NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

Transkript

1 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr till uppgifter utn miniräknre 1 Del I # 1 (/0) Deriver Del I # (/0) Potensekvtion & eponentilekvtion Del I # (1/0) Terrsspunkt? Del I # 4 (/) Lös ekvtionern Del I # 5 (1/0) Vilket lterntiv? Del I # 6 (1/1) Förenkl uttrcken Del I # 7 (0/) Ränt Del I # 8 (4// ) Undersök egenskp hos etrempunkter Förslg på lösningr till uppgifter med miniräknre Del II # 9 (/1) Konisk behållre Del II # 10 (/0) Liss föräldrr spr Del II # 11 (0/1) Rtionellt uttrck Del II # 1 (1/1) Funktioner Del II # 1 (// ) Miml re Del II # 14 (// ) Jordbävningr Del II # 15 (0/) Vildsvinen ökr krftigt Del II # 16 (0/) Derivtns värde Del II # 17 (0// ) Tngent till ndrgrdspolnom Appendi 5 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

2 Kurs plnering.se NpMC vt011 (9) Förord Uppgifter till kursen Mtemtik C duger utmärkt för träning till kurser enligt G 011. Denn version v lösningrn refererr till den FORMELSAMLING som hör till kursen Mtemtik. Provet kommer inte tt åternvänds enligt beslut från Skolverket Dnr:7-009:15. Kom ihåg Mtemtik är tt vr tdlig och logisk Använd tet och inte br formler Rit figur (om det är lämpligt) Förklr införd beteckningr Du sk vis tt du kn Formuler och utvecklr problem, nvänd generell metoder/modeller vid problemlösning. Anlser och tolk resultt, dr slutstser smt bedöm rimlighet. Genomför bevis och nlser mtemtisk resonemng. Värder och jämför metoder/modeller. Redovis välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

3 NpMC vt 011 Prov som sk åternvänds omftts v sekretess enligt 17 kp. 4 offentlighets- och sekretesslgen (009:400). Avsikten är tt dett prov sk kunn åternvänds t.o.m Vid sekretessbedömning sk dett bekts. Anvisningr Provtid Hjälpmedel Provmterilet Provet Poäng och betgsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN minuter för Del I och Del II tillsmmns. Vi rekommenderr tt du nvänder högst 90 minuter för rbetet med Del I. Del I: Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C. Observer tt miniräknre ej är tillåten på denn del. Del II: Miniräknre, även smbolhnternde räknre och Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C. Provmterilet inlämns tillsmmns med din lösningr. Skriv ditt nmn och komvu/gmnsieprogrm på de ppper du lämnr in. Lösningr till Del I sk lämns in innn du får tillgång till miniräknren. Redovis därför ditt rbete med Del I på seprt ppper. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Provet består v totlt 17 uppgifter. Del I består v 8 uppgifter och Del II v 9 uppgifter. Till någr uppgifter (där det står Endst svr fordrs) behöver br ett kort svr nges. Till övrig uppgifter räcker det inte med br ett kort svr utn det krävs tt du skriver ned vd du gör, tt du förklrr din tnkegångr, tt du ritr figurer vid behov och tt du vid numerisk/grfisk problemlösning visr hur du nvänder ditt hjälpmedel. Uppgift 8 är en större uppgift, som kn t upp till en timme tt lös fullständigt. Det är viktigt tt du försöker lös denn uppgift. I uppgiften finns en beskrivning v vd lärren sk t hänsn till vid bedömningen v ditt rbete. Försök tt lös ll uppgiftern. Det kn vr reltivt lätt tt även i slutet v provet få någon poäng för en påbörjd lösning eller redovisning. Även en påbörjd icke slutförd redovisning kn ge underlg för positiv bedömning. Provet ger mimlt 46 poäng. Efter vrje uppgift nges miml ntlet poäng som du kn få för din lösning. Om en uppgift kn ge g-poäng och 1 vg-poäng skrivs dett (/1). Någr uppgifter är mrkerde med, vilket innebär tt de mer än ndr uppgifter erbjuder möjligheter tt vis kunskper som kn koppls till MVG-kriteriern. Undre gräns för provbetget Godkänt: 1 poäng. Väl godkänt: Mcket väl godkänt: 5 poäng vrv minst 7 vg-poäng. 5 poäng vrv minst 14 vg-poäng. Du sk dessutom h vist prov på flertlet v de MVG-kvliteter som de -märkt uppgiftern ger möjlighet tt vis.

4 NpMC vt 011 Krvgränser Dett prov kn ge mimlt 46 poäng, vrv g-poäng. Undre gräns för provbetget Godkänt: 1 poäng. Väl godkänt: 5 poäng vrv minst 7 vg-poäng. Mcket väl godkänt: 5 poäng vrv minst 14 vg-poäng. Eleven sk dessutom h vist prov på minst tre olik MVG-kvliteter v de fr MVG-kvliteter som är möjlig tt vis i dett prov. De -märkt uppgiftern i dett prov ger möjlighet tt vis fr olik MVG-kvliteter, se tbellen nedn. Uppgift MVG-kvlitet 8 1b 14d 17 Formulerr och utvecklr problem, nvänder generell metoder/modeller vid problemlösning Anlserr och tolkr resultt, drr slutstser smt bedömer rimlighet Genomför bevis och/eller nlserr mtemtisk resonemng Värderr och jämför metoder/modeller Redovisr välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk 5

5 NpMC vt 011 Del I Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. 1. Deriver ) f ( ) = 5 Endst svr fordrs (1/0) + b) g ( ) = e 7 Endst svr fordrs (1/0). Lös ekvtionern och svr ekt. ) 6 5 = 4 Endst svr fordrs (1/0) b) 6 = 4 Endst svr fordrs (1/0). Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser ut. Hn ritr upp grfen på sin räknre, se figur. Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! Kn Klle, utifrån den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. (1/0) 4. Lös ekvtionern 5 ) 4 = 0 (/0) b) lg + lg = (0/)

