tt u är en del v lösningen till den homogen differentilekvtionen, vrs llmänn lösning hr formen (C + C )e. Det visr sig dock tt nsättningen u () = A e fungerr. Uppgift 4.3 Verifier tt nsättningen u () = A e fungerr, dvs, vis tt du kn estämm A så tt u + 4u + 4u = e. De eempel vi etrktt ovn föreslår följnde metod: Om högerledet inte löser den homogen differentilekvtionen så fungerr den nturlig nsättningen, dvs en funktion på smm form som högerledet. Med smm form vser vi här till eempel ett polynom v smm grd som högerledet eller en eponentilfunktion med smm koefficient frmför i eponenten. Om högerledet löser den homogen differentilekvtionen så sk vi multiplicer den nturlig nsättningen med tills dess resulttet inte längre löser den homogen differentilekvtionen. Eempel 4.7 I eempel 4.6 såg vi tt den nturlig nsättningen Ae inte fungerde eftersom den uppfyller den homogen differentilekvtionen u + 4u + 4u =. Smm rgument ger tt inte heller en nsättning på formen Ae kn funger. Du visde dock i uppgift 4.3 tt nsättningen A e fungerr. Eempel 4.8 Vi löser differentilekvtionen u + 3u u = e. Den homogen differentilekvtionen u + 3u u = hr llmän lösning C e + C e 5 eftersom det krkteristisk polynomet p(λ) kn fktorisers som p(λ) = (λ )(λ + 5). Den nturlig nsättningen u () = Ae misslycks eftersom den löser den homogen differentilekvtionen. Vi multiplicerr med och nsätter i stället u () = Ae. Vi deriverr, u () = (A + A)e, u () = (4A + 4A)e, vrefter insättning ger u + 3u u = (4A + 4A)e + 3(A + A)e Ae = 7Ae. Men 7Ae = e precis då A = /7, vrför u () = e /7 duger som prtikulärlösning. Slutligen får vi lltså tt den llmänn lösningen till u + 3u u = e ges v u() = (C + /7)e + C e 5. Eempel 4.9 Vi löser u + u = +. Den homogen differentilekvtionen u + u = hr llmän lösning C + C e eftersom det krkteristisk polynomet λ + λ kn fktorisers som λ(λ + ). Den nturlig nsättningen u () = A + B fungerr inte eftersom den konstnt termen (A lltså) förekommer i lösningen till u + u =. Vi multiplicerr den därför med och nsätter u () = A + B. Derivering och insättning ger u + u = B + A + B, och om högerledet skll li + måste det gäll tt A + B = och B =. Dett medför tt A = och B = /. En prtikulärlösning ges lltså v u () = / och den llmänn lösningen till u + u = + lir u() = C + / + C e. Uppgift 4.4 Ange en nsättning som fungerr för tt estämm en prtikulärlösning till nednstående differentilekvtioner (du ehöver lltså inte eräkn själv prtikulärlösningen). ) (D +)(D )u = + ) (D +)(D )u = e c) (D +)(D )u = e d) (D +)(D )u = e e) (D ) u = e f) (D ) u = e En förklring till den niv metoden Vi hr precis estämt prtikulärlösningr genom tt giss på lämplig funktioner, typiskt sådn som förekommer i högerledet. Vi skll nu ge ett rgument till vrför metoden fungerr, genom tt ge ett nytt sätt tt estämm nsättningen på där vi fktiskt inte gissr. Vi gör det genom tt etrkt någr eempel. Version: 5 decemer 6 69

36 Eempel 4. Vi skll estämm ll lösningrn till (D )(D ) u = (D )e =, 7 u + 4u + 4u = e 4. (4.5) Eftersom D +4 D +4 = (D +) kn vi skriv differentilekvtionen på formen (D +) u() = e 4. Motsvrnde homogen differentilekvtion (D +) u = hr lösning u() = (C + C )e. Vi skll nu estämm en prtikulärlösning. Vi oserverr, och dett är det viktig i lösningsmetoden, tt högerledet fktiskt löser en linjär homogen differentilekvtion. Det gäller nämligen tt (D 4)e 4 =. Om u är en lösning till (D +) u() = e 4 så måste det därför gäll tt (D 4)(D +) u() = (D 4)e 4 =, dvs u måste lös en homogen differentilekvtion (v högre ordning). Just denn homogen differentilekvtion hr vi nyss löst i eempel 4.3, med resultt u() = (C + C )e + C e 4. Den först termen är precis den llmänn lösningen till vår homogen differentilekvtion (D +) u =. Den ndr termen, C e 4, måste enligt sts 4.3 vr en prtikulärlösning. Men vi hr inte ekvivlens (vi säger endst tt om u är en lösning till vår differentilekvtion så måste den h ovnstående form), så det gäller inte tt den är en prtikulärlösning för vrje C. Vi nsätter därför en prtikulärlösning u på formen v den ndr termen, u () = C e 4 (oserver tt denn funktion är på smm form som högerledet!). Vi deriverr och får u + 4u + 4u = 6C e 4 + 6C e 4 + 4C e 4 = 36C e 4. Men 36C e 4 = e 4 precis då C = /36, så u () = e 4 /36 är en prtikulärlösning. Enligt Sts 4.3 lir därför den llmänn lösningen till (4.5) u() = (C + C )e + 36 e4. (4.6) Eempel 4. Vi löser (D ) u() = e. Vi örjr med tt noter tt den homogen differentilekvtionen (D ) u = hr llmän lösning u() = (C + C )e. Vidre uppfyller e i högerledet (D )e =. Om u är en lösning till (D ) u = e gäller det lltså tt vrför u hr formen (jämför eempel 4.) u() = (C + C + C )e. Termen C e ingår inte i lösningen till den homogen differentilekvtionen. Vi estämmer därför C så tt denn term lir en prtikulärlösning till (D ) u() = e. Det gäller tt Derivering ger (D ) C e = (D D +)C e. D e = ( + )e och D e = ( )e, vrefter insättning ger (D D +)C e = C [ ( ) ( + ) + ]e = C e. För tt vi skll få en prtikulärlösning måste dett vr lik med e, så C = /. Det följer tt e / är en prtikulärlösning, och eftersom den llmänn lösningen till (D ) u() = e är summn v lösningrn till den homogen differentilekvtionen och prtikulärlösningen så är u() = (C + C + /)e. Det kn vr värt tt noter tt vi i eemplet ovn i slutändn gjorde den nsättning som vr nturlig, multiplicerd med. Uppgift 4.5 Lös differentilekvtionern från uppgift 4.9, fst nu med metoden tt nsätt en prtikulärlösning. Oserver tt du redn hr estämt lösningrn till motsvrnde homogen differentilekvtioner i uppgift 4., så det ehöver du inte gör igen. Superpositionsprincipen Om högerledet estår v en summ v funktioner fungerr det tck vre lineriteten tt nsätt en summ där vrje term i nsättningen svrr mot en nturlig nsättning till motsvrnde term i summn i högerledet. Dett klls ilnd för superpositionsprincipen. Version: 5 decemer 6 7

37 Eempel 4. För tt estämm en prtikulärlösning till differentilekvtionen (4.5), men där högerledet ytts ut mot e 4 +, dvs 7 u + 4u + 4u = e 4 +, nsätter vi som prtikulärlösning en summ v en eponentilfunktion och ett förstgrdspolynom, u () = C e 4 + A + A. Du kn själv verifier tt C = /36 precis som förut och tt A = /4 och A = /4. Den llmänn lösningen lir lltså u() = (C + C )e + 36 e Jämför det med svret i (4.6). Det etr polynomet i högerledet ger lltså endst upphov till ett polynom i lösningen. För tt undvik fel vid räkningrn kn det vr lämpligt tt lös ett prolem i tget. I eemplet ovn estämmer mn då först en prtikulärlösning till u + 4u + 4u = e 4 och sedn en till u + 4u + 4u =. Prtikulärlösningen till u + 4u + 4u = e 4 + fås sedn genom tt dder prtikulärlösningrn till de enklre prolemen. Vi påminner om tt dett fungerr tck vre lineriteten. 4.5 Svängningsprolem, komple lösningr Reflektion och nystrt Det är hög tid tt stnn upp ett slg och smmnftt läget. Vi örjde med tt lös först ordningens linjär differentilekvtioner med hjälp v integrernde fktor. Sedn såg vi tt vrje linjär differentilekvtion v högre ordning med konstnt koefficientfunktioner kn reducers till fler först ordningens linjär differentilekvtioner. Dett inneär tt vi vid lösning i llmänhet måste utför fler integrtioner, vilket kn vr retssmt. Räddningen vr strukturstsen, som reducerde retet till tt dels finn ll lösningr till den homogen differentilekvtionen, och dels estämm en prtikulärlösning. Vi konstterde tt för tt lös den homogen differentilekvtionen ehövde vi fktoriser motsvrnde krkteristisk polynom. Den end metod vi utvecklt för tt estämm prtikulärlösningr kräver tt de typer v funktioner som står i högerledet själv kn uppstå som lösningr till linjär, homogen differentilekvtioner. De funktioner vi sett uppstå på det viset är polynom, eponentilfunktioner och produkter v dess. Eempel 4.3 Vi hr prolem tt estämm en prtikulärlösning till differentilekvtionen u () u() = sin. Om vi försöker tt lös med integrernde fktor så lndr vi i D(e u()) = e sin. Prolemet här är tt vi (ännu) inte hr någon r metod tt integrer en produkt v en eponentilfunktion och en trigonometrisk funktion. Vi kommer tt få det i kpitel 5. Vi skll snrt få ett sätt tt lös ovnstående differentilekvtion genom tt nsätt en prtikulärlösning även i dett fll, vilket gör tt vi inte ehöver integrer, så fortsätt r tt läs. Vi hr egränst oss till det fll där det krkteristisk polynomet hft en fullständig fktorisering, dvs där det hr kunnt skrivs som en produkt v förstgrdstermer. Det inneär fktiskt tt vi hr undvikit en mss intressnt prolem, och det vi skll gör härnäst är tt fyll i denn luck. Eempel 4.4 Differentilekvtionen u + u = kn vi (ännu) ej lös med metoden som vi diskutert ovn. Det krkteristisk polynomet p(λ) = λ + kn ju inte fktorisers i reell fktorer, det finns inget reellt tl λ så tt p(λ) =. Däremot så lycks vi ättre om vi tillåter oss tt nvänd komple tl. Lösningrn till λ + = är λ = ±i, vilket vi str skll nvänd oss v. Men vi känner fktiskt redn till lösningrn till u + u =. Vi vet nämligen tt D cos = sin och D sin = cos, vrför det följer tt åde cos och sin löser differentilekvtionen. Eftersom u + u = är linjär så löser även ll linjärkomintioner v cos och sin den, dvs Version: 5 decemer 6 73

38 74 u() = A cos + B sin löser differentilekvtionen u + u =, för ll konstnter A och B. Följnde proposition visr tt det inte finns någr ndr lösningr, i vrje fll inte som uppfyller tt u() = A och u () = B. Proposition 4.6 Låt A och B vr givn reell tl. Då finns endst en reell lösning till u + u = med egynnelsevillkor u() = A och u () = B, nämligen u() = A cos + B sin. Bevis Vi visr först påståendet i fllet då A = B =. Multiplicerr vi differentilekvtionen med u får vi u u + uu =, vilket kn skrivs D((u ) / + u /) =. Alltså måste det gäll tt (u ) + u = C för någon konstnt C. Men med u() = u () = så följer det tt C =. Nu står det tt en summ v två kvdrter är, och då måste vrje term vr noll. Speciellt är u =. Vi etrktr nu det llmänn fllet. Antg tt u är en lösning. Vi inför hjälpfunktionen v som v() = u() A cos B sin. Du kn kontroller tt v uppfyller det tidigre fllet, dvs v + v = och v() = v () =. Alltså måste det gäll tt v =. Men då följer det tt den godtycklig lösningen u lir u() = A cos + B sin. Här går en tydlig gräns. Från och med nu ntr vi tt du är eknt med de komple tlen och polynomekvtioner, motsvrnde kpitel 6 i [4]. Komplevärd lösningr, homogen differentilekvtioner Kn vi nvänd eponentilfunktionen för tt skriv dess lösningr? Det solut finste hde vrit om sts 4.4 fortfrnde hde vrit giltig då lösningrn till den krkteristisk ekvtionen är komple. Vi vet tt lösningrn till λ + = v λ = ±i. Vidre hr vi definiert e iβ = cos β + i sin β så det finns verkligen en koppling melln eponentilfunktionen och de trigonometrisk funktionern, och sts 4.4 kommer fktiskt tt gäll även i det komple fllet. Men vi skll först definier hur vi deriverr och integrerr en komplevärd funktion. Om f() = u() + iv() där u och v ägge är reellvärd och tillhör något intervll så definierr vi f () = u () + iv () i den mån åde u och v är deriverr. Vi definierr integrlen v f vi lineritet (där vi tänker oss tlet i som vilket tl som helst), Eempel 4.5 f() d = u() d + i v() d. Det gäller tt D(e i ) = D(cos + i sin ) = D(cos ) + i D(sin ) = sin + i cos = ie i. Vi erinrr oss härnäst tt om α, β och är reell tl så är Uppgift 4.6 Version: 5 decemer 6 75 e (α+iβ) = e α (cos(β) + i sin(β)). (4.7) Använd din kunskper i derivering för tt vis tt d d ( e (α+iβ) ) = (α + iβ)e (α+iβ). Från räkningrn ovn sluter vi oss till tt D(e λ ) = λe λ även gäller för komple λ. Alltså är e λ /λ en primitiv funktion till e λ. All primitiv funktioner får vi genom tt dder en godtycklig komple konstnt. Eempel 4.6 Vi löser nu u + u = med integrernde fktor. Vi kn skriv differentilekvtionen på formen (D +)u =, eller på fktoriserd form (D i)(d +i)u =. Precis som tidigre inför vi hjälpfunktionen v = (D +i)u. Vi skll då lös de två differentilekvtionern (D i)v =, och (D +i)u = v. Vi örjr med (D i)v =, där vi multiplicerr med den integrernde fktorn e i och får den ekvivlent formen D(e i v()) =. Nu är e i v() komplevärd, men vi kn fortfrnde, genom tt etrkt rel-

