NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN MaB VT 2002 LÖSNINGAR 3

Transkript

1 freeleks NpMB vt00 1() Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 3 MB VT 00 LÖSNINGAR 3 Del I, Digitl verktyg är INTE tillåtn 3 Del I # 1 (/0) Linje med riktningskoefficienten Del I # (/0) Utveckl och förenkl Del I # 3 (3/0) Lös ekvtion Del I # 4 (1/0) Tolk grf Del I # 5 (/0) Bestäm k Del I # 6 (1/0) Sttistisk undersökning Del I # 7 (1/1) Geometriskt problem Del I # 8 (1/1) Osnnolik okokt ägg i sockerkkn Del I # 9 (1/) Linjärt ekvtionssystem Del II, Digitl verktyg är tillåtn 1 Del II # 10 (3/0) Linjär ekvtioner Del II # 11 (/1) Vem räknr rätt? Del II # 1 (1/1) Rät linje? Del II # 13 (1// ) Två tärningr Del II # 14 (1/) Geometriskt bevis Del II # 15 (0/) Sttistik Del II # 16 (1/) Pelle kstr sten Del II # 17 (3/4/ ) Linjers skärningspunkt c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

2 freeleks NpMB vt00 () Förord Uppgifter till den äldre kursen MB pssr för tt öv till kursern Mtemtik 1 och Mtemtik enligt Gy 011. Lösningrn refererr till FORMELSAMLINGEN som hör till kursen M. M M Mbc Kom ihåg Mtemtik är tt vr tydlig och logisk Använd tet och inte br formler Rit figur (om det är lämpligt) Förklr införd beteckningr Du sk vis tt du kn Formuler och utvecklr problem, nvänd generell metoder/modeller vid problemlösning. Anlyser och tolk resultt, dr slutstser smt bedöm rimlighet. Genomför bevis och nlyser mtemtisk resonemng. Värder och jämför metoder/modeller. Redovis välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

3 Np MB vt 00 Denn del består v 9 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du freeleks NpMB vt00 3() får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Del I # 1 (/0) Linje med riktningskoefficienten 3 1. ) Rit i ett koordintsystem en rät linje vrs riktningskoefficient är 3. Endst svr fordrs (1/0) M 1 M b) Ange ekvtionen för den linje du ritt. Endst svr fordrs (1/0) Det finns mång linjer som hr riktningskoefficienten 3.. ) Utveckl ( + 3) y Endst svr fordrs (1/0) y = 3 b) Förenkl uttrycket + 5 ( + 4) så långt som möjligt. Endst svr fordrs (1/0) 3. Lös ekvtionern ) = 0 (/0) b) ( 3) = 0 (1/0) 4. Grfen till funktionen y = + ges i figuren. Vilket värde hr? Endst svr fordrs (1/0) Svr Se figuren ovn. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

4 1. ) Rit i ett koordintsystem en rät linje vrs riktningskoefficient är 3. Endst svr fordrs (1/0) freeleks b) Ange ekvtionen för den linje NpMB du ritt. vt00 Endst svr fordrs (1/0) 4() Del I # (/0) Utveckl och förenkl Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs. ) Utveckl ( + 3) Endst svr fordrs (1/0) 1(4) M b) Förenkl uttrycket + 5 ( + 4) så långt som möjligt. Endst svr fordrs (1/0) Algebr I FORMELSAMLINGEN finns Regler 3. Lös ekvtionern Andrgrdsekvtioner ( + b) ) = + + b 6+ b40 = 0 + p + q = 0 (/0) ( b) = b + b b) ( 3) = 0 p p (1/0) ( + b)( b) = b = ± q ) 4. Grfen till funktionen y = + ges i figuren. Aritmetik ( + 3) = = Svr ) Vilket + värde 6 + hr 9? Endst svr fordrs (1/0) Prefi b) T G M k h d c m µ n p ter + 5 ( + 4) = + 17 gig meg } kilo {{} hekto deci centi milli mikro nno piko Svr b) + 17 Potenser y = + y y y y y = ( ) = = 1 b = ( b) b 1 = n n b = 0 = 1 Logritmer y = 10 = lg y lg + lg y = lg y lg lg y = lg y c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se lg p = p lg