6 NpMC vt För funktionen f gäller tt f ( ) = e Vilket v följnde påståenden A-E är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) A. f hr egenskpen tt för ll gäller tt f ( ) = f ( ) B. f är en eponentilfunktion med bsen e där e 1, 718 C. f hr en grf som går genom punkten ( 1, 0) D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 E. f hr egenskpen tt f ( 1) = 0 6. Förenkl följnde uttrck så långt som möjligt. ) b) (17 + ) ( + 17) (8 ) (4 ) 4 (1/0) (0/1) 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. Teckn ett funktionsuttrck som nger hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/)

7 NpMC vt 011 Vid bedömningen v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t hänsn till: Hur väl du utför din beräkningr Hur långt mot en generell lösning du kommer Hur väl du motiverr din slutstser Hur väl du redovisr ditt rbete Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. I den här uppgiften sk du undersök en egenskp hos etrempunktern till de k funktioner som ges v f ( ) = där k är en konstnt. Tbellen visr koordintern hos etrempunktern till funktionen f för någr olik värden på k. k Etrempunkt/er ( 0, 0) och (, 9) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) 0 ( 0, 0) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) ( 0, 0) och (,9) Kompletter tbellen genom tt beräkn koordintern för etrempunktern då k =, det vill säg då funktionen ges v f ( ) = Studer etrempunktern i tbellen. De ligger på grfen till en nnn funktion som vi kllr g. Ange det funktionsuttrck g () som du tcker är troligt och motiver ditt vl. Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det lltid gäller tt k etrempunktern till f ( ) = ligger på grfen till funktionen g. (4// )

8 NpMC vt 011 Del II Denn del består v 9 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. 9. En konisk behållre flls med vtten. Digrmmet visr hur vttennivåns höjd h i centimeter beror v tiden t i sekunder. ) Det tr 100 sekunder tt fll behållren. Med vilken medelhstighet ökr vttennivåns höjd h under tidsperioden 10 t 100? (/0) b) Tolk vd h ( 50) = 0, 0 betder i dett smmnhng, det vill säg då konen flls med vtten. (0/1) 10. Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig räntestsen är %. Föräldrrn gör den först insättningen det år Lis fller år och sätter sedn in pengr till och med det år hon fller 0 år. Hur mcket pengr kommer det tt finns på kontot direkt efter den sist insättningen? (/0) 11. Ge ett eempel på ett rtionellt uttrck som inte är definiert för = och som hr värdet då = 0 Endst svr fordrs (0/1)

9 NpMC vt Figuren visr grfern till fr funktioner p, q, r och s. Funktionen p är en polnomfunktion v tredje grden. De ndr funktionern hr bildts genom upprepd derivering v p, det vill säg: q( ) = p ( ) r( ) = q ( ) s( ) = r ( ) Pr ihop funktionern p, q, r och s med tillhörnde grf A, B, C och D. Endst svr fordrs (0/1) 1. Grfest kommun sk bgg en bollpln. Den sk vr rektngulär med stängsel runtomkring. För tt inte bollrn sk hmn ute på vägen bestämmer mn sig för tt bgg ett högre stängsel på den sid som ligger närmst vägen, se figur. Kommunen hr bestämt tt stängslet mimlt får kost 6600 kr. Det lägre stängslet kostr 75 kr/m och det högre 5 kr/m. Kostnden för stolpr och grindr ingår i priset för stängslet. Om kommunen nvänder 6600 kr till stängslet kn bollplnens re A m beräkns enligt nednstående smbnd: A( ) = 44 där m är längden på bollplnens sid närmst vägen. ) Bestäm med hjälp v derivt det värde på som ger bollplnens miml re. (/0) b) Vis tt bollplnens re A m kn skrivs A( ) = 44 (0// )

10 NpMC vt I Sverige är jordbävningr vnligre än vd mn kn tro, men oftst är de så svg tt de knppt märks. Med hjälp v Richterskln kn strkn i en jordbävning nges med mgnituden M. Mgnituden M ges v smbndet M = (lg E 4,84) där E är den frigjord energin mätt i enheten joule, J. ) Den 16 december 008 skkdes Skåne v en jordbävning som vr krftig 11 för tt vr i Sverige. Då frigjordes energin,75 10 J. Vilken mgnitud motsvrr dett på Richterskln? (1/0) b) Den krftigste uppmätt jordbävningen i Sverige klls Kosterösklvet och det inträffde den oktober Mgnituden mätte 5,4 på Richterskln. Hur mcket energi frigjordes vid Kosterösklvet? (/0) c) Utgå från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är 5 och den ndr hr en mgnitud som är 7. Hur mång gånger större är den frigjord energin hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre? (0/1) d) Utgå återigen från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är två enheter större än den ndr. Undersök generellt hur mång gånger större den frigjord energin är hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre. (0/1/ ) 15. Antlet vildsvin i Sverige ökr krftigt. Från en rpport är följnde citt hämtt: År 007 beräkndes ntlet vildsvin uppgå till cirk från Skåne och upp till Dlälven som ännu så länge utgör den nordlig gränsen för utbredningen. --- Från 1990 till 007 hr vildsvinspopultionen hft en så strk tillvät tt ntlet vildsvin i Sverige fördubblts vrt femte-sjätte år. Käll: Svensk Nturförvltning AB (008), Rpport 04, Vildsvin, jkt och förvltning Ant tt ntlet vildsvin uppsktts vid smm tidpunkt vrje år. Utifrån cittet kn mn gör olik prognoser om ntlet vildsvin i Sverige i frmtiden. Hur mång vildsvin kn det finns som mest i Sverige när mn uppskttr ntlet år 011 om tillväten fortsätter i den tkt som beskrivs ovn? (0/)

11 NpMC vt Nedn ges derivtns värde hos en funktion f i en given punkt P. (( + h) lim h ) ( h 5 + ) = 80 ) Ange funktionen f Endst svr fordrs (0/1) b) En tngent drs i punkten P. Bestäm tngentens ekvtion. (0/) 17. Nedn viss grfen till en ndrgrdsfunktion som hr nollställen 1 = och = 4, se figur. Grfen skär -eln i punkten ( 0, p ). Ant tt vi drr en tngent till grfen i punkten ( 0, p ). Bestäm lutningen för denn tngent uttrckt i p. (0// )

