Algebra. Kapitel 5 Algebra
|
|
- Lars-Erik Sundqvist
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver dem med ord och med lgebrisk uttrck. Elevern görs sedn uppmärksmm på tt det är skillnd i betdelse v det okänd tlet i ett uttrck jämfört med en ekvtion. Kpitlet fortsätter med övningr som behndlr likheter. Dett är ett försteg till tt lös ekvtioner, vilket kpitlet vsluts med. Borggården sidn 124 Dignos sidn 17 Rustkmmren sidn 18 Tornet sidn 144 Smmnfttning sidn 149 Utmningen sidn 10 Arbetsbld :1 Uttrck 1 :2 Uttrck 2 : Fler uttrck :4 Mönster 1 : Mönster 2 :6 Ekvtioner :7 Min utvärdering Läboken Lä 1 efter sidn 129 Lä 14 efter sidn 1 Lä 1 efter sidn Algebr
2 Sid Mål Mtteord När du hr rbett med det här kpitlet sk du obeknt tl lgebrisk uttrck likhet ekvtion > vet tt ett obeknt tl kn skrivs med en bokstv, t.e. eller > förstå och skriv lgebrisk uttrck > vet hur geometrisk mönster kn beskrivs och uttrcks C D Den ndr kmelen väger 80 kg, dditionen skrivs 0 kg + 0 kg. Smtl om tt dditionen är ett numeriskt uttrck. E Vis hur det numerisk uttrcket med dditionen v kmeler i uppgift D kn koppls till det lgebrisk uttrcket + 0. Förklr tt uttrcket visr tt den ndr kmelen lltid är 0 kg tngre än det först kmelen. Fråg elevern om hur mcket den ndr kmelen väger med olik värden på, till eempel 6 kg, 04 kg, 490 kg. F Smtl om tt 2 också är ett lgebriskt uttrck. Det visr tt den tredje kmelen lltid är 2 kg lätt re än den först kmelen. Fråg elevern hur mck et den tredje kmelen väger med olik värden på, till eempel 6 kg, 04 kg, 490 kg. > kunn förklr vd en ekvtion är och lös en ekvtion A Smtl om olik mönster. Ge eempel på olik mönster, till eempel i kkelplttor, mosikbilder, pärlplttor eller tpeter. Låt elevern berätt om olik mönster som de hr sett. Mönstret i uppgiften kn beskrivs som tt det finns lik mång vit plt tor som blå plttor plus en vit pltt till. B Smtl om tt det går tt beskriv ett mönster med bild och med ord. Sedn kn mn också beskriv ett mönster med ett lgebriskt uttrck. Då ger mn en generell beskrivning: Till stcken blå plttor behövs + 1 stcken vit plttor. Smtl om tt ntlet blå plttor och vit plttor beror v vrndr. När det finns ett mönster så går det tt förutsäg hur mönstret kommer tt se ut med fler plttor. Till 10 blå plttor behövs 11 vit plttor. Algebr Mål När du hr rbett med det här kpitlet sk du > vet tt ett obeknt tl kn skrivs med en bokstv, t.e. + 4 eller 8 > förstå och kunn skriv lgebrisk uttrck > vet hur geometrisk mönster kn beskrivs och uttrcks > kunn förklr vd en ekvtion är och lös en ekvtion Mtteord obeknt tl lgebrisk uttrck likhet ekvtion A Beskriv hur mönstret v vit och blå plttor är uppbggt. B Hur mång vit plttor behövs till 10 blå plttor? C Om du kllr ntlet blå plttor för, hur skriver du hur mång vit plttor som behövs till mönstret? D Först kmelen väger 0 kg. Andr kmelen väger 0 kg mer. Hur mcket väger den ndr kmelen? Hur skrivs dditionen? E Om vi kllr den först kmelens vikt för, hur ser dditionen ut? F Den tredje kmelen väger 2 kg mindre än den först kmelen. Om vi kllr den först kmelens vikt för, hur ser subtrktionen ut som beskriver den tredje kmelens vikt? Al ge br 101
