Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Transkript

1 Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde problem och duggorn som gvs i oktober (för en nnn föreläsningsgrupp). Föreläsning 8, 7/ 0: Vi börjde nu ägn oss åt integrtion, d.v.s. motstsen till derivtion: Obestämd integrler, ntiderivtor. F(x) är en ntiderivt till f (x) på intervllet < x < b om F (x) = f (x) för ll < x < b. Om A(x) är en nnn (eller smm!) ntiderivt till f (x) på smm intervll och vi sätter G(x) = A(x) F(x) så gäller G (x) = A (x) F (x) = f (x) f (x) = 0, för ll < x < b. Enligt en följdsts till medelvärdesstsen (se Theorem i vsnitt.8) gäller då tt G(x) = C (en konstnt). Alltså hr vi tt A(x) = F(x) + C för ll x. Uttrycket f (x) dx (den obestämd integrlen till f (x)) betecknr en godtycklig ntiderivt till f (x). För vrje ntiderivt F(x) till f (x) gäller lltså tt f (x) dx = F(x) + C. Av deriveringsreglern följer tt den obestämd integrlen är linjär d.v.s ( f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx och k f (x) dx = k f (x) dx.

2 Exempel. Vår kunskper om derivering ger oss direkt x dx = x+ + C om = + x dx = ln x + C, e x dx = ex + C, cos x dx = sin x + C, sin x dx = cos x + C, + x dx = rctn x + C, ( + tn x) dx = C + tn x, cos dx = C + tn x. x Observer tt dess likheter br gäller om är en konstnt. Exempel. Av formeln N (x) = N(x) D ln N(x) för logritmisk derivering följer N (x) N(x) dx = C + ln N(x). Den obestämd integrlen v en kvot, där täljren är derivtn v nämnren, är lltså lik med en godtycklig konstnt plus logritmen v bsolutbeloppet v nämnren. Med hjälp v dett kn vi nu bestämm den obestämd integrlen till tn x: tn x dx = sin x cos x dx = sin x cos x dx = C ln cos x. Areproblemet, bestämd integrler. Med hjälp v ntiderivtor kn vi lös reproblemet: Bestäm ren v området (i xy-plnet) som ges v olikhetern x b, 0 y f (x), där f (x) är icke-negtiv för x b. X X + ε b Området x b, 0 y f (x)

3 Vi betecknde den sökt ren med A(b) och insåg tt A(b) är en växnde funktion v b och A() = 0. Aren v den röd strimln i figuren är lik med A(X + ε) A(X). Om ε är litet kommer denn re tt ligg mycket när ren v en rektngel med bsen ε och höjden f (X), lltså A(X + ε) A(X) ε f (X) Om f är en deriverbr funktion, med kontinuerlig derivt, inser vi tt felet i denn pproximtion är v storleksordningen ε. För sådn funktioner gäller därför tt A(X + ε) A(X) ε f (X) med ett fel v storleksordningen ε. Låter vi nu ε 0 + så följer tt A (X) = f (X) för X b. Alltså är funktionen A(x) en ntiderivt till f (x). Men två ntiderivtor till smm funktion hr en konstnt skillnd. Om F(x) är en godtycklig ntiderivt till f (x) gäller lltså tt A(x) = F(x) + C, x b, för någon konstnt C. Av dett följer omedelbrt tt A(b) = A(b) A() = (F(b) + C) (F() + C) = F(b) F(). A(b) är den bestämd integrlen v f (x) över intervllet x b som beteckns b f (x) dx. Alltså gäller b f (x) dx = F(b) F() = [ F(x) ] x=b x=. ( ) Om funktionen f (x) ntr negtiv värden så definierr vi b f (x) dx så tt ( ) fortfrnde gäller. Det betyder tt re under x-xeln skll räkns som negtiv. Smbndet ( ) melln bestämd integrler och ntiderivtor klls för integrlklkylens fundmentlsts (eller huvudsts). Medelvärdesstsen. Ovnstående är förstås br en intuitiv (heuristisk) härledning v fundmentlstsen. Skll en sträng härledning görs måste vi först gör en definition v den bestämd integrlen som inte lutr sig mot en intuitiv uppfttning v re. Dett görs med hjälp v så kllde översummor och undersummor (Riemnnsummor). Se vsnitt 5.. Den bestämd integrlen visr sig då vr definierd för ll kontinuerlig funktioner och hr ett ntl egenskper som lists i vsnittet 5.4. Speciellt hr vi medelvärdesstsen (Th 4, vsnitt 5.4): Om < b och f (x) är kontinuerlig för x b så finns (minst) en punkt c sådn tt < c < b och b f (x) dx = (b ) f (c)

