Komplexa tal. j 2 = 1

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Komplexa tal. j 2 = 1"

Monica Eriksson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Komplex tl De komplex tlen nvänds när mn behndlr växelström inom elektroniken. Imginär enheten beteckns i elektroniken med j (i, som nvänds i mtemtiken, är ju upptget v strömmen). Den definiers v j = 1 Ett imginärt tl är en produkt v den imginär enheten och ett reellt tl, t.ex. j. Ett komplext tl är en summ v ett reellt och ett imginärt tl. Om och b är reell tl är j ett imginärt tl och z = + jb Re{z} = Im{z} = b z = + b y ett komplext tl reldelen v z imginärdelen v z bsolutbeloppet v z b z P θ x I det komplex tlplnet klls x xeln den reell xeln och y xeln den imginär xeln. Ett komplext tl z = +jb vbilds då i punkten P = (, b). Absolutbeloppet v z är enligt Pytgors sts längden v vektorn från origo till P. Om vi inför vinkeln θ så ser vi tt = z cos θ b = z sin θ z = z (cos θ + j sin θ) (0.1) Vinkeln θ klls för rgumentet v z och beteckns rg{z} = θ. Den är vld tt ligg i intervllet π < θ π 1. Från figuren ser vi tt tn θ = b/. Genom tt inverter denn reltion får vi ett explicit uttryck för θ. Om 0 ges θ v rg{z} = θ = rctn(b/) 1 Mn kn lltid lägg till en multipel v π till θ och fortfrnde uppfyll reltionern i (0.1)

2 I viss litertur nvänds tn 1. Om 0 ges θ v (i rdiner ) { π rctn(b/ ), om b 0 rg{z} = θ = π rctn(b/ ) = π + rctn( b / ), om b 0 Anledningen är tt funktionen rctn endst ger värden melln π/ och π/. Komplexkonjugt Komplexkonjugering innebär tt mn byter tecken på imginärdelen v det komplex tlet. Komplexkonjugtet v z beteckns 3 z Det är enkelt tt se tt z = + jb z = jb z z = zz = + b = z Dett kn vi utnyttj när vi bestämmer rel- och imginärdelen v 1/z Därmed fås 1 z = z z z = z z = jb + b { } 1 Re = z { } 1 Im z + b = b + b Polär form v ett komplext tl Skrivsättet z = +jb klls för rektngulär form. Genom tt jämför potensserieutvecklingrn v sin θ, cos θ och e jθ kn mn vis tt (dett gås igenom i mtten) e jθ = cos θ + j sin θ Från ekvtion (0.1) ser vi tt vi kn skriv ett komplext tl z = + jb på formen z = z e jrg{z} = z e jθ Denn representtion v z klls för den polär formen v z. Vi ser också tt z = z e jrg{z} 1 z = 1 z e z jrg{z} = e jrg{z} Vi mäter oftst vinklr i rdiner. Reltionen melln grder och rdiner är rdiner=π grder/180 3 i viss littertur nvänds beteckningen z.

3 Exempel Låt z 1 = 1 + jb 1 och z = + jb vr två komplex tl med 1 > 0 och > 0. Då gälller z 1 z = z 1 e jrg{z1} z e jrg{z} = 1 + b 1e j rctn (b 1/ 1 ) + b e j rctn (b / ) = ( 1 + b 1)( + b )e j(rctn (b 1/ 1 )+rctn (b / )) z 1 = z 1 + b 1 e j(rctn (b 1/ 1 ) rctn (b / )) + b Komplex representtion v tidshrmonisk storheter I växelströmslärn nvänds komplex representtioner v de tidshrmonisk strömmrn och spänningrn. En tidshrmonisk ström kn llmänt skrivs i(t) = I 0 cos(ωt + φ) Här är ω vinkelfrekvensen, vilken mäts i rdiner per sekund och är relterd till den vnlig frekvensen f vi ω = πf. Strömmens mplitud är I 0 och dess fs reltivt cos(ωt) är φ. Den komplex representtionen v i(t) är I = I 0 e jφ Den komplex strömmen I innehåller informtion om mplitud och fs eftersom I = I 0 = mplitud rg{i} = φ = fs reltivt cos(ωt) Om vi känner den komplex strömmen I, får vi den verklig tidsberoende strömmen i(t) genom regeln i(t) = Re{Ie jωt } Ett snbbre sätt tt trnsformer från I till i(t) är tt bestämm bsolutbeloppet I och rgumentet φ = rg{i} v I, och direkt skriv upp i(t) som i(t) = I cos(ωt+ φ). När fsen mäts reltivt cos ωt säger vi tt cos ωt är riktfs och tt vi nvänder reldelskonventionen för tt trnsformer melln tids- och frekvenspln. Om en tidshrmonisk ström eller spänning skrivs som en sinusfunktion kn det vr prktiskt tt mät ll fser reltivt sin(ωt) och därmed nvänd sin ωt som riktfs. Vi nvänder då imginärdelskonventionen för tt trnsformer melln tids- och frekvenspln. Den komplex representtionen v kn då skrivs v(t) = V 0 sin(ωt + φ) V = V 0 e jφ För tt komm tillbks till den tidsberoende spänningen kn vi ntingen utnyttj regeln v(t) = Im{V e jωt } eller så bestämmer vi bsolutbeloppet V och rgumentet φ = rg{v } v V och skriver direkt upp v(t) som v(t) = V sin(ωt + φ).