3 Sid Uppslget behndlr lgebrisk uttrck med ddition och subtrktion. Gemensm introduktion Ge eempel på olik ungdomrs ålder, till eempel Isk 12 år och Alice 7 år. Fråg hur gmml Alice är när Isk är till eempel 1 år, 20 år. Fråg hur gmml Isk är när Alice är till eempel 10 år, 1 år. Kll sedn Isks ålder för och skriv ett utrck för Alices ålder. Kll sedn Alices ålder för och skriv ett uttrck för Isks ålder. Låt elevern rbet i pr där de sk ge eempel på olik människors åldrr, kll en v personerns ålder för och låt dem sedn skriv ett uttrck för de ndr personerns åldrr. Uppgiftern på sidn 126 behndlr värdet v ett uttrck medn uppgiftern på sidn 127 hndlr om tt skriv uttrck. Först väljer elevern blnd fler förslg och sedn skriver de uttrcken själv. > > Arbetsbld :1 Sid Uppslget behndlr lgebrisk uttrck med multipliktion och division. Gemensm introduktion Uppmn elevern tt rit en kvdrt och två rektnglr ll med smm bredd. I den en rektngeln skll längden vr dubbelt så lång som bredden och i den ndr rektngeln sk längden vr tre gånger så lång som bredden. Uppmn elevern tt kll figurerns bredd för och låt dem skriv uttrck för de tre längdern. I kvdrten blir uttrcket för längden, i rektnglrn 2 respektive. All elever kn skriv smm uttrck trots tt de ritt olik stor figurer. Förhållnden melln sidorn är desmm. Låt sedn elevern kll längden hos de olik frhörningrn för och låt dem skriv uttrck för bredden. I kvdrten blir uttrcket för längden och i rektnglrn _ 2 respektive _. I uppgift 1 och 18 måste elevern förstå vd som mens med dubbelt och hälften. > > Arbetsbld :2 > > Lä Algebr
4 Uttrck med lgebr Skriv det uttrck som betder Sm är 4 år äldre än Amer. b) mer än ) mer än När Amers ålder ändrs så ändrs Sms ålder. Om vi kllr Amers ålder för så är Sms ålder är ett uttrck för Sms ålder. ) 6 mindre än Amer b) 8 mindre än Sm ) 2 mer än z Amers ålder (år) Sms ålder (år) =12 b) 4 mindre än z = 14 c) 4 mindre än = betder 4 mer än. står istället för ett tl. b) 1 år c) 0 år c) 0 år z 4 z b) 1 år + 12 b) Kll kttens ålder för och skriv ett uttrck för hundens ålder. Välj i rutn. Osmn är tre år äldre än Mohmmed. Hur gmml är Osmn när Mohmmed är ) 10 år + ) Kll hundens ålder för och skriv ett uttrck för kttens ålder. Välj i rutn. Se på eemplet i rutn. Hur gmml är Sm när Amer är ) 7 år Mohmmed + +7 Osmn Skriv ett uttrck som betder Lel är fem år ngre än Mohmmed. Hur gmml är Lel när Mohmmed är ) 10 år b) 1 år c) 0 år Mohmmed Abir är 20 år gmml. Hur gmml är ) Ndim Abir c) Abbs Hmid ) 4 mer än b) 8 mer än c) 9 mer än ) 2 mindre än b) 4 mindre än c) mindre än b Kll Kemls ålder för. Skriv ett uttrck för b) Hmid Ndim Lel ) Nbils ålder Keml Abbs b) Ftims ålder Ftim år c) Lels ålder Nbil år Lel år år Alg ebr A lg e br Idrottsklubbens flgg är tre gånger så lång som den är bred. I klubbloklen finns en mtt med tre olik färger. _ Vi kllr mttns längd för. Längden på vrje del blir. 6m Om värdet på är 6 m blir vrje del = 2 m. Vi kllr bredden för. Längden är. är ett uttrck för flggns längd. Om värdet på är 40 cm är bredden 40 cm och längden är 40 cm = 120 cm. Hur lång blir vrje del i mttn i rutn om ) = m Hur lång är flggn i rutn om ) = 60 cm b) = 0 cm c) = 1, m ) delt med 4 Klubben hr också en klubbhndduk. Hur lång är hndduken om ) = 0 cm b) = 0,8 m Vilket uttrck betder dubbelt så mcket som? 2+ _ Vilket uttrck betder 4 gånger så mcket som? 4 b) = 9 m 2 Mttn är fem gånger så lång som den är bred. ) Kll bredden för. Skriv ett uttrck för mttns längd. c) = 4, m Vilket uttrck betder b) 2 c) en tredjedel v _ 4 Skriv ett uttrck som betder ) b) delt med 10 c) z delt med Låt z vr tlet 1. Hur mcket är då ) 4 z z b) c) z + 0 Låt vr tlet 24. Hur mcket är då ) 2 b) 8 Du sk blnd en törstsläckre. Du hr dl citronjuice, = dl. Hur mcket behöver du v ) vtten b) socker c) 12 "Törstsläckre" citronjuice 2 vtten _ socker b) Hur lång är mttn om är 2 m? Alg ebr A lg e br Al ge br 10