39 och imginärdel vr för sig dr slutstsen tt e i v() = C, för någon komple konstnt C. Vi multiplicerr med e i och får v() = Ce i. Vi skll nu estämm u, och skll därmed i ljuset v vd vi just gjort lös differentilekvtionen (D +i)u = Ce i. Vi multiplicerr med den integrernde fktorn e i och får D(e i u()) = Ce i. Vi integrerr dett, och får e i u() = C e i + C, där C = C/(i). Multiplicerr vi sedn med e i så får vi tt u() = C e i + C e i. Om vi nöjer oss med komple lösningr kn vi stnn här. Vill vi uttryck u med de trigonometrisk funktionern kn vi gör det, Uppgift 4.7 vis tt 76 u() = (C + C ) cos + i(c C ) sin. (4.8) Verifier tt påståendet i (4.8) verkligen stämmer, dvs C e i + C e i = (C + C ) cos + i(c C ) sin. Ledd v dett kn vi formuler följnde sts, innn vilken vi erinrr oss om tt om och är reell och α + iβ är en lösning till λ + λ + så är även α iβ det. Sts 4.7 Antg tt den krkteristisk ekvtionen λ + λ + hr lösningr α ± iβ. Då ges den llmänn lösningen till u + u + u = v u() = e α (A cos β + B sin β). Bevis Derivering v eponentilfunktionen med komplet rgument (som du visde i uppgift 4.6) gör tt smm evis som i det v sts 4.4 fungerr (oserver tt vi inte kn få fllet med duelrot nnt än om β = ). Lösningen till differentilekvtionen ges lltså v u() = C e (α+iβ) + C e (α iβ), (4.9) där C och C är två godtycklig komple konstnter. Vi nvänder (4.7) och får C e (α+iβ) + C e (α iβ) = C e α (cos β + i sin β) + C e α (cos β i sin β) Det återstår endst tt välj A = C + C och B = i(c C ). Anmärkning Lösningr på formen (4.9) sägs vr skrivn på komple form. Då de är skrivn som i stsen säger vi tt de är skrivn på reell form. Apriori finns inget som säger tt konstntern A och B skll vr reell, men oft finns det ivillkor som tvingr dem tt vr reell (och tillämpningr som också gör det nturligt). Eempel 4.7 Den homogen differentilekvtionen u 4u +5u = hr den llmänn lösningen u() = e (A cos + B sin ). Det följer v sts 4.7 eftersom ± i löser ekvtionen λ 4λ + 5 =. Uppgift 4.8 Lös de homogen differentilekvtionern nedn. ) y + 9y = ) u 8u + 5u = c) u 6u = d) u u + 9u 9u = Prtikulärlösningr Vi skll nu upprep metoden med nsättning v prtikulärlösningr, och eftersom vi erhållit fler typer v funktioner som kn uppstå som lösningr v den homogen differentilekvtionen så hr vi även fått fler högerled vi kn hnter. Vi ehöver dock komm ihåg tt cos och sin retr i pr. Vi etrktr ett pr eempel. Eempel 4.8 Vi löser differentilekvtionen u 4u + 5u = sin. (4.) Från eempel 4.7 vet vi tt lösningen till u 4u + 5u = ges v u () = e (A cos +B sin ). Vi kn inte välj A eller B så tt dett lir sin, vrför vi gör en nsättning u () = cos + sin. Vi deriverr och får u () = sin + cos, u () = cos sin. Version: 5 decemer 6 77

40 Vi sätter in i differentilekvtionen och får Uppgift 4. Lös differentilekvtionern nedn. 78 u () 4u () + 5u () = cos sin 4( sin + cos ) + 5( cos + sin ) = 4( ) cos + 4( + ) sin. Dett lir sin precis då 4( ) = och 4( + ) =. Den först ekvtionen ger = vrefter den ndr ger = /8 (och därmed = /8). En prtikulär lösning u lir därför u () = (cos +sin )/8. Den llmänn lösningen till differentilekvtionen (4.) lir summn, Eempel 4.9 u() = u () + u () = e (A cos + B sin ) + (cos + sin ). 8 Vi löser differentilekvtionen y + 9y = sin 3. (4.) Du hr vist i uppgift 4.8 tt den llmänn lösningen till y + 9y = är y () = A cos 3 + B sin 3. Med A = och B = så står det sin 3 vilket är precis det vi hr i högerledet. Vi kn lltså inte gör den nturlig nsättningen cos 3 + sin 3, utn måste multiplicer den med och nsätt y () = ( cos 3 + sin 3). (4.) I uppgiften nedn gör du motsvrnde räkning som vi gjorde ovn, vilken denn gång leder till = /6 och =, vrför den llmänn lösningen till (4.) lir y() = (A /6) cos 3 + B sin 3. Uppgift 4.9 Vis tt y i (4.) fungerr som nsättning genom tt estämm och så tt y + 9y = sin 3 (du ör få = /6 och = ). ) y + 9y = + ) u 8u + 5u = cos 3 c) u 6u = cos 4 d) u u + 9u 9u = cos 3 Uppgift 4. Vilk svr hde du fått i föregående uppgift om u() = och u () = (och i det sist fllet även u () = så vi får lik mång villkor som ordning)? 4.6 Oscilltioner, dämpning och resonns Vi vslutr det här kpitlet med tt smmnftt det vi gjort genom tt etrkt ett eempel. En kropp med mss m, fststt i ett pr fjädrr, rör sig längs en horisontell el (en -el, säg) i ett medium med motstånd (till eempel en vätsk eller gs), se figur 4.. Vi etecknr med = (t) kroppens vviknde från jämviktspunkten =. Hookes lg nts tillämpr, dvs krften som fjädrrn utövr på kroppen är riktd mot jämviktsläget och hr en storlek som är proportionell mot kroppens vviknde från detsmm. Fjäderkrften ges då v k för någon fjäderkonstnt k >. m Antg vidre tt den dämpnde krften som uppstår v friktionen från det omgivnde mediet är proportionell mot kroppens hstighet, dvs ges v c för någon konstnt c. Enligt Newtons ndr lg uppfyller differentilekvtionen m (t) = k(t) c (t), vilken kn skrivs (t) + c m (t) + k (t) =. (4.3) m Om det finns ytterligre någon krft F = F(t) som verkr på kroppen så lir differentilekvtionen (t) + c m (t) + k m (t) = F(t). (4.4) m Version: 5 decemer 6 79 Figur 4.

41 Vi skll härnäst diskuter hur lösningrn till (4.3) kn se ut, smt se vilken effekt F kn h i (4.4). Men vi ger först ett eempel till där smm differentilekvtion dyker upp, nämligen inom elektroniken. Figur 4. Eempel 4.3 Då ett motstånd med resistens R, en kondenstor med kpcitns C och en spole med induktns L koppls i serie så kommer potentilskillnden v(t) över kondenstorn tt uppfyll LCv (t) + RCv (t) + v(t) =. Utn yttre krft, dämpning och oscilltion Vi örjr med tt hnter (4.3). Vi hr en homogen differentilekvtion v ordning två, och det krkteristisk polynomet ges v λ + c m λ + k =. (4.5) m Lösningrn till denn ekvtion är Fll, c = 4mk. Nu är λ = λ <, vrför (t) = (C + C t)e λ t. Mn kn åter vis tt som mest hr en lokl etrempunkt och som mest psserr jämviktsläget en gång. Dett klls för kritisk dämpning. Eempel 4.3 Differentilekvtionen (t) + (t) + (t) = med egynnelsevillkor () = och () = hr lösning (t) = te t. Dess grf återges i figur 4.3. λ, = c m ± c 4m k m. Vi får någr fll. Figur 4.3 Fll, c > 4mk. De två lösningrn λ och λ är ägge reell, negtiv. Dessutom är λ λ och hr formen 8 (t) = C e λ t + C e λ t. Lösningen kommer lltså tt vt eponentiellt snt mot jämviktsläget, och mn kn fktiskt vis tt det kommer tt finns högst ett loklt mimum och högst en punkt där välr tecken. Friktionen från det omgivnde mediet är lltså tillräckligt stor (jämfört med mssn och fjäderkrften) för tt kroppen inte skll kunn osciller. Dett klls ilnd för överkritisk dämpning. Eempel 4.3 Differentilekvtionen (t) + 5 (t) + 4(t) = med egynnelsevillkor () = och () = hr lösning (t) = (e t e 4t )/3. Dess grf återges i figur 4.. Fll 3, c < 4mk, c >. Nu är lösningrn λ och λ komple, och om λ, = α ± iβ så gäller det tt α = c/(m) < och (t) = e α (A cos βt + B sin βt). Kroppen kommer lltså tt osciller med period π/β, men mplituden för oscilltionern kommer tt vt eponentiellt med tiden. Vi säger tt dämpd svängning föreligger. Eempel 4.33 Differentilekvtionen (t) + (t) + 4(t) = med egynnelsevillkor () = och () = hr lösning (t) = 3 e t sin( 3t). Dess grf återges i figur 4.4. Version: 5 decemer 6 8

42 med egynnelsevillkor () = och () = hr lösning Figur 4.4 (t) = (sin t + sin t)/3. Funktionen är periodisk med period π och i figur 4.6 ser vi dess grf. Fll 4, c =. Här är lösningrn λ och λ rent imginär, λ, = ±iβ, och vi får trigonometrisk lösningr Figur 4.6 Figur 4.5 (t) = A cos βt + B sin βt. Amplituden för oscilltionern är konstnt och systemet fortsätter tt sväng hrmoniskt. Vi säger tt svängningen är odämpd. Eempel 4.34 Differentilekvtionen (t) + 4(t) = tillsmmns med egynnelsevillkoren () = och () = hr lösning (t) = sin t. Dess grf återges i figur 4.5. Eempel 4.36 Om den yttre krften svänger i tkt med kroppens fri svängningr uppstår resonns. Differentilekvtionen (t) + 4(t) = sin t med egynnelsevillkor () = och () = hr lösning (t) = (5 sin t t cos t)/8. Vi hr ritt grfen i figur 4.7 i smm skl som i föregående uppgift. Det är termen t cos t som svrr mot resonnsen och som gör tt lösningen lir oegränsd. Hur kn dett stämm med modellen med kroppen och fjädrrn i figur 4.? Med yttre krft, resonns Vi eskriver här kort ett fenomen, resonns, som kn uppstå då en yttre krft som verkr på kroppen hr smm frekvens som kroppens egn svängningr (se (4.4)). Vi etrktr ett pr eempel. Figur 4.7 Eempel 4.35 Om krften som verkr på systemet inte hr smm frekvens som de svängningr som uppstår utn krften så kommer inget drmtiskt tt händ. Differentilekvtionen (t) + 4(t) = sin t 8 Version: 5 decemer 6 83

43 Uppgift 4. I eemplen i dett vsnitt förekommer fler differentilekvtioner som vi endst ngett lösning till. Lös dem själv för tt verifier tt vi inte gjort något fel. (Ett enklre sätt hde förstås vrit tt r verifier tt de lösningr som ngetts verkligen korrekt, och det får du också gärn gör, men den här uppgiften går ut på tt öv tt lös differentilekvtioner.) *4.7 Egenvärdesprolem I prolem som hr med vågors utredning, värmeledning och kvntmeknik, för tt nämn någr källor, studers egenvärdesprolem. Vnligtvis är de på formen 84 p(d)u = μu där p(d) är en differentilopertor, tillsmmns med rndvillkor. En nollskild funktion som uppfyller likheten ovn klls för en egenfunktion och tlet μ klls för egenvärde. Egenvärden hr oft med energin tt gör för det system som etrkts. Vi etrktr ett eempel och ger en övning. Eempel 4.37 Bestäm de tl μ för vilk det finns nollskild lösning u på intervllet [, π] till egenvärdesprolemet u () = μu(), u() = u(π) =. (4.6) [Minustecknet frmför ndrderivtn hr tt gör med tt vi vill h icke-negtiv μ. Villkoret tt funktionen skll vr noll i ändpunktern klls för Dirichletvillkor.] Differentilekvtionen är homogen och linjär v ndr ordningen, med krkteristisk ekvtion λ = μ. Eftersom vi ntog tt μ så får vi imginär lösningr λ = ±i μ, och den llmänn lösningen till differentilekvtionen lir u() = A cos( μ) + B sin( μ). Villkoret u() = ger A = eftersom cos = och sin =. Så återstår endst sinustermen. Villkoret u(π) = inneär tt B sin( μπ) =. Vi är inte intresserde v nollösningen, så B får inte vr noll. Alltså måste sin( μπ) =. Men sin hr nollställen πk, k Z. Det ger tt μπ = kπ och således μ = k. Nu ser vi tt k och k ger upphov till smm egenvärde, och k = kstr vi eftersom det ger nollfunktionen. Kvr lir positiv heltl k. Motsvrnde egenfunktion u lir B sin(k). Vi hr lltså vist tt egenvärdesprolemet (4.6) hr lösningr som inte är nollfunktionen precis då μ = k är kvdrten v ett heltl k, med tillhörnde egenfunktion u() = B sin(k). Dgens kuriositet (ej med i kursen i envrielnlys): För den som skll läs Fouriernlys så går det inte tt undvik tt nämn tt det finns en sts som tck vre resulttet ovn medför tt vrje kontinuerligt deriverr funktion f på intervllet (, π) fktiskt kn skrivs som en Fourierserie, f() = k= k sin(k) där k är de så kllde Fourierkoefficientern, Uppgifter k = π π f() sin(k) d. 4.3 (, 33) Bestäm ll lösningr till differentilekvtionen y 3y + y =. 4.4 (4, 3) Bestäm den lösning till differentilekvtionen y () 5y () + 6y() = e som är sådn tt lim e y() =. 4.5 (5, 539) ) Verifier tt funktionen y p () = e ln är en prtikulärlösning till den linjär differentilekvtionen y () y () 3y() = 4 + e, >. Version: 5 decemer 6 85

44 ) Bestäm den lösning y till differentilekvtionen ovn som uppfyller y () = och lim y() =. 4.6 (, 48) Lös differentilekvtionen 86 y 3y + y = e + sin. 4.7 Lös differentilekvtionen u () + (/ )u() = för > med ivillkor u() =. 4.8 (4, 39) Lös egynnelsevärdesprolemet y (t) + 9y(t) = 6 cos(3t), t >, y() =, y () = (Uppgift 4 från en eempeltent) Differentilekvtionen + = 4 sin t utgör modell för den odämpde rörelsen v en kropp fststt i en fjäder, då den utsätts för en yttre periodisk krft. (Här är en positiv konstnt.) ) Bestäm så tt resonns inträffr, dvs så tt högerledet 4 sin t utgör lösning till motsvrnde homogen ekvtion + =. ) Lös den inhomogen ekvtionen fullständigt för dett värde på. 4.3 (Uppgift 6 från en eempeltent) Låt vr en reell konstnt och låt y (t) eteckn lösningen till egynnelsevärdesprolemet y + y + y =, y() =, y () =. Vis tt lim t y (t) = om och endst om >. 4.3 (4, 7) Det rdioktiv ämnet rdium sönderfller på så vis tt ändringen v mängden per tidsenhet är proportionell mot mängden v rdium. Hlveringstiden är 6 år, dvs efter 6 år finns hälften v mängden kvr. Den dul Noelpristgren Mrie Curie, som hde medverkt i upptäckten v rdium 899, ägnde fler år till tt frmställ rdium. Efter tt h renst ton v minerlet pechlände (för hnd!) hde hon 9 ett end grm rdium till förfognde. Hur mycket rdium finns idg (dvs år ) kvr v hennes grm? 4.3 I en viss typ v kteriepopultion ändrs ntlet kterier med en hstighet som vid vrje tidpunkt är proportionell mot ntlet kterier. Proportionlitetskonstnten är. h. Antlet kterier vid tiden noll är. ) Ställ upp en differentilekvtion för ntlet kterier vid tiden t och lös den. Beräkn också ntlet kterier vid tiden t = 6 h. ) Beräkn den tid det tr för kteriepopultionen tt förduls (5c, ) Betrkt den linjär differentilekvtionen y 3y = 9 e 3 /. Vis först tt y p () = e 3 / är en prtikulärlösning och estäm sen ll lösningr. (Den först delen kn du redn h gjort i uppgift.4.) 4.34 (, 3) Bestäm ll lösningr till differentilekvtionen u 4u + 4u = sin Vid ett visst rdioktivt ämnes sönderfll är ändringen v mss per tidsenhet vid vrje tidpunkt proportionell mot mängden v ämnet med proportionlitetskonstnt λ, där λ =. s. Vid tiden noll fnns 3 g v ämnet. ) Ställ upp en differentilekvtion för mängden v ämnet och eräkn hur mycket v ämnet som finns kvr efter s. ) Bestäm hur lång tid det tr tills hälfen v ämnet återstår (den så kllde hlveringstiden) En kropp med mssn m rör sig längs en rät linje med hstigheten v(t), där t är tiden. Kroppen utsätts för en romsnde krft lik med k v(t), där k är en positiv konstnt. Enligt Newtons krftekvtion gäller det då tt m dv = k v(t). dt Version: 5 decemer 6 87