5 . ) Utveckl ( + 3) Endst svr fordrs (1/0) freeleks b) Förenkl uttrycket + 5 NpMB ( + 4) vt00 så långt som möjligt. 5() Endst svr fordrs (1/0) Del I # 3 (3/0) Lös ekvtion M 1(4) 3. Lös ekvtionern Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs ) = 0 (/0) b) ( 3) = 0 (1/0) Algebr ) Använd FORMELSAMLINGEN där finns pq-formeln: 4. Grfen till funktionen y = + ges i figuren. Regler Andrgrdsekvtioner Vilket värde hr? Endst svr fordrs (1/0) ( + b) = + b + b + p + q = 0 ( b) = b + b ( + b)( b) = b p = ± p q 0 = }{{}}{{} Aritmetik p=6 q= 40 Med p = 6 och q = 40 får vi Prefi 1 = 3 + ( 3) ( 40) = = = 4 T 1 = G 3 M ( 3) k ( 40) h = d 3 c 49 = m 3 7 = 10 µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Svr ) 1 = 4 och = TIPS: Kontroller lltid tt lösningen uppfyller ekvtionen. }{{} 4 + }{{} = Potenser ( 10) 40 = 0 }{{}}{{} y + y y y y 1 b) Lös = ekvtionen = ( ) = = y( 3) = 0. Denn ekvtion är fktoriserd och därmed sin egen lösning. ( 3) = 0 1 }{{}}{{} b = ( b) = n n b b = 0 =0 =3 = 1 Svr b) = 0 eller = 3. Logritmer y = 10 = lg y c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se lg + lg y = lg y lg lg y = lg y lg p = p lg

6 3. Lös ekvtionern ) = 0 (/0) freeleks b) ( 3) = 0 NpMB vt00 6() (1/0) Del I # 4 (1/0) Tolk grf M 4. Grfen till funktionen y = + ges i figuren. Vilket värde hr? Endst svr fordrs (1/0) Då = 0 blir y = enligt den givn funktionen y = +. Ur grfen frmgår tt y = 4 då = 0. Svr =4. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

7 freeleks NpMB vt00 7() Del I # 5 (/0) Bestäm k Np MB vt Punkten (, 5) ligger på linjen y = k + 4. Bestäm värdet på k. (/0) M 1 M Stopp in = och y = 5 i ekvtionen för linjen 6. Vid en sttistisk undersökning erhölls ett gnsk stort bortfll. y=5hur kn dett = {}}{{}}{ bortfll påverk tolkningen v resulttet? (1/0) y = }{{} k +4 k= 1 ut trillr 7. Punktern A, B och C ligger på en cirkel. k O = är cirkelns 1 medelpunkt.. Bestäm vinklrn i tringeln ABC. Svr k = 1. Mätning i figur ccepters ej (1/1) 8. Ås sk bk en sockerkk och tr två ägg från en krtong med se ägg. Vd hon inte vet är tt hennes son hr vrit busig och bytt ut två v äggen till kokt ägg. ) Vd är snnolikheten tt det först ägget som Ås tr är okokt? Endst svr fordrs (1/0) b) Vd är snnolikheten tt de båd äggen som Ås tr är okokt? (0/1) 9. Figuren nedn kn nvänds för tt grfiskt lös ett linjärt ekvtionssystem. ) Ange lösningen till ekvtionssystemet. Endst svr fordrs (1/0) b) Vilket är ekvtionssystemet? Endst svr fordrs (0/) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