5 Sid Uppslget hndlr om tt skriv lgebrisk uttrck utifrån geometrisk figurer och om mönster. Gemensm introduktion till sidn 10 Utgå från en kvdrt och vis elevern tt mn räknr med vribler på smm sätt som med tl = 4 på smm sätt är = = 4 på smm sätt är = 4 Utgå även från en tringel och vis tt = 6 på smm sätt är + + =. Använd sedn de figurer som elevern ritde till introduktionen till förr uppslget eller rit dem igen. Låt elevern räkn ut hur stor omkrets de frhörningrn skulle h om = 6 cm. Gör på smm sätt med = 12 cm. Gemensm introduktion till sidn 11 Rit upp följnde mönster på tvln: Skriv figur 1, 2 och under figurern. Diskuter med elevern hur den fjärde, femte och tionde figuren ser ut. Diskuter också hur mång n kvdrter respektive tringlr det behövs till vrje n figur. Låt elevern komm på egn mönster och diskuter med elevern hur de tänkt. I uppgift 29 d och e kn elevern miss tt räkn med den blå kvdrten. Det kn också vr lätt för elevern tt tro tt det ökr med fem kvdrter istället för fr, för vrje n figur. I uppgift 0 kn det vr br tt förklr tt den svrt siffrn är densmm som figurens nummer, den grön siffrn är det ntl äpplen som det ökr med i vrje figur och den röd ettn är det äpple som finns i ll figurer i mönstret. > > Arbetsbld: : och :4 Sid 12 1 Uppslget behndlr mönster beskrivn med lgebr. Gemensm introduktion Här behövs: Tändstickor Utgå från rutn på sid 12 och låt elevern bgg figur 4 och med tändstickor. Fll gemensmt i tbellen och diskuter hur mn kn komm frm till ett lgebriskt uttrck för figur. Gör på motsvrnde sätt med rutn på sid 1. Gå nog igenom hur det kn komm sig tt de lgebrisk uttrcken skiljer sig åt melln de två mönstren. I uppgift 2 sk elevern gör på smm sätt som i rutn på sid 12 men med ett nnt mönster. Anledningen till tt elevern sk bokför ntlet stickor i en tbell är tt det är lättre tt se hur ntlet stickor ökr med figurens nummer. I tbellen kn de se tt för vrje figur så ökr ntlet stickor med 4. Om figurens nummer är till eempel så är ntlet stickor 4 = 12. Låt elevern kontroller tt det stämmer för ll figurer som de bggt. Antlet stickor i figur nummer är 4. Antlet stickor är lltså proportionellt mot figurens nummer. I uppgift 4 sk elevern gör på smm sätt som i rutn på sidn 1 men med ett nnt mönster. Observer skillnden melln mönstren på sid 12 och 1. På sidn 12 ökr ntlet stickor proportionellt med figurens nummer. På sidn 1 är ökningen lik stor hel tiden men det finns även en stick från börjn. Denn etr stick är mrkerd med rött i genomgångsrutn men inte i uppgift 4. Antlet stickor ökr med för vrje figur så i figur 4 finns det 4 stickor plus en stick till. Låt elevern kontroller tt det stämmer för ll figurer som de bggt. Antlet stickor i figur nummer är + 1. > > Arbetsbld : > > Lä Algebr
6 Fler uttrck Mönster Rektngeln är dubbelt så lång som bred. Ett uttrck för omkretsen blir då =6 Om vi kllr bredden för så blir längden 2. Omkretsen är 6. Här är ett mönster med cirklr och kvdrter. Mönstret ökr med en cirkel och en kvdrt för vrje n figur. Antlet kvdrter är lltid en mer än ntlet cirklr. Om = 4 cm blir omkretsen 6 4 cm = 24 cm. Skriv ett uttrck för omkretsen. ) b) ) Rit figur 4. b) Rit figur. c) Hur mång cirklr är det om ntlet kvdrter är 10? ) b) b Titt på mönstret i rutn. b b b b b Hur lång är omkretsen om ) = cm b) = 12 cm ) Rit figur 4. b) Rit figur. c) Hur mång vit kvdrter är det i figur 6? d) Hur mång fler kvdrter behöver du till vrje n figur? Hur lång är omkretsen om ) = cm e) Hur mång kvdrter är det i figur 10? b) = 8 cm z Hur lång är hästhgens omkrets om z = 2 m? z z Räkn ut hur mång äpplen som finns i ) figur 4 b) figur 10 c) figur 100 z Alg ebr A lg e br Mönster med stickor Här är ett mönster med stickor. Mönstret ökr med tre stickor i vrje n figur. Här är ett nnt mönster med stickor. 