45 Bestäm hstigheten v som funktion v tiden t, om v() = v (, 4) I denn uppgift etrktr vi differentilekvtionen 88 y + y y = 6e. ) Finn ll lösningr till ekvtionen. ) Lös ekvtionen tillsmmns med egynnelsevärden y() = och y () =. c) Ange ll lösningr till ekvtionen som är egränsde då > (, 86) Differentilekvtionen y + y = +, > är v ndr ordningen men hr inte konstnt koefficienter. Bestäm ll lösningr till denn genom tt sätt z = y och först lös en differentilekvtion v först ordningen Lös (.), med egynnelsevillkor h() = h och h () =. 4.4 (6, 3) Lös för olik värden på det positiv tlet ω differentilekvtionen y + y = sin(ω). 4.4 Rörelseekvtionen för en pln mtemtisk pendel, dvs en punktformig mss upphängd i en viktlös tråd v längden L m, är d α dt + g sin α =, L där α är utslgsvinkeln (i rdiner), och g m/s är tyngdccelertionen. För små utslg rukr mn gör pproimtionen sin α α, och får då ekvtionen d α dt + g L α =. Använd den ndr modellen för tt estämm pendelns läge efter en sekund om L =. m och om pendeln vid strtögonlicket hr utslgsvinkeln 3 och hstigheten m/s. 4.4* (6c, 48) Låt f vr en given kontinuerlig funktion på [, ). Vis tt funktionen y p definierd som y p () = e3 e 3t f(t) dt e är en prtikulärlösning till differentilekvtionen y () 4y () + 3y() = f(), >. 4.43* Differentilekvtioner på formen t u (t) + tu (t) + u(t) =, t > Version: 5 decemer 6 89 e t f(t) dt, >, klls för Eulerekvtioner. De kn med vrielytet t = e överförs till linjär differentilekvtioner v ordning två. Använd dett för tt lös t u (t) tu (t) 4u(t) =, t >. [Tips: Skriv u(t) = v() och nvänd kedjeregeln.] 4.44* Lös Eulerekvtionen t u (t) 7tu (t) + 6u(t) =, t >. 4.45* Bernoullis differentilekvtion (n heltl) kn skrivs på formen u () + p()u() = q()(u()) n. Här är p och q givn funktioner. Bernoullis differentilekvtion övergår i en linjär differentilekvtion om u() ytes ut mot v() = (u()) n. Använd dett för tt lös: ) u () u() = (u()), ( > ), u() =. ) u () = u()(4 u()), u() =. För vilk är lösningrn definierde? 4.46* Bestäm de tl μ för vilk det finns nollskild lösning u på intervllet [, π] till egenvärdesprolemet u () = μu(), u () = u (π) =. [Villkoret på funktionen tt dess derivt skll vr noll i ändpunktern klls för Neumnnvillkor.]

46 Integrtionstekniker kpitel 5 5. Introduktion Vi hr nu kommit igång ordentligt och eräknr integrler åde då vi är intresserde v reor och då vi löser differentilekvtioner. Men de funktioner vi klrr v tt integrer är för få. Vi kn till eempel integrer polynom och trigonometrisk funktioner, men om vi hr en produkt v dem, som sin, så lir det svårre. Vi kn integrer potenser, till eempel /, men om vi istället hr /( + ) så är vi fst. Målet med dett kpitel är tt diskuter ett pr metoder tt eräkn primitiv som skll gör tt vi kn hnter de eempel vi just nämnde, och mång fler. Vi örjr med vrielyte i integrler, som ygger på kedjeregeln för derivtor. Vi fortsätter sedn med prtilintegrtion, som är Leiniz produktregel för derivtor, formulerd för integrler. När vi hr gått igenom dess metoder skll vi ge mång eempel och diskuter olik typer v integrnder, och vilk metoder som är lämplig för dem. 5. Hlvvägs till vrielyte, inspektion Antg tt g hr kontinuerlig derivt på [, ] och tt f är definierd på ilden v g, och hr kontinuerlig derivt där. Då är smmnsättningen f(g()) är deriverr på [, ], med kontinuerlig derivt. Kedjeregeln för derivtor, D(f(g())) = f (g())g (), och insättningsformeln ger därför tt f (g())g () d = D(f(g())) d = [f(g())]. (5.) I den här tjuvstrten till vrielyte skll vi etrkt integrler som kn skrivs på formen i vänsterledet ovn. 9

47 Eempel 5. Om vi låter f vr kvdreringsfunktionen ger kedjeregeln tt D((g()) ) = g()g (), vrför 9 g()g () d = [g() ]. Till eempel gäller (här är g() = sin ) π π sin cos d = D(sin ) d = [sin ] π =. Eempel 5. Med f som logritmen lir D ln g() = g ()/g() (här måste g vr positiv för tt ln g() skll vr definierd), vilket ger g () g() d = [ln g()]. Om g() = + gäller lltså + d = D(ln( + )) d = [ln( + )] = ln. Eempel 5.3 I vårt sist eempel låter vi f vr eponentilfunktionen, vilket ger D e g() = e g() g (), och lltså e g() g () d = [e g() ]. Nu ger till eempel g() = / tt e / d = D(e / ) d = e [ / ] = e/. Ett sätt tt känn igen den typ v integrler vi just studert är tt försök se om integrnden kn skrivs på formen f (g())g () för funktioner f och g. För tt det skll vr så så krävs det lnd nnt tt integrnden är en produkt. Öv dig på följnde uppgifter! Uppgift 5. ) c) e) π/ / 4 Beräkn följnde integrler. sin( ) d ) 4 d Version: 5 decemer 6 93 d) ln d f) 3 e 3 d + 4 d rctn + d Om du tycker tt integrlern ovn är svår kn du vänt med dem tills dess tt vi gått igenom vrielyte i integrler i vsnitt 5.3. Uppgift 5. vis tt Beräkn integrlen som förekommer i (4.7). Mer precist, te t / dt = e /. 5.3 Vrielyte I (5.) nvändes kedjeregeln och insättningsformeln för tt få f (g())g () d = [f(g())] = f(g()) f(g()). Å ndr sidn ger ju insättningsformeln även g() g() vrför det gäller tt g() g() f (t) dt = [f(t)] g() = f(g()) f(g()) g() f (t) dt = f (g())g () d. Byter vi nu nmn på f till f får vi följnde:

48 Figur 5. Sts 5. (Vrielyte i integrler) Antg tt g är kontinuerlig på [, ] och tt f är kontinuerlig på ilden v g. Då är 94 g() g() f(t) dt = f(g())g () d. I föregående vsnitt etrktde vi endst integrler på smm form som integrlen i högerledet i stsen. Vi kunde där helt enkelt h ytt ut den inre funktionen g mot en ny vriel t. Eempel 5.4 Vi återkommer till integrlen /( + ) d som vi eräknde i eempel 5., men den här gången eräknr vi den genom tt yt vriel. Vi sätter därför t = g() = + och låter f(t) = /t. Då är g () = och gränsern ges v = och =. Det gäller tt g() = och g() =, vrför vi enligt sts 5. (läst från höger till vänster) får + d = t dt = [ln t] = ln. Om vi strtr med en integrl d c f(t) dt så är det ju snrre så tt den är skriven på formen i vänsterledet än högerledet i sts 5.. Det etyder inte lls tt metoden med vrielyte lir värdelös, utn det kn mycket väl vr så tt uttrycket i högerledet är enklre. Vi säger tt vi yter vriel från t till genom tt låt t = g(). Eempel 5.5 Vi eräknr t dt, som för övrigt representerr ren v en fjärdedels cirkelskiv med rdie, se figur 5.. Oserver tt integrlen inte ser ut som högerledet i sts 5.! Vi inför en ny vriel genom t = g() = sin. Anledningen till tt vi gör just dett vrielyte är tt t = sin tck vre den trigonometrisk ettn pssr så fint i t. Att välj ny vriler kn vr svårt. Ilnd finns det fler möjlig vägr tt gå, och det är förmodligen endst genom tt studer och gör mång eempel som du kn li r på det. När vi går åt det här hållet är inte gränsern och i sts 5. givn. Vi måste därför härnäst finn och så tt g() = och g() =. Eftersom sin = och sin π/ = kn vi välj = och = π/. På intervllet [, π/] är cos så enligt trigonometrisk ettn är sin = cos. Dessutom är g () = cos. Sätter vi in dett i sts 5. får vi π/ t dt = cos cos d. Är integrlen i högerledet enklre tt eräkn? J, vi nvänder identiteten cos = ( + cos )/ och får π/ + cos sin d = + [ 4 ] Version: 5 decemer 6 95 π/ = π 4. Anmärkning: Eftersom cirkelskivn estår v fyr lik stor sådn delr, en i vrje kvdrnt, sluter vi oss till tt ren v en cirkelskiv med rdie fktiskt är π. Om ditt minne är lik dåligt som förfttrens så kn det vr läge tt gå tillk och läs vsnitt. igen. Om vi tänker på differentiler så lir integrleteckningen nturligre. Vi erinrr oss tt om t = g() så är dt = g () d. Vi kn lltså, om vi vill, se det som tt vi yter ut f(t) mot f(g()) och dt mot g () d. Eempel Differentiltänket är r vid okföring v räkningen: + t dt = t = = d. { dt = d } + Här visr vi i mellnledet tt vi infört den ny vrieln genom t = tt vi yter dt mot d. Oserver tt vi även hr ytt gränser, och tt vi vlt intervllet [, ] för. Det gäller ju tt väer från till 4 då vrierr melln och. Vi kunde lik gärn h låtit vrier melln och (och då hde den ny integrlen livit /( ) d), men det känns inte lik nturligt. Även om vi nu är klr med själv vrielytet så kn vi väl se hur den ny integrlen eräkns. Integrnden vi fick kn (här förenklr vi till, eftersom ) efter polynomdivision skrivs 4/( + ) vrför integrlens värde lir

49 4 + d = [ 4 ln( + )] = 4 4 ln. Det är inte lltid mn vill skriv vrielytet på formen t = g(), dvs uttryck den vriel mn hr som en funktion v den ny vrieln. Det känns oft mer intuitivt tt inför den ny vrieln som en funktion v den gml t, = h(t). Om vi tänker oss tt det fortfrnde skll gäll tt t = g() så måste det gäll tt h(t) = = g (t), dvs tt g är inverterr med invers h. Vi ehöver dock inte eräkn inversen för tt få red på vd vi skll ersätt dt med. Invers funktionsstsen ger nämligen tt dt = g () d övergår i d = /g () dt = h (t) dt, dvs vi får smm regel, fst för h. Eempel 5.7 I eempel 5.6 ovn så är det nturligt tt låt = t (oserver tt dett lir ekvivlent med t = om vi tänker oss tt ). Då t vrierr melln och 4 kommer = t tt vä från till. Dessutom lir d = D t dt = /( t) dt. Men här kn vi ersätt t med och multiplicer med, vilket ger tt d = dt, vrför 4 + t dt = = t = d. { dt = d } + Slutet på räkningen lir förstås detsmm som i eempel 5.6. e t + e t dt = [ln( + e t )] = ln( + e) ln. Eempel 5.9 Vi eräknr cos( ) d genom tt gör vrielytet t =. Med t = lir dt = d. Här är vi lyckosmm, och kn ersätt d i integrlen med (/) dt. Vidre ger = tt t = och = tt t = 4, så vi får cos( ) d = 4 cos(t) dt = [ sin t 4 ] = sin 4. Om mn vill kn mn först estämm en primitiv funktion. Fördelen är då tt mn inte ehöver estämm ny gränser. Eempel 5. Med t = får vi, precis som i föregående eempel tt cos( ) d = cos(t) dt = sin t + C = sin( ) + C. Därför lir (vi väljer C = ) cos( ) d = [ sin( ) = sin 4. ] Eempel 5.8 [, ]) får vi Med = e t (som är vände och därmed inverterr på Det kn vr nyttigt tt gå tillk och gör uppgift 5. om du inte gjorde den förut e t dt = = e t e d { d = e t = dt } + / = e + d = [ln( + )] e = ln( + e) ln. Här nvänder vi tt eftersom d = e t dt och = e t så gäller det tt dt = d/. Vi kunde även h skrivit t = ln och fått dt = (/) d. Just i eemplet ovn hde det knske vrit enklre tt nvänd metoden i vsnitt 5.. Integrnden kn skrivs e t /( + e t ) vilket är på formen g (t)/g(t) för g(t) = + e t. Integrlen lir därför Uppgift 5.3 Beräkn följnde integrler genom tt gör det ngivn vrielytet. ) ) c) d) ( + t dt (t = tn ) ) π/4 π/4 π/4 tn 3 t dt ( = tn t) cos t + 3 sin dt ( = tn t) t + d (t = + + ) Version: 5 decemer 6 97

50 5.4 Prtilintegrtion Prtilintegrtion är ett viktigt verktyg i nlysen som nvänds för tt flytt derivtor från en funktion till en nnn i en integrl. Vi skll främst nvänd prtilintegrtion för tt förenkl eräkningen v integrler. Om u och v hr kontinuerlig derivtor på [, ] så gäller det enligt Leiniz formel för derivtn v produkten uv, (uv) = u v + uv, och med insättningsformeln tt 98 u v + uv d = (uv) d = [uv]. Flyttr vi över en v termern i integrlen till höger sid får vi följnde. Sts 5. (Prtilintegrtion) derivtor på [, ]. Då är uv d = [uv] Antg tt u och v hr kontinuerlig u v d. I konkret fll strtr mn med en integrl på formen uv d, och om det skll vr någon mening med tt prtilintegrer så vill det till tt integrlen u v d är enklre tt hnter. Vilk funktioner som skll spel rollen v u och v är inte lltid helt enkelt tt vet. Betrkt eemplen vi ger noggrnt och räkn uppgiftern, så får du förhoppningsvis en känsl för lämplig vl. Eempel 5. Vi örjr med tt eräkn π cos d. Här kn det vr lämpligt tt flytt en derivt till, eftersom D() =, och produkten vi skll integrer lir förhoppningsvis enklre. Och om vi skll flytt en derivt till så måste vi flytt den från cos. Men D sin = cos, vrför vi med u = och v = sin i sts 5. får tt π π cos d = D(sin ) d = [ sin ] π = [ cos ] π =. Version: 5 decemer 6 99 D() sin d I fortsättningen erättr vi inte vilken funktion som spelr rollen v u och v, utn låter det frmgå v räkningen. Eempel 5. Även då är multiplicerd med en eponentilfunktion är det lämpligt tt prtilintegrer och flytt över derivtn till :et. Det gäller tt e d = D( e ) d = [ e ] e d (5.) = e [ 4 e ] = e ( 4 e 4) = 4 ( + e ). Eempel 5.3 Om vi i stället hft e som integrnd, så hde vi kunn prtilintegrer två gånger. En först prtilintegrering ger e d = [ e ] e d = e e d. Oserver tt vi i högerledet hr fått integrlen e d. Den hr vi ju redn eräknt ovn, men om vi inte gjort det så hde vi kunnt gör det genom tt prtilintegrer, som i (5.). Sätter vi smmn räkningrn lir resulttet e d = (e )/4. Eemplen kn generlisers till tt integrer vrje polynom multiplicert med ntingen e, cos eller sin (här är en konstnt). Vid vrje prtilintegrtion sänks polynomets grd med ett steg, så om polynomet från örjn hr grd n får mn utför n prtilintegrtioner.