4 c Illustrtion v medelvärdesstsen. b Nu kn vi definier Medelvärdesstsen ger A(X) = X f (x) dx X b. Alltså hr vi A(X + ε) A(X) = Låter vi ε 0 + så får vi X+ε X A(X + ε) A(X) ε v vilket fundmentlstsen följer. f (x) dx = ε f (c), där X < c < X + ε. = f (c), där X < c < X + ε. A (X) = f (X) X b, 4

5 Föreläsning 9, 0/ 0: Det vr nu dgs för en genomgång v de vnlig integrtionsmetodern, som i princip innebär tt de vnlig deriveringsreglern körs bklänges. Substitution. (kedjeregeln tgen bklänges): f (g(x)) g (x) dx = ( u = g(x), du = g (x) dx ) = f (u) du, där den sist integrlen förhoppningsvis går tt beräkn, med ett resultt v typen F(u) + C, där F(u) är en ntiderivt till f (u). Glöm inte tt sätt u = g(x) och svr med F(g(x)) + C (återsubstitution). Är det fråg om en bestämd integrl kn mn slipp återsubstitutionen genom tt integrer med vseende på den ny vribeln över intervllet [g(), g(b)], lltså: x=b x= f (g(x)) g (x) dx = ( u = g(x), du = g (x) dx ) = u=g(b) u=g() Exempel. Integrlen v ett bråk, där täljren är derivtn v nämnren: Specilfll: f (u) du. g (x) g(x) dx = ( u = g(x), du = g (x) dx ) = du = ln u + C = ln g(x) + C. u Exempel. tn x dx = + x + x dx = cot x dx = sin x cos x dx = + x dx + e x e x + dx = ( u = e x, du = e x dx ) = cos x dx = ln sin x + C. sin x sin x cos x dx = ln cos x + C. x + x dx = C + rctn x + ln( + x ). + u du = C + rctn u = C + rctn ex. Prtiell integrtion. Dett är bklängesvrinten v produktregeln, (AB) = A B + AB, för derivtion. Antg tt F är en ntiderivt till f. Obestämd integrl: Bestämd integrl: b f (x)g(x) dx = F(x)g(x) f (x)g(x) dx = [ F(x)g(x) ] x=b x= b F(x)g (x) dx F(x)g (x) dx. För tt dett skll funger måste normlt g (x) vr en enklre funktion än g(x). Så är fllet om t.ex. g(x) är ett polynom, g(x) = ln x eller g(x) = rctn x. 5

6 Exempel. En obestämd integrl: x ln x dx = x ln x x x dx = = x ln x x dx = = x En bestämd integrl med smm integrnd: Exempel. [ x x ln x dx = ln x xe x dx = x ex ln x x 4 + C ] x= = ln 0 [ x = ln 4 x= ] x= x= x dx = x x dx = = ln 4. ex dx = x ex 4 ex + C. Exempel. Genom tt multiplicer integrnden med (vilket inte ändrr någonting) får vi läge för prtiell integrtion: rctn x dx = rctn x dx = x = x rctn x + x dx = = x rctn x x + x dx = = x rctn x ln( + x ) + C. Invers substitution. Invers substitution, vsnitt 6., fungerr enligt f (x) dx = ( x = g(u), dx = g (u) du ) = f (g(u)) g (u) du. Glöm inte tt återsubstituer u = g (x)! Är det fråg om en bestämd integrl kn mn slipp återsubstitutionen genom tt integrer med vseende på den ny vribeln över intervllet [g (), g (b)], lltså: x=b x= f (x) dx = ( x = g(u), dx = g (u) du ) = u=g (b) u=g () f (g(u)) g (u) du. ( ) Exempel. Beräkn den obestämd integrlen x dx 6

7 Lösning. Funktionen f (x) = x är definierd för x För tt få bort kvdrtroten utnyttjr vi den trigonometrisk ettn vi substitutionen x = sin u, där π u π. Observer tt x = sin u är inverterbr över dett intervll, med inversen u = rcsin x, x. En viktig detlj är också tt cos u 0 för π u π. Vi får x dx ( x = sin u, dx = cos u du ) = sin u cos u du = cos u cos u du = cos u cos u du = cos u du (trig. formel cos u = + cos u) = ( + cos u) du = C + (u + sin u) (trig. formel sin u = sin u cos u) = C + (u + sin u cos u) (cos u = sin u = x ) = C + (rcsin x + x x ). Exempel. Beräkn den bestämd integrlen x dx Lösning. En metod är tt, som i föregående exempel, först beräkn en ntiderivt till x. Alltså [ x dx = (rcsin x + ] x= x x ) = x= (rcsin + ) = π. Lite mindre jobbigt är det tt utnyttj ( ): = = = = x= x= u= π u= π u= π u= π u= π u= π x dx ( x = sin u, dx = cos u du ) u= π sin u= π u cos u du = cos u cos u du = cos u cos u du u= π u= π cos u du (trig. formel cos u = + cos u) ( + cos u) du [ (u + sin u) ] u= π u= π = π. Geometriskt uttrycker denn integrl ren v en hlvcirkel med rdien, så vi hr fått rätt svr. 7