8 Np MB vt 00 freeleks NpMB vt00 8() 5. Punkten (, 5) ligger på linjen y = k + 4. Bestäm värdet på k. (/0) Del I # 6 (1/0) Sttistisk undersökning 6. Vid en sttistisk undersökning erhölls ett gnsk stort bortfll. Hur kn dett bortfll påverk tolkningen v resulttet? (1/0) M Svr Utn bortfll finns ingen osäkerhet. Med ett stort bortfll finns en stor osäkerhet 7. Punktern A, B och C ligger på en cirkel. eftersom det O är inte cirkelns går medelpunkt. tt vet vd bortfllsgruppen Np MB vt 00 tycker. Om bortfllsgruppen, v eempelvis protestskäl, vägrt svr blir undersökningens resultt direkt missvisnde. Bestäm vinklrn i tringeln ABC. Kommentr I Skolverkets rättningsnorm står följnde: Mätning i figur ccepters ej Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng 6. M: 1/0 Godtgbr förklring (Resulttet blir missvisnde om bortfllsgruppens åsikter vviker från åsiktern hos de som svrt.) +1 g (1/1) 7. M 1/1 8. Ås sk Redovisd bk en godtgbr sockerkk beräkning och tr två v ägg en från vinkel en i krtong tringeln med ABC se ägg. Vd hon inte vet Redovisd är tt hennes godtgbr son hr beräkning vrit busig v och ytterligre bytt ut två v vinklr äggen i till kokt ägg. +1 g tringeln ABC (70º, 50º och 60º) +1 vg ) Vd är snnolikheten tt det först ägget som Ås tr är okokt? Endst svr fordrs (1/0) 8. b) Vd är snnolikheten tt de båd äggen som Ås tr är okokt? M 1/1 (0/1) ) 4 Godtgbrt svr ( ) 6 +1 g 9. Figuren nedn kn nvänds för tt grfiskt lös ett linjärt ekvtionssystem. 1 b) Godtgbrt svr ( ) +1 vg ) Ange lösningen till 30ekvtionssystemet. Endst svr fordrs (1/0) 9. b) Vilket är ekvtionssystemet? Endst svr fordrs (0/) M 1/ ) Korrekt lösning till ekvtionssystemet ( =, y = ) +1 g b) En ekvtion korrekt +1 vg y = 4 med ytterligre en korrekt ekvtion y = + +1 vg c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

9 Np MB vt Punkten (, 5) ligger på linjen y = k + 4. Bestäm värdet på k. (/0) freeleks NpMB vt00 9() 6. Vid en sttistisk undersökning erhölls ett gnsk stort bortfll. Hur kn dett bortfll påverk tolkningen v resulttet? (1/0) Del I # 7 (1/1) Geometriskt problem M 7. Punktern A, B och C ligger på en cirkel. O är cirkelns medelpunkt. Bestäm vinklrn i tringeln ABC. Mätning i figur ccepters ej (1/1) 4(4) Börj med bestämm vinkeln BAC. Använd FORMELSAMLINGEN där finns rndvinkelstsen. 8. Ås sk bk en sockerkk och tr två ägg från en krtong med se ägg. Vd hon inte vet är tt hennes son hr vrit busig och bytt ut två v äggen till kokt ägg. Kordstsen Rndvinkelstsen ) Vd är snnolikheten tt det först ägget som Ås tr är okokt? b = cd u = v Endst svr fordrs (1/0) b) Vd är snnolikheten tt de båd äggen som Ås tr är okokt? (0/1) Enligt 9. rndvinkelstsen Figuren nedn kn är nvänds medelpunktsvinkeln för tt grfiskt lös BOC ett dubbelt linjärt ekvtionssystem. så stor som rndvinkeln Pythgors sts Trigonometri BAC. Vi får ) Ange lösningen till ekvtionssystemet. Endst svr fordrs (1/0) c = + b vinkel BOC vinkel BAC = = 140 sin v = b) Vilket är ekvtionssystemet? = 70. c Endst svr fordrs (0/) En vinkel i tringeln ABC är nu känd. Då återstår två b vinklr i tringeln ABC tt cos v = bestämm. Tringeln OBC är likbent. Dett betyderctt vinklrn OBC och OCB är lik stor. En tringels vinkelsumm är 180. Vi får: tn v = vinkel OBC = vinkel OCB = = 0b Vinkeln ABC blir nu: vinkel ABC = = 50 Avståndsformeln Mittpunktsformeln Den sist okänd vinken kn beräkns genom (vinkelsumm 180 i tringel). d = vinkel ( ACB 1) + ( y= y180 1) vinkel 1 + y1 + y }{{ BAC} vinkel } m{{ = ABC} = 60 och ym = Svr Vinklrn är 70, 60 och 50. Sttistik och snnolikhet c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se Stndrdvvikelse ( 1 ) + ( ) ( n ) s = (stickprov) n 1