51 Uppgift 5.4 ) π Beräkn följnde integrler. sin d ) 3 e d c) π cos d Prtiell integrtion kn även nyttjs då primitiv funktioner estäms, produktregeln D(uv) = D(u)v + u D(v) ger nämligen Eempel 5.4 uv d = uv u v d. Det gäller tt ln d = D( /) ln d = ( /) ln ( /) D ln d = ( /) ln ( /) d = ( /)(ln /) + C. Oserver tt den godtycklig konstnten dyker upp i det sist steget. Ilnd är det lämpligt tt se en funktion själv som en produkt v och funktionen, och noter tt = D(). Eempel 5.5 Det gäller tt ln d = D() ln d = [ ln ] D ln d = ln d = ln [] = ln. Ilnd kn räkningrn förenkls om mn väljer primitiv smrt. Eempel 5.6 Jämför räkningen ln( + ) d = D() ln( + ) d = ln( + ) + d = ln( + ) + d = ln( + ) + ln( + ) + C med ln( + ) d = D( + ) ln( + ) d = ( + ) ln( + ) + + d = ( + ) ln( + ) + C. Vilken tycker du är enklst? Slutsten är tt det kn vr värt tt tänk på vilken primitiv funktion mn väljer vid prtilintegrtion. Uppgift 5.5 Beräkn rctn t dt. Vi hr integrert funktioner på formen n e genom tt prtilintegrer fler gånger. Produktern e cos() och e sin() kn hnters på liknnde sätt. Eempel 5.7 Låt oss eräkn π e sin d. En prtilintegrtion ger (här flyttr vi en derivt från eponentilfunktioen till sinus) π e sin d = [e sin ] π Version: 5 decemer 6 π e cos d. Integrlen i högerledet är tyvärr inte enklre än den vi örjde med, men om vi prtilintegrerr den en gång får vi π e cos d = [e cos ] π π e ( sin ) d. Sätter vi in dett i den först räkningen (här är det viktigt tt vi håller koll på tecknen!) så får vi π e sin d = [e sin ] π [e cos ] π π e sin d. Nu kn vi flytt över π e sin d från högerledet till vänsterledet och del med två, vrefter vi får

52 π e sin d = [ e sin ] π [ e cos ] π = ( + eπ ). Det är viktigt tt vi vid den ndr prtilintegrtionen flyttr en derivt till från e. Om vi yter roller så får vi r tillk det vi strtde med. Å ndr sidn hde det gått lik r tt flytt derivtor från den trigonometrisk funktionen, men då hde vi ehövt gör det vid åd prtilintegrtionern. Eempel 5.8 Uppgift 5.6 ) c) π π Om vi följer räkningrn i eempel 5.7 så finner vi tt e sin d = e sin e cos + C. Beräkn integrlern e cos d ) e sin d ( > ) d) π π e cos d e sin d (, > ) Vi skll inte glömm tt ett v vår mål är tt lös differentilekvtioner. Uppgift 5.7 Bestäm lösningen till differentilekvtionern ) u () u() = e cos, u() =. ) u () u() = e sin, u() =. 5.5 Blndde eempel Symmetrier Funktionen sin är udd, sin( ) = sin. Det inneär tt integrlen sin d = oeroende v >, eftersom (här delr vi upp integrlen och gör vrielytet u = i integrlen från till ) sin d = sin d + sin d = sin u du + sin d =. Även om den lgerisk räkningen ovn övertygr så kn det vr r tt rit en figur för tt förstå vd som händer. Av smm nledning är även integrlern d och π π cos d lik med. Uppgift 5.8 ) Beräkn följnde integrler med huvudräkning. d ) π π sin d c) Version: 5 decemer 6 3 (e + e ) d Ilnd kn räkningr förenkls då mn integrerr jämn funktioner. Eempel 5.9 Det gäller tt + sin 5 d = d = 4. Här hr vi i först steget nvänt tt sin 5 är udd och tt är jämn. Det senre medför tt vi får den dul integrlen över hlv intervllet, och där kn vi nyttj tt =. Vi visr ytterligre ett eempel där symmetrin är vitl, men svårre tt komm på. Läs och egrund (tt komm på dett får ses som överkurs). Eempel 5. π Vi skll eräkn integrlen sin + cos d. Det svår med denn integrl är produkten v med trigonometrisk termen. Vrielytet u = π ger dock π sin + cos d = π (π u) sin u + cos u du. Vi hr fått tillk smm integrl i högerledet, men med omvänt tecken. Vi flyttr över den termen till vänsterledet, delr med, och får π sin + cos d = π π sin + cos d = [ π rctn(cos ) ] π 4. = π

53 Rtionell funktioner Vi skll nu diskuter integrtion v rtionell funktioner, det vill säg funktioner på formen p/q där p och q är polynom. Vi kn lltid nt tt grden v p är lägre än grden v q, nnrs örjr vi med tt gör polynomdivision för tt uppnå den egenskpen. Eempel 5. 4 Vi kn redn hnter någr enkl fll, + d = [ln( + )] = ln, + d = [ ln( + ) = ln, (5.3) ] + d = [rctn ] = π 4. (5.4) Vidre, med hjälp v vrielyte och uppdelning kn vi återför A + B ( ) + C d till (5.3) och (5.4), vrför denn integrl i llmänhet kn dels upp i en del som ger en logritm och en som ger en rctn. Eempel 5. Vi eräknr d. Genom tt kvdrtkompletter nämnren och dder och sutrher 3 i täljren ser vi tt = + 3 ( + 3) ( + 3) + 6. Vi hnterr termern vr för sig, Med smm vrielyte i den ndr delen får vi (om vi ortser från minustecknet en stund) t + 6 dt = (t/4) + dt = 3 [ 4 rctn t 4] Sätter vi in gränsern och smmnställer får vi tt den ursprunglig integrlen lir (ln(4/5))/ (3 rctn(5/4) + 3 rctn(3/4))/4. Vi skll nu örj hnter ny fll. Eempel 5.3 I den logistisk modellen dyker en integrnd på formen /(( )) upp. Genom tt lägg till och dr ifrån i täljren får vi ( ) + = = ( ) ( ) +, (5.5) vrför det till eempel gäller tt 3 ( ) d = 3 + d = [ln ln( )] 3 = ln 4 3. Oserver tt vi här hr sett till tt rgumentet till logritmfunktionen är positivt. Den uppdelning vi hr gjort i (5.5) klls för en prtilråksuppdelning v /(( )). Om vi i stället läser från höger till vänster i (5.5) så ser vi tt vi stt termern på gemensm nämnre. Att prtilråksuppdel är lltså tt gör det omvänd. Uppgift 5.9 Prtilråksuppdel /((3 )) ( + 3) + 6 d = t = + 3 t = { dt = d } 3 t + 6 dt Metoden tt lägg till och dr ifrån termer lir inte lltid så överskådlig som ovn, och det är därför r tt h en generell metod som lltid ger 5 = [ ln(t + 6) = 4 ln ] 3 5. rätt uppdelning. Dett får mn genom tt etrkt nämnren. Enklst gör mn dett vi eempel. Version: 5 decemer

54 Eempel 5.4 Låt oss prtilråksuppdel Eempel 5.5 Vi prtilråksuppdelr (5.6) Vi örjr med tt fktoriser nämnren. Det gäller tt = ( )( 4) vrför den rtionell funktion vi skll prtilråksuppdel är + 3 ( )( 4). Nämnren estår v en produkt v två fktorer. Vi nsätter därför + 3 ( )( 4) = A + B 4 för någr konstnter A och B. För tt t red på A och B (om nu vår nsättning är lyckosm) så sätter vi sedn uttrycket i högerledet på gemensmt råkstreck. Vi får A + B A( 4) + B( ) = = 4 ( )( 4) 4A B + (A + B). ( )( 4) I det sist steget smlde vi ihop de konstnt delrn och koefficienten frmför för sig. För tt uttrycket i högerledet skll kunn vr lik med vårt ursprunglig så måste det gäll tt 4A B = och A + B = 3. Vi hr fått ett ekvtionssystem i A och B som vi kn lös. Den ndr ekvtionen ger tt B = 3 A och sätter vi in det i den först så lyder den 4A (3 A) =, dvs A = 5. Sätter vi in det i den ndr ekvtionen så får vi B = 8. Det gäller lltså tt = Uppgift 5. Bestäm ll primitiv funktioner till uttrycket i (5.6). Du kn nt tt > 4. Om en fktor förekommer fler gånger i nämnren så måste vi h med den fler gånger i nsättningen. + 3 ( ) ( 4). (5.7) Nämnren är redn fktoriserd, så vi örjr med tt nsätt A + B ( ) + C 4. Vi skriver uttrycket på gemensmt råkstreck igen, och får A( )( 4) + B( 4) + C( ) ( ), ( 4) vilket kn förenkls till 4A 4B + C + ( 5A + B C) + (A + C) ( ) ( 4) Vi jämför koefficienter i täljren med de i (5.7), 4A 4B + C =, 5A + B C = 3 och A + C =. Vi nvänder den tredje ekvtionen och ersätt C med A i de två först, vilket ger 3A 4B = respektive 3A + B = 3. Adders dess får vi nu 3B = 5 vrför B = 5. Men det ger A = 8/3 och således C = 8/3. Det gäller lltså tt Uppgift ( ) ( 4) = 8 3( ) 5 ( ) + 8 3( 4). 3 Beräkn integrlen + 3 ( ) ( 4) d. Uppgift 5. Vd händer om du gör en felktig nsättning? Test tt gör nsättningen + 3 ( ) ( 4) = A ( ) + B 4. Om det finns ndrgrdstermer i nämnren som inte kn fktorisers till förstgrdsfktorer nsätter vi ett förstgrdspolynom delt med ndrgrdstermen. Version: 5 decemer 6 7

55 Eempel 5.6 Vi prtilråksuppdelr 4 + ( ) ( + + ). Det gäller tt + + = ( + ) + som inte kn fktorisers i reell fktorer. Vi nsätter därför 4 + ( ) ( + + ) = + ( ) + c + d + +. Vi fortsätter som tidigre. Först ställer vi högerledet under gemensmt råkstreck och sedn smlr vi ihop termern och jämför koefficienter. Vi lämnr de lång räkningrn till dig. Uppgift 5.3 Vis tt = 6, =, c = 8 och d = 6. Använd sedn resulttet för tt estämm en primitiv funktion till funktionen 4 + ( ) (, ( > ). + + ) + d, < <. och gör därför vrielytet + t = = t t +. Således lir vi stt tt eräkn t + t t D t [ t + ] dt. Derivtn kn eräkns, men vi ser redn tt resulttet lir en rtionell funktion, vilken vi kn hnter med tidigre metoder. Uppgift 5.6 Utför räkningrn i eemplet ovn. Det kn orsk en del lidnde, men kn ses som krktärsdnnde. Uppgift 5.4 Beräkn integrlen Integrler med trigonometrisk uttryck d Integrnder med rotuttryck Det är nturligt tt yt vriel då ett rotuttryck + förekommer i integrlen. Uppgift 5.5 Bestäm + d då > genom tt inför den ny vrieln t = +. Hur ändrs resulttet om < <? Eempel 5.7 Vi vill estämm Vid integrering v funktioner innehållndes trigonometrisk funktioner finns en del knep tt tillgå. Vi visr någr v dem genom eempel. Eempel 5.8 Med vrielytet u = sin fås cos5 d = ( sin ) cos d = ( u ) du = u 3 u3 + 5 u5 + C = sin 3 sin3 + 5 sin5 + C. Dett fungerr för udd potenser v cos och sin (i det senre fllet sätter mn u = cos i stället). Eempel 5.9 Med jämn potenser kn det vr ättre tt nvänd formler för dul vinkeln, ilnd fler gånger, Version: 5 decemer 6 9

56 Uppgift cos cos4 d = ( ) d 3 = 8 + cos + cos 4 d 8 = sin + sin 4 + C. 3 Bestäm en primitiv funktion till ) sin 3 ) sin 4 c) sin cos Eempel 5.3 sin 3 d = Det gäller tt sin sin 4 d = sin ( cos ) d = ( u ) du. I det sist steget gjorde vi vrielytet u = cos vilket återförde vårt prolem till det tt eräkn en primitiv v en rtionell funktion. Vrielytet u = tn ger nu /(3 + 4u ) du vilken vi kn hnter med tidigre metoder. Metoden ovn är lite trickrtd. Vi visr härnäst ett vrielyte som får ll rtionell funktioner med trigonometrisk funktioner tt övergå i vnlig rtionell funktioner. Vrielytet u = tn(/) klls ilnd för Weierstrss vrielyte och resulterr lltid i en rtionell funktion. Vi visr med smm eempel som ovn. Eempel 5.3 Vi gör vrielytet u = tn(/) på eemplet ovn. Vi ehöver då dels kunn uttryck sin i u, men också yt d. Alltså, sin = sin((/)) = sin(/) cos(/) = tn(/) cos (/) = tn(/) + tn (/) = u + u, och så noterr vi tt = rctn u så d = /( + u ) du. Vi får Vi fortsätter med ett eempel som är lite lurigre. Eempel 5.3 Vi visr hur mn kn hnter + sin d, och örjr med tt förläng med konjugtet sin, + sin d = sin 4 cos d = 4 cos d sin 4 cos d. Den ndr kn vi klr med u = cos. För tt t hnd om den först nvänder vi först trigonometrisk ettn, 4 = 4 cos + 4 sin, och ryter sedn ut cos i nämnren, 4 cos d = 3 cos + 4 sin d sin cos d = sin d = cos + C. = cos tn d. Men sin (cos )/. Är något fel? Version: 5 decemer 6 + sin d = + u +u + u du = Vi lämnr det åt läsren tt fullfölj eräkningen. Uppgift 5.8 Uppgifter + u + u du. Bestäm smtlig primitiv funktioner till 3/(5 + 4 cos ). 5.9 Ett resultt v eempel 5. är tt sin cos d = sin + C. Om vi i stället örjt lösndet v uppgiften med tt nvänd identiteten sin cos = sin så hde vi fått