12 NpMC vt 011 Del I Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Del I # 1 (/0) Deriver 1. Deriver (6) ) f ( ) = 5 Endst svr fordrs (1/0) Differentil- och integrlklkl b) ( ) = e g + 7 Endst svr fordrs (1/0) Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = lim = lim h 0 h Använd FORMELSAMLINGEN. Lös ekvtionern och svr ekt. Derivtor ) 6 5 = 4 Funktion Derivt Endst svr fordrs (1/0) b) 6 = 4 n där n är ett reellt tl n 1 n ( > 0) ln Endst svr fordrs (1/0) e e. Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser ut. Hn ritr upp grfen k e på sin räknre, se figur. k k e ) Funktionen är 1 1 f() = 5 då blir derivtn f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) f () = 5 Svr Primitiv ) f () = 6 Funktion 5 funktioner k b) Funktionen är Primitiv funktion k + C n n f() = e + 7 ( n 1) + C n + 1 då blirhn derivtn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! f () = e e e + C Kn Klle, utifrån den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. k (1/0) k e Svr b) f () = e e + C k + 1 Kommentr Derivtn 4. Lös ekvtionern v konstnten 7 är 0. ( > 0, 1) + C ln 5 ) 4 = 0 (/0) b) lg + lg = (0/) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

13 miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Regler 1. Deriver ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b ( + b)( b) = b Formler Kurs plnering ) f ( till.se ) = ntionellt 5 prov i mtemtik + b = NpMC vt011 Endst ( + b)( svr kurs fordrs b + b ) 1(9) (1/0) b = ( b)( + b + b ) b) ( ) = e Algebr g + 7 Endst svr fordrs (1/0) Del I # (/0) Potensekvtion & eponentilekvtion p p Andrgrdsekvtioner Regler p q = 0 ( + b) = + b + b = ( b± ) = q b + b b ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b. Lös ekvtionern och svr ekt. ( + b)( b) = b Aritmetik ) b = ( + b)( b + b ) = 4 Endst svr fordrs (1/0) b = ( b)( + b + b ) Prefi T G M k h d c m µ n p b) 6 = 4 Endst svr fordrs (1/0) ) I FORMELSAMLINGEN p p Andrgrdsekvtioner finns + 10p 6 följnde + q10 = 0 regler 10 = 10-1 ± q Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser Potenser ut. Hn ritr upp grfen + på = sin räknre, se = figur. 1 ( ) = = Aritmetik = = 4 1 Svr ) 4 1 lg + lg = lg lg lg = lg p 5 lterntivt 5 = b = ( b) n 4 b b n = 0 = 1 lg = p lg Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! b) Logritmer eponentilekvtionen Absolutbelopp Kn Klle, utifrån om 0 6 n Geometrisk n 1 ( k= 4 1) och nvänd FORMELSAMLINGEN för tt få ner på rden. + k = + k k = där k 1 summ den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en om < 0 k 1 terrsspunkt? Motiver ditt svr. (1/0) 4. Lös ekvtionern lg + lg = lg ( + b) = + b + b 5 ) 4 = 0 (/0) log 6 = log Absolutbelopp om 0 4 = b) log 6 lg = + log lg 4= om < 0 Skolverket (0/) log 4 = log 6 log 4 Svr b) = log 6 ( b) = b + b b ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 1 = b = ( b n n b b = 0 = 1 ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Prefi T G M k h d c m µ n p ) n Geometrisk n 1 ( k 1) Börj med tt städ, + behåll k + k i vänsterledet + k = där k 1 summ k 1 5 = 4 6 = Potenser = = ( ) = = Logritmer ( 5 ) 1 5 = = 10 = lg = e = ln Logritmer = 10 = lg = e = ln lg lg = lg lg p = p lg 1(6) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se Skolverket

14 . Lös ekvtionern och svr ekt. Kurs plnering ) 6 5 = 4 Endst svr fordrs (1/0).se NpMC vt011 14(9) b) 6 = 4 Del I # (1/0) Terrsspunkt? Endst svr fordrs (1/0). Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser ut. Hn ritr upp grfen på sin räknre, se figur. Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! Kn Klle, utifrån den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. (1/0) En terrsspunkt är en punkt där funktionens derivt är noll och där teckenvälingen är eller 0. Här hr vi inte kunskp om vd derivtn är i någon punkt. För tt kunn 4. Lös vrekvtionern säkr på vd derivtn är måste vi h derivtn på prmetrisk form (lltså en formel). I Appendi på sidn 5 finns fr olik grfer presenterde som ll ser ut tt 5 h en terrsspunkt. ) 4 Endst = 0 en hr terrsspunkt. (/0) Kommentr b) lg När + lg uppgiften = till Klle är tt t red på hur grfen till en viss (0/) tredjegrdsfunktion ser ut är Klles svr tt det ser ut som grfen hr en terrsspunkt korrekt. Frågn till Klle gällde inte vilken sorts etrempunkt som eventuellt döljer sig i grfen. För tt kunn nttj sin miniräknre måste Klle vet formeln för tredjegrdspolnomet. När Klle vet formeln för polnomet är det en stndrdprocedur tt undersök etrempunkter. Kommentr Skolverket skriver följnde i rättningsnormen Det godtgbr svret sk ntingen känneteckns v tt eleven påpekr tt det kn finns mimi- och minimipunkter som inte sns eller v tt eleven påpekr tt om det är en terrsspunkt kn Klle ändå inte vr säker på dett genom tt endst titt på sin räknre eftersom hn ldrig med blott ögt kn se om kurvns tngent är horisontell eller hr en positiv/negtiv lutning. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

15 Algebr Regler Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! ( + b) = + b + b ( b) = b + b b Kurs plnering.se NpMC vt011 15(9) Kn Klle, utifrån ( b) den = bild hn b + ser b på sin räknre, ( + b) vr = säker + på b tt + b grfen + b hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. ( + b)( b) = b (1/0) Del I # 4 (/) Lös ekvtionern + b = ( + b)( b + b ) b = ( b)( + b + b ) 4. Lös ekvtionern p p 5 + p + q = ) 4 = 0 = ± q (/0) Andrgrdsekvtioner 0 b) lg + lg = (0/) Aritmetik ) Ekvtionen är Prefi T 0 = 4 G 5 M k h d c m µ n p. ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Börj med tt fktoriser ekvtionen 0 = 10 1 ( } {{ } ) 10 6 }{{} : fktorn : fktorn 1: fktorn 0 = 4 ger två rötter 1 och =. : fktorn 0 = + 1 Potenser = = ger en trippelrot ( ) = = 0 Svr ) 1 = +, = och = 0 b = ( b) b b 1 = n n = b) Ekvtionen är lg + lg = n Geometrisk n 1 ( k 1) + k + k k = där k 1 Använd summ FORMELSAMLINGEN där finns följnde k 1 formler. 0 = 1 Logritmer = 10 = lg = e = ln lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg lg + lg = Absolutbelopp om 0 = } {{ } }{{} om < 0 lg lg 1000 Vi hr lltså = 1000 Svr b) = Skolverket c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