1 1 = 2 2 =6 =9 En röd stick från börjn och två n stickor till fig 2. 4 I figur 2 är ntlet stickor 2 = 6. I figur är ntlet stickor. Mn brukr skriv. Figur Figur Antlet stickor Antl stickor = = 2+1=7 4 Mönstret ökr med två stickor i vrje n figur. I vrje figur finns också den röd stickn. = I figur är ntlet stickor I figur är ntlet stickor Mn brukr skriv =2 +1 Titt på mönstret i rutn ovnför. ) Rit figur 4 och rit figur. b) Rit v tbellen och gör den klr. ) Titt på mönstret i rutn ovnför. Rit figur 4 och figur. c) Hur mång stickor behövs det till figur 100? Det betder tt är 100. b) Rit v tbellen och gör den klr. c) Hur mång stickor finns det i figur 100? Det betder tt = 100. Figur Antlet stickor = =7 4 = 12 4 b) Rit v tbellen och gör den klr. c) Skriv det uttrck som visr ntlet stickor i figur. Välj i rutn. Alg ebr Antl stickor 1 4=4 2 4=8 ) Rit figur 4 och figur. d) Hur mång stickor finns det i figur 0? Det betder tt = 0. Figur 1 2 ) Rit figur 4 och figur. b) Rit v tbellen och gör den klr. c) Skriv det uttrck som visr ntlet stickor i figur. Välj i rutn. 4 d) Hur mång stickor finns det i figur 10? Det betder tt = 10. A lg e br Al ge br 10
7 Sid 14 1 Uppslget behndlr likheter, ekvtioner. Gemensm introduktion Skriv ett uttrck och en ekvtion på tvln. Till eempel uttrcket + och ekvtionen + =. Smtl med elevern om skillnden i betdelsen v. I uttrcket kn h vilk värden som helst men i ekvtionen hr ett bestämt värde som går tt räkn ut. Skriv gärn någr fler eempel på tvln där elevern får vgör om det är ett uttrck eller en ekvtion. Smtl om likhetstecknets betdelse. Skriv till eempel följnde likheter på tvln och diskuter vilket tl som måste vr för tt likheten sk stämm. = 4 + = = 8 _ = Låt elevern skriv egn likheter som innehåller ett okänt tl och be en kompis tt räkn ut det okänd tlet. Det är skillnd i betdelse v det okänd tlet i ett uttrck och i en ekvtion. Det kn vr förvirrnde för elevern tt de först får lär sig tt bokstven kn stå för vilket tl som helst och sedn sk de räkn ut vilket värde hr i en ekvtion. Därför är det viktigt tt skillnden i betdelse melln uttrck och ekvtion diskuters och lfts frm. Sidn 14 hndlr om likheter och här är det viktigt tt elevern verkligen förstår tt i en likhet är det lltid lik mcket på båd sidor om likhetstecknet. Sidn 1 visr ett sätt tt bokför uträkningrn när mn löser en ekvtion. Det är br om elevern lär sig tt lltid skriv likhetstecknen under vrndr. > > Arbetsbld: :6 Sid Arbet tillsmmns uppgiften: ) Det är en fördel om elevern ritr hur mönstret blir när mn sätter ihop fler och fler bord. Det blir plts för två personer till för vrje bord. Det finns också lltid plts för två personer, en på vrje kortsid. När mn sätter ihop bord får mn plts med personer. Alltså två till för vrje ntt bord plus de två pltsern på kortsidorn. b) Även här är det en fördel om elevern ritr hur mönstret blir när mn sätter ihop fler och fler bord. Det blir plts för fr personer till för vrje bord. På smm sätt som i uppgiften blir det personer när mn sätter ihop ntl bord. Snt eller flskt kn elevern gör enskilt, i pr eller under lärrens ledning i helklss. > > Lä 1 Fcit till Dignos 1 11 år (0 ) 2 ) + 6 b) 6 c) 6 (4 60) ) b) c) 2 (4 60) 4 ) 8 b) 6 c) 6 (7, 60) 8 (61 64) 6 ) 1 st b) 1 st (6 71) (Arbetsbld :) = 1 (79 81) 9 ) = 17 b) = 6 (82 8) 10 ) = 7 b) = 21 (86 89) Om dignosen gått br fortsätter eleven tt rbet i Tornet (sid. 144). Elever som behöver trän mer går vidre till Rustkmmren på näst sid. Prentesern i fcit visr vilk uppgifter i Rustkmmren som eleven kn öv respektive moment. 106 Algebr