57 5. I denn uppgift nts > och u() =. Bestäm u om ) u () (/)u() = ) u () (/)u() = c) u () (/)u() = ln d) u () (/)u() = sin I d) får du nöj dig med tt svr med en integrl. 5. (, 53) Bestäm en primitiv funktion till ) + 6 c) + 6 ) + 6 d) rctn 5. För vilk värden på konstntern och gäller tt + ( )( + ) d är en rtionell funktion? 5.6 Bestäm störst värde för funktionen f() = t ( + t dt,. )( + t) 5.7 Bestäm konstnten så tt ( ) ln d =. 5.8 (3, 3) Lös egynnelsevärdesprolemet ( + )y + y = 3( + ), y() =. 5.9 (4, 54) Lös, då >, egynnelsevärdesprolemet y + + y =, y() = (, 44) Beräkn ren v det skuggde området i figur 5., vilket egränss v den rät linjen y = och kurvn y = cos. 5.3 (, ) Beräkn följnde primitiv funktioner: ) cos sin d ) d c) e d Figur (, 988) Beräkn integrlen 5.5 (, 556) d. ) Skriv upp och evis formeln för prtilintegrtion (utn gränser). Ge ett eempel där mn kn se direkt tt det är lämpligt tt nvänd prtilintegrtion för tt eräkn en primitiv funktion. Du ehöver inte gör själv räkningen. ) Låt f() = sin( ), R. Beräkn ren melln -eln och grfen till y = f(), då vrierr melln och det först positiv nollstället till f. 5.3 Beräkn ren v det (ändlig) område i y-plnet som egränss v linjen y = och funktionskurvn y = e. 5.3 Bestäm ren v en ellips med hlvlr och Lös uppgiften från eempel (3, 388) Beräkn integrlern ) ( + ) + d ) Version: 5 decemer 6 3 π/ π/3 sin d

58 5.35 Bestäm, på ett intervll som innehåller, en primitiv funktion till ) ( + ) 9 ) c) tn + tn d) cos + + För den sist är det lämpligt tt låt t = Använd prtilintegrtion för tt estämm ln ( + ) 3 d Avgör vilket v tlen π och /7 som är störst genom tt eräkn integrlen 4 ( ) 4 + d. Lös Ricctiekvtionen y = y y, y() =. genom tt först sätt y() = + /u() och sedn lös den linjär differentilekvtion du får för u. 5.4* Beräkn 5.43** Bestäm ** Bestäm rctn + d. d Jerrn och Klln jämför svr från en tent, där uppgiften vr tt estämm sin d. Jerrn svrde ln( sin )+C och Klln svrde cos /( sin )+C. Hr någon rätt svr? Hur skulle du själv lös uppgiften? 5.39 (3, 85) Låt l vr tngenten till kurvn y = ln i punkten med -koordint. Bestäm en ekvtion för l. Bestäm sedn ren v det område i y-plnet som egränss v l smt kurvorn y = ln och y =. 5.4* Antg tt < <. Beräkn e / e / d. 5.4* En Ricctiekvtion kn skrivs på formen (här är f, f och f givn funktioner) y () = f () + f ()y() + f ()y(). 5.45** ( + + ) d. ) Vilken v följnde integrler är störst, π/ π/ ) Beräkn integrlern. cos 6 t cos 6 t + sin 6 t dt, sin 6 t cos 6 t + sin 6 t dt? eller 4 Version: 5 decemer 6 5

59 Först ordningens differentilekvtioner smt integrlekvtioner kpitel 6 6. Differentilekvtioner v ordning ett Vi kommer fortsättningsvis tt studer differentilekvtioner på formen u (t) = f(u(t), t), u(t ) =. (6.) Om f kn skrivs på formen f(u(t), t) = (t)u(t) + h(t) så får vi precis de linjär differentilekvtionern som vi studerde i vsnitt 4., och som vi sett tt vi lltid kn lös med integrernde fktor. Eistens v lösning För llmänn differentilekvtioner u (t) = f(u(t), t) är situtionen inte lik enkel. Vi hr inte definiert vd som mens med kontinuitet hos funktioner som eror på fler vriler (f ovn eror på två, u och t), men Penos eistenssts säger tt kontinuitet hos f är tillräckligt för tt grnter eistens v lösning. u t Figur 6. 6

60 I figur 6. hr vi ritt ut riktningsfältet hörnde till u = u( u) cos t, (6.) tillsmmns med tre lösningskurvor (hörnde till tre olik egynnelsevärden). Från riktningsfältet verkr det vr fllet tt det genom vrje punkt (t, u) går en lösningskurv. Det gäller tt f(u, t) = u( u) cos t är kontinuerlig, så Penos sts ger verkligen det. Entydighet För tt vr säker på tt få entydighet hos lösningr är det inte tillräckligt med kontinuitet. Vi ger ett eempel. Eempel 6. Begynnelsevärdesprolemet u (t) = u(t), u() =, (6.3) hr oändligt mång lösningr. Låt nämligen < och >. Då är vrje funktion på formen (t ), t <, u(t) =, t, (t ), t >, fktiskt en lösning (se figur 6.). u (6.4) Uppgift 6. Vis tt u i (6.4) verkligen är en lösning till (6.3). Prolemet i eemplet ovn är tt funktionen u u inte är tillräckligt reguljär i u = (se figur 6.3). Om det däremot gäller tt f är deriverr (med vseende på ägge vrilern vr för sig) så är lösningen till (6.) (tillsmmns med ett ivillkor!) grntert entydig. Deriverrhet är onödigt strkt, den som vill vet hel snningen uppmns tt läs om Lipschitzvillkor och Picrd Lindelöfs sts. För (6.) är det dock inget prolem, eftersom f(u, t) = u( u) cos t deriverr. Vi skll fokuser på ett pr speciell typer v högerled f som hr en form som gör tt vi kn lös (6.). Vi skll örj med f som r eror på funktionen u och inte på t för tt sedn ehndl det fll då f är en produkt f (u)f (t). Prolemet med icke-entydighet kn uppstå i dess fll (eemplet ovn är ju ett sådnt), men vi skll undvik det. Autonom differentilekvtioner Differentilekvtioner på formen u (t) = f(u(t)) (6.5) klls utonom. För tt lös dess nvänder vi kedjeregeln. Vi visr med ett pr eempel hur det går till. Eempel 6. Vi estämmer lösningrn till u (t) = + u(t). Här är f(u) = + u. Eftersom + u(t) kn vi del med det, vilket ger u (t) =. + u(t) Men, med kedjeregeln (klänges om mn så vill) gäller Figur 6.3 Figur 6. t d dt rctn u(t) = u (t) =. + u(t) Integrering ger därför rctn u = t + C, vrför u = tn(t + C). För tt lös en utonom differentilekvtion u = f(u) ehöver vi lltså estämm en primitiv funktion till /f(u) (med vseende på u). Under förutsättningen tt f(u) så gäller lltså 8 Version: 5 decemer 6 9

61 u = f(u) du = t + C. f(u) Eempel 6.3 Vi löser u = u(3 u) med ivillkor u() =. Här vill vi del med u(3 u), och det kn vi gör om u och u 3. Eftersom u() = så orde vi i vrje fll kunn del med u(3 u) för små t, och så får vi h i åtnke tt den lösning u vi får skll uppfyll < u < 3. Prtilråksuppdelningen i räkningen nedn gjorde du i uppgift 5.9. Vi estämmer en primitiv, u(3 u) du = 3 u + 3 u du = 3 ln u 3 u. Dett skll enligt diskussionen ovn vr lik med t + C. Genom tt sätt in t = och u = får vi tt C = (ln(/))/3. Vi löser ekvtionen och får u(t) = 3/( + e 3t ). Lösningen är definierd för ll t > och den väer upp mot jämviktsläget 3 då t. Jämför dett med eempel.8. Grfen till u är ritd i figur.8. Uppgift 6. Lös de utonom differentilekvtionern nedn. ) u = e u ) u = e u Vi integrerr (med vseende på t förstås) och får rctn u(t) = + u(t) u (t) dt = t dt = t + C, vrur det följer tt u(t) = tn(t / + C). Om f(u, t) = f (u)f (t) och f (u) kn vi skriv u (t) = f (u(t))f (t) f (u) du = f (t) dt. Eempel 6.5 Vi löser differentilekvtionen u = + t + u + tu med egynnelsevillkor u() =. Först ser knske differentilekvtionen inte seprel ut, men fktoriseringen + t + u + tu = + t + u( + t) = ( + u)( + t) ger tt den fktiskt är det. Således, om u > så skll det gäll tt + u du = + t dt. Uppgift 6.3 Diskuter hur lösningrn till nednstående utonom differentilekvtioner eter sig då t väer om u() = u. ) u (t) = u(t) + u(t) ) u (t) = 3u(t) + u(t) Seprl differentilekvtioner Om funktionen f = f(u, t) i högerledet kn skrivs som en produkt v en funktion v u och en funktion v t så säger vi tt differentilekvtionen u = f(u, t) är seprel. Lösningsmetoden för dess är densmm som för de utonom, och vrje utonom differentilekvtion är även seprel. Vi räknr ett eempel. Eempel 6.4 Vi löser differentilekvtionen u = t( + u ) och örjr med tt del med + u (som är nollskilt), Integrtion ger ln( + u) = t + t / + C och stoppr vi in t = och u = får vi C =. Vi kn lös ut u, och får u(t) = + e t+t /. Uppgift 6.4 y() =. Lös differentilekvtionern nedn. I smtlig fll nts ) yy = 3 ) 3y y = c) yy = 3 d) y y = 6. Integrlekvtioner Vi hr redn sett i tt differentilekvtioner hänger tätt smmn med integrler. Ilnd får mn i stället servert en integrlekvtion, dvs en ekvtion där den oeknt funktionen ingår i integrnden på något vis. Eempel 6.6 (6, 39) Bestäm ll kontinuerlig funktioner f som + u(t) u (t) = t. uppfyller integrlekvtionen Version: 5 decemer 6

62 f() = 3 ln + + f(t) dt, då. + t Om f är kontinuerlig och uppfyller integrlekvtionen ovn så gäller det tt högerledet är deriverrt, vrför även vänsterledet måste vr det. Alltså är f deriverr. Deriverr vi får vi tillk en differentilekvtion, f () = f() +. (6.6) Men vi får mer informtion ifrån integrlekvtionen. Stoppr vi in = så får vi tt f() = 3 ln + f(t)/( + t) dt =, dvs ett ivillkor. Differentilekvtionen (6.6) är linjär v först ordningen och löses med integrernde fktor. Resulttet lir f() = C( + ) 3. Vidre ger f() = tt C = 3 vrför f() = 3. Uppgift 6.5 Lös differentilekvtionen i (6.6). Uppgift 6.6 Uppgift 6.7 Uppgifter Bestäm ll kontinuerlig funktioner y sådn tt y() = + y(t) dt. Lös integrlekvtionen f() = + t f(t) dt,. + t 6.8 Lös y = y, dels då y() =, dels då y() =. 6.9 Lös differentilekvtionern ) u = (u ), u() = ) y = y y, >, y() = 6. (3, 944) Lös egynnelsevärdesprolemet y = y, y() =. 6. (3, 959) Lös egynnelsevärdesprolemet y = y cos sin, y() =. 6. Lös differentilekvtionen i (.3). Du kn nt tt h() = h och tt h () =. [Tips: Börj med tt inför v(t) = h (t) och estäm v.] 6.3 En kropp med mssn kg glider på ett plnt friktionsfritt underlg. När kroppen hr hstigheten v m/s utsätts den för en romsnde krft (luftmotståndet) som hr storleken 5v N. Använd Newtons krftekvtion för tt ställ upp en differentilekvtion för kroppens hstighet. Lös differentilekvtionen i det fll då egynnelsehstigheten är 3 m/s. 6.4 Under vis omständigheter dimerisers utdien (C 4 H 6 ) enligt formeln C 4 H 6 C 8 H. Dett sker med en hstighet som är proportionell mot kvdrten på koncentrtionen. Om koncentrtionen v utdien vid tiden t = är c > och proportionlitetskonstnten är k, hur vrierr då koncentrtionen c med tiden? 6.5 (3, ) Ett föremål i rörelse nts h en retrdtion som är proportionell mot kvdrten på hstigheten. Det tr tiden t s tt minsk hstigheten från m/s till 9 m/s. Hur lång tid tr det tt minsk hstigheten från m/s till 8 m/s? 6.6 (, 63) Lös egynnelsevärdesprolemen: ) y = + y, y() =. ) y = y, y() =. 6.7 Lös differentilekvtionen i eempel 6.5 med hjälp v integrernde fktor. Det en lösningssättet ehöver inte uteslut det ndr. 6.8 (, 39) Lös differentilekvtionen y (t) = t tn(y(t)), t > dels med egynneslevillkor y() = π/4 och dels med y() =. 6.9 Gå tillk till uppgift. och lös differentilekvtionen i (.5). Version: 5 decemer 6 3