4 Kommentrer De tidshrmonisk spänningrn och strömmrn uppfyller differentilekvtioner vilk kn vr komplicerde tt lös. De komplex spänningrn och strömmrn uppfyller i stället lgebrisk ekvtioner vilk oftst är enkl tt lös. När mn nvänder de tidsberoende storhetern brukr mn säg tt mn är i tidsplnet medn mn är i frekvensplnet när de komplex storehetern nvänds. Vi kommer tt vr betydligt mer i frekvensplnet än i tidsplnet när vi kommer in på växelström. Hmbley nvänder ett förkortt skrivsätt för de komplex tlen på polär form. Hn skriver t.ex. z = 1 + j = e jπ/4 på formen z = 45 och mer llmänt Z = Z rg{z} där vinkeln rg{z} skrivs i grder. Hmbleys skrivsätt hr fördelen tt det refererr till det komplex tlplnet.

5 Problem 1 Skriv följnde komplex tl på rektngulär form z = + jb: ) (1 + j4)(3 j5) b) j( j3) c) 1 j j 3 + j4 d) j( j) e) (3 + j)e jπ f) e jπ/3 g) (1 j)e jπ/4 h) je jπ/ i) j j Skriv följnde komplex tl på polär form. Rit gärn in dem i komplex tlplnet för tt kontroller tt rgumentet och bsolutbeloppet som du bestämt är rimlig: ) 1 + j b) 1 j c) j d) 1 j e) j(1 j) f) 1 j 1 + j 3 I denn uppgift betecknr R resistns, C kpcitns, ω vinkelfrekvens och L induktns. Skriv följnde komplex tl på polär form:

6 ) R + jωl b) R + 1 jωc R + jωl c) R + 1/(jωC) 4 Bestäm med reldelskonventionen den komplex spänningen i följnde fll ) v(t) = V 0 cos(ωt + π/4) b) v(t) = V 0 sin(ωt) 5 Bestäm med imginärdelskonventionen den komplex strömmen i följnde fll ) i(t) = I 0 sin(ωt + π/4) b) i(t) = I 0 sin(ωt + π/3) + I 0 sin(ωt) 6 Vinkelfrekvensen är ω, cos ωt är riktfs och V 0 är reell. Bestäm den tidsberoende spänningen v(t) om den komplex spänningen är ) V = V 0 (1 + j) b) V = jv 0 c) V = V 0 R R + jωl d) V = V 0 R + jωl j(r + 1/(jωC)) Svr till problemen 1: ) 3 + j7 b) 3 + j c) j d) 7+j 4 e) 3 j f) 1 j 3 g) h) 1 i) e π/ ty j j = (e jπ/ ) j = e jjπ/ = e π/

7 : ) e jπ/4 b) e jπ/4 c) e jπ/ d) e jπ/ e) e jπ/4 f) 1 j 1 + j = e jπ/4 e jπ/4 = e jπ/4 e jπ/4 = e jπ/ 3: ) R + (ωl) e j rctn(ωl/r) b) R + 1/(ωC) j rctn(1/(ωrc)) e R c) + (ωl) R + 1/(ωC) ej(rctn(ωl/r)+rctn(1/(ωrc)) 4: ) V = V 0 e jπ/4 b) V 0 e jπ/ 5: ) I 0 e jπ/4 1 + j ( = I 0 b) I 0 (e jπ/ ) = I 0 + j ) 3 = I 0 3e j rctn(1/ 3) 6: ) R V 0 cos(ωt+π/4) b) V 0 cos(ωt+π/) c) V 0 R cos(ωt rctn(ωl/r)) +(ωl) R d) V +(ωl) 0 cos(ωt + rctn(ωl/r) + rctn(1/(ωcr)) π/) R +(1/ωC) eller lterntivt R V +(ωl) 0 R +(1/ωC) cos(ωt + rctn(ωl/r) rctn(ωcr))

Relevanta dokument

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den