8 Likheter ekvtioner Ekvtioner Ett nnt ord för likhet är ekvtion. + är ett uttrck. Här kn betd olik tl. + = 9 är en likhet. Här är ett obeknt tl som går tt räkn ut. I stället för likhet kn mn säg ekvtion. När mn löser en ekvtion, räknr mn ut vilket tl som gör tt likheten stämmer. Tlet som mn söker, brukr mn kll för. Lös ekvtionen + 8 = 14 = 4 eftersom 4 + = 9. I vilken v rutorn står det A +4 b) en likhet B + 4 = 12 Lös ekvtionen. Börj med tt skriv v ekvtionen. I vilken v rutorn ) kn betd olik tl b) är ett obeknt tl som går tt räkn ut Vilket tl sk stå istället för bokstven så tt likheten stämmer. ) + = b) 8 + = c) 24 = 10 + z ) 9 = 11 6 b) 20 = c) z 12 = 6 ) = 8 + p b) = 40 q c) 0 = r 12 ) = 4 b) = c) = 6 Tlet är 6 eftersom = ) ett uttrck Börj med tt skriv v ekvtionen. Tänk så här: Vilket tl plus 8 är lik med 14? X + 8 = 1 4 Lik mcket på båd sidor om likhetstecknet. ) + 7 = 11 b) + = 12 c) 1 = + 6 ) 9 = 7 b) = 16 c) 20 = 4 ) + = 14 b) 8 = c) 6 = 9 Lös ekvtionen = I vilken likhet är = 10? + = 20 2 = + 1 I vilk likheter är = 8? + 4 = 12 + = = 20 I vilken likhet är z =? 1 = + z 10 z = 12 + z = 16 6=8 Tänk så här: Vilket tl delt med är lik med 8? 40 Tlet är 40 eftersom = 8. När mn löser ekvtioner skriver mn likhetstecknen under vrndr. Lös ekvtionen. Börj med tt skriv v ekvtionen. 2 b) = 10 c) = 8 ) = 1 2 ) 8 = 40 b) 4 = 6 c) 4 = ) = 2 b) 4 = c) = 7 Alg ebr Algebr Arbet tillsmmns Dignos Räkn ut kttens ålder när hunden är år. + Välj i rutn och skriv det uttrck som betder ) 6 mer än 6 b) 6 mindre än +6 c) 6 gånger _ 6 6 Skriv ett uttrck som betder ) mindre än b) en tredjedel v c) dubbelt så mcket som Låt z vr tlet 18. Hur mcket är då z ) z + 20 b) c) 2 z Skriv ett uttrck för omkretsen. Snt eller flskt? Om Hur mång kvdrter finns det i figur ) 4 Antlet stickor kn beskrivs med uttrcket är figurens nummer. b) 10 Skriv det uttrck som visr ntlet kvdrter i figur. Skriv den likhet där =. Figur 1 Alg ebr Figur 2 Figur +1 = = = 1 Lös ekvtionern. I stället för likhet kn mn säg ekvtion. ) + 6 = 2 b) 18 = 12 Ekvtionen ) 4 = 28 b) = A lg e br Al ge br 107
9 Rustkmmren Sid Uppslget hndlr om hur mn skriver uttrck med lgebr och hur mn räknr ut värdet v ett uttrck. Kontroller tt elevern förstår begreppen hälften och dubbelt. Sid Sidn 140 hndlr om tt skriv uttrck för omkretsen v olik figurer. Sidn 141 hndlr om tt rit mönster för tt förstå hur mönstret utveckls för vrje figur. Sid Uppslget hndlr om likheter och ekvtioner. På sidn 142 sk elevern inse skillnden i betdelse på i ett uttrck och i en likhet, en ekvtion. Sedn sk de förstå vd likhetstecknet betder. Det är viktigt tt elevern verkligen förstår tt det lltid sk vr lik mcket på båd sidor om likhetstecknet. En del elever tolkr likhetstecknet i betdelsen blir istället för det korrekt är lik med. Övningrn börjr med lucktl som är välkänd från tidigre årskurser, sedn bter vi ut luckn mot en bokstv. Luckor och bokstäver som okänd tl är plcerde på olik sidor v likhetstecknet för tt elevern sk tolk likhetstecknet rätt. Likheter med tl skrivn som en bokstv brukr klls för ekvtioner. Här löser lltså elevern ekvtioner på ett enkelt sätt. Tornet Sid Uppslget hndlr om förenkling v uttrck. Här nvänds begreppen vribel och förenkling för först gången. Elevern hr rbett med begreppen tidigre på Borggården men inte nvänt orden. Oft är en vribel en bokstv som kn stå för olik värden. När mn förenklr ett uttrck så summerr mn vribeltermer och siffertermer vr för sig så tt uttrcket blir enklre. Uppgift 92 och 9 c) innehåller även en subtrktion och kn innebär en svårighet för elevern. På sidn 14 sk elevern skriv uttrck för längden v en sträck. Uppgiftern ger möjlighet tt skriv uttrcken