63 6. (4, 385) En vrm kropp som plcers i en kllre omgivning med konstnt tempertur svlnr med en hstighet som är proportionell mot skillnden melln kroppens och omgivningens tempertur (Newtons vsvlningslg). ) Skriv upp en differentilekvtion som eskriver denn vkylning. ) En kropp som från örjn hde temperturen 6 C hr efter två minuter i rumstempertur ( C) svlnt till 5 C. Efter ytterligre hur lång tid är kroppens tempertur 3 C? 6. (6, 43) För en viss kteriekultur vet mn följnde: Miml ntlet kterier är M miljoner, där M =. Vid en godtycklig tidpunkt t dygn (räknt från någon strttid t = ) är ntlet kterier y(t) miljoner, där y(t) ändrs med en hstighet som är proportionell mot produkten v y(t) och M y(t). Vid tiden t = är ntlet kterier miljon. Efter ett dygn är kterientlet miljoner. ) Ställ upp en differentilekvtion för y(t). ) Lös differentilekvtionen och estäm proportionlitetskonstnten. c) Kontroller tt lim t y(t) = M. 6. (6, 539) I en urk finns en popultion med urdjur. Från och med en viss tidpunkt tillförs kterier som föd, med ett konstnt flöde. Det oservers tt popultionen med urdjur tillsmmns slukr kterier med en hstighet som vid vrje tidpunkt är proportionell mot kvdrten v kterierns ntl. Inför lämplig eteckningr och ställ upp en differentilekvtion som eskriver situtionen för kteriern. Kommer ntlet kterier i urken tt stilisers efter lång tid? 6.4 Bestäm ll kontinuerlig funktioner f sådn tt f() = + tf(t) dt, R. + t 6.5 En kropp med mssn m kg glider på ett plnt och friktionsfritt underlg. När kroppen hr frten v m/s utsätts den för en romsnde krft som hr storleken kv α N, där k och α är konstnter. ) Använd krftekvtionen för tt ställ upp en differentilekvtion för kroppens hstighet. Lös differentilekvtionen, om α och om v() = v. ) Bestäm konstnten k, om α = 3/, m =, v = och hstigheten vid tiden 4 s är 5 m/s. 6.6 (5, 556) ) Vis tt funktionen f() = ln(ln ) är vände då >. ) Vid modellering v storleken på tumörer nvänds ilnd Gompertz differentilekvtion, R (t) = R(t) ln R(t) k Här etecknr R(t) tumörens rdie som funktion v tiden och k är en positiv konstnt. Vd händer med R(t) efter lång tid om R() = k/? 6.7* En projektil skjutes rkt uppåt med utgångshstighet v m/s. Mn kn räkn med tt tyngdkrftens ccelertion är m/s och tt luftmotståndet orskr en retrdtion v.5 4 v m/s. Hur högt når projektilen och hur lång tid hr skytten på sig innn den ör flytt på sig? 6.3 Sök ll kontinuerlig lösningr y till y() e y(t) t dt = och nge dess störst möjlig definitionsmängder. 4 Version: 5 decemer 6 5

64 Generliserde integrler kpitel 7 7. Introduktion Vi hr hittills ntgit tt de funktioner vi integrerr är egränsde. Vi hr dessutom ntgit tt intervllet vi integrerr över är egränst. Ilnd stöter mn på fll där det är nturligt tt släpp på minst ett v dess ntgnden. Eempel 7. Vi eräknr integrlen från eempel 5.5 igen, den här gången med prtilintegrtion, och ett nvändrt trick. t dt = D(t) t dt = [t t ] t t t dt t = dt (7.) t = t dt + t dt. Oserver tt vi hr fått tillk den integrl vi strtde med i högerledet, men med omvänt tecken. Vi kn därför flytt över den till vänsterledet och del med, vilket ger t dt = t dt = [ rcsin t] = π 4. Regerde du på något? Funktionen t / t är fktiskt inte egränsd på intervllet [, ]. Den är inte ens definierd för t =. Den räkning vi gjorde ovn, dett fktum till trots, verkr h gått r. Vi fick 6

65 smm svr som i eempel 5.5, och eftersom det representerr ren v en kvrts cirkelskiv med rdie, så orde vi vr nöjd. I vsnitt 7. studerr vi integrler där integrnden är oegränsd och utvidgr integrlegreppet så tt fll som det ovn inkluders. Eempel 7. Newtons grvittionslg säger tt storleken F på jordens drgningskrft på en kropp med mssn m på vståndet r från jordens medelpunkt är (riktningen är in mot centrum) 8 F(r) = mgr r, r R. Det rete som går åt tt lyft denn kropp till höjd X ges v integrlen X R F(r) dr. Det rete som går åt för tt frigör kroppen från jordens drgningskrft svrr mot gränsvärdet X, dvs det rete som går åt då vi lyfter kroppen oändligt långt ort. Det är frestnde tt skriv dett rete som R F(r) dr. Vi vill lltså integrer över ett oändligt intervll. Dett kommer vi tt gör i vsnitt 7.3. I ägge fll (oegränsd integrnd respektive och intervll) kommer vi tt kp intervllet som vi integrerr över så tt vi får en integrl v en egränsd funktion över ett egränst intervll. Sedn definierr vi respektive generliserde integrl som gränsvärdet då intervllet väer mot det önskde. Precis som tidigre då vi studert gränsvärden så uppstår konvergensfrågn. Det etyder tt en generliserd integrl kn vr konvergent eller divergent. Vi kommer tt diskuter dett nedn. 7. Oegränsd integrnd Vi tänker oss nedn tt f är oegränsd när den vänstr ändpunkten på intervllet. Eempel på sådn funktioner är /, /, och / på intervllet (, ], och vi säger tt de är generliserde i. Antg tt och är reell tl och tt funktionen f är definierd på det hlvöppn intervllet (, ] och tt f dessutom är integrerr (och därför egränsd) på vrje delintervll [ + ϵ, ], ϵ >. Vi säger tt den generliserde integrlen f() d är konvergent precis då gränsvärdet lim ϵ + +ϵ f() d eisterr, och vi tilldelr då f() d dett gränsvärde. Oserver tt vi nvänder smm eteckning, f() d, som tidigre. Om gränsvärdet inte eisterr så säger vi tt den generliserde integrlen f() d är divergent. Integrlen sägs vr generliserd i punkten. Vi gör motsvrnde definition i det fll f är oegränsd när den högr ändpunkten men integrerr på vrje delintervll [, ϵ] (då säger vi tt integrlen är generliserd i ). Eempel 7.3 ) Integrlen / d är generliserd i och konvergent, ty ϵ d = [ ] ϵ = ϵ då ϵ +. Intgrlens värde är. ) Integrlen / d, även den generliserd i, är divergent ty ϵ då ϵ +. Uppgift 7. konvergent? d = [ ] = ϵ ϵ För vilk p är den generliserde integrlen /p d Vi kn nu gör räkningen i eempel 7. ordentligt. Eempel 7.4 Vi ersätter den övre gränsen med ϵ, där vi tänker oss < ϵ <, i hel räkningen i (7.), och får (oserver tt en v de utintegrerde termern som lev noll inte längre lir det) Version: 5 decemer 6 9

66 3 ϵ Det följer tt ϵ ϵ t = ( ϵ) ( ϵ) t dt + ϵ t dt. t dt = ϵ ( ϵ) + ϵ t dt = ϵ ( ϵ) + rcsin( ϵ). π 4 då ϵ +, vrför vi åter drr slutstsen tt d = π/4. Vi understryker än en gång tt integrnden vi strtde med fktiskt är kontinuerlig och egränsd på intervllet [, ]. Det vr först då vi prtilintegrerde som det dök upp en oegränsd funktion. Även om den i dett fllet vr hrmlös så ör mn i llmänhet vr uppmärksm på fenomenet. Uppgift 7. I vilken punkt är ln d generliserd? Vis tt den är konvergent och eräkn dess värde. 7.3 Oegränst intervll Vi inspirers v eempel 7. ovn och gör följnde definition. Antg tt funktionen f är definierd för ll och tt f är integrerr på vrje intervll [, X] för X >. Vi säger tt den generliserde integrlen f() d är konvergent precis då gränsvärdet lim X X f() d eisterr. Annrs är den divergent. Om f() d är konvergent så tilldelr vi den det tl som erhålls i gränsvärdet. Vi säger tt integrlen är generliserd i. Motsvrnde definition kn görs för integrler som är generliserde i, eller för integrler över hel R. Eempel 7.5 X R Vi fortsätter nu med eempel 7.. Vi eräknr integrlen F(r) dr = X R Låter vi X får vi lim X X R mgr r F(r) dr = mgr. dr = mgr [ r ] Version: 5 decemer 6 3 X R = mgr mgr X. Det gäller lltså tt integrlen R F(r) dr är konvergent med värde mgr. Det totl retet som krävs tt lyft en kropp med mss m ort från jordens drgningskrft är lltså mgr. Av räkningen ovn följer det tt / d är konvergent med värde, vilket du gärn kn verifier. Eempel 7.6 Integrlen / d är generliserd i, och den är divergent. Det gäller nämligen tt X då X. d = [ ] X = X Uppgift 7.3 För vilk p är integrlen / p d konvergent? Uppgift 7.4 Vis tt e k d är konvergent för ll k >. Vd lir dess värde? Proposition 7. Egenskpern i sts.5 gäller även då de ingående integrlern är konvergent generliserde integrler. Bevis Dett följer v räkneregler för gränsvärden.

67 7.4 Jämförelsekriterier Monotoniciteten hos integrler, sts.5 del iv) säger tt om f g på ett intervll [, ] så är f() d g() d. Dett kn vi nvänd för tt vis följnde jämförelsests för generliserde integrler, vilken vi endst formulerr i fllet med oändligt intervll. Proposition 7. (Jämförelsekriterie) Antg tt f och g ägge är integrerr på vrje intervll v typ [, X], för X >. Antg vidre tt g() f(). Om f() d är konvergent så är även g() d det. Bevis 3 För vrje X > gäller det tt X X g() d f() d f() d Eftersom den generliserde integrlen f() d är konvergent så följer det tt X X g() d är vände (eftersom g ) och uppåt egränsd. Därför eisterr gränsvärdet lim X X f() d (dett är en följd v supremumiomet). Eempel 7.7 Det gäller tt /(4 + ) d är konvergent. För tt vis det skriver vi först X 4 + d = 4 + d + X d. (7.) 4 + Den först integrlen är inte generliserd. För den ndr så noterr vi tt /(4 + ) < / då. Eftersom vi tidigre hr notert tt / d är konvegent så följer det från jämförelsekriteriet ovn tt /(4+ ) d också är konvergent. Men då följer det v (7.) tt även /(4 + ) d är konvergent. (I dett fllet hde vi även kunnt se det genom tt eräkn integrlen.) Om vi negerr påståenden i proposition 7. kn vi även nvänd den för tt vis tt integrler divergerr. Vi kn nämligen dr slutstsen tt f() d är divergent om g() d är det. Vi ger ett eempel. Eempel 7.8 Det gäller tt integrlen /( ) d är divergent. Det gäller nämligen tt /( ) = /( /) > / för ll och integrlen / d är divergent (vilket du hr vist i uppgift 7.3). Eempel 7.9 Försök (men inte för länge) tt vis tt /( ) d är konvergent. För stor är /( ) / och vi vet tt / d är konvergent, så vår integrl orde vr konvergent. Men om vi vill gör en uppskttning så går det åt fel håll eftersom /( ) > /. Det som vgör konvergensen hos en generliserd integrl f() d är eteendet hos integrnden f för stor. Om funktionen är positiv för stor kn följnde resultt oft nvänds då konvergensfrågn skll esvrs. Proposition 7.3 Antg tt f och g är definierde för, och tt de är integrerr på vrje intervll v typ [, X] för X >. Antg vidre tt f och g är positiv om är tillräckligt stort och tt gränsvärdet f() lim g() eisterr och är nollskilt. Då är f() d konvergent om och endst om g() d är konvergent. Innn vi ger eviset återkommer vi till integrlen i eempel 7.9, vrs konvergens nu följer omedelrt. Eempel 7. Det gäller tt /( lim ) / = lim ( + ) =. Vidre är åde /( ) och / positiv för stor (för ll fktiskt). Eftersom vi sedn tidigre vet tt / d är konvergent så följer det tt /( ) d också är det. Bevis (v proposition 7.3) Låt A = lim f()/g(). Då är A > eftersom f och g nts vr positiv. Enligt gränsvärdesdefinitionen finns det ett ω så tt > ω medför tt Version: 5 decemer 6 33

68 34 A < f() g() < 3A. Det inneär tt det för vrje X > ω gäller tt A X ω X g() d f() d 3A ω X ω g() d. Men dett etyder enligt proposition 7. tt ω f() d är konvergent om och endst om ω g() d är det. Bidrget från intervllet [, ω] ändrr inte på konvergensen. Alltså är endst om g() d är det. Eempel 7. f() d konvergent om och Det gäller tt den generliserde integrlen 3 + e + 4 d är divergent. Integrnden är kontinuerlig och positiv för ll och för stor dominerr 3 i täljren och 4 i nämnren, vrur det följer tt 3 + e + 4 / då. Påståendet följer nu v tt / d är divergent. Uppgift 7.5 Avgör huruvid nednstående generliserde integrler är konvergent eller divergent. ) + d ) d c) e e + d Uppgift 7.6 Formuler ett jämförelsekriterie (på gränsvärdesform) som kn nvänds på generliserde integrler på ändlig intervll [, ] där integrnden är oegränsd. Använd det sedn för tt vgör om nednstående integrler är konvergent eller divergent. ) + 4 d ) π sin d c) e ln d 7.5 Fler generliseringr Integrler kn vr generliserde i fler punkter (och dessutom kn intervllet vr oegränst). I stället för tt ge en strikt definition v vd vi menr med konvergens så etrktr vi ett eempel. Eempel 7. Integrlen ( ) d är generliserd i och. Dessutom är intervllet som vi integrerr över oegränst. Vi utvidgr konvergensegreppet till dett fll genom tt säg tt integrlen är konvergent precis då de fyr integrlern ( ) d, ( ) d och ( ) d, ( ) d ll är konvergent (här är < < < < ). Dess värde lir i förekommnde fll summn v integrlern ovn. För tt integrlen skll vr divergent så räcker det lltså tt en v de fyr integrlern är divergent. Uppgift 7.7 Vis tt den generliserde integrlen /(( )) d är divergent och tt det därmed även gäller tt /(( )) d är divergent. Eempel 7.3 Vi visr tt integrlen e / d är konvergent. Integrlen generliserd i och intervllet är oegränst. Vi etrktr därför integrlern (här hde vi kunnt del vid vilket positivt tl som helst, men känns nturligt) e d, och e d. (7.3) Den först integrlen är endst generliserd i och eftersom e / Version: 5 decemer 6 35

69 då + och / d är konvergent ger jämförelsekriteriet på gränsvärdes form tt även e / d är konvergent (oserver tt vi hr tt gör med positiv funktioner). För e / d kn vi kominer olikheten e / e (giltig för ), uppgift 7.4 (det är inget prolem tt integrlen där hr undre gräns ) smt jämförelsekriteriet i proposition 7. för tt dr slutstsen tt den är konvergent. Eftersom ägge integrlern i (7.3) är konvergent så följer det tt integrlen e / d också är det. Som kurios kn nämns tt dess värde är π, se ppendi B för mer diskussion om denn integrl. Uppgifter 7.8 (4, 944) Beräkn den generliserde integrlen 36 ln( + e ) e d. 7.9 (6, 988) Rit kurvn y = H(), R, där H() = t + dt. Ledning: Beräkn först integrlen för >, nvänd sedn resulttet för tt få H() även för negtiv. Glöm inte tt rit grfen! 7. (6, 7) Låt S vr det område som ligger ovnför den positiv -eln, men under kurvn y = /( + e ), <. Bestäm tlet så tt linjen = delr upp området S i två lik stor delr. 7. (6, 48) Beräkn den generliserde integrlen d (4 + ) 3/ med hjälp v vrielsustitutionen = tn t. 7. (4, ) Beräkn rctn d. 7.3 (, 39) Beräkn integrlern nedn. ) c) π/4 e sin sin d ) (ln ) d 7.4 Vis olikhetern nedn. ) e + sin d ) 7.5 (6, 556) Beräkn integrlen Version: 5 decemer 6 37 d ( + )( + ) 3 + ln d + d. 7.6* Givet tt e d = π/ (se ppendi B), eräkn 7.7* Givet tt ) e cosh d. sin sin d ) d = π, eräkn sin 4 d c) 7.8* Beräkn den generliserde integrlen 5 7.9** 3 sin 4 4 d d. (5 )( 3) ) Antg tt f är kontinuerlig på R och tt den generliserde integrlen f() d eisterr. Vis tt ) Beräkn integrlen f() d = f ( ) d. 4 + d.