10 Bestäm vinklrn i tringeln ABC. Mätning i figur ccepters ej freeleks NpMB vt00 10() Del I # 8 (1/1) Osnnolik okokt ägg i sockerkkn (1/1) M 1 8. Ås sk bk en sockerkk och tr två ägg från en krtong med se ägg. Vd hon inte vet är tt hennes son hr vrit busig och bytt ut två v äggen till kokt ägg. ) Vd är snnolikheten tt det först ägget som Ås tr är okokt? Endst svr fordrs (1/0) b) Vd är snnolikheten tt de båd äggen som Ås tr är okokt? (0/1).) 9. Snnolikheten Figuren nedn tt kn först nvänds ägget för tt är grfiskt okokt lös ett linjärt ekvtionssystem. ntl okokt ägg ) totl Ange ntlet lösningen ägg till i krtongen ekvtionssystemet. 6 67% Endst svr fordrs (1/0) Svr.) b) Snnolikheten Vilket är ekvtionssystemet? är 4 lterntivt cirk 67%. 6 Endst svr fordrs (0/) b) Snnolikheten tt det först ägget är okokt är 4. När först ägget är tget återstår 6 5 ägg vrv 3 är okokt. Snnolikheten tt ndr ägget är okokt är ntl kvrvrnde okokt ägg totl ntlet kvrvrnde ägg = 3 5 Snnolikheten tt båd äggen är okokt är = 1 30 = 40% Alterntiv lösning b) Gör en grfiskt inspirerd lösning. Rit ett träddigrm. Det finns totlt 6 ägg vrv 4 är Okokt och är Kokt. 4O K P (O) = 4 6 P (K) = 6 3O K 4O 1K P (O) = 3 5 P (K) = 5 P (O) = 4 5 P (K) = 1 5 P (OO) = = 1 30 P (OK) = = 8 30 P (KO) = = 8 30 P (KK) = = 30 Svr b) Snnolikheten för två okokt ägg är 1 30 = 5 = 0,4 = 40%. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

11 8. Ås sk bk en sockerkk och tr två ägg från en krtong med se ägg. Vd hon inte vet är tt hennes son hr vrit busig och bytt ut två v äggen till kokt ägg. ) Vd är snnolikheten tt det först ägget som Ås tr är okokt? freeleks NpMB vt00 Endst svr fordrs (1/0) 11() b) Vd är snnolikheten tt de båd äggen som Ås tr är okokt? (0/1) Del I # 9 (1/) Linjärt ekvtionssystem M 9. Figuren nedn kn nvänds för tt grfiskt lös ett linjärt ekvtionssystem. ) Ange lösningen till ekvtionssystemet. Endst svr fordrs (1/0) b) Vilket är ekvtionssystemet? Endst svr fordrs (0/) ) Linjern skär vrndr där = och y =. Svr ) Lösningen är = och y =. b) Linjen som hr positiv lutning är y = 1 4 Linjen som hr negtiv lutning är y = + Svr b) + y = 4 + y = Kommentr Det räcker om du nger de två ekvtionern på någon form. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