både som ddition och multipliktion. Till eempel i uppgift 96 ) kn elevern svr både + och 2. Uppmn dem tt skriv multipliktionen 2. Sid Uppslget hndlr om ekvtioner v en svårre tp än de som finns i Borggården. På sidn 147 får elevern en genomgång hur mn kn nvänd ekvtioner vid problemlösning. Det är en mcket nvändbr problemlösningsmetod. Sid Sidn 148 innehåller fler problemlösningsuppgifter där det är meningen tt elevern sk nvänd metoden ekvtionslösning. På sidn 149 finns en Smmnfttning som kn nvänds med Arbetsbld :7 för tt utvärder rbetet med kpitlet. > > Arbetsbld :7 108 Algebr
10 Utmningen Sid Uppgiftern 1 visr tl som kn koppls till geometrisk figurer. Elevern kn först rit figurern. När de ser figurern ritde kn de beskriv mönstret med ord och därefter enkelt t red på t.e. tionde tringeltlet. Uppgift 4 är ett enkelt ekvtionssstem. Elevern kn hitt smbnd på olik sätt för tt få frm värdet på de olik fruktern. Ett enkelt sätt är tt räkn ut vilket tl ett päron motsvrr är tt sätt in värdet för vindruvn och äpplet i den ndr ekvtionen. I uppgift 6 7 kn elevern lös uppgiftern med hjälp v tt prov sig frm eller tt rit bilder. När det gäller tt ställ upp ekvtioner så blir ekvtionen i uppgift 6: = 28 Här är ntlet pojkr. 7: 2 + = 7 Här är ntlet pojkr. 8: = 28 Här är ntlet motorcklr. 9: = 99 Här är ntlet får. I uppgift får elevern lös en uppgift i ) som sedn utveckls till en lgebrisk uppgift i b). I c)-uppgiften blir summn = + och i d)-upp giften blir summn = Algebr 109
11 Gemensmm ktiviteter Mönster med tl Skriv på tvln tlmönstret: Skriv också frågn: Vilket är tlet på Tl 1 Tl 2 Tl Tl 4 plts 0?. Förklr för elevern tt tl 1 i mönstret är 2, tl 2 är 4, tl är 6 osv. Fråg med hur mcket mönstret ökr för vrje ntt tl. Säg och skriv vrtefter: Jg kllr pltsen för tlet i mönstret för och skriver uttrcket 2 som visr vilket tl som står på pltsen för Tl. Tlet på plts 0 är då 2 0 = 100. Låt elevern diskuter prvis en stund och försök förstå lösningen. Låt något pr förklr. Skriv sedn någr liknnde tlmönster med fråg på tvln och låt elevern försök lös dem. T.e Fråg: Vilket tl sk stå på pltsen för Tl 40? Fråg: Vilket tl sk stå på pltsen för Tl 100? Ålder Här behövs: Ppper och penn Elevern rbetr i pr eller grupp. Vrje elev i gruppen kllr sin egen ålder för och skriver sedn ett uttrck för övrig fmiljemedlemmrs ålder på vr sin lpp. Elevern bter sedn lppr med vrndr och räknr ut de olik fmiljemedlemmrns ålder. De lämnr sedn tillbk lpprn med svren, vilk rätts v frågeställren. Tändstickssken Här behövs: Till vrje pr; ppper, penn, tom tändstickssk, bönor/godisbilr/mkroner Elevern rbetr i pr. De skriver en ddition/subtrktion på ppperet i form v ett lucktl, t.e. 8 + = 1. Elevern lägger tändstickssken över luckn, 8 + ASK = 1 och fller sken med det ntl bönor/godisbilr/ mkroner som motsvrr det tl som skns, här dvs. 7. På sken skriver elevern ett stort X. Pren bter plts med vrndr och löser vrndrs ekvtioner. Vilket tl sk stå i stället för X? Dr ut sken och kontroller. Vidreutveckl leken genom tt vis elevern tt de kn plcer sken på olik ställen. Mn kn t.e. skriv uppgiftern 17 = 20 ASK, ASK 6 = 0, 24 = ASK + 18 osv. Elevern får ett ntt ppper tt skriv ett ntt lucktl på och fller sken med det ntl föremål som motsvrr tlet som skns. Algebrspel Här behövs: Till vrje pr; en tärning, ppper och penn. Elevern rbetr i pr. Elevern skriver upp de tio olik uttrcken nedn på ett ppper. En elev slår tärningen. Det värde som tärningen hr blir värdet på. Eleven väljer ett v uttrcken och räknr ut värdet på uttrcket. Värdet på uttrcket blir elevens poäng. Sedn är det den ndres tur tt slå tärningen och räkn ut värdet på ett v de uttrck som återstår och skriv ned hur mång poäng hon får. Den som hr fått flest poäng när uttrcken är slut, hr vunnit Algebr