16 Kurs plnering.se NpMC vt011 16(9) Del I # 5 (1/0) Vilket lterntiv? NpMC vt För funktionen f gäller tt f ( ) = e Vilket v följnde påståenden A-E är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) A. f hr egenskpen tt för ll gäller tt f ( ) = f ( ) B. f är en eponentilfunktion med bsen e där e 1, 718 C. f hr en grf som går genom punkten ( 1, 0) D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 E. f hr egenskpen tt f ( 1) NpMC = 0 vt 011 A5. KORREKT För funktionen se f FORMELSAMLINGEN. gäller tt f ( ) = e B6. Förenkl Vilket fel v följnde Rättuttrck påståenden värde så ärlångt e A-E =, som är korrekt? möjligt. Endst... här svr duger fordrs,718. (1/0) C f(1) = e 1 =,718 0 D A. felf hr egenskpen (17 + ) f () = e tt > för 0 och ll därmed gäller tt är f funktionen ( ) = f ( ) vände för ll. E ) fel f ( + 17) () = e och därmed är f (1) =, Tecknet B. betder f är en eponentilfunktion inte lik med enligt interntionell med bsen e där stndrd. e 1, 718 (1/0) Svr C. b) Alterntiv f (8hr en A ) grf är korrekt som går genom punkten ( 1, 0) 4 (4 ) D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 Del I # 6 (1/1) Förenkl uttrcken E. f hr egenskpen tt f ( 1) = 0 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. (0/1) 6. Förenkl Teckn ett följnde funktionsuttrck uttrck så som långt nger som möjligt. hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/) (17 + ) ) (1/0) ( + 17) b) (8 ) (4 ) 4 (0/1) 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se Teckn ett funktionsuttrck som nger hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/)

17 ( b) = b + b ( + b)( b) = b Kurs plnering.se NpMC vt011 17(9) p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q ) NpMC vt 011 (17 + ) ( + 17) ( + 17)( + 17)( + 17) = = = + 17 ( + 17) ( + 17) ( + 5. För funktionen f gäller tt f ( ) = e 17)( + 17) Aritmetik Vilket v följnde påståenden A-E är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) Svr ) Prefi A. f hr egenskpen T G tt M för ll k gäller h tt f d ( ) = fc ( ) m µ n p b) I B. FORMELSAMLINGEN f är en 10 eponentilfunktion finns 10 6 räkneregler 10 med bsen 10 för e 10 där potenser. -1 e 10 1, ( + b) = + b + b + b + b = ( + b)( b + b b = ( b)( + b + b ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko C. f hr en grf som går genom punkten ( 1, 0) + Potenser = ) = D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 E. f hr egenskpen tt f ( 1) = 0 b = ( b) b = ( = 1 = n n b = ) ) 0 = 1 1 Geometrisk n 1 ( k 1) Börj = där k 1 summ 6. med Förenkl tt fktoriser följnde uttrck k (8 så ) långt k = som (4 möjligt. ). (8 ) [ (4 k 1 )] = = (4 ) = (4 ) 4 (4 ) 4 (4 ) 4 (4 ) = 8 (17 + ) (4 ) Logritmer ) = 10 = lg = e = ln 8 Svr b) (4 ). ( + 17) lg + lg = lg lg lg = lg lg (8 ) b) 4 Del I # (4 7 ) (0/) Absolutbelopp om Ränt 0 = om < 0 n p = p lg (1/0) (0/1) 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. Teckn ett funktionsuttrck som nger hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/) Skolverket Procent betder hundrdel och beteckns med smbolen %, r % betder lltså Efter 1 år hr instsen ( B vät till B 1 + r ) 100 Efter år hr instsen ( B vät till B 1 + r ) ( 1 + r ) Efter år är det totl kpitlet r 100. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

18 Kurs plnering.se NpMC vt011 18(9) Svr ( K = B 1 + r 100 ( K = B 1 + r 100 ) ) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

19 NpMC vt 011 Vid bedömningen v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t hänsn till: Hur väl du utför din beräkningr Kurs plnering.se NpMC vt011 19(9) Hur långt mot en generell lösning du kommer Hur väl du motiverr din slutstser Del Hur I väl # du redovisr 8 (4// ) ditt rbete Undersök egenskp hos etrempunkter Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. I den här uppgiften sk du undersök en egenskp hos etrempunktern till de k funktioner som ges v f ( ) = där k är en konstnt. Tbellen visr koordintern hos etrempunktern till funktionen f för någr olik värden på k. k Etrempunkt/er ( 0, 0) och (, 9) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) 0 ( 0, 0) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) ( 0, 0) och (,9) Kompletter tbellen genom tt beräkn koordintern för etrempunktern då k =, det vill säg då funktionen ges v f ( ) = Studer etrempunktern i tbellen. De ligger på grfen till en nnn funktion som vi kllr g. Ange det funktionsuttrck g () som du tcker är troligt och motiver ditt vl. Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det lltid gäller tt k etrempunktern till f ( ) = ligger på grfen till funktionen g. (4// ) #1 Då k = är f() = som hr etrempunkter då f () = 0 lltså c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