12 Np MB vt 00 Del II freeleks NpMB vt00 1() Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre Del II # 10 (3/0) Linjär ekvtioner M 10. Johnn och Michel köper CD-skivor i London. CD-skivorn hr färgmrkeringr som kod för priset. Johnn betlr 3 pund för två röd och en blå skiv. Michel betlr 36 pund för en röd och tre blå skivor. Johnns köp kn beskrivs med ekvtionen + y = 3. ) Beskriv Michels köp med en liknnde ekvtion. (1/0) b) Använd ekvtionern för tt beräkn priset på en röd respektive en blå skiv. (/0) Johnn betlr 3 pund för två röd och en blå skiv. Johnns ekvtion är + y = 3 Dett betyder tt röd= och blå=y. 11. Hugo, Ludvig och Fredrik hr ll löst smm olikhet, men de hr fått olik svr. Michel betlr 36 pund för en röd och tre blå skivor. Michels ekvtion blir 18 4 > > > y = > > 8 18 > De två ekvtionern 10 > 10 blir: 10 > > y 1 > = 36 1: > ekvtionen 1 (Michel) 1 > + svr y : = < 3 1 svr :: ekvtionen > 1 (Johnn) svr : < 1 Hugo Ludvig Fredrik Strtegi: Behåll 1: ekvtionen och eliminer (t bort) koefficienten (tlet) frmför i ndr) ekvtionen. Vilken lösning Subtrher är korrekt? 1: ekvtionen från Endst :svr ekvtionen. fordrs Vi får då: (1/0) + 3 y = 36 1: ekvtionen b) Vilk fel gör de ndr? 5 y = 40 ny : ekvtionen utn ger y = 8 (1/1) + 3 y = 36 med y = 8 blir = 1 5 y = I ett koordintsystem finns de tre punkter som mrkerts i figuren. Wilm nser, tt dess tre Svr punkter = 1 och ligger y på = 8. en rät linje. Mdeleine menr, tt punktern inte lls ligger på en rät Kommentr linje utn Du tt det kn br t ekvtionern ser ut så. i vilken ordning du vill. Räknr du rätt blir svret rätt. Undersök vem som hr rätt. (1/1) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

13 blå skiv. Michel betlr 36 pund för en röd och tre blå skivor. Johnns köp kn beskrivs med ekvtionen + y = 3. ) Beskriv Michels köp med en liknnde ekvtion. (1/0) b) Använd ekvtionern för tt beräkn priset freeleks NpMB vt00 13() på en röd respektive en blå skiv. (/0) Del II # 11 (/1) Vem räknr rätt? 11. Hugo, Ludvig och Fredrik hr ll löst smm olikhet, men de hr fått olik svr. M > > > > > > 8 18 > > > 10 1 > > 1 1 > svr : < 1 svr : > 1 svr : < 1 Hugo Ludvig Fredrik ) Vilken lösning är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) b) Vilk fel gör de ndr? (1/1) Hugo gör rätt 18 4 > I ett koordintsystem > 8 + finns 10 de tre ddition punkter som v 4 till bägge sidor mrkerts i figuren. Wilm nser, tt dess tre 10 > 10 subtrktion v 8 från sidor punkter ligger på en rät linje. Mdeleine menr, 1 tt > punktern inte lls ligger division på en rät med 10 v bägge sidor linje utn tt det br ser ut så. Ludvig gör fel 18 Undersök 4 > vem 8 som + hr rätt > 8 subtrktion v 6 till bägge sidor 10 > 10 subtrktion v 10 till bägge sidor (1/1) > 1 FEL division/multipliktion v bägge sidor med 1 Fredrik gör fel 18 4 > > ddition v 4 till bägge sidor 10 > 10 TECKENFEL Svr Se ovn. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