70 Tillämpningr v integrler kpitel 8 8. Introduktion Vi skll nu ge någr tillämpningr där integrler kommer in. Vi örjr med prolemet tt gör uppskttningr v summor. Tck vre nlysens huvudsts är det i llmänhet lättre tt eräkn integrler än summor. Vi definierde integrler genom tt etrkt under- och överintegrler. Dess vr i sin tur fktiskt definierde i termer v summor. Det ör därför inte vr någon större överrskning tt vi kn gör uppskttningr v summor genom tt eräkn integrler. Summor med oändligt mång termer klls som eknt för serier. De kn konverger eller diverger och ilnd kn generliserde integrler nvänds för tt vgör vilket som gäller. Vi skll sedn nvänd oss v Riemnnsummor (se vsnitt.) som motivtion för tt definier längd v kurvor smt re och volym hos rottionskroppr. Vi diskuterr även mss och tyngdpunkt. 8. Uppskttning v summor och serier Summor Antg tt f är en positiv och vtgnde funktion på intervllet [, ) och tt f är integrerr på [, X] för ll X >. Låt vidre n N och k n. Då är f(k + ) f() f(k) för ll [k, k + ] vrför k+ f(k + ) f() d f(k). k Adderr vi dess olikheter för k =,, n får vi 38

71 4 n f() + f(3) + + f(n) f() d (8.) Med eteckningrn f() + f() + + f(n ). n s n = f() + f() + + f(n) och I n = f() d (8.) hr vi lltså slutit oss till tt I n + f(n) s n I n + f(). (8.3) Eempel 8. Låt oss uppsktt summn k= /k. Med f() = / (som är vtgnde då ) och n = får vi enligt (8.3) I + f() s I + f(). En räkning ger Alltså gäller det tt d = [ ] = k k= En gnsk kss uppskttning om vi skll vr ärlig. Anledningen är tt skillnden melln ren v de först stplrn och motsvrnde integrl är reltivt stor. Eempel 8. Uppskttningen i föregående eempel lir ättre om vi strtr integrluppskttningen från 3 i stället för. Nckdelen är tt vi måste eräkn fler termer i summn. Resulttet lir d , vilket skll jämförs med (8.). På smm sätt som tidigre ger dett uppskttningrn d k k= I vänsterledet står ungefär.58 och i högerledet står.68. Serier Version: 5 decemer d. Vi skll nu ge villkor på funktionen f som inneär tt serien k= f() är konvergent precis då den generliserde integrlen f() d är konvergent. Proposition 8. (Cuchys integrlkriterium) Antg tt f är en positiv och vtgnde funktion på [, ) och tt f är integrerr på vrje delintervll [, X], X >. Då är f() d konvergent om och endst om serien k= f(k) är konvergent. Bevis Vi etrktr följden ( n ), där n = s n I n (se (8.)). Enligt (8.3) är n f(n). Dessutom är n n = (s n s n ) (I n I n ) = f(n) n n f() d. Alltså är tlföljden ( n ) vtgnde och nedåt egränsd. Det följer från teorin för reell tl (typisk följd v supremumiomet) tt tlföljden ( n ) konvergerr mot något sådnt tt f(). Alltså gäller det tt följdern s n och I n ntingen åd konvergerr eller åd divergerr (mot ) då n. Eempel 8.3 ) Det gäller tt serien k= /k är konvergent (dess värde är π /6, men det ligger utnför vår kurs tt vis det) eftersom integrlen / d är konvergent (se eempel 7.5). ) I eempel 7.6 visde vi tt integrlen / d är divergent. Cuchys integrlkriterium ger tt serien k= / k divergent.

72 Eempel 8.4 Genom tt låt f() = / följer det tt den så kllde Hrmonisk serien + / + + /n är divergent. Det gäller ju nämligen tt / d är divergent, n / d = ln n då n. Argumentet i eviset ovn ger dock tt gränsvärdet lim n ( n ln n ) eisterr, och är melln och. Eulers konstnt γ definiers som dett gränsvärde. Det gäller tt γ.577, och som kuriositet (för oss!) kn det nämns tt det fortfrnde (6) är ett öppet prolem tt vgör om γ är ett rtionellt tl eller ej. Uppgift 8. eisterr. lim n ( Riemnnsummor Använd f() = / för tt vis tt gränsvärdet n n ) n k= 4 + (k/n) n = n k= 4 k + (k/n) ( n k n ). Här hr vi erhållit en Riemnnsumm för funktionen f() = 4/( + ) på intervllet [, ], hörnde till indelningen k = k/n. Alltså är lim Uppgift 8. n n k= 4n k + n = 4 d = 4 rctn = π. + Beräkn nednstående gränsvärden. α + α + + n α ) lim n n α+, α > ) lim n ( n + + n n + n) 8.3 Kurvlängd Antg tt funktionen f hr en kontinuerlig derivt på intervllet [, ]. Vi skll definier längden v kurvn y = f(),. Vi hr tidigre etrktt Riemnnsummor, n k= f(ξ k )( k k ). k k Figur 8. Ilnd kn viss summor ses som Riemnnsummor, och vi kn eräkn motsvrnde serie (dvs då vi låter n ) genom tt eräkn en integrl. Oft tänker vi oss då tt k k = /n, dvs tt indelningen är likformig. Dessutom rukr ξ k ntingen vr k eller k. Vi ger ett eempel. Antg tt = < < < n = är en indelning v intervllet [, ]. På vrje delintervll ersätter vi y = f() med den rät linje som smmninder ( k, f( k )) och ( k, f( k )), se figur 8.. Längden v dett linjestycke lir enligt Pythgors sts Eempel 8.5 Summn ( k k ) + (f( k ) f( k )). 4 n k= kn skrivs 4n k + n Om indelningen är tillräckligt fin så orde dett uttryck vr ett hyggligt närmevärde till längden v kurvn y = f() på [ k, k ]. Ett närmevärde till den totl längden orde vi lltså få genom tt summer, Version: 5 decemer 6 43

73 44 n k= ( k k ) + (f( k ) f( k )). Dett kn tolks som en Riemnnsumm. För tt se det örjr vi med tt ryt ut k k, vilket ger n f( k ) f( k ) + ( k= k k ) (k k ). Enligt medelvärdesstsen är f( k ) f( k ) = f (ξ k )( k k ) för något k < ξ k < k. Alltså är längden v ll linjestycken n k= + (f (ξ k )) ( k k ). Dett är fktiskt en Riemnnsumm, och då indelningen görs finre så konvergerr den mot integrlen + (f ()) d. Vi tr denn integrl som definition v längden v kurvn y = f() då vrierr melln och. Det rgument som vi nyttjt ovn då vi pproimert och nvänt Pythgors sts grnterr inte tt det verkligen är det vi tänker oss som längden v kurvn som vi erhåller. Egentligen kn mn tyck tt det minst vi orde h gjort innn vi definierde längden med hjälp v integrlen skulle vr tt se tt det verkr stämm i någr enkl eempel. Låt oss gör det nu. Eempel 8.6 ) Låt f() = c vr en konstnt funktion. Längden v kurvn y = f(), då är. Eftersom f () = så får vi längden som integrlen + d =. ) Längden v den rät linjen y = k + m,, lir vd den orde, nämligen (här är dy/d = k) + k d = + k ( ). Dett är vd vi förväntr oss, eftersom längden ges v hypotenusn i en rätvinklig tringel med ktetern och k( ). c) Omkretsen v en cirkel med rdie R lir πr. Vi nvänder ett litet trick och eräknr längden v kurvn y = R då vrierr melln och R/. Dett gör vi för tt slipp undn en generliserd integrl vid = R. Vi får multiplicer resulttet med 8 eftersom vi endst etrktr en åttondedel v cirkeln. Det gäller tt D R = / R vrför + (y ) = + R = R R. Längden v hel cirkeln lir därför 8 R/ + (y ) d = 8 R/ Version: 5 decemer 6 45 R R d = 8[R rcsin(/r)] R/ = πr. Vi sluter oss till tt vår definition fungerr i någr enkl fll. Uttrycket + (f ()) är förhållndevis komplicert, och det inneär tt det för mång v de enklste funktionern fktiskt inte går tt eräkn längden i termer v elementär funktioner. Därför kn de eempel som ges nses vr lite krystde. Vi inför det så kllde ågelementet ds = + (f ()) d. Längden v kurvn lir då ds, vilket mn kn se som en oändlig summ v små ågelement. Uppgift 8.3 Beräkn längden v preln y =,. Uppgift 8.4 Beräkn längden v kurvn y = cosh,. 8.4 Rottionsre Rottion kring -eln Antg tt f är en funktion med kontinuerlig derivt på [, ]. Då kurvn y = f() roters ett vrv kring -eln uppstår en rottionsyt. Vi skll ge ett uttryck för ren för denn yt.

74 Vi etrktr därför indelningr = < < < n = Uppgift 8.5 Beräkn ren v den rottionsyt som uppstår då kurvn y =, 4 roterr kring -eln ett vrv (se figur 8.4, till vänster). v [, ] precis som tidigre. Då kurvn roterr målr vrje del ut något som kn pproimers med en cylinder. Höjden på den cylindern är ungefär ( k k ) + (f( k ) f( k )), vilket vi tidigre skrivit som + (f (ξ k )) ( k k ) för något ξ k melln k och k. Som rdie på cylindern kn vi välj f(ξ k ). Bidrget från [ k, k ] lir därför (omkretsen v cirkeln multiplicerd med höjden) Figur 8.4 π f(ξ k ) + (f (ξ k )) ( k k ). Vi summerr och får en Riemnnsumm som, då intervllängdern går mot noll, konvergerr mot integrlen π f() + (f ()) d. (8.4) Uppgift 8.6 Beräkn ren v den rottionsyt som uppkommer då kurvn y = sin, π roterr ett vrv kring -eln (se figur 8.4, till höger). Uppgift 8.7 Verifier tt (8.4) inte kn gäll om du i uppgiften ovn yter sin mot cos. Hur kn du modifier den så tt den gäller även för cos? Figur 8. Figur 8.3 Vi tr dett som definition v rottionsytn. Vi inför även reelementet da = πf() ds. Formeln för ren lir då da, vilket vi kn se som tt vi dderr mång små reor. Eempel 8.7 Kurvn y =, roterr kring -eln (se figur 8.). Det uppstår en kon (strut) och den eräknr vi ren v. Enligt definitionen ovn lir ren π + d = π. Eempel 8.8 Kurvn y = f() = 3, roterr kring -eln (se figur 8.3). Vi eräknr ren v den rottionsyt som uppstår. Vi deriverr och får tt f () = 3, vrför insättning i formeln ger π π d = [ 7 ( + 94 ) 3/ ] = π 7 (/3 ) Rottion kring y-eln Då vi roterr kring y-eln vill vi h en monoton funktion f definierd på [, ], med. Ett liknnde rgument som då vi roterde kring -eln, fst med ξ k i stället för f(ξ k ) ger tt rottionsren lir π + (f ()) d. Här är lltså da = π ds. Uppgift 8.8 Beräkn ren v den rottionsyt som uppkommer då kurvn y =, roterr kring y-eln (se figur 8.5). Uppgift 8.9 Bestäm ren v en sfär med rdie R genom tt ) roter y = R, R R kring -eln. ) roter y = R, R kring y-eln (multiplicer med för tt få hel). Figur Version: 5 decemer 6 47

75 8.5 Volym Uppgift 8. (4, 84) uppstår då kurvn Beräkn volymen v den rottionskropp som Rottion kring -eln Antg tt f är integrerr på intervllet [, ]. Då grfen till f roterr ett vrv kring -eln uppstår en kropp. Vi gör en indelning v [, ] precis som tidigre, = < < < n = och noterr tt om k k är litet så kommer rottionen i prktiken tt ild en cylinder med höjd k k och rdie f(ξ k ) för något k < ξ k < k. Volymen v en sådn cylinder är π(f(ξ k )) ( k k ). Vi summerr dess och får summn 48 n k= π(f(ξ k )) ( k k ), som mycket riktigt (hopps du hr örjt se mönstret vid det här lget) är en Riemnnsumm för integrlen π(f()) d. Vi tr därför denn integrl som definition v rottionsvolymen som uppstår då f roterr ett vrv kring -eln. Liksom i fllet med ågelemet och reelement kn vi inför volymelementet dv = π(f()) d. Formeln för volymen lir då dv. Eempel 8.9 Vi eräknr volymen v den kon som uppstår då den rät linjen y =,, roterr ett vrv kring -eln (se figur 8.). Enligt resonemnget ovn ges volymen v π d = π 3. Uppgift 8. Beräkn volymen v ett klot genom tt roter cirkelågen y = R, R R, ett vrv kring -eln. Även om vi inte nämnt det hittills så funkr det även tt koppl ihop dess rottionsreor och volymer då integrlen lir generliserd. y = roterr kring -eln. Skivformeln + 3, < Vi hr ovn nvänt oss v tt ren v en cirkel med rdie f() är πf(). Om vi hr en kropp som inte nödvändigtvis är en rottionskropp, men som hr egenskpen tt vrje pln prllellt med yz-plnet som skär kroppen hr känd re, A(), och sådn tt A() = då < eller > så lir volymelementet dv = A() d, och vi erhåller volymen V genom tt integrer till, V = dv = A() d. Denn formel klls skivformeln, och A() = πf() är r ett specilfll för rottionskroppr. Vi överlämnr det åt läsren tt rgumenter för formeln medelst en Riemnnsumm. Eempel 8. En ellipsoid med hlvlr, och c (jämför en ellips med hlvlr och ) kn eskrivs v + y + z c =. Ett pln prllellt med yz-plnet skär ellipsoiden längs ellipser, y + z c =. Dess ellipser hr hlvlrn / och c /. Aren A() v ett sådnt snitt lir därför (se uppgift 5.3) A() = π / c / = πc( / ). Volymen inom ellipsoiden lir därför Version: 5 decemer 6 49

