PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL"

Barbro Forsberg
för 8 år sedan
Visningar:

1 PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen ( Tecknet nger det vnligste brnntlet i Finlnd. Är sedn smm sk som två? Tlet två kn ju åskådliggörs även med två fingrr eller så tt vi drr två lodrät streck. Tecknet hr uppstått efter en lång utvecklingsprocess som resulterde i men den kunde lik väl h resultert i.ع Nu inser vi tt ett tl är ett bstrkt begrepp. Då vi nger brnntlet i en fmilj nvänder vi sådn tl som 0,,,,,.... De här tlen bildr mängden v de nturlig tlen som beteckns N={0,,,,...}. Vi kn t två tl ur mängden nturlig tl och multiplicer eller dder dem sinsemelln och det resultt som vi får är ett nturligt tl. Till exempel är = N och = N där N betyder tt tillhör mängden nturlig tl. Om utetemperturen är C och kölden ökr med fem grder klrr vi oss inte mer med de nturlig tlen. Alltså N som betyder tt differensen v tlen och inte tillhör de nturlig tlens mängd. För tt kunn gör den här subtrktionen möjlig måste vi utök mängden v de nturlig tlen med negtiv heltl. Så får vi mängden v hel tl Z. {...,,,,0,,,,...}. Nu är = Z. Den finländsk modellfmiljen med mmm, ppp och två brn hde bestämt sig tt beställ två fmiljepizzor hem till sig. All fmiljemedlemmmr vr lik hungrig. De utförde divisionen / och pizzorn deldes så tt vrje medlem fick en hlv pizz. Resulttet kunde inte åskådliggörs med hjälp v de hel tlen. Alltså = Z. För tt kunn gör ll divisioner utom divisionen med 0 möjlig måste vi utök mängden v de hel tlen med bråktl som utgör kvoten v två heltl. Mängden v de rtionell tlen beteckns med Q= { m n m, n Z, n 0 } något som utläses enligt följnde: Mängden v de rtionell tlen består v kvoten v tlen m och n, där m och n kn väljs fritt ur de hel tlens mängd med det undntg tt n inte får vr tlet 0.

Tlet två kn ju åskådliggörs även med två fingrr eller så tt vi drr två lodrät streck. Tecknet hr uppstått efter en lång utvecklingsprocess som resulterde i men den kunde lik väl h resultert i.

2 Den finländsk modellfmilj som hde beställt pizz hem till sig hde ett runt bord med dimetern m i köket och ett kvdrtiskt bord med sidn m i vrdgsrummet. Dottern fick i uppgift v sin mmm tt mät digonlen v det kvdrtisk bordet. Sonen fick i uppgift v sin ppp tt mät omkretsen v det rund bordet. Föräldrrn ville h ett rtionellt tl i resultt något som vr omöjligt fst brnen först nvände ett måttbnd med en centimeters noggrnnhet och sedn ett måttbnd med en millimeters noggrnnhet. Sist utnyttjde dottern ännu exktre mätningsmetoder med lserteknik men ett rtionellt mätetl som resultt uteblev. Figur. Sist och slutligen kunde sonen bestämm omkretsen v bordet med hjälp v definitionen för tlet pi. Dottern däremot kunde bestämm digonlen med hjälp v Pythgors sts (Figur.). De v brnen bestämd resultten är inte rtionell tl, för tt de inte kn uttrycks som kvot t två hel tl. Så gäller det tt, Q. och är exempel på så kllde irrtionell tl. Då vi kompletterr mängden v de rtionell tlen med irrtionell tl får vi mängden v de reell tlen R. Hr du förstått? I Vilket v följnde påståenden är snt? ) All nturlig tl är rtionell tl. b),0 Z c) = Decimltl Ett decimltl är ett tl som innehåller ett decimltecken följt v en eller fler decimler. I Finlnd och Sverige är decimltecknet kommtecknet, men i USA nvänds punkt i stället för decimlkomm, till exempel,=.. Ett decimltl är ett rtionellt tl som med ett ändligt ntl siffror kn skrivs i decimlform. Till exempel är / decimltlet 0, men bråktlet / är

Föräldrrn ville h ett rtionellt tl i resultt något som vr omöjligt fst brnen först nvände ett måttbnd med en centimeters noggrnnhet och sedn ett måttbnd med en millimeters noggrnnhet.