14 1 > > 1 1 > svr : < 1 svr : > 1 svr : < 1 Hugo Ludvig Fredrik ) Vilken lösning är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) freeleks NpMB vt00 14() b) Vilk fel gör de ndr? (1/1) Del II # 1 (1/1) Rät linje? 1. I ett koordintsystem finns de tre punkter som mrkerts i figuren. Wilm nser, tt dess tre punkter ligger på en rät linje. Mdeleine menr, tt punktern inte lls ligger på en rät linje utn tt det br ser ut så. M 1 M Undersök vem som hr rätt. (1/1) (4) Riktningskoefficienten Funktioner k för en linje genom två punkter finns i FORMELSAMLINGEN. Rät linjen y = k + m 1 Andrgrdsfunktioner y y1 k = y = + b + c 0 Vi Potensfunktioner hr tre punkter Eponentilfunktioner A ( 10, 8) B y = ( C 3, 4) y = C > 0 och 1 C ( 6, 1) Melln punktern A och B är riktningskoefficienten k AB = = 4 7 0,5714 och Geometri melln punktern A och C är riktningskoefficienten k AC = 8 ( 1) Tringel 10 ( 6) = 9 16 = 0,565 Prllellogrm De två riktningskoefficientern är olik. De tre punktern kn inte ligg på en linje. bh A = bh A = Svr De tre punktern ligger inte på smm linje. Kommentr Om du vlt tt räkn riktningskoefficenter melln B och C hde du nturligtvis fått smm resultt, lltså tt punktern inte ligger på en rät linje. För punktern Prllelltrpets B och C gäller kh BC ( + b) = 4 ( 1) A = 3 ( 6) = 5 9 0,5556. Cirkel d π A = πr = 4 O = πr = πd c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se Cirkelsektor v b = πr 360 v br Prism V = Bh

15 freeleks NpMB vt00 15() Del II # 13 (1// ) Två tärningr Np MB vt 00 M Per ger sin klsskmrter en chns tt vinn pengr. Spel mitt spel! Sts en kron och kst sedn två sesidig tärningr. Högst tre prickr smmnlgt ger tio kronor tillbk." ) Vd är snnolikheten tt få högst tre prickr när mn kstr två tärningr? (1/0) b) Vem tjänr på spelet, klsskmrtern eller Per? Motiver ditt svr (0// ) ) I tbellen viss ll möjlig utfll vid kst med två tärningr. 14. För tt vis tt vinkelsummn ntl i en tringel kombintioner är 180º kn mn prickr nvänd figuren här bredvid. 1+1 Linjen L är prllell med 3 tringelsidn AB. Då är t.e. lterntvinklrn u och + lik 3+1 stor Vis med hjälp v tet 8 och bild +6 här ovn 3+5 hur 4+4 mn 5+3 kn komm 6+ frm till tt vinkelsummn i en tringel 9 är (1/) När Stins lärre meddelr klssens resultt på ett prov i mtemtik skriver lärren på tvln: snnolikheten tt få högst 3 prickr är = ntl utfll med högst 3 prickr = 3 totl ntlet utfll 36 Miml poäng: 40p Medelvärde: 5p Medin: 1p Antl elever som deltog: 9 Svr ) Snnolikheten tt få högst 3 prickr är 3 Stin hr 5 poäng på provet. Hon påstår tt ntlet klsskmrter som hr bättre resultt på provet än hon hr är lik mång som ntlet klsskmrter som hr sämre resultt än vd hon hr. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se Avgör om Stins påstående är snt eller flskt. Motiver vrför. (0/) 36.

16 freeleks NpMB vt00 16() b) väntd vinst = vinst snnolikhet för vinst väntd vinst = 10 kronor 3 = 0,83 kronor 36 Den väntde vinsten, 0,83 kronor, är mindre än instsen 1 kron. Dett är dåligt för spelrn men br för Per. Svr b) Per tjänr på spelet. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

17 Likformighet Skl Tringlrn ) ABC Vd är snnolikheten tt få högst tre prickr Areskln när mn = kstr (Längdskln) två tärningr? (1/0) freeleks och DEF är b) Vem tjänr på spelet, klsskmrtern NpMB vt00 Volymskln = (Längdskln) 3 eller Per? 17() likformig. Motiver ditt svr (0// ) b c Del= d eii = f# 14 (1/) Geometriskt bevis M 14. För tt vis tt vinkelsummn i en tringel är 180º kn mn nvänd figuren här Topptringel- bredvid. och Bisektrisstsen trnsverslstsen Linjen L är prllell med tringelsidn AB. Om DE är prllell Då är t.e. lterntvinklrn u och lik AD AC med AB gäller = stor. BD BC DE CD CE = = och AB AC BC Vis med hjälp v tet och bild här ovn hur mn kn komm frm till tt CD CE = vinkelsummn i en tringel är 180. (1/) AD BE Använd FORMELSAMLINGEN där finns: Vinklr 15. När Stins lärre meddelr klssens resultt på ett prov i mtemtik skriver lärren på tvln: u + v = 180 Sidovinklr Miml poäng: 40p Medelvärde: 5p Medin: 1p Antl elever som deltog: 9 w = v Vertiklvinklr L 1 skär två prllell linjer L och L 3 v = w Likbelägn vinklr u = w Stin hr Alterntvinklr 5 poäng på provet. Hon påstår tt ntlet klsskmrter som hr bättre resultt på provet än hon hr är lik mång som ntlet klsskmrter som hr sämre resultt än vd hon hr. Enligt uppgiften så är linjen L och tringelsidn AB prllell. Vinklrn u och är Avgör om Stins påstående är snt eller flskt. Motiver vrför. (0/) lterntvinklr och därmed lik stor, lltså gäller u = Vinklrn v och y är också lterntvinklr och därmed också lik stor, lltså gäller: v = y Skolverket För vinklrn u, z och v vid punkten C på linjen L gäller u + z + v = 180 Byt u mot och v mot y, då får vi: + z + y = 180 men + z + y är vinkelsummn i tringeln ABC. Alltså är vinkelsummn i tringeln ABC lik med 180. Svr Se ovn. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

18 Linjen L är prllell med tringelsidn AB. Då är t.e. lterntvinklrn u och lik stor. freeleksvis med hjälp v tet och bild NpMB här ovn vt00 hur mn kn komm frm till tt 18() vinkelsummn i en tringel är 180. (1/) Del II # 15 (0/) Sttistik M 15. När Stins lärre meddelr klssens resultt på ett prov i mtemtik skriver lärren på tvln: Miml poäng: 40p Medelvärde: 5p Medin: 1p Antl elever som deltog: 9 Stin hr 5 poäng på provet. Hon påstår tt ntlet klsskmrter som hr bättre resultt på provet än hon hr är lik mång som ntlet klsskmrter som hr sämre resultt än vd hon hr. Avgör om Stins påstående är snt eller flskt. Motiver vrför. (0/) Medinen är det tl som ligger i mitten. Eempel 11 1 }{{} 13 medin Tlen måste vr ordnde i storleksordning när mn beräknr medinen. Medelvärdet är summn v tlen delt med ntlet tl medelvärde = = 13, 5 Här är skillnden liten. För ndr siffror kn skillnden vr stor. Eempel 11 1 }{{} 13 medin Det stor tlet 1600 påverkr inte medinen men medelvärdet blir påverkt medelvärde = = 13, 5 Här är skillnden melln medin och medelvärde stor. Stin hr blndt smmn medin och medelvärde, hon hr fel. Svr Stin hr fel, motiv se ovn. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

19 freeleks NpMB vt00 19() Del II # 16 (1/) Pelle kstr sten Np MB vt Pelle står på en klipp invid en sjö, och kstr en sten ut över sjön. Efter t sekunder är stenens höjd över vttenytn h(t) meter där h( t) = 8,5 + 9,8t 4,9t M 1(4) ) När befinner sig stenen på höjden 10 meter över vttenytn? (1/1) Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs b) Bestäm stenens högst höjd över vttenytn. (0/1) ) För tt bestämm när när stenen befinner sig 10 meter över vttenytn löser vi ekvtionen 10 = 8,5 + 9,8 t 4,9 t Algebr Dett är en ndrgrdsekvtion, nvänd pq-formeln som finns i FORMELSAMLINGEN. Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b)( b) = b Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 p = ± p q Vi börjr med tt städ 0 = 1,5 + 9,8 t 4,9 t Aritmetik 0 = t t + 1,5 4,9 Nu hr ekvtionen koefficienten (tlet) 1 frmför ndrgrdstermen och vi kn nvänd Prefi pq-formeln. 0 = t t + 1,5/4,9 T G } M {{}} k {{} h d c m µ n p p= q=0,31 ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko t = ,31 = 1 + 0,83 = 1, t = 1 1 0,31 = 1 0,83 = 0,17 Svr ) Stenen befinner sig 10 meter över vttenytn när t = 0,17 sekunder eller t = Potenser 1,83 sekunder. y + y y y y 1 b) En= ndrgrdsfunktion = ( ) = = y hr sitt etremvärde (mimum eller minimum) på symmetrilinjen (mitt emelln t 1 och t ) som här är t = 1. h(1) = 8,5 + 9,8 1 4,9 1 = 13,4 1 b = ( b) = n n b b = 0 = 1 Svr b) Högst punkten är 13,4 meter c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se Logritmer y = 10 = lg y lg + lg y = lg y lg lg y = lg y lg p = p lg