20 Kurs plnering.se NpMC vt011 0(9) Etrempunktern blir (0, f(0)) = (0, 0) 0 = 6 = respektive (, f()) = (, 4). Tbellen blir ( ). }{{} } {{ } =0 = k Etrempunkter - (0,0) och (-, 9) -1 (0,0) och (-6,6) 0 (0,0) 1 (0,0) och ( 6,6) (0,0) och (, 9) (0,0) och (, 4) # Rit figur. Punktern ligger på grfen till ett : grdspolnom med minimum i origo. Polnomet g() = pssr till smtlig punkter i tbellen. ( 6, 6) (6, 6) (, 9) (0, 0) (, 9) (, 4) # Undersökning för godtckligt k. Polnomet f() = k (1) hr etrempunkter då f () = 0 lltså då 0 = 6 k = }{{} (6 k ). } {{ } () 1: fktorn : fktorn 1: fktorn i ekvtion () ger lösningen 1 = 0. : fktorn i ekvtion () ger lösningen c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

21 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) = 6 k då k 0. För fllet k = 0 ger : fktorn ingen lösning eftersom : fktorn är 6 när k = 0. När k = 0 så degenerr :e grdspolnomet (1) till ett : grdspolnom som endst hr en minimipunkt (0, 0). Hur är det med f( )? Beräkn f( ) = ( ) k 6 k f( ) = 6 k 6 k k ( 6 k ) f( ) = 6 k 6 k = 6 k =. Smmnfttning För fllet k = 0 ligger den end etrempunkten (minimipunkt) (0, 0) på grfen till g() =. För fllet k 0 ligger bägge etrempunkter 1 och på grfen till g() =. Det gäller lltså oberoende v k tt etrempunktern till f() ligger på grfen till polnomet g() =. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

22 NpMC vt 011 Kurs plnering.se NpMC Del II vt011 (9) Denn del består v 9 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Del II # 9 (/1) Konisk behållre 9. En konisk behållre flls med vtten. Digrmmet visr hur vttennivåns höjd h i centimeter beror v tiden t i sekunder. ) Det tr 100 sekunder tt fll behållren. Med vilken medelhstighet ökr vttennivåns höjd h under tidsperioden 10 t 100? (/0) b) Tolk vd h ( 50) = 0, 0 betder i dett smmnhng, det vill säg då konen flls med vtten. (0/1) ) Bestäm medelhstigheten under tidsperioden 10 < t < Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig medelhstighet räntestsen är %. = h Föräldrrn t gör den först insättningen det år Lis fller år och sätter t sedn = in 100 pengr 10till och med det år hon fller 0 år. Hur mcket h pengr = kommer h det tt finns på kontot direkt efter den sist slut h strt insättningen? (/0) Avläsning v höjden då t = 100 ur figuren ger h slut = 40 och höjden då t = 10 ger h strt = 17,5 11. Ge ett eempel på ett rtionellt 40 17,5 uttrck som inte är definiert för = och medelhstighet som hr värdet då = = 0 = 0, Endst svr fordrs (0/1) Svr ) Svr b) Medelhstigheten är 0,5 cm/s. h (50) = 0,0 betder tt vttennivån ökr med 0,0 cm/s då h = 50 cm. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

23 p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q ) Det tr 100 sekunder tt fll behållren. Med vilken medelhstighet ökr Kurs plnering vttennivåns höjd h under tidsperioden 10 t 100? (/0).se NpMC vt011 (9) Aritmetik b) Tolk vd h ( 50) = 0, 0 betder i dett smmnhng, det vill säg då konen Del Prefi II # flls 10 med (/0) vtten. Liss föräldrr spr (0/1) T G M k h d c m µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig räntestsen är %. Föräldrrn gör den först insättningen det år Lis fller år och sätter sedn in pengr + till och med det år hon fller 0 år. 1 Potenser = = ( ) = = Hur mcket pengr kommer det tt finns på kontot direkt efter den sist insättningen? (/0) 1 = Använd FORMELSAMLINGEN. b = ( b) n n b b = 0 = Geometrisk ett eempel på ett rtionellt uttrck n 1 som ( k inte 1) + k + k k = är där definiert k 1 för = och summ som hr värdet då = 0 k 1 Endst svr fordrs (0/1) Noter Logritmer hur n 1 och = n10 förekommer = lg i formeln = för e summ = ln v geometrisk serie. Vänsterledet i formeln hr n stcken termer numrerde från 0 till n 1. I Liss fll blir termern lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg 1000 (1,0 9 1) = 1,0 1 }{{} , ,0 8. } {{ } } {{ } Absolutbelopp Lis om 0 0år Lis 9 år Lis år = 1,0 om < 0 0 1,0 1 1,0 8 Högerledet i serien ovn hr 9 termer numrerde från 0 till 8. Miniräknren ger 1000 (1,0 9 1) = ,0 1 Svr kr. n Kommentr I problem v denn tp är det viktigt tt vr noggrnn. Det är lätt tt gör fel på ntlet termer Skolverket c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

24 10. Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig räntestsen är %. Föräldrrn gör den först insättningen det år Lis fller Kurs plnering år och sätter sedn in pengr till och med det år hon fller 0 år. Hur mcket.se pengr kommer det tt NpMC finns på vt011 kontot direkt efter den sist 4(9) insättningen? (/0) Del II # 11 (0/1) Rtionellt uttrck 11. Ge ett eempel på ett rtionellt uttrck som inte är definiert för = och som hr värdet då = 0 Endst svr fordrs (0/1) Ett rtionellt tl är kvoten v två heltl, eempelvis p där p och q är heltl. Tlet q får q inte vr 0, då det inte går tt divider med noll. Ett rtionellt uttrck är kvoten v två polnom, eempelvis P () Q() där P () och Q() är polnom. Uttrcket är definiert för ll utom de där Q() = 0. Det går inte tt divider med noll. Vi sk skp ett rtionellt uttrck som inte är definiert för =. Det rtionell uttrcket P () är inte definiert för = och hr värdet P (0) 0 då = 0. Enligt uppgiften sk vi skp ett rtionellt uttrck som hr värdet då = 0. Välj lämpligt P (). Det finns mång möjligheter eempelvis P () = 6 eller P () = 6. Svr Uttrcket 6 uppfller de två krven. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