3 inte ett decimltl för tt där blir ntlet treor efter decimltecknet oändligt. Hel tl är också decimltl. Siffrorns betydelse i ett decimltl frmgår v figur. Figur. Enligt figur kn tlet 68,7 tolks 68,7= , 0,0 0,00. Det här positionssystemet klls decimlsystemet, även kllt tiosystemet, med bsen 0 och siffrorn 0,,,...,9. Tlet 68,7 kn skrivs i tiopotensform enligt följnde: 68,7= Det finns även ndr system än tiosystemet. Till exempel i ett binärt tlsystem hr vi två som bs och endst siffrorn 0 och. Det binär systemet nvänds särskilt inom dtteknik. Till exempel är det binär tlet 00 tlet 0 i tiosystemet för tt =0= Bråktl De rtionell tlen består v ll sådn tl som går tt skriv i bråkform. I bråkformen hr vi täljren uppe och nämnren nere. Till exempel i bråktlet är täljren och nämnren. Bråktlet kn skrivs i blndd form = = =. Om vi förlänger ett bråktl multiplicerr vi både täljre och nämnre med smm tl. Om vi förkortr ett bråktl dividerr vi både täljre och nämnre med smm tl. De här opertionern ändrr inte bråkens värde. Exempel. ) Förläng blndd form. med. b) Förkort 0 60 med 0. c) Skriv bråktlet A x y x i ) = = 6 00 b) = 0/0 60/0 = 6 c) A x y x = A x x y x =A y x =A y x

Tlet 68,7 kn skrivs i tiopotensform enligt följnde: 68,7=6 0 0 8 0 0 7 0 0 0. Det finns även ndr system än tiosystemet. Till exempel i ett binärt tlsystem hr vi två som bs och endst siffrorn 0 och.

4 Om vi får ett bråktl i svr skriver vi bråket lltid i enklste form. Exempel. Skriv i enklste form ) 60 b) 7. ) är en gemensm fktor för och 60. Så är b) 7 60 = / 60/ = är redn i enklste form för tt och 7 inte hr gemensmm fktorer större än. Hr du förstått? II 0 0 förkortt i enklste form är ) 7 00 b) c). Från decimltl till bråk och tvärtom All decimltl kn skrivs i bråkform. Exempel. Skriv,78 i bråkform. 78,78= 00 = 9 0 = = = 89 0 Exempel. Skriv 0,,... i bråkform. Tlet 0,,... hr en oändlig periodisk decimlutveckling med perioden. Dett kn även beteckns 0,,...=0,. Vi betecknr det sökt tlet med x. x=0,,... Vi multiplicerr ekvtionen med 000 för tt perioden hr tre siffror. Om perioden hde endst en siffr skulle vi multiplicer med 0. I fll v en tvåsiffrig period skulle vi multiplicer med 00 och så vidre. Nu får vi 000x=,,... Sedn subtrherr vi tlet x från tlet 000x. Då blir differensen melln de oändlig decimlen ändlig:

Från decimltl till bråk och tvärtom All decimltl kn skrivs i bråkform. Exempel. Skriv,78 i bråkform. 78,78= 00 = 9 0 = 0 0 9 0 = 0 9 0 = 89 0 Exempel. Skriv 0,,... i bråkform. Tlet 0,,.

5 000x=,,... x=0,, x= Då vi dividerr båd leden med 999 får vi x= 999 =. Vi kn kontroller vårt resultt genom tt slå in på fickräknren. Vi kn skriv bråk i decimlform genom tt förläng så tt nämnren blir en potens v 0. Om den här metoden inte fungerr måste vi utför en division i uppställning eller med räknre. All bråk kn inte skrivs i decimlform. Exempel. Skriv ) b) c) 8 d) 9 i decimlform ) = =0,6 b) = = 6 = =, c) Vi dividerr med 8 och får 0,6. d) 0 Bråket 9 kn inte skrivs i decimlform för tt det inte går tt förläng nämnren till 0, 00 eller 000. Då vi räknr med uppställning märker vi tt divisionen /9 inte går jämnt upp. Vi får en kvot som består v idel ettor. 9 =0,...=0,. Resulttet blir i det här fllet en ovslutd periodisk decimlutveckling 0,... som hr ett närmevärde 0, med två decimler.. Räkneopertioner med bråktl Addition och subtrktion med bråktl Vi förlänger bråken så tt de får smm nämnre. Därefter dderr vi täljrn och förkortr vid behov. d b b ± c d = d bd ± bc bd = d±bc bd Exempel 6. 6 = 9 = 9 =

All bråk kn inte skrivs i decimlform. Exempel. Skriv ) b) c) 8 d) 9 i decimlform ) = 60 00 =0,6 b) = = 6 = =, c) Vi dividerr med 8 och får 0,6.