20 freeleks NpMB vt00 0() Del II # 17 (3/4/ ) Linjers skärningspunkt Np MB vt 00 Vid bedömning v ditt rbete med uppgift nummer 17 kommer lärren tt t hänsyn till: Hur väl du beräknr och jämför tringlrns reor Hur väl du motiverr din slutstser Hur väl du beskriver hur ren beror v k Hur väl du redovisr ditt rbete Hur väl du nvänder det mtemtisk språket M 1 M 17. Linjern y = k + 13 och y = + 1 skär vrndr i en punkt som ligger i 1: kvdrnten om k väljs på lämpligt sätt. Då är skärningspunktens koordinter positiv. Låt k = 0 och rit upp de båd linjern. Bestäm skärningspunkten melln linjern. Linjern y = k + 13, y = + 1 smt y-eln bildr en tringel då k = 0. Linjern y = k + 13, y = + 1 smt y-eln bildr en nnn tringel då k = 1. Beräkn och jämför tringlrns reor. Aren v den tringel som begränss v linjern y = k + 13, y = + 1 smt y-eln är beroende v värdet på k. Undersök och beskriv hur ren beror v k, under förutsättningen tt linjern skär vrndr i först kvdrnten. (3/4/ ) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

21 freeleks NpMB vt00 1() Delfråg ett Beräkn skärningspunkten för linjern y = + 1 y = 13. Använd substitutionsmetoden + 1 = 13 ger = 1 som instt i 1: ekvtionen ger =1 {}}{ +1 y = }{{} y=13 Skärningspunkten är (1, 13). Aren blir A = bs höjd = 1 1 = 7. bs 13 1 y = 13 y = höjd (1, 13) Svr Då k = 0 skär linjern vrndr i punkten (1, 13). Se också figuren. (Tips: Kontroller lltid tt du svrr på det frågn gäller. Rätt svr på någon nnn fråg ger ing poäng.) Delfråg två Beräkn skärningspunkten för linjern y = + 1 y = Använd substitutionsmetoden + 1 = + 13 ger = 6 som instt i 1: ekvtionen ger =6 {}}{ +1 y = }{{} y=7 Skärningspunkten är (6, 7). Aren blir A = bs höjd = 1 6 = 36. bs 13 1 y = + 1 y = höjd (6, 7) Svr Tringelns yt för fllet k = 0 är A = 7 och för fllet k = 1 är A = 36. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se

22 freeleks NpMB vt00 () Delfråg tre Beräkn skärningspunkten för linjern y = + 1 y = k Använd substitutionsmetoden + 1 = k + 13 ger 1 = 1 k som instt i 1: ekvtionen ger y }{{} y= 13 k 1 k = = 1 1 k {}}{ +1 Skärningspunkten är ( 1 blir bs höjd A =, 13 k 1 k 1 k ). Aren = 7 1 k bs 13 1 y = k + 1 y = k höjd ( 1 1 k, 13 k ) 1 k Om k = 1 är linjern prllell vilket betyder tt skärningspunkt skns. Alltså gäller k 1. För först kvdrnten gäller tt > 0 y > 0. Av krvet på tt skärningspunkten sk ligg i först kvdrnten får vi 1 1 k > 0 13 k > 0. 1 k För tt dett sk gäll måste k < 1. Svr Linjern skär vrndr i först kvdrnten då k < 1. Aren blir då 7 1 k. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se