25 Kurs plnering.se NpMC vt011 5(9) Del II # 1 (1/1) Funktioner NpMC vt Figuren visr grfern till fr funktioner p, q, r och s. Funktionen p är en polnomfunktion v tredje grden. De ndr funktionern hr bildts genom upprepd derivering v p, det vill säg: q( ) = p ( ) r( ) = q ( ) s( ) = r ( ) Pr ihop funktionern p, q, r och s med tillhörnde grf A, B, C och D. Endst svr fordrs (0/1) p C Endst kurvn C i bilden är en :e grdsfunktion 1. q = p Grfest A Derivtn kommun sk v bgg :e grdsfunktion en bollpln. Den ärsk :vr grdsfunktion. rektngulär med stängsel runtomkring. Kurvn För Att ärinte en bollrn : grdsfunktion sk hmn med ute på ett vägen minimum. bestämmer mn sig för tt r = p bgg D ett Derivtn högre stängsel v enpå :den grdsfunktion sid som ligger äenärmst 1: grdsfunktion, vägen, se figur. lltså en linjär funktion. Kurvn D är en linjär funktion med lutning. s = r B Derivtn v en linjär funktion med konstnt lutning är konstnt. Kurvn B är en konstnt funktion Svr se ovn. Kommunen hr bestämt tt stängslet mimlt får kost 6600 kr. Det lägre stängslet kostr 75 kr/m och det högre 5 kr/m. Kostnden för stolpr och grindr ingår i priset för stängslet. Om kommunen nvänder 6600 kr till stängslet kn bollplnens re A m beräkns enligt nednstående smbnd: c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se A( ) = 44 där m är längden på bollplnens sid närmst vägen. ) Bestäm med hjälp v derivt det värde på som ger bollplnens miml re. (/0) b) Vis tt bollplnens re A m kn skrivs A( ) = 44

26 Funktionen p är en polnomfunktion v tredje grden. De ndr funktionern hr bildts genom upprepd derivering v p, det vill säg: q( ) = p ( ) r( ) = q ( ) Kurs plnering s( ) = r ( ).se NpMC vt011 6(9) Pr ihop funktionern p, q, r och s med tillhörnde grf A, B, C och D. Endst svr fordrs (0/1) Del II # 1 (// ) Miml re 1. Grfest kommun sk bgg en bollpln. Den sk vr rektngulär med stängsel runtomkring. För tt inte bollrn sk hmn ute på vägen bestämmer mn sig för tt bgg ett högre stängsel på den sid som ligger närmst vägen, se figur. Kommunen hr bestämt tt stängslet mimlt får kost 6600 kr. Det lägre stängslet kostr 75 kr/m och det högre 5 kr/m. Kostnden för stolpr och grindr ingår i priset för stängslet. Om kommunen nvänder 6600 kr till stängslet kn bollplnens re A m beräkns enligt nednstående smbnd: A( ) = 44 där m är längden på bollplnens sid närmst vägen. ) Bestäm med hjälp v derivt det värde på som ger bollplnens miml re. (/0) (6) b) Vis tt bollplnens re A m kn skrivs Differentil- och integrlklkl A( ) = 44 (0// ) ) Deriver funktionen Derivtns definition f ( + h) f ( ) A() = 44 f ( ) = lim = lim h 0 h Använd FORMELSAMLINGEN där finns f ( ) f ( ) Derivtor Funktion Derivt n där n är ett reellt tl n 1 n ( > 0) ln A () = 44 Derivtn är noll vid etremvärden. e Lös ekvtionen e 0 = 44 4 k k e k e som ger 1 1 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) Primitiv Funktion Primitiv funktion

27 Kurs plnering.se NpMC vt011 7(9) = 11. Med teckentbell konstters tt A(11) är en mimipunkt. = 10 = 11 = 1 A () + 0 A() väer m-punkt vtr Alterntivt kn mn konstter tt ett : grdspolnom hr ekt en etrempunkt som ntingen är ett mimum eller minimum. När koefficienten frmför är negtiv som i dett fll så hr polnomet ett mimum. Svr ) = 11 ger miml re till bollplnen. b) Plnens re A = där är längden v sidn (kortsid) enligt uppgiftens figur och är ndr sidn (långsid). Kostnden för stängslet är 6600 kr = } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } hög kortsidn långsid kortsid långsid 6600 = = = + = 44 A() = (44 ) = 44 Svr b) Plnens re kn skrivs A() = 44. Kommentr Bollplnens miml re A(11) = 4 m men denn uppgift efterfrågdes inte. Vr nog! Svr lltid på det som frågs efter. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

28 Hur mång vildsvin kn det finns som mest i Sverige när mn uppskttr ntlet år 011 om tillväten fortsätter i den tkt som beskrivs ovn? (0/) Kurs plnering.se NpMC vt011 8(9) Del II # 14 (// ) Jordbävningr NpMC vt I Sverige är jordbävningr vnligre än vd mn kn tro, men oftst är de så svg tt de knppt märks. Med hjälp v Richterskln kn strkn i en jordbävning nges med mgnituden M. Mgnituden M ges v smbndet M = (lg E 4,84) där E är den frigjord energin mätt i enheten joule, J. ) Den 16 december 008 skkdes Skåne v en jordbävning som vr krftig 11 för tt vr i Sverige. Då frigjordes energin,75 10 J. Vilken mgnitud motsvrr dett på Richterskln? (1/0) b) Den krftigste uppmätt jordbävningen i Sverige klls Kosterösklvet och det inträffde den oktober Mgnituden mätte 5,4 på Richterskln. Hur mcket energi frigjordes vid Kosterösklvet? (/0) c) Utgå från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är 5 och den ndr hr en mgnitud som är 7. Hur mång gånger större är den frigjord energin hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre? (0/1) d) Utgå återigen från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är två enheter större än den ndr. Undersök generellt hur mång gånger större den frigjord energin är hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre. (0/1/ ) ) Beräkn mgnituden M för energin E =, J. 15. Antlet vildsvin i Sverige ökr krftigt. Från en rpport är följnde citt hämtt: }{{} M = stopp in År 007 (lg {}}{ E 4,84) plock ut beräkndes ntlet vildsvin uppgå till cirk från Skåne och upp till Dlälven som ännu så länge utgör den nordlig gränsen för M utbredningen. = ( lg(, ) 4,84 ) --- M Från = 1990 (11,44 till 007 hr 4,84) vildsvinspopultionen = 4,40 hft en så strk tillvät tt ntlet vildsvin i Sverige fördubblts vrt femte-sjätte år. Svr ) M = 4,40 Käll: Svensk Nturförvltning AB (008), Rpport 04, Vildsvin, jkt och förvltning Ant tt ntlet vildsvin uppsktts vid smm tidpunkt vrje år. b) Beräkn energin E för mgnituden M = 5, 4. stopp in {}}{ M = (lg }{{} E 4,84) plock ut Möbler om så tt lg E blir fritt. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se Utifrån cittet kn mn gör olik prognoser om ntlet vildsvin i Sverige i frmtiden.