8 Föreläsning 0, 6/ 0: Vi gick här in på problemet tt integrer rtionell funktioner f (x) = T(x), där T(x) och N(x) är polynom. Se vsnitt 6.. I dett smmnhng är det br tt N(x) komm ihåg formeln N (x) dx = C + ln N(x). N(x) Polynomdivison. Om T(x) hr minst lik hög grd som N(x) får mn börj med en polynomdivision T(x) R(x) = Q(x) + N(x) N(x) där R(x) hr lägre grd än N(x). Det följer tt T(x) N(x) dx = Q(x) dx + R(x) N(x) dx Den först integrlen i högerledet är mycket enkel. Svårigheten är tt klr v den ndr integrlen. Exempel. Bestäm x + x + x + x dx. + Lösning. Eftersom täljren inte hr lägre grd än nämnren gör vi en polynomdivision: Det följer tt x + x + x + x + = x + + x + x + = x + + x x + + x + x + x + x x + dx + x + dx = x + x + ln(x + ) + rctn x + C. Exempel. Beräkn x + x dx. Lösning. Även här får vi inled med en polynomdivision: x + x = + 4 x Nämnren i bråket sk nu fktoruppdels, vrefter bråket skrivs som en summ v prtilbråk med obestämd koefficienter A, B: 4 x = 4 (x )(x + ) = A x + B (A + B)x + (A B) = x + (x )(x + ) 8

9 Täljrn 4 och (A + B)x + (A B) måste vr identisk, vilket ger oss ekvtionern A + B = 0 och A B = 4, med lösningen A =, B =. Alltså hr vi vilket ger oss + 4 x = + 4 (x )(x + ) = + x x +, ( + x ) dx = x + ln x ln x + + C x + Exempel. Beräkn x 5 x 4 + x x + x x 4 x + x x + dx. Lösning. Eftersom täljren inte hr lägre grd än nämnren gör vi en polynomdivision: f (x) = x5 x 4 + x x + x x 4 x + x x + = x + + x + x x 4 x + x x + För tt gå vidre måste vi skriv nämnren N(x) = x 4 x + x x + som en produkt v först- eller ndrgrdspolynom. Vi letr nu efter (små) heltlsnollställen till N(x) (genom tt sätt in x = 0, ±, ±,... ) och ser tt N() = 0. N(x) kn lltså dels med x. Genom tt gör en polynomdivision eller prov oss frm får vi N(x) = (x )(x x + x ) = (x )M(x). Även M(x) = x x + x är delbrt med x (ty M() = 0). Vi får M(x) = (x )(x + ). Alltså hr nämnren fktoruppdelningen N(x) = (x ) (x + ) och vi kn skriv f (x) = x + + x + x (x ) (x (prtilbråksuppdelning) + ) = x + + A x + B (x ) + Cx + D x (gemensmt bråkstreck) + = x + + A(x )(x + ) + B(x + ) + (Cx + D)(x ) (x ) (x + ) (hyfsning) = x + + (A + C)x + ( A + B C + D)x + (A + C D)x + ( A + B + D) (x ) (x + ) Identifiktion v täljrn ger oss ekvtionssystemet A + C = 0, A + B C + D =, A + C D =, A + B + D =, som hr den entydig lösningen A =, B =, C =, D =. Alltså hr vi och får x + x + f (x) = x + + x + (x ) x x + x + x dx + (x ) dx x x + dx = C + x + x + ln x x ln(x + ) rctn x x + dx 9