12 rbetsbld :1 Uttrck 1 Nmn: > > Dr streck melln de som hör ihop. mer än mindre än + mindre än mer än + > > Fll i de åldrr som ftts. Mmm Ppp Storsster Lillebror 0 år år 40 år 20 år år > > Fll i de uttrck som ftts. år år 9 år 4 år 7 år 12 år + 2 z z kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 111
13 rbetsbld :2 Uttrck 2 Nmn: > > Dr streck melln de som hör ihop. gånger mer än En femtedel v _ + 2 mer än 2 mindre än Hälften v Dubbelt så mcket som _ 2 > > Räkn ut uttrckets värde = + 7 = 10 = 4 = = 6 = 10 > > Skriv ett uttrck som betder 4 mer än mindre än gånger så mcket som en tiondel v en femtedel v 7 gånger så mcket som > > Låt vr tlet 18. Hur mcket är då = 6 = + 2 = 2 = > > Låt vr tlet 12. Hur mcket är då 4 = 9 = + 4 = = 112 Algebr kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A
14 rbetsbld : Fler uttrck Nmn: > > Skriv ett uttrck för omkretsen > > ) Skriv ett uttrck för rektngelns omkrets. b) Räkn ut hur lång omkretsen är när = cm = 12 cm > > ) Skriv ett uttrck för rektngelns omkrets. b) Räkn ut hur lång omkretsen är när = 10 m 2 = 2 m kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 11
15 rbetsbld :4 Mönster 1 Nmn: > > Rit figur 4 och. figur 1 figur2 figur figur 4 figur > > Hur mång streck hr ) figur b) figur 10 c) figur 100 > > Rit figur och 4. figur 1 figur2 figur figur 4 figur > > Hur mång vit rutor hr ) figur b) figur 10 c) figur 100 > > Rit figur 4 och. figur 1 figur2 figur figur 4 figur > > Hur mång prickr hr ) figur 6 b) figur 10 c) figur Algebr kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A
16 rbetsbld : Mönster 2 Nmn: >> figur 1 figur2 figur figur 4 figur ) Rit figur 4 och figur. b) Hur mång kulor finns det i figur 6? c) Hur mång kulor finns det i figur 10? d) Skriv ett uttrck som visr ntlet kulor i figur. > > Fll i tbellen. Figur Antl kulor 1 figur 1 figur2 figur ) Hur räknr du ut ntlet kulor i den fjärde figuren? Välj rätt svr b) Räkn ut hur mång kulor det finns i figur 10. c) Räkn ut hur mång kulor det finns i figur 1. d) Skriv det uttrck som visr ntlet kulor i figur > > Fll i tbellen. Figur Antl stickor figur 1 figur2 figur ) Hur räknr du ut ntlet stickor i den fjärde figuren? Välj rätt svr b) Räkn ut hur mång stickor det finns i figur 10. c) Räkn ut hur mång stickor det finns i figur 100. d) Skriv ett uttrck som visr ntlet stickor i figur kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 11
17 rbetsbld :6 Ekvtioner Nmn: >Lös > ekvtionen X + = 1 1 X = = X = 6 + X 2 = X X 6 = X 1 2 = = 2 X 2 = 8 X 2 4 = 4 X = 7 X 2 4 = 6 X = 7 X 116 Algebr kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A
18 rbetsbld :7 Min utvärdering Kpitel : Algebr MtteBorgen 6A Nmn: Dtum: När jg sk: skriv ett uttrck känner jg mig: Säker Gnsk säker Osäker räkn ut vilket värde ett uttrck hr skriv ett uttrck för en omkrets rit fortsättningen på ett mönster förklr med ett uttrck hur ett mönster är uppbggt förklr vd det är för skillnd på ett okänt tl i ett uttrck och i en ekvtion lös en ekvtion Vd i kpitlet vr roligst och vrför? kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 117
Algebra. Kapitel 5 Algebra
Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merEvighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969
Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:
Läs merRationella uttryck. Förlängning och förkortning
Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merMATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?
Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8
Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merStudieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs merGeometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?
Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merIE1204 Digital Design
IE1204 Digitl Design F1 F3 F2 F4 Ö1 Booles lgebr, Grindr MOS-teknologi, minimering F5 F6 Ö2 Aritmetik Ö3 KK1 LAB1 Kombintorisk kretsr F7 F8 Ö4 F9 Ö5 Multipleor KK2 LAB2 Låskretsr, vippor, FSM F10 F11 Ö6
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00
Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merFacit - Tänk och Räkna 4a
Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merdefinitioner och begrepp
0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs meruppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna
uppdrg: mtte Gunnr Kryger ndres Hernvld Hns Perssn Len Zetterqvist Mttespnrn ISN 978-9-7-0- ndres Hernvld, Gunnr Kryger, Hns Perssn, Len Zetterqvist ch Liber re d k t i n Mirvi Unge Thrsén, Mri Österlund
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2
Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr
Läs merLösningsförslag till fråga 5
Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merBokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning
Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merAddition och subtraktion
Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merfreeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)
freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion
Läs merSkriv tydligt! Uppgift 1 (5p)
1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!
Läs merLångtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.
REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merGör slag i saken! Frank Bach
Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn
Läs merTentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.
Tentmen Progrmmeringsteknik II 014-10-4 Skrivtid: 1400 1900 Tänk på följnde Skriv läsligt! Använd inte rödpenn! Skriv r på frmsidn v vrje ppper. Börj lltid ny uppgift på nytt ppper. Lägg uppgiftern i ordning.
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merRepetitionsuppgifter i matematik
Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merRäkneövning 1 atomstruktur
Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren
Läs merAppendix. De plana triangelsatserna. D c
ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste
Läs merMATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi
9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs mertemaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden
temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt
Läs merUttryck höjden mot c påtvåolikasätt:
Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs mera sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0
18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent.
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merNautisk matematik, LNC022, Lösningar
Nutisk mtemtik, LN022, 2012-05-21 Lösningr 1. () För vilken eller vilk vinklr v melln 0 oh 180 är sin v = 0, 25? Räknren ger oss v 14, 5, då finns okså lösningen 180 14, 5 = 165, 5 i det givn intervllet.
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merCHECKLISTA FÖR PERSONALRUM
CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merSPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN
Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merAnvändande av formler för balk på elastiskt underlag
Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller
Läs merNr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten
N KLUBBE 13 Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON Så hjälper du igelkotten i vinter 1 Hej! u är den tiden på året N då djuren förbereder sig för den kll vintern. Mång fåglr flyger långt långt bort till vrmre länder.
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN MaB VT 2002 LÖSNINGAR 3
freeleks NpMB vt00 1() Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 3 MB VT 00 LÖSNINGAR 3 Del I, Digitl verktyg är INTE tillåtn 3 Del I # 1 (/0) Linje med riktningskoefficienten 3............
Läs merKylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]
Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även
Läs merLösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y
Läs mer> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck
> VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET
Läs merMA002X Bastermin - matematik VT16
MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merKOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd
FILIPSTADS KOMMLIN Dtum 2013-03-12 För kdnnedom: Kommunstyrelsen Kommuffillmhige Revisionsrpport ngående gemensm dministrtiv nämnd Vi hr, tillsmmns med revisorem i Kristinehmns, Krlskog och Storfors kommuner
Läs mer6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET
UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merInternetförsäljning av graviditetstester
Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merFÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 21 december Bordsnummer:
FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN Din tentmenskod (6 siffror): ELLER (fyll br i om du sknr tentmenskod): Personnummer: - Dtum: december Kursens nmn (inkl. grupp): Beräkningsvetenskp I (TD393), KF (TD399) Termin
Läs merRåd och hjälpmedel vid teledokumentation
Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls
Läs merKLARA Manual för kemikalieregistrerare
KLARA Mnul för kemiklieregistrerre Version 16.4 (2015-05-08) Utrbetd v Anders Thorén och Björn Orheim Först utgåv 2002-11-01 Innehåll Introduktion 3 Vd är KLARA? 3 Systemkrv och övrig informtion 3 Vd säger
Läs merCampingpolicy för Tanums kommun
1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn
Läs merFrågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.
FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merAvsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter
Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner
Läs mer