29 Potenser = + = ( ) = = 1 Kurs plnering.se NpMC 1 = vt011 9(9) b = ( b) n n b b = 0 = 1 Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs lg E = M + 4,84 n (1) Geometrisk n 1 ( k 1) + k + k k = där k 1 Nu summ vet vi lg E men behöver E. Använd FORMELSAMLINGEN k 1 där finns följnde. Algebr Logritmer = 10 = lg = e = ln Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b b lg + lg = lg lg lg = lg lg p ( b) = b + b ( + b) = + b + b = p + lg b ( + b)( b) = b E = 10 Absolutbelopp + b = ( + b)( b + b ) om 0 lg = E = 10 M+4,84 b = ( b)( + b + b ) () Stopp in M = 5,4 i ekvtion om (). < Vi 0 får E = 10 5,4+4,84 = 10 1,94 = 8, J p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q Svr b) E = 8, J. 1(6) c) Jämför energin för mgnituden M = 5 och M = 7. Använd den tidigre formeln (). Aritmetik Låt E 5 beteckn energin för mgnituden 5 och E 7 beteckn energin för mgnituden 7. Bestäm Prefi kvoten Skolverket E 7 = 10 T 7+4,84 G M k h d c m µ n p E ter ,84 gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Använd FORMELSAMLINGEN och 10 6 förenkl kvoten Potenser = + = ( ) = = 1 b = ( b) b 1 = n n b = 0 = 1 Geometrisk E n 1 ( k 1) 7 + k + k k = där k 1 summ = ,84 = 10( 7+4,84 5+4,84) E 5+4,84 k 1 = 10 ( 7 5) = 10 () 5 Svr c) Logritmer gånger = 10 större. = lg = e = ln d) Jämför energin lg för + lgmgnituden = M och lg M lg +. = Använd lg den tidigre lg p formeln (). Låt = p lg E M beteckn energin för mgnituden M och E M+ beteckn energin för mgnituden M +. Bestäm kvoten E Absolutbelopp M+ om 0 = 10 = (M+)+4,84 = 10 E M 10 M+4,84 = 10. om < 0 n Svr d) 1000 gånger större. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se Skolverket

30 c) Utgå från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är 5 och den ndr hr en mgnitud som är 7. Hur mång gånger större är den frigjord energin hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre? (0/1) Kurs plnering.se NpMC vt011 0(9) d) Utgå återigen från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är två enheter större än den ndr. Undersök generellt hur mång gånger större den frigjord energin är hos den krftigre jordbävningen jämfört med den (4) frigjord energin hos den svgre. (0/1/ ) Del II # 15 (0/) Vildsvinen ökr krftigt 15. Antlet vildsvin i Sverige ökr krftigt. Från en rpport är följnde citt hämtt: År 007 beräkndes ntlet vildsvin uppgå till cirk från Skåne och upp till Dlälven som ännu så länge utgör den nordlig gränsen för utbredningen. --- Från 1990 till 007 hr vildsvinspopultionen hft en så strk tillvät tt ntlet vildsvin i Sverige fördubblts vrt femte-sjätte år. Käll: Svensk Nturförvltning AB (008), Rpport 04, Vildsvin, jkt och förvltning Ant tt ntlet vildsvin uppsktts vid smm tidpunkt vrje år. Utifrån cittet kn mn gör olik prognoser om ntlet vildsvin i Sverige i frmtiden. Hur mång vildsvin kn det finns som mest i Sverige när mn uppskttr ntlet år 011 om tillväten fortsätter i den tkt som beskrivs ovn? (0/) Vildsvinen fördubbls på 5 6 år. Vi väljer tt beskriv popultionens ökning med följnde eponentilekvtion C = C t som beskriver hur polultionen ökr från C till C under tidsintervllet t. Med t = 5 år får vi = 5 där kn skrivs på någr olik sätt. = 1 5 = 0, = 5 = 1,1487 Fördubbling på tidsintervllet 6 år ger ett något mindre värde på. För tt beräkn det ntl vildsvin som mest kn finns efter 4 år ( ) nvänder vi det störst värdet på och beräknr m ntl = , Svr M ntl vildsvin år 011 kn uppsktts till c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

31 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Del II # 16 (0/) Derivtns värde... NpMC vt Nedn ges derivtns värde hos en funktion f i en given punkt P. (( + h) lim h ) ( h 5 + ) = 80 ) Ange funktionen f Endst svr fordrs (0/1) b) En tngent drs i punkten P. Bestäm tngentens ekvtion. (0/) (6) Använd FORMELSAMLINGEN där finns derivtns definition. Differentil- och integrlklkl 17. Nedn viss grfen till en ndrgrdsfunktion som hr nollställen 1 = och = 4, se figur. Grfen skär -eln i punkten ( 0, p ). Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = lim = lim h 0 h Svr ) f() = 5 + Derivtor Funktion Derivt b) Punkten P hr -koordinten n = och -koordint n 1 f() = 5 + = 5. Punkten P där n är ett reellt tl n är lltså (, 5). Den sökt tngenten är en rät linje som går genom punkten (, 5) och hr riktningskoefficienten k = ( 80. > 0) 5 80 ln {}}{ {}}{ = k + }{{} m e 15 k e k e Svr b) Tngentens ekvtion är = Ant tt vi drr en tngent till grfen i punkten ( 0, p ). Bestäm lutningen för denn tngent uttrckt i p. (0// ) f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) e k Primitiv funktioner Funktion k Primitiv funktion k + C n ( n 1) + 1 n + C n + 1 c G Robertsson e buggr robertrobertsson@tele.se e + C k e e + C k k ( > 0, 1) + C