76 Figur A() d = πc ( / ) d = = 4 3 πc. Om = = c = R så får vi tillk volymen v ett klot med rdie R. Rottion kring y-eln, rörmetoden Vi diskuterr volymen v kroppr som uppkommer vid rottion kring y-eln genom ett eempel. Eempel 8. En skål skps genom tt kurvn y =, roterr ett vrv kring y-eln. Bestäm dess volym. Då = är y = = 4. Vi gör den sedvnlig indelningen v intervllet, = < < < n =. Då den it melln k och k roterr runt y-eln uppstår en cylinderliknnde volym (ett rör, därv nmnet), som om k k är litet kn veckls ut och nästn li ett rätlock med sidorn ( k k ), πξ k och 4 ξ k, där ξ k är något tl melln k och k. Summerr vi får vi n k= πξ k (4 ξ k )( k k ) vilket är en Riemnnsumm för integrlen π (4 ) d = 8π. Det är ingen större idé tt lär sig ll formler i olik fll, det är förstås ättre tt lär sig metoden tt härled dem på. Vi nämner ändå tt volymelementet här lir dv = π(f() g()) d, där f() = 4 är den övre egränsnde funktionen och g() = den undre. 8.6 Mss och tyngdpunkt Mss Med en homogen kropp menr vi en kropp som hr konstnt densitet ρ. Att eräkn mssn m v en sådn kropp återförs därför på tt eräkn volymen v densmm, m = ρv. Om densiteten inte är konstnt måste vi jo lite, och mång fll kn vi inte hnter i denn kurs (du hänviss till en kurs i flervrielnlys). Om densiteten är en funktion v en riktning (en vriel) så kn vi ilnd eräkn mssn. Det gäller då typiskt tt dm = ρ() dv om densiteten eror på. Den totl mssn får vi genom tt integrer, och om gränsern i -led är och lir mssn m = ρ() dv. Prolemet är lltså återfört på det tt estämm volymelementet dv, vilket vi hr metoder för. Eempel 8. En oll + y + z är skpd så tt den i punkten (, y, z) hr densitet ρ(, y, z) = i lämplig enheter. Beräkn dess mss m. Vi nvänder skivformeln. Vrje pln prllellt med yz-plnet och som skär -eln i (,, ),, snittr också ollen, och dess snitt utgör en skiv med rdie. Alltså gäller det tt A() = π( ) och därmed är dv = A() d = π( ) d. Msselementet dm får vi genom tt multiplicer med densiteten, dm = ρ() dv = π( )( ) d, och mssn m lir därför m = dm = π( )( ) d = = 3π/6. Version: 5 decemer 6 5

77 (Här ör mn nvänd symmetrin då mn eräknr integrlen. Integrnden är jämn så =.) Uppgift 8. En kropp uppstår då kurvn y = sin, π roterr kring -eln. ) Beräkn kroppens volym. ) Beräkn kroppens mss om densiteten i punkten (, y, z) ges v ρ(, y, z) =. Viss kroppr kn i prktiken ses som en- eller tvådimensionell i stället för tredimensionell. Vi kn tänk oss tt en tråd som endimensionell medn ett memrn är tvådimensionellt. Om vi skll eräkn mssn v dess nvänder vi ågelementet respektive reelementet i stället för volymelementet. Eempel 8.3 En sfär + y + z = är skpd så tt den i punkten (, y, z) hr ytdensitet ρ(, y, z) =. Beräkn dess mss. Med sfär tänker vi själv sklet till ollen, och vi kn se den som uppkommen då kurvn y = rotert ett vrv kring -eln. Vi får reelementet som 5 da = π ds = π + [D ] d = = π d. Msselementet dm får vi genom tt multiplicer med ytdensiteten, och den totl mssn genom tt integrer, m = dm = ( )π d = = 6π. Uppgift 8.3 Formen v en tråd eskrivs v kurvn y =,. I punkten (, y) hr den densitet ρ(, y) =. Bestäm trådens mss. Tyngdpunkt Tyngdpunkten för en kropp kn definiers som den punkt kring vilken kroppen är i momentjämvikt med vseende på tyngdkrften, ovsett hur kroppen är orienterd. Om ett koordintsystem är inlgt så kn vi tilldel tyngdpunkten koordintern T, y T och z T. Vi skll se hur vi kn eräkn dess i enkl fll. För tt eräkn T ntr vi tt -eln är vinkelrät mot tyngdkrften och tt vi är i situtionen där vi kn nvänd skivformeln. Vi hr sett tidigre tt ett msselement ges v dm = ρ dv = ρa() d där A() är tvärsnittsren som uppkommer då kroppen är skuren med ett pln prllellt med yz-plnet. Då grvittionen verkr på dett msselement uppstår ett krftmoment ( T ) g dm (hävrmen T multiplicerd med krften g dm). För tt estämm T nvänder vi tt momentjämvikt skll råd. Det inneär tt det totl momentet skll vr noll, dvs ( T)g dm =. Vi kn förkort ort grvittionskonstnten g, och får T = dm dm = m dm, där m är kroppens mss. Dett är en llmän formel och vi hr med flit uteslutit gränsern i integrtionen. Om kroppens utsträckning inneär tt får vi T = m ρa() d. Motsvrnde formler gäller förstås för de ndr koordintern y T och z T. I de eemplen vi skll etrkt rukr ll koordinter utom en kunn estämms utn räkning med hjälp v ett symmetrirgument. Eempel 8.4 Det fylld klotet + y + z hr i punkten (, y, z) densiteten ρ(, y, z) =. Beräkn dess tyngdpunkt. Version: 5 decemer 6 53

78 På grund v symmetri är y T = z T =. Vi eräknr T. Precis som tidigre är skivformeln tillämpr, och dv = π( ) d. Vi eräknr dm och dm. dm = dm = ρ(, y, z)π( ) d = = 8π 3, ρ(, y, z)π( ) d = = 4π 5. Det gäller lltså tt T = ( 4π/5)/(8π/3) = /. Tyngdpunkten hmnr lltså i ( /,, ). Uppgift 8.4 En kropp uppstår då kurvn y = sin, π roterr kring -eln. Beräkn tyngdpunktens -koordint T om ) kroppen är homogen (dvs densiteten är konstnt), ) densiteten för kroppen i punkten (, y, z) är ρ(, y, z) =. Tips: Du kn h nytt v räkningrn i uppgift Prmeterform och polär koordinter Kurvor på prmeterform Vi hr (i tysthet) likställt grfen till en funktion f med en kurv y = f(). Men en kurv ehöver inte eskrivs på det sättet. En prmetriserd kurv i plnet är ett pr v funktioner t (t) och t y(t), (vi skriver ((t), y(t))) på ett intervll α t β. Eempel 8.5 = cos t, { y = sin t, Enhetscirkeln + y = kn prmetrisers vi t π, Vi kn rit kurvn genom tt rit ll punkter (cos t, sin t) då t löper genom intervllet [, π]. ((t), y(t)) = (cos t, sin t), t π. Eempel 8.6 Preln y =, kn prmetrisers som (, y) = (t, t ), t. Men den kn också prmetrisers som (, y) = ( t, t) då t 4. Olik prmetriseringr v smm kurv. Om (t) och y (t) är kontinuerlig på [α, β] så definierr vi längden v den prmetriserd kurvn t ((t), y(t)), α t β, som β + (y (t)) dt. α ( (t)) Argumentet tt denn integrl är lämplig för tt mät längd är liknnde som det för kurvor på formen y = f(), så vi hoppr över det. Denn gång ges ågelementet v ds = ( (t)) + (y (t)). Eempel 8.7 Vi estämmer längden v den kurv som hr prmeterfrmställning (, y) = (t, t 3), t 4. En direkt insättning i formeln ger tt längden lir 4 + (y (t)) dt = + dt = 4 5. ( (t)) Uppgift 8.6 Beräkn, med hjälp v prmetriserd kurv, omkretsen v en cirkel med rdie R. Uppgift Bestäm längden v den kurv med prmetrisering (, y) = (t 4, 4t ), t. Kurvor på polär form Ytterligre ett sätt tt eskriv en kurv på är vi polär form. Det inneär tt mn eskriver hur vståndet r = r(θ) till origo vrierr med vinkeln θ (mätt från den positiv -eln). Vi kn nvänd tt (θ) = r(θ) cos(θ) och y(θ) = r(θ) sin(θ) för tt vis tt (se uppgift 8.) (θ) + y (θ) = r(θ) + r (θ). Uppgift Rit den kurv som prmetrisers v Det följer tt längden v en polär kurv θ r(θ), θ θ θ lir Version: 5 decemer 6 55

79 θ θ r(θ) + r (θ) dθ. Eempel 8.8 En cirkel med rdie R, centrerd i origo kn på polär form skrivs r(θ) = R, θ π. Cirkelns omkrets lir därför Figur 8.8 Figur 8.7 π R + dθ = R (π ) = πr, vilket stämmer med det vi sett tidigre. Eempel 8.9 Vi eräknr längden v Pscls snäck (se figur 8.7), dvs kurvn som i polär koordinter ges v r(θ) = + cos θ, π θ π. Det gäller tt Det följer tt (r(θ)) + (r (θ)) = ( + cos θ) + ( sin θ) = + cos θ = 4 cos (θ/). 8.9 (5, 39) I den här uppgiften etrktr vi kurvstycket som ges v grfen till funktionen (se figur 8.8) f() = 3 (3 ), 3. ) Beräkn längden v kurvstycket. ) Beräkn ren v den rottionsyt som uppkommer då kurvstycket roterr ett vrv kring -eln. c) Beräkn volymen v den egränsde rottionskropp som uppstår då kurvstycket roterr ett vrv kring -eln. 8. Bestäm ren v den rottionsyt som ilds då kurvn 56 (r(θ)) + (r (θ)) = cos(θ/), vrför längden v Pscls snäck lir π π Uppgifter π cos(θ/) dθ = 4 cos(θ/) dθ = Vis, genom tt nvänd integrluppskttningr, tt ) 38.5 ) c) k= 4 k= k 39 k(k + ) + π ln k k + 3 ln 4 k= y = cosh, får roter kring -eln (se figur 8.9). 8. (6, 9744) Förränningsrummet i en Wnkelmotor egränss i ett visst tvärsnitt v en epitrokoidkurv. Anlytiskt eskrivs denn v = cos(3t) + 3 cos t { y = sin(3t) + 3 sin t t π, där är en konstnt. Bestäm längden v kurvn då =, se figur 8.. (I en Wnkelmotor är <.) 8. (4, 539) ) Låt r vr en deriverr funktion, och sätt (θ) = r(θ) cos θ, { y(θ) = r(θ) sin θ. Vis tt (θ) + y (θ) = r(θ) + r (θ). Version: 5 decemer 6 57 Figur 8.9 Figur 8.

80 ) Beräkn åglängden v den logritmisk spirlen (se figur 8.) (θ) = e θ/5 cos θ, { y(θ) = e θ/5 sin θ, θ <. 8.8 (3, 57) Bsen till kroppen K utgörs v en cirkelskiv i y-plnet med rdien och medelpunkt i origo. Vrje snitt v K med ett pln som är vinkelrätt mot -eln utgör en kvdrt. Bestäm volymen v K. Figur (3, 38) En skulptur som står på mrken hr höjden 3 m. För skulpturen gäller det tt ett horisontellt tvärsnitt vid höjden m över mrken hr formen v en rektngel med sidorn + respektive 4 m. Bestäm skulpturens volym. Figur (4, 4) Bestäm längden v den prmetriserde kurvn 8.9 (3, 3) ((t), y(t)) = (e t t, 4e t/ ), t. ) Hur stor volym får den kropp som uppkommer då området 8.5 (4, 334) Vis, till eempel med integrluppskttning, tt k 3 4. k= 8.6 (6, 343) Beräkn volymen v den kropp som uppkommer då området 3 y roterr ett vrv kring linjen y = (se figur 8.). 8.7 (6, 565) En kurv γ är definierd på prmeterform y +, roters ett vrv runt -eln (se figur 8.4 till vänster) ) Bestäm längden v steroiden (se figur 8.4 till höger) (t) = cos 3 t, { y(t) = sin 3 t, t π. Figur 8. Figur 8.3 γ { (t) = t sin t, y(t) = cos t, ) Beräkn längden v γ. t [, π]. ) Beräkn ren v den yt som ilds då γ roters ett vrv kring -eln. Denn kurv klls för en cykloid och den uppkommer då mn följer en punkt (längst ut) på ett hjul som rullr. Kurvn återfinns i figur 8.3, där den del som ehndls i uppgift 8.7 är ritd i svrt. Hjulet är också utritt, och punkten som ritr cykloiden är utmrkerd. y 8.3 Beräkn volymen v den kropp som uppkommer då ytn melln -eln och kurvn y = e, < roterr kring y-eln (se figur 8.5). 8.3 Ett koordintsystem är inlgt så tt ändrn hos en m lång spänd tråd hmnr i punktern = respektive =. Trådens densitet ges v ρ() = kg/m. Bestäm dess totl mss. 8.3 (4, 3) Förklr med hjälp v en figur vrför det för ll n gäller tt ln n n k= k. Är serien k konvergent? k= Figur Version: 5 decemer 6 59

81 8.33 En rk cirkulär kon med höjden m och rdien m hr spetsen nedåt och är fylld med en vätsk. I ett plnt snitt prllellt med konens ottenyt och på vståndet m från konens spets är vätskns densitet ( ) kg/m 3. ) Bestäm vätskns totl mss. ) Bestäm vätskns msscentrum. Lokl pproimtioner kpitel 9 Figur Vid lstning v en m hög cylindrisk silo med rdien 4 m räknr mn med tt mterilet pcks i silon på följnde sätt: Om silon är fylld till höjden H m, så ges densiteten på höjden h m över otten v ρ(h) = ln(5 + H h) kg/m 3, h H. Beräkn mssn i en full silo (6, 66) Om vi roterr området melln kurvn y = e /,, och -eln runt y-eln får vi en skål (se figur 8.6). Hur mång liter vtten kn vi häll i denn skål innn det rinner över? Längdenheten är dm Vis tt n + n + n + + n n n n n Introduktion Den rät linje som äst pproimerr en funktion f i en punkt (, f()) är y = f() + f ()( ). Oserver tt tngenten endst ör ses som en lokl pproimtion i den mening tt vi endst vet tt den är r då är när. Vi skll nu gör ättre pproimtioner när vi skll ersätt förstgrdspolynomet med polynom v högre grd som smiter åt när funktionen. Om mn vill pproimer funktionen f när så kn mn inför funktionen g() = f( + ) och i stället etrkt g när. Teorin lir ningens mer trnsprent om mn slipper prmetern. I vsnitt 9.3 kommer vi därför tt pproimer funktioner när med så kllde Mclurinpolynom. I vsnitt 9.5 återgår vi sedn vi en förskjutning till en godtycklig punkt. De polynom vi då pproimerr med klls trditionellt för Tylorpolynom. Innn vi örjr med pproimtionen skll vi återge ett pr resultt som är r h tillhnds om mn vill uppsktt storleken på integrler. 9. Ett pr nvändr resultt gällnde integrler Vi formulerr ett pr hjälpresultt som egentligen knske hör hemm i kpitel. Men vi hr inte hft någon nytt v dem förrän nu, och därför hmnr de här. 6 Tringelolikheten för integrler Tringelolikheten för tl säger tt + y + y, och den nvänds mycket oft vid uppskttningr. Vi kommer tt ehöv ett liknnde sätt