6 Den gemensmm nämnren i föregående exempel vlde vi därför tt utgör minst gemensmm multipeln till 6 och. Det skulle också h vrit möjligt tt förläng "korsvis", 6 med och 6 med 6: 6 = 6 = = Hr du förstått? III Bråken 6 och 8 till 6 och 8 är ) 8 b) c) förlängs så tt de får smm nämnre. Den minst gemensmm multipeln Hr du förstått? IV Differensen v de rtionell tlen och 6 kn beteckns ) 6 b) 6 c) 6. Multipliktion v bråktl Vi multiplicerr täljrn med vrndr och nämnrn vrndr och utför vid behov förkortning. b c d = c bd Exempel 7. 6 = 7 = 7 =9 Division v bråktl Innn vi kn behndl division v bråktl repeterr vi begreppet invertert tl. Om produkten v två tl är är tlen vrndrs inverterde tl. All tl utom noll hr ett invertert tl. Det inverterde tlet till ett givet tl bestäms så tt det givn tlet skrivs i bråkform. Därefter byts pltsern v täljre och nämnre sinsemelln. Exempel 8. Bestäm det inverterde tlet till ) b) x y c) d) x k

Den minst gemensmm multipeln Hr du förstått? IV Differensen v de rtionell tlen och 6 kn beteckns ) 6 b) 6 c) 6.

7 ) =. Det inverterde tlet till är. b) Det inverterde tlet till x y är x y, x y. c) Det inverterde tlet till är = = d) x k= x k. Det inverterde tlet till x k är x k, x k. I division v bråktl multiplicerr vi det först bråket med det ndrs inverterde tl och förkortr vid behov. Med ndr ord byter vi divisionen till multipliktion med divisors inverterde tl. b c d = b d c = d bc Exempel 9. 7,7= 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7 = 8 9 Hr du förstått? V i) 6 9 är ) b) c). ii) är ) =8 = b) = 8 c) = =. Begreppsfrågor I. Vd är ett tl för någonting?. Vd är differensen melln decimltl och tl med oändlig periodisk decimlutvecklingr?. Mn kn skriv tlet,7 i bråkform 7 och vidre i blndd form. Vilket tecken hr utelämnts melln och?. Kn ll decimltl skrivs i bråkform?. Hur multiplicers två bråktl med vrndr? 6. Hur utförs division v två bråktl? 7. Vd mens med förlängning/förkortning v bråktl?

b c d = b d c = d bc Exempel 9. 7,7= 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7 = 8 9 Hr du förstått? V i) 6 9 är ) b) c). ii) är ) =8 = b) = 8 c) = =. Begreppsfrågor I. Vd är ett tl för någonting?

8 . Uppgifter. Ange den minst v tlmängdern N, Z,Q och R som tlet hör till ) b). Vilk v följnde påståenden är snn? c) d) -, e) -,000 f) 0 g),0 ) 0,7 Z b) R c) Q d) 0, Q e) 0 N f) 6 N. Skriv i bråkform ) 0,... b), c) 0, d),6 e) 0,6 f). Skriv följnde tlen i blndd form. ) 7 6 b) 8. Skriv i decimlform ) c) 7 d) B b b) 0,... c) 8 d) Ange de inverterde tlen till tlen ) b) e) e) b f) 8, g), 0 f) g) c) 0 d) b, b e) k f). 7. Bestäm ) summn b) differensen c) produkten d) kvoten v de rtionell v tlen och. Utför räkneopertionern i uppgiftern 8-8. ) b) c) d) e) f) 9. ) 0. ) 6 b) c) d) 0 e) 7 0 f) 7 7 b) c) d) e) ) b) c) d) 9 6. ),6 9 b) 0, 9 0, c) 0, 0,8 7 0

Skriv i decimlform ) c) 7 d) B b b) 0,... c) 8 d) 99 00 6. Ange de inverterde tlen till tlen ) b) e) e) b f) 8, g), 0 f) g) c) 0 d) b, b e) k f). 7. Bestäm ) summn b) differensen c) produkten d) kvoten v de rtionell v tlen och.

9 d) 7 0, 0,06 0,.* ) Är 0,999...=? b) Är 0, =? c) Vis tt roten till ekvtionen x = inte är ett rtionellt tl. Tips: Gör ett motntgnde enligt vilket den givn ekvtionen hr en rot v formen x= m n, där m,n Z, n 0 och där m,n inte hr någr ndr gemensmm fktorer än eller -.

Relevanta dokument

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing