1.1 Sfäriska koordinater

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1.1 Sfäriska koordinater"

Lina Berglund
för 6 år sedan
Visningar:

1 Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter.. Sfärisk koordinter För tt inför sfärisk koordinter är det bekvämt tt nt tt vi från börjn hr crtesisk koordinter x, y, z i rummet R 3. Sfärisk koordintern r, θ ϕ definiers som tt r är vståndet till origo, r 0, θ är vinkeln melln z xeln r, 0 θ π, ϕ är vinkeln meln x xeln vektorn x, y, 0), 0 ϕ < 2π. Med hjälp v definitionen kn mn vis det följnde smbndet melln crtesisk sfärisk koordintern: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Koordintlinjer. Det finns tre sorter v koordintlinjer: θ = θ 0 ϕ = ϕ 0 r kurv hlvlinje), r = r 0, θ = θ 0 r = r 0, ϕ = ϕ 0 ϕ kurv cirkel), θ kurv hlvcirkel). Betrkt en punkt P med de sfärisk koordintern r 0, θ 0 ϕ 0. Vi kn r kurvn, θ kurvn ϕ kurvn genom den här punkten. Dess kurvorn är ortogonl mot vrn. Vi räknr ut tngentern i punkten r 0, θ 0, ϕ 0. r- kurvn ges v x = r sin θ 0 cos ϕ 0 y = r sin θ 0 sin ϕ 0 z = r cos θ 0 tngenten är θ kurvn ges v =, dy, ) = sin θ 0 cos ϕ 0, sin θ 0 sin ϕ 0, cos θ 0 ), x = r 0 sin θ cos ϕ 0 y = r 0 sin θ sin ϕ 0 z = r 0 cos θ

2 tngenten är dθ = dθ, dy dθ, ) = r 0 cos θ 0 cos ϕ 0, r 0 cos θ 0 sin ϕ 0, r 0 sin θ 0 ), dθ ϕ kurvn ges v tngenten är x = r 0 sin θ 0 cos ϕ y = r 0 sin θ 0 sin ϕ z = r 0 cos θ 0 =, dy, ) = r 0 sin θ 0 sin ϕ 0, r 0 sin θ 0 cos ϕ 0, 0) Mn kn kontroller tt tngentvektorern är ortogonl. Ders längdr beteckns som h r, h θ h ϕ klls sklfktorer. Vi hr Därför är = sin2 θ 0 cos 2 ϕ 0 + sin 2 θ 0 sin 2 ϕ 0 + cos 2 θ 0 =, dθ dθ = r2 0 cos 2 θ 0 cos 2 ϕ 0 + r 2 0 cos 2 θ 0 sin 2 ϕ 0 + r 2 0 sin 2 θ 0 = r 2 0 = r2 0 sin 2 θ 0 sin 2 ϕ 0 + r 2 0 sin 2 θ 0 cos 2 ϕ 0 = r 2 0 sin 2 θ 0. h r =, h θ = r 0, h ϕ = r 0 sin θ 0. Normerr vi tngentvektorern får vi en ON-bs ˆr, ˆθ ˆϕ: ˆr = h r =, dy, ) = sin θ 0 cos ϕ 0, sin θ 0 sin ϕ 0, cos θ 0 ), ˆθ = h θ dθ = dθ, dy dθ, ) = cos θ 0 cos ϕ 0, cos θ 0 sin ϕ 0, sin θ 0 ) dθ ˆϕ = h ϕ =, dy, ) = r 0 sin θ 0 sin ϕ 0, r 0 sin θ 0 cos ϕ 0, 0) Observer tt bsen ˆr, ˆθ ˆϕ beror på θ 0 ϕ 0. Nu kn mn skriv om vektorfält i sfärisk koordinter. Ex. r = xˆx + yŷ + zẑ = r sin θ cos ϕˆx + r sin θ sin ϕŷ + r cos θẑ = rˆr Grvittionsfältet: A = C r r 3 = C ˆr r 2 2

3 injeintegrl i sfärisk koordinter. Mn kn nvänd sfärisk koordinter för tt räkn ut linjeintegrlen A = b A Vi skriver om vektorfältet A i sfärisk koordinter tngentvektorn: Alltså A = A rˆr + A θ ˆθ + Aϕ ˆϕ = r r + r dθ θ + r ϕ = h r ˆr + h dθ θ ˆθ + h ϕ ˆϕ = dθ ˆr + r ˆθ + r sin θ ˆϕ A = b A r + A θr dθ + A ϕr sin θ ) Mn ntr här tt kurvn är given i sfärisk koordinter som r = rt), θ = θt), ϕ = ϕt), t [, b]. Ex. åt vr segmentet melln 0, 0, R 0 ) 0, 0, R ), A vr grvittionsfältet C ˆr r. Vi prmetriserr i sfärisk koordinter som rt) = 2 R 0 +tr R 0 ), θ = 0 ϕ = 0, t [0, ]. Eftersom A r = C/r 2, A θ = A ϕ = 0 hr vi tt R R 0 A = C 0 r 2 = C 0 R 0 + tr R 0 )) 2 = C ) R R 0.2 Cylinisk koordinter Cylinisk koordintern ρ, ϕ z definiers som tt ρ är vståndet till z-xeln, ρ 0, ϕ är vinkeln meln x xeln vektorn x, y, 0), 0 ϕ < 2π z är smm som i crtesisk koordinter. Med hjälp v definitionen kn mn vis det följnde smbndet melln crtesisk cylinisk koordintern: x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z Koordintlinjer. Det finns tre sorter v koordintlinjer: ϕ = ϕ 0 z = z 0 ρ kurv hlvlinje), 3

4 tngenten är =, dy, ) = cos ϕ 0, sin ϕ 0, 0), tngenten är ρ = ρ 0, ϕ = ϕ 0 ρ = ρ 0, z = z 0 ϕ kurv cirkel), =, dy, ) = ρ sin ϕ 0, ρ cos ϕ 0, 0), z kurv rät linje, som är prllell med z-xeln) tngenten är =, dy, ) = 0, 0, ). Genom vrje punkt går koordintlinjer som skär vrn under rät vinkel. Därför är tngentvektorern ortogonl. Sklfktorern är h ρ = = h ϕ = = ρ h z = =. Nu kn vi få en ON-bs genom tt normer tngentvektorern: ˆρ = = cos ϕ, sin ϕ, 0), h ρ ˆϕ = = sin ϕ, cos ϕ, 0) h ϕ ẑ = = 0, 0, ). h z Kontroller direkt tt ˆρ, ˆϕ ẑ är en ON-bs. Ex.. r = xˆx + yŷ + zẑ = ρ cos ϕˆx + ρ sin ϕ ˆϕ + zẑ = ρˆρ + zẑ 2. Mgnetfältet runt en oändlig rk ledre längs z-xeln ges v B = y, x, 0) x 2 + y 2. 4

5 Eftersom hr vi tt yˆx + xŷ = ρ sin ϕˆx + ρ cos ϕŷ = ρ ˆϕ B = ρ ˆϕ. 3. Ant tt en oändligt lång tråd längs z xeln hr konstnt lddningstäthet. Det elektrisk fältet för tråden blir E = x, y, 0) x 2 + y 2 = ρ ˆρ. injeintegrl i cylinisk koordinter. Mn kn nvänd cylinisk koordinter för tt räkn ut linjeintegrlen A = b A. Vi skriver om vektorfältet A i cylinisk koordinter tngentvektorn: lltså A = A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ = r ρ + r ϕ + r z = h ρ ˆρ + h ϕ ˆϕ + h z ẑ = ˆρ + ρ ˆϕ + ẑ, A = b A ρ + A ϕρ + A ) z Mn ntr här tt kurvn är given i cylinisk koordinter som ρ = ρt), ϕ = ϕt), z = zt), t [, b]. 5

Relevanta dokument

1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