32 (( + h) lim h ) ( h 5 + ) = 80 ) Ange funktionen f Endst svr fordrs (0/1) Kurs plnering.se NpMC vt011 (9) b) En tngent drs i punkten P. Bestäm tngentens ekvtion. (0/) Del II # 17 (0// ) Tngent till ndrgrdspolnom 17. Nedn viss grfen till en ndrgrdsfunktion som hr nollställen 1 = och = 4, se figur. Grfen skär -eln i punkten ( 0, p ). Ant tt vi drr en tngent till grfen i punkten ( 0, p ). Bestäm lutningen för denn tngent uttrckt i p. (0// ) Lutningen för en tngent är derivtn i punkten, här är det punkten (0, p) som är ktuell. För tt kunn deriver måste funktionen vr känd. I dett problem är : grdsfunktionen inte känd. Börj med tt bestämm : grdsfunktionen. Funktionen går genom tre olik punkter. Det finns olik möjligheter tt bestämm funktionen. Lösning, vrint ABC Tngentens lutning i punkten (0, p) är derivtn till : grdspolnomet i punkten. Antg tt polnomet beskrivs med () = A + B + C då blir derivtn () = A + B och derivtn i den efterfrågde punkten (0, p) blir (0) = B Vi hr tre okänd A, B, C och smtidigt känner vi tre olik punkter (0, p), (, 0), (4, 0) som grfen går genom. Bild tre ekvtioner. p = A 0 + B 0 + C (1) ekvtion (1) ger 0 = A + B + C () 0 = A 4 + B 4 + C () c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

33 Kurs plnering.se NpMC vt011 (9) C = p. Ekvtion () och () ger med lösningen (4) p = A 4 + B (5) p = A 16 + B 4 (6) Eliminer den icke intressnt A ur ekvtionern (5) och (6). Ekvtion (6)-4 (5) ger p = B ( 4). Den efterfrågde derivtn (0) i punkten (0, p) är lltså B = p 4. (4) Lösning, vrint nollställen Det finns mång olik : grdsfunktioner som hr nollställen = och = 4. Vrje värde på K i polnomet = K ( )( 4) ger ett polnom med nollställen = och = 4. Vi sk välj K så tt polnomet går genom punkten (0, p). Dett betder tt p = K (0 )(0 4) vilket ger K = p 8. (0, 8) = ( )( 4) (0, p) = p ( )( 4) 8 4 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

34 Kurs plnering.se NpMC vt011 4(9) = p ( )( 4) 8 = p 8 ( 6 + 8) = p ( 6) 8 (0) = p p ( 0 6) = 8 4 Svr Lutningen för tngenten i punkten (0, p) är p 4. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

35 Kurs plnering.se NpMC vt011 5(9) Appendi Här presenters fr olik grfer som ll ser ut tt h en terrsspunkt. Funktionern är f() = och tre vrinter. Endst f() = hr terrsspunkt med teckenvälingen Med δ = 0, får vi följnde fr grfer. A f() = f() B f() = ( δ) f() terrsspunkt m min 0 0, f(0) = 0 f(0) = 0 f(0,) = 0,004 C f() = ( δ) ( + δ) f() D f() = ( + δ ) f() m min 0,17 0,17 f( 0,17) = 0, 01 f( 0,17) = 0, 01 etrempunkter skns f () 0, c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

36 Kurs plnering.se NpMC vt011 6(9) A Terrsspunkt Studer fllet med en trippelrot för = 0 f() =. Bestäm etrempunkter, deriver. f () = Bestäm där f () = 0. 0 = Derivtns hr en dubbelrot för 1, = 0. Andrderivtn är f () = 6. = 0 f() 0 terrsspunkt f () f () 0 Andrderivtn f (0) = 0 duger inte för tt vgör etrempunktens tp. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

37 Kurs plnering.se NpMC vt011 7(9) B M- & min-punkt Studer fllet med en dubbelrot för = 0 och en tredje rot för = δ f() = ( δ) f() = δ Bestäm etrempunkter, deriver. f () = δ f () = ( δ) Bestäm där f () = 0. 0 = ( δ) Derivtns nollställen är 1 = 0 och = δ. f(0) = 0 f( δ) = ( δ ) ( 1 Andrderivtn är f () = 6 δ. ) δ = 4 7 δ = 0 = δ f() δ m min f () f () δ δ När det fungerr är det enklre tt nttj ndrderivtn för tt vgör etrempunkterns tp än teckentbell. I dett fll fungerr det utmärkt med tt nttj ndrderivtn. Här är f (0) = δ < 0 och punkten (0, 0) är lltså en m-punkt. Kom ihåg tt för figurern på på sidn 5 är δ = 0,, vi hr positiv δ. För den ndr etrempunkten gäller tt f ( δ) = δ > 0 och punkten ( 4 δ, 7 δ ) är lltså en min-punkt. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

38 Kurs plnering.se NpMC vt011 8(9) C M- & min-punkt, vrint Studer fllet med en enkelrot för = 0 och två rötter enligt = ±δ f() = ( δ) ( + δ) f() = ( δ ) f() = δ Bestäm etrempunkter, deriver. f () = δ Bestäm där f () = 0. 0 = 1 δ Derivtns nollställen är 1 = δ och = +δ. f( δ ) = δ 9 f( +δ ) = 9 Andrderivtn är f () = 6 δ f() = δ = +δ δ δ 9 9 m min f () f () δ δ Här är f ( δ ) = δ < 0 och punkten ( δ, 9 δ ) är lltså en m-punkt. Kom ihåg tt för figurern på på sidn 5 är δ = 0,, vi hr positiv δ. För den ndr etrempunkten gäller tt f ( δ ) = δ > 0 och punkten ( δ, 9 )δ är lltså en min-punkt. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se

39 Kurs plnering.se NpMC vt011 9(9) D Etrempunkter skns Studer fllet med en enkelrot för = 0 och två komple rötter enligt = ±iδ f() = ( + δ ) f() = + δ Bestäm etrempunkter, deriver. f () = }{{} + δ δ 0 Funktionen f() sknr etrempunkter. Funktionen hr positiv derivt för ll och är därför strikt vände. Bonusfråg Är kurvn nedn en del v en rät linje eller en del v cirkel med mcket stor rdie? c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se