10 Exempel. Beräkn x + x + x + x + dx Lösning. Denn gång behövs ingen inlednde polynomdivision, eftersom täljren hr lägre grd än nämnren, så vi börjr med tt sök nollställen till nämnren N(x) = x + x + x +, genom tt i tur och ordning sätt in x = 0, ±,.... Det visr sig tt N( ) = 0, vilket betyder tt N(x) är delbrt med x +. Genom tt gör en polynomdivision eller prov oss frm får vi N(x) = (x + )(x + x + ) och kn skriv x + f (x) = (x + )(x + x + ) = A x + + Bx + C x + x + (prtilbråksuppdelning) (gemensmt bråkstreck) = Ax + Ax + A + Bx + Cx + Bx + C x + x + = (A + B)x + (A + B + C)x + (A + C) x + x + Identifiktion v täljrn ger oss ekvtionssystemet (hyfsning) A + B = 0, A + B + C =, A + C =, som hr den entydig lösningen A =, B =, C =. Alltså hr vi f (x) = x + + x + x + x + = x + x + x + x + + x + x +, där den sist uppdelningen gjorts så tt i den ndr termen är täljren x + lik med derivtn v nämnren x + x +, och får x + dx x + x + x + dx + x + x + dx = ln x + ln(x + x + ) + x + x + dx. För tt klr den sist integrlen gör vi en kvdrtkomplettering v nämnren; ( x + x + = x + ) ( + 4 = ( ) ( 4 x + (x + = 4 ) ) ) och får dx x + x + = 8 = 4 dx ( ) (u = x+, du = (/ )dx, dx = ( /)du) x+ + du u + = C + 4 rctn u = C + 4 rctn x +. Alltså gäller C + ln x + ln(x + x + ) + 4 rctn x +. 0

11 Teorin för prtilbråksuppdelning. Ovnstående bygger på följnde: Sts. Om T(x), N(x) = N (x)n (x) är polynom, sådn tt T hr lägre grd än N och N, N sknr gemensmm nollställen, så finns polynom T, T sådn tt T N = T N N = T N + T N där T hr lägre grd än N och T hr lägre grd än N. Bevis. Eftersom N, N sknr gemensmm nollställen finns, enligt Euklides lgoritm (se nedn), polynom P, P sådn tt P (x)n (x) + P (x)n (x) =, för ll x R. Det följer tt T N N = TP N + TP N N N = TP N + TP N Här kn det händ tt TP ej hr lägre grd än N eller tt TP ej hr lägre grd än N. Genom polynomdivision får vi då T N N = TP N + TP N = Q + T N + Q + T N där Q, Q, T, T är polynom, T hr lägre grd än N och T hr lägre grd än N. Här måste Q + Q vr nollpolynomet, för nnrs följer, om vi multiplicerr leden med N N, tt T hr högre grd än sig själv. Polynomdivision. Då polynomet T(x) dividers med ett nnt polynom N(x) får mn en kvot Q(x) och en rest R(x): T(x) R(x) = Q(x) + N(x) N(x) T(x) = Q(x)N(x) + R(x) Om T(x) hr lägre grd än N(x) blir kvoten noll och R(x) = T(x). Under ll omständigheter hr R(x) lägre grd än N(x). Divisionen går jämnt ut, d.v.s T(x) är delbrt med N(x), om och endst om R(x) = 0. Exempel. Utför polynomdivisionen i fllet då T(x) = x 5 x 4 + x x + x och N(x) = x 4 x + x x +. Lösning. En vnlig divisionsuppställning med liggnde stol ger: x + x 5 x 4 + x x + x x 4 x + x x + x 5 + 4x 4 4x + 4x x x 4 x + x x 4 + x x + x x + x

12 Vi vläser tt Q(x) = x + och R(x) = x + x. Euklides lgoritm. Störst gemensmm delren till två polynom N (x), N (x) definiers som det monisk polynomet S(x) (lednde koefficienten är ) v högst möjlig grdtl som delr både N (x) och N (x). Vrje polynom som delr både N (x) och N (x) måste del S(x). Av dett följer tt den störst gemensmm delren är unik. Antg tt vi gör polynomdivisionen N (x)/n (x) med resulttet N (x) = Q (x)n (x) + N (x) Av dett följer tt ett polynom S(x) delr både N (x) och N (x) om och endst om S(x) delr både N (x) och N (x). Pren N (x), N (x) och N (x), N (x) hr lltså smm störst gemensmm delre. Euklides lgoritm innebär tt mn gör en upprepd polynomdivision enligt schemt: N (x) = Q (x)n (x) + N (x) N (x) = Q (x)n (x) + N 4 (x). N k (x) = Q k (x)n k (x) + N k (x) N k (x) = Q k (x)n k (x) Mn vbryter då divisionen går jämnt ut. Den störst gemensmm delren S(x) är det monisk polynom som fås då N k (x) dels med sin lednde koefficient. Av schemt kn mn även utläs tt det finns polynom P (x), P (x) sådn tt S(x) = P (x)n (x) + P (x)n (x) Den störst gemensmm delren är om och endst om N (x) och N (x) sknr gemensmm komplex nollställen. I ett sådnt fll gäller lltså tt det finns polynom P (x), P (x) sådn tt = P (x)n (x) + P